Theorem lmodcom 13428

Description: Left module vector sum is commutative. (Contributed by Gérard Lang, 25-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodcom.v	|- V = ( Base ` W )
lmodcom.a	|- .+ = ( +g ` W )

Assertion

Ref	Expression
lmodcom	|- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) )

Proof of Theorem lmodcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 997	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> W e. LMod )
2		eqid 2177	. . . . . . . . . . 11 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
3		eqid 2177	. . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
4		eqid 2177	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1r ` (Scalar ` W ) ) = ( 1r ` (Scalar ` W ) )
5	2, 3, 4	lmod1cl 13410	. . . . . . . . . 10 |- ( W e. LMod -> ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
6	1, 5	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
7		eqid 2177	. . . . . . . . . 10 |- ( +g ` (Scalar ` W ) ) = ( +g ` (Scalar ` W ) )
8	2, 3, 7	lmodacl 13394	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. LMod /\ ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) -> ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
9	1, 6, 6, 8	syl3anc 1238	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
10		simp2 998	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> X e. V )
11		simp3 999	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> Y e. V )
12		lmodcom.v	. . . . . . . . 9 |- V = ( Base ` W )
13		lmodcom.a	. . . . . . . . 9 |- .+ = ( +g ` W )
14		eqid 2177	. . . . . . . . 9 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
15	12, 13, 2, 14, 3	lmodvsdi 13406	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) = ( ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) .+ ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) ) )
16	1, 9, 10, 11, 15	syl13anc 1240	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) = ( ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) .+ ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) ) )
17	12, 13	lmodvacl 13397	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( X .+ Y ) e. V )
18	12, 13, 2, 14, 3, 7	lmodvsdir 13407	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X .+ Y ) e. V ) ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) = ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) .+ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) ) )
19	1, 6, 6, 17, 18	syl13anc 1240	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) = ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) .+ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) ) )
20	16, 19	eqtr3d 2212	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) .+ ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) ) = ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) .+ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) ) )
21	12, 13, 2, 14, 3, 7	lmodvsdir 13407	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ X e. V ) ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) = ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) X ) .+ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) X ) ) )
22	1, 6, 6, 10, 21	syl13anc 1240	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) = ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) X ) .+ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) X ) ) )
23	12, 2, 14, 4	lmodvs1 13411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) X ) = X )
24	1, 10, 23	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) X ) = X )
25	24, 24	oveq12d 5895	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) X ) .+ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) X ) ) = ( X .+ X ) )
26	22, 25	eqtrd 2210	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) = ( X .+ X ) )
27	12, 13, 2, 14, 3, 7	lmodvsdir 13407	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ Y e. V ) ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) = ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) .+ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) ) )
28	1, 6, 6, 11, 27	syl13anc 1240	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) = ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) .+ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) ) )
29	12, 2, 14, 4	lmodvs1 13411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. LMod /\ Y e. V ) -> ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) = Y )
30	1, 11, 29	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) = Y )
31	30, 30	oveq12d 5895	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) .+ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) ) = ( Y .+ Y ) )
32	28, 31	eqtrd 2210	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) = ( Y .+ Y ) )
33	26, 32	oveq12d 5895	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) .+ ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) ) = ( ( X .+ X ) .+ ( Y .+ Y ) ) )
34	12, 2, 14, 4	lmodvs1 13411	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ ( X .+ Y ) e. V ) -> ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) = ( X .+ Y ) )
35	1, 17, 34	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) = ( X .+ Y ) )
36	35, 35	oveq12d 5895	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) .+ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( X .+ Y ) ) )
37	20, 33, 36	3eqtr3d 2218	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( X .+ X ) .+ ( Y .+ Y ) ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( X .+ Y ) ) )
38	12, 13	lmodvacl 13397	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ X e. V ) -> ( X .+ X ) e. V )
39	1, 10, 10, 38	syl3anc 1238	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( X .+ X ) e. V )
40	12, 13	lmodass 13398	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( X .+ X ) e. V /\ Y e. V /\ Y e. V ) ) -> ( ( ( X .+ X ) .+ Y ) .+ Y ) = ( ( X .+ X ) .+ ( Y .+ Y ) ) )
41	1, 39, 11, 11, 40	syl13anc 1240	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( X .+ X ) .+ Y ) .+ Y ) = ( ( X .+ X ) .+ ( Y .+ Y ) ) )
42	12, 13	lmodass 13398	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( X .+ Y ) e. V /\ X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( ( ( X .+ Y ) .+ X ) .+ Y ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( X .+ Y ) ) )
43	1, 17, 10, 11, 42	syl13anc 1240	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( X .+ Y ) .+ X ) .+ Y ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( X .+ Y ) ) )
44	37, 41, 43	3eqtr4d 2220	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( X .+ X ) .+ Y ) .+ Y ) = ( ( ( X .+ Y ) .+ X ) .+ Y ) )
45		lmodgrp 13389	. . . . . 6 |- ( W e. LMod -> W e. Grp )
46	1, 45	syl 14	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> W e. Grp )
47	12, 13	lmodvacl 13397	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( X .+ X ) e. V /\ Y e. V ) -> ( ( X .+ X ) .+ Y ) e. V )
48	1, 39, 11, 47	syl3anc 1238	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( X .+ X ) .+ Y ) e. V )
49	12, 13	lmodvacl 13397	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( X .+ Y ) e. V /\ X e. V ) -> ( ( X .+ Y ) .+ X ) e. V )
50	1, 17, 10, 49	syl3anc 1238	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( X .+ Y ) .+ X ) e. V )
51	12, 13	grprcan 12915	. . . . 5 |- ( ( W e. Grp /\ ( ( ( X .+ X ) .+ Y ) e. V /\ ( ( X .+ Y ) .+ X ) e. V /\ Y e. V ) ) -> ( ( ( ( X .+ X ) .+ Y ) .+ Y ) = ( ( ( X .+ Y ) .+ X ) .+ Y ) <-> ( ( X .+ X ) .+ Y ) = ( ( X .+ Y ) .+ X ) ) )
52	46, 48, 50, 11, 51	syl13anc 1240	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( ( X .+ X ) .+ Y ) .+ Y ) = ( ( ( X .+ Y ) .+ X ) .+ Y ) <-> ( ( X .+ X ) .+ Y ) = ( ( X .+ Y ) .+ X ) ) )
53	44, 52	mpbid 147	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( X .+ X ) .+ Y ) = ( ( X .+ Y ) .+ X ) )
54	12, 13	lmodass 13398	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( X e. V /\ X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( ( X .+ X ) .+ Y ) = ( X .+ ( X .+ Y ) ) )
55	1, 10, 10, 11, 54	syl13anc 1240	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( X .+ X ) .+ Y ) = ( X .+ ( X .+ Y ) ) )
56	12, 13	lmodass 13398	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( X e. V /\ Y e. V /\ X e. V ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ X ) = ( X .+ ( Y .+ X ) ) )
57	1, 10, 11, 10, 56	syl13anc 1240	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( X .+ Y ) .+ X ) = ( X .+ ( Y .+ X ) ) )
58	53, 55, 57	3eqtr3d 2218	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( X .+ ( X .+ Y ) ) = ( X .+ ( Y .+ X ) ) )
59	12, 13	lmodvacl 13397	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ Y e. V /\ X e. V ) -> ( Y .+ X ) e. V )
60	59	3com23 1209	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( Y .+ X ) e. V )
61	12, 13	lmodlcan 13399	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( X .+ Y ) e. V /\ ( Y .+ X ) e. V /\ X e. V ) ) -> ( ( X .+ ( X .+ Y ) ) = ( X .+ ( Y .+ X ) ) <-> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) ) )
62	1, 17, 60, 10, 61	syl13anc 1240	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( X .+ ( X .+ Y ) ) = ( X .+ ( Y .+ X ) ) <-> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) ) )
63	58, 62	mpbid 147	1 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   Basecbs 12464   +g cplusg 12538  Scalarcsca 12541   .scvsca 12542   Grpcgrp 12882   1rcur 13147   LModclmod 13382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-ltxr 7999  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-5 8983  df-6 8984  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-sets 12471  df-plusg 12551  df-mulr 12552  df-sca 12554  df-vsca 12555  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-grp 12885  df-minusg 12886  df-mgp 13136  df-ur 13148  df-ring 13186  df-lmod 13384

This theorem is referenced by:  lmodabl  13429  lssvsubcl  13457  lssvancl2  13459