Theorem lmodass 13802

Description: Left module vector sum is associative. (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvacl.v	|- V = ( Base ` W )
lmodvacl.a	|- .+ = ( +g ` W )

Assertion

Ref	Expression
lmodass	|- ( ( W e. LMod /\ ( X e. V /\ Y e. V /\ Z e. V ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ Z ) = ( X .+ ( Y .+ Z ) ) )

Proof of Theorem lmodass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodgrp 13793	. 2 |- ( W e. LMod -> W e. Grp )
2		lmodvacl.v	. . 3 |- V = ( Base ` W )
3		lmodvacl.a	. . 3 |- .+ = ( +g ` W )
4	2, 3	grpass 13084	. 2 |- ( ( W e. Grp /\ ( X e. V /\ Y e. V /\ Z e. V ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ Z ) = ( X .+ ( Y .+ Z ) ) )
5	1, 4	sylan 283	1 |- ( ( W e. LMod /\ ( X e. V /\ Y e. V /\ Z e. V ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ Z ) = ( X .+ ( Y .+ Z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   Basecbs 12621   +g cplusg 12698   Grpcgrp 13075   LModclmod 13786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263  df-ov 5922  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-plusg 12711  df-mulr 12712  df-sca 12714  df-vsca 12715  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-grp 13078  df-lmod 13788

This theorem is referenced by:  lmodvneg1  13829  lmodcom  13832