Theorem lmodcom 13829

Description: Left module vector sum is commutative. (Contributed by Gérard Lang, 25-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodcom.v	|- V = ( Base ` W )
lmodcom.a	|- .+ = ( +g ` W )

Assertion

Ref	Expression
lmodcom	|- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) )

Proof of Theorem lmodcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 999	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> W e. LMod )
2		eqid 2193	. . . . . . . . . . 11 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
3		eqid 2193	. . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
4		eqid 2193	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1r ` (Scalar ` W ) ) = ( 1r ` (Scalar ` W ) )
5	2, 3, 4	lmod1cl 13811	. . . . . . . . . 10 |- ( W e. LMod -> ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
6	1, 5	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
7		eqid 2193	. . . . . . . . . 10 |- ( +g ` (Scalar ` W ) ) = ( +g ` (Scalar ` W ) )
8	2, 3, 7	lmodacl 13795	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. LMod /\ ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) -> ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
9	1, 6, 6, 8	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
10		simp2 1000	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> X e. V )
11		simp3 1001	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> Y e. V )
12		lmodcom.v	. . . . . . . . 9 |- V = ( Base ` W )
13		lmodcom.a	. . . . . . . . 9 |- .+ = ( +g ` W )
14		eqid 2193	. . . . . . . . 9 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
15	12, 13, 2, 14, 3	lmodvsdi 13807	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) = ( ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) .+ ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) ) )
16	1, 9, 10, 11, 15	syl13anc 1251	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) = ( ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) .+ ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) ) )
17	12, 13	lmodvacl 13798	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( X .+ Y ) e. V )
18	12, 13, 2, 14, 3, 7	lmodvsdir 13808	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X .+ Y ) e. V ) ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) = ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) .+ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) ) )
19	1, 6, 6, 17, 18	syl13anc 1251	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) = ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) .+ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) ) )
20	16, 19	eqtr3d 2228	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) .+ ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) ) = ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) .+ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) ) )
21	12, 13, 2, 14, 3, 7	lmodvsdir 13808	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ X e. V ) ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) = ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) X ) .+ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) X ) ) )
22	1, 6, 6, 10, 21	syl13anc 1251	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) = ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) X ) .+ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) X ) ) )
23	12, 2, 14, 4	lmodvs1 13812	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) X ) = X )
24	1, 10, 23	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) X ) = X )
25	24, 24	oveq12d 5936	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) X ) .+ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) X ) ) = ( X .+ X ) )
26	22, 25	eqtrd 2226	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) = ( X .+ X ) )
27	12, 13, 2, 14, 3, 7	lmodvsdir 13808	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ Y e. V ) ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) = ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) .+ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) ) )
28	1, 6, 6, 11, 27	syl13anc 1251	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) = ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) .+ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) ) )
29	12, 2, 14, 4	lmodvs1 13812	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. LMod /\ Y e. V ) -> ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) = Y )
30	1, 11, 29	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) = Y )
31	30, 30	oveq12d 5936	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) .+ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) ) = ( Y .+ Y ) )
32	28, 31	eqtrd 2226	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) = ( Y .+ Y ) )
33	26, 32	oveq12d 5936	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) .+ ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) ) = ( ( X .+ X ) .+ ( Y .+ Y ) ) )
34	12, 2, 14, 4	lmodvs1 13812	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ ( X .+ Y ) e. V ) -> ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) = ( X .+ Y ) )
35	1, 17, 34	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) = ( X .+ Y ) )
36	35, 35	oveq12d 5936	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) .+ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( X .+ Y ) ) )
37	20, 33, 36	3eqtr3d 2234	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( X .+ X ) .+ ( Y .+ Y ) ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( X .+ Y ) ) )
38	12, 13	lmodvacl 13798	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ X e. V ) -> ( X .+ X ) e. V )
39	1, 10, 10, 38	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( X .+ X ) e. V )
40	12, 13	lmodass 13799	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( X .+ X ) e. V /\ Y e. V /\ Y e. V ) ) -> ( ( ( X .+ X ) .+ Y ) .+ Y ) = ( ( X .+ X ) .+ ( Y .+ Y ) ) )
41	1, 39, 11, 11, 40	syl13anc 1251	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( X .+ X ) .+ Y ) .+ Y ) = ( ( X .+ X ) .+ ( Y .+ Y ) ) )
42	12, 13	lmodass 13799	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( X .+ Y ) e. V /\ X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( ( ( X .+ Y ) .+ X ) .+ Y ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( X .+ Y ) ) )
43	1, 17, 10, 11, 42	syl13anc 1251	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( X .+ Y ) .+ X ) .+ Y ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( X .+ Y ) ) )
44	37, 41, 43	3eqtr4d 2236	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( X .+ X ) .+ Y ) .+ Y ) = ( ( ( X .+ Y ) .+ X ) .+ Y ) )
45		lmodgrp 13790	. . . . . 6 |- ( W e. LMod -> W e. Grp )
46	1, 45	syl 14	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> W e. Grp )
47	12, 13	lmodvacl 13798	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( X .+ X ) e. V /\ Y e. V ) -> ( ( X .+ X ) .+ Y ) e. V )
48	1, 39, 11, 47	syl3anc 1249	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( X .+ X ) .+ Y ) e. V )
49	12, 13	lmodvacl 13798	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( X .+ Y ) e. V /\ X e. V ) -> ( ( X .+ Y ) .+ X ) e. V )
50	1, 17, 10, 49	syl3anc 1249	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( X .+ Y ) .+ X ) e. V )
51	12, 13	grprcan 13109	. . . . 5 |- ( ( W e. Grp /\ ( ( ( X .+ X ) .+ Y ) e. V /\ ( ( X .+ Y ) .+ X ) e. V /\ Y e. V ) ) -> ( ( ( ( X .+ X ) .+ Y ) .+ Y ) = ( ( ( X .+ Y ) .+ X ) .+ Y ) <-> ( ( X .+ X ) .+ Y ) = ( ( X .+ Y ) .+ X ) ) )
52	46, 48, 50, 11, 51	syl13anc 1251	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( ( X .+ X ) .+ Y ) .+ Y ) = ( ( ( X .+ Y ) .+ X ) .+ Y ) <-> ( ( X .+ X ) .+ Y ) = ( ( X .+ Y ) .+ X ) ) )
53	44, 52	mpbid 147	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( X .+ X ) .+ Y ) = ( ( X .+ Y ) .+ X ) )
54	12, 13	lmodass 13799	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( X e. V /\ X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( ( X .+ X ) .+ Y ) = ( X .+ ( X .+ Y ) ) )
55	1, 10, 10, 11, 54	syl13anc 1251	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( X .+ X ) .+ Y ) = ( X .+ ( X .+ Y ) ) )
56	12, 13	lmodass 13799	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( X e. V /\ Y e. V /\ X e. V ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ X ) = ( X .+ ( Y .+ X ) ) )
57	1, 10, 11, 10, 56	syl13anc 1251	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( X .+ Y ) .+ X ) = ( X .+ ( Y .+ X ) ) )
58	53, 55, 57	3eqtr3d 2234	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( X .+ ( X .+ Y ) ) = ( X .+ ( Y .+ X ) ) )
59	12, 13	lmodvacl 13798	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ Y e. V /\ X e. V ) -> ( Y .+ X ) e. V )
60	59	3com23 1211	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( Y .+ X ) e. V )
61	12, 13	lmodlcan 13800	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( X .+ Y ) e. V /\ ( Y .+ X ) e. V /\ X e. V ) ) -> ( ( X .+ ( X .+ Y ) ) = ( X .+ ( Y .+ X ) ) <-> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) ) )
62	1, 17, 60, 10, 61	syl13anc 1251	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( X .+ ( X .+ Y ) ) = ( X .+ ( Y .+ X ) ) <-> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) ) )
63	58, 62	mpbid 147	1 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   Basecbs 12618   +g cplusg 12695  Scalarcsca 12698   .scvsca 12699   Grpcgrp 13072   1rcur 13455   LModclmod 13783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-sca 12711  df-vsca 12712  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-grp 13075  df-minusg 13076  df-mgp 13417  df-ur 13456  df-ring 13494  df-lmod 13785

This theorem is referenced by:  lmodabl  13830  lssvsubcl  13862  lssvancl2  13864