Theorem lmodcom 14346

Description: Left module vector sum is commutative. (Contributed by Gérard Lang, 25-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodcom.v	|- V = ( Base ` W )
lmodcom.a	|- .+ = ( +g ` W )

Assertion

Ref	Expression
lmodcom	|- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) )

Proof of Theorem lmodcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1023	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> W e. LMod )
2		eqid 2231	. . . . . . . . . . 11 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
3		eqid 2231	. . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
4		eqid 2231	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1r ` (Scalar ` W ) ) = ( 1r ` (Scalar ` W ) )
5	2, 3, 4	lmod1cl 14328	. . . . . . . . . 10 |- ( W e. LMod -> ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
6	1, 5	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
7		eqid 2231	. . . . . . . . . 10 |- ( +g ` (Scalar ` W ) ) = ( +g ` (Scalar ` W ) )
8	2, 3, 7	lmodacl 14312	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. LMod /\ ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) -> ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
9	1, 6, 6, 8	syl3anc 1273	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
10		simp2 1024	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> X e. V )
11		simp3 1025	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> Y e. V )
12		lmodcom.v	. . . . . . . . 9 |- V = ( Base ` W )
13		lmodcom.a	. . . . . . . . 9 |- .+ = ( +g ` W )
14		eqid 2231	. . . . . . . . 9 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
15	12, 13, 2, 14, 3	lmodvsdi 14324	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) = ( ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) .+ ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) ) )
16	1, 9, 10, 11, 15	syl13anc 1275	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) = ( ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) .+ ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) ) )
17	12, 13	lmodvacl 14315	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( X .+ Y ) e. V )
18	12, 13, 2, 14, 3, 7	lmodvsdir 14325	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X .+ Y ) e. V ) ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) = ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) .+ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) ) )
19	1, 6, 6, 17, 18	syl13anc 1275	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) = ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) .+ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) ) )
20	16, 19	eqtr3d 2266	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) .+ ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) ) = ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) .+ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) ) )
21	12, 13, 2, 14, 3, 7	lmodvsdir 14325	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ X e. V ) ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) = ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) X ) .+ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) X ) ) )
22	1, 6, 6, 10, 21	syl13anc 1275	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) = ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) X ) .+ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) X ) ) )
23	12, 2, 14, 4	lmodvs1 14329	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) X ) = X )
24	1, 10, 23	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) X ) = X )
25	24, 24	oveq12d 6035	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) X ) .+ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) X ) ) = ( X .+ X ) )
26	22, 25	eqtrd 2264	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) = ( X .+ X ) )
27	12, 13, 2, 14, 3, 7	lmodvsdir 14325	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ Y e. V ) ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) = ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) .+ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) ) )
28	1, 6, 6, 11, 27	syl13anc 1275	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) = ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) .+ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) ) )
29	12, 2, 14, 4	lmodvs1 14329	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. LMod /\ Y e. V ) -> ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) = Y )
30	1, 11, 29	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) = Y )
31	30, 30	oveq12d 6035	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) .+ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) ) = ( Y .+ Y ) )
32	28, 31	eqtrd 2264	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) = ( Y .+ Y ) )
33	26, 32	oveq12d 6035	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) .+ ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) ) = ( ( X .+ X ) .+ ( Y .+ Y ) ) )
34	12, 2, 14, 4	lmodvs1 14329	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ ( X .+ Y ) e. V ) -> ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) = ( X .+ Y ) )
35	1, 17, 34	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) = ( X .+ Y ) )
36	35, 35	oveq12d 6035	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) .+ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( X .+ Y ) ) )
37	20, 33, 36	3eqtr3d 2272	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( X .+ X ) .+ ( Y .+ Y ) ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( X .+ Y ) ) )
38	12, 13	lmodvacl 14315	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ X e. V ) -> ( X .+ X ) e. V )
39	1, 10, 10, 38	syl3anc 1273	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( X .+ X ) e. V )
40	12, 13	lmodass 14316	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( X .+ X ) e. V /\ Y e. V /\ Y e. V ) ) -> ( ( ( X .+ X ) .+ Y ) .+ Y ) = ( ( X .+ X ) .+ ( Y .+ Y ) ) )
41	1, 39, 11, 11, 40	syl13anc 1275	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( X .+ X ) .+ Y ) .+ Y ) = ( ( X .+ X ) .+ ( Y .+ Y ) ) )
42	12, 13	lmodass 14316	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( X .+ Y ) e. V /\ X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( ( ( X .+ Y ) .+ X ) .+ Y ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( X .+ Y ) ) )
43	1, 17, 10, 11, 42	syl13anc 1275	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( X .+ Y ) .+ X ) .+ Y ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( X .+ Y ) ) )
44	37, 41, 43	3eqtr4d 2274	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( X .+ X ) .+ Y ) .+ Y ) = ( ( ( X .+ Y ) .+ X ) .+ Y ) )
45		lmodgrp 14307	. . . . . 6 |- ( W e. LMod -> W e. Grp )
46	1, 45	syl 14	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> W e. Grp )
47	12, 13	lmodvacl 14315	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( X .+ X ) e. V /\ Y e. V ) -> ( ( X .+ X ) .+ Y ) e. V )
48	1, 39, 11, 47	syl3anc 1273	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( X .+ X ) .+ Y ) e. V )
49	12, 13	lmodvacl 14315	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( X .+ Y ) e. V /\ X e. V ) -> ( ( X .+ Y ) .+ X ) e. V )
50	1, 17, 10, 49	syl3anc 1273	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( X .+ Y ) .+ X ) e. V )
51	12, 13	grprcan 13619	. . . . 5 |- ( ( W e. Grp /\ ( ( ( X .+ X ) .+ Y ) e. V /\ ( ( X .+ Y ) .+ X ) e. V /\ Y e. V ) ) -> ( ( ( ( X .+ X ) .+ Y ) .+ Y ) = ( ( ( X .+ Y ) .+ X ) .+ Y ) <-> ( ( X .+ X ) .+ Y ) = ( ( X .+ Y ) .+ X ) ) )
52	46, 48, 50, 11, 51	syl13anc 1275	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( ( X .+ X ) .+ Y ) .+ Y ) = ( ( ( X .+ Y ) .+ X ) .+ Y ) <-> ( ( X .+ X ) .+ Y ) = ( ( X .+ Y ) .+ X ) ) )
53	44, 52	mpbid 147	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( X .+ X ) .+ Y ) = ( ( X .+ Y ) .+ X ) )
54	12, 13	lmodass 14316	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( X e. V /\ X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( ( X .+ X ) .+ Y ) = ( X .+ ( X .+ Y ) ) )
55	1, 10, 10, 11, 54	syl13anc 1275	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( X .+ X ) .+ Y ) = ( X .+ ( X .+ Y ) ) )
56	12, 13	lmodass 14316	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( X e. V /\ Y e. V /\ X e. V ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ X ) = ( X .+ ( Y .+ X ) ) )
57	1, 10, 11, 10, 56	syl13anc 1275	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( X .+ Y ) .+ X ) = ( X .+ ( Y .+ X ) ) )
58	53, 55, 57	3eqtr3d 2272	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( X .+ ( X .+ Y ) ) = ( X .+ ( Y .+ X ) ) )
59	12, 13	lmodvacl 14315	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ Y e. V /\ X e. V ) -> ( Y .+ X ) e. V )
60	59	3com23 1235	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( Y .+ X ) e. V )
61	12, 13	lmodlcan 14317	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( X .+ Y ) e. V /\ ( Y .+ X ) e. V /\ X e. V ) ) -> ( ( X .+ ( X .+ Y ) ) = ( X .+ ( Y .+ X ) ) <-> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) ) )
62	1, 17, 60, 10, 61	syl13anc 1275	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( X .+ ( X .+ Y ) ) = ( X .+ ( Y .+ X ) ) <-> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) ) )
63	58, 62	mpbid 147	1 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   Basecbs 13081   +g cplusg 13159  Scalarcsca 13162   .scvsca 13163   Grpcgrp 13582   1rcur 13971   LModclmod 14300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-sets 13088  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-sca 13175  df-vsca 13176  df-0g 13340  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499  df-grp 13585  df-minusg 13586  df-mgp 13933  df-ur 13972  df-ring 14010  df-lmod 14302

This theorem is referenced by:  lmodabl  14347  lssvsubcl  14379  lssvancl2  14381