Theorem lmodbn0 13614

Description: The base set of a left module is nonempty. It is also inhabited (by lmod0vcl 13633). (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
lmodbn0.b	|- B = ( Base ` W )

Assertion

Ref	Expression
lmodbn0	|- ( W e. LMod -> B =/= (/) )

Proof of Theorem lmodbn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodgrp 13610	. 2 |- ( W e. LMod -> W e. Grp )
2		lmodbn0.b	. . 3 |- B = ( Base ` W )
3	2	grpbn0 12974	. 2 |- ( W e. Grp -> B =/= (/) )
4	1, 3	syl 14	1 |- ( W e. LMod -> B =/= (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2160   =/= wne 2360   (/)c0 3437   ` cfv 5235   Basecbs 12512   Grpcgrp 12945   LModclmod 13603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1re 7935  ax-addrcl 7938

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-5 9011  df-6 9012  df-ndx 12515  df-slot 12516  df-base 12518  df-plusg 12602  df-mulr 12603  df-sca 12605  df-vsca 12606  df-0g 12763  df-mgm 12832  df-sgrp 12865  df-mnd 12878  df-grp 12948  df-lmod 13605

This theorem is referenced by: (None)