Theorem lmodcom 14312

Description: Left module vector sum is commutative. (Contributed by Gérard Lang, 25-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodcom.v	|- V = ( Base ` W )
lmodcom.a	|- .+ = ( +g ` W )

Assertion

Ref	Expression
lmodcom	|- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) )

Proof of Theorem lmodcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1021	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> W e. LMod )
2		eqid 2229	. . . . . . . . . . 11 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
3		eqid 2229	. . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
4		eqid 2229	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1r ` (Scalar ` W ) ) = ( 1r ` (Scalar ` W ) )
5	2, 3, 4	lmod1cl 14294	. . . . . . . . . 10 |- ( W e. LMod -> ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
6	1, 5	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
7		eqid 2229	. . . . . . . . . 10 |- ( +g ` (Scalar ` W ) ) = ( +g ` (Scalar ` W ) )
8	2, 3, 7	lmodacl 14278	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. LMod /\ ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) -> ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
9	1, 6, 6, 8	syl3anc 1271	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
10		simp2 1022	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> X e. V )
11		simp3 1023	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> Y e. V )
12		lmodcom.v	. . . . . . . . 9 |- V = ( Base ` W )
13		lmodcom.a	. . . . . . . . 9 |- .+ = ( +g ` W )
14		eqid 2229	. . . . . . . . 9 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
15	12, 13, 2, 14, 3	lmodvsdi 14290	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) = ( ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) .+ ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) ) )
16	1, 9, 10, 11, 15	syl13anc 1273	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) = ( ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) .+ ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) ) )
17	12, 13	lmodvacl 14281	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( X .+ Y ) e. V )
18	12, 13, 2, 14, 3, 7	lmodvsdir 14291	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X .+ Y ) e. V ) ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) = ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) .+ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) ) )
19	1, 6, 6, 17, 18	syl13anc 1273	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) = ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) .+ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) ) )
20	16, 19	eqtr3d 2264	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) .+ ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) ) = ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) .+ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) ) )
21	12, 13, 2, 14, 3, 7	lmodvsdir 14291	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ X e. V ) ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) = ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) X ) .+ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) X ) ) )
22	1, 6, 6, 10, 21	syl13anc 1273	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) = ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) X ) .+ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) X ) ) )
23	12, 2, 14, 4	lmodvs1 14295	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) X ) = X )
24	1, 10, 23	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) X ) = X )
25	24, 24	oveq12d 6025	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) X ) .+ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) X ) ) = ( X .+ X ) )
26	22, 25	eqtrd 2262	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) = ( X .+ X ) )
27	12, 13, 2, 14, 3, 7	lmodvsdir 14291	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ Y e. V ) ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) = ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) .+ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) ) )
28	1, 6, 6, 11, 27	syl13anc 1273	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) = ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) .+ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) ) )
29	12, 2, 14, 4	lmodvs1 14295	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. LMod /\ Y e. V ) -> ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) = Y )
30	1, 11, 29	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) = Y )
31	30, 30	oveq12d 6025	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) .+ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) ) = ( Y .+ Y ) )
32	28, 31	eqtrd 2262	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) = ( Y .+ Y ) )
33	26, 32	oveq12d 6025	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) .+ ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( +g ` (Scalar ` W ) ) ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) ) = ( ( X .+ X ) .+ ( Y .+ Y ) ) )
34	12, 2, 14, 4	lmodvs1 14295	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ ( X .+ Y ) e. V ) -> ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) = ( X .+ Y ) )
35	1, 17, 34	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) = ( X .+ Y ) )
36	35, 35	oveq12d 6025	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) .+ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) ( X .+ Y ) ) ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( X .+ Y ) ) )
37	20, 33, 36	3eqtr3d 2270	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( X .+ X ) .+ ( Y .+ Y ) ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( X .+ Y ) ) )
38	12, 13	lmodvacl 14281	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ X e. V ) -> ( X .+ X ) e. V )
39	1, 10, 10, 38	syl3anc 1271	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( X .+ X ) e. V )
40	12, 13	lmodass 14282	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( X .+ X ) e. V /\ Y e. V /\ Y e. V ) ) -> ( ( ( X .+ X ) .+ Y ) .+ Y ) = ( ( X .+ X ) .+ ( Y .+ Y ) ) )
41	1, 39, 11, 11, 40	syl13anc 1273	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( X .+ X ) .+ Y ) .+ Y ) = ( ( X .+ X ) .+ ( Y .+ Y ) ) )
42	12, 13	lmodass 14282	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( X .+ Y ) e. V /\ X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( ( ( X .+ Y ) .+ X ) .+ Y ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( X .+ Y ) ) )
43	1, 17, 10, 11, 42	syl13anc 1273	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( X .+ Y ) .+ X ) .+ Y ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( X .+ Y ) ) )
44	37, 41, 43	3eqtr4d 2272	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( X .+ X ) .+ Y ) .+ Y ) = ( ( ( X .+ Y ) .+ X ) .+ Y ) )
45		lmodgrp 14273	. . . . . 6 |- ( W e. LMod -> W e. Grp )
46	1, 45	syl 14	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> W e. Grp )
47	12, 13	lmodvacl 14281	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( X .+ X ) e. V /\ Y e. V ) -> ( ( X .+ X ) .+ Y ) e. V )
48	1, 39, 11, 47	syl3anc 1271	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( X .+ X ) .+ Y ) e. V )
49	12, 13	lmodvacl 14281	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( X .+ Y ) e. V /\ X e. V ) -> ( ( X .+ Y ) .+ X ) e. V )
50	1, 17, 10, 49	syl3anc 1271	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( X .+ Y ) .+ X ) e. V )
51	12, 13	grprcan 13585	. . . . 5 |- ( ( W e. Grp /\ ( ( ( X .+ X ) .+ Y ) e. V /\ ( ( X .+ Y ) .+ X ) e. V /\ Y e. V ) ) -> ( ( ( ( X .+ X ) .+ Y ) .+ Y ) = ( ( ( X .+ Y ) .+ X ) .+ Y ) <-> ( ( X .+ X ) .+ Y ) = ( ( X .+ Y ) .+ X ) ) )
52	46, 48, 50, 11, 51	syl13anc 1273	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( ( X .+ X ) .+ Y ) .+ Y ) = ( ( ( X .+ Y ) .+ X ) .+ Y ) <-> ( ( X .+ X ) .+ Y ) = ( ( X .+ Y ) .+ X ) ) )
53	44, 52	mpbid 147	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( X .+ X ) .+ Y ) = ( ( X .+ Y ) .+ X ) )
54	12, 13	lmodass 14282	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( X e. V /\ X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( ( X .+ X ) .+ Y ) = ( X .+ ( X .+ Y ) ) )
55	1, 10, 10, 11, 54	syl13anc 1273	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( X .+ X ) .+ Y ) = ( X .+ ( X .+ Y ) ) )
56	12, 13	lmodass 14282	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( X e. V /\ Y e. V /\ X e. V ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ X ) = ( X .+ ( Y .+ X ) ) )
57	1, 10, 11, 10, 56	syl13anc 1273	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( X .+ Y ) .+ X ) = ( X .+ ( Y .+ X ) ) )
58	53, 55, 57	3eqtr3d 2270	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( X .+ ( X .+ Y ) ) = ( X .+ ( Y .+ X ) ) )
59	12, 13	lmodvacl 14281	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ Y e. V /\ X e. V ) -> ( Y .+ X ) e. V )
60	59	3com23 1233	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( Y .+ X ) e. V )
61	12, 13	lmodlcan 14283	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( X .+ Y ) e. V /\ ( Y .+ X ) e. V /\ X e. V ) ) -> ( ( X .+ ( X .+ Y ) ) = ( X .+ ( Y .+ X ) ) <-> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) ) )
62	1, 17, 60, 10, 61	syl13anc 1273	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( X .+ ( X .+ Y ) ) = ( X .+ ( Y .+ X ) ) <-> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) ) )
63	58, 62	mpbid 147	1 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   Basecbs 13047   +g cplusg 13125  Scalarcsca 13128   .scvsca 13129   Grpcgrp 13548   1rcur 13937   LModclmod 14266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-ltxr 8197  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-5 9183  df-6 9184  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-base 13053  df-sets 13054  df-plusg 13138  df-mulr 13139  df-sca 13141  df-vsca 13142  df-0g 13306  df-mgm 13404  df-sgrp 13450  df-mnd 13465  df-grp 13551  df-minusg 13552  df-mgp 13899  df-ur 13938  df-ring 13976  df-lmod 14268

This theorem is referenced by:  lmodabl  14313  lssvsubcl  14345  lssvancl2  14347