Theorem lmodvnegid 14091

Description: Addition of a vector with its negative. (Contributed by NM, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvnegid.v	|- V = ( Base ` W )
lmodvnegid.p	|- .+ = ( +g ` W )
lmodvnegid.z	|- .0. = ( 0g ` W )
lmodvnegid.n	|- N = ( invg ` W )

Assertion

Ref	Expression
lmodvnegid	|- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( X .+ ( N ` X ) ) = .0. )

Proof of Theorem lmodvnegid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodgrp 14056	. 2 |- ( W e. LMod -> W e. Grp )
2		lmodvnegid.v	. . 3 |- V = ( Base ` W )
3		lmodvnegid.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` W )
4		lmodvnegid.z	. . 3 |- .0. = ( 0g ` W )
5		lmodvnegid.n	. . 3 |- N = ( invg ` W )
6	2, 3, 4, 5	grprinv 13383	. 2 |- ( ( W e. Grp /\ X e. V ) -> ( X .+ ( N ` X ) ) = .0. )
7	1, 6	sylan 283	1 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( X .+ ( N ` X ) ) = .0. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   Basecbs 12832   +g cplusg 12909   0gc0g 13088   Grpcgrp 13332   invgcminusg 13333   LModclmod 14049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1re 8019  ax-addrcl 8022

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-5 9098  df-6 9099  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-plusg 12922  df-mulr 12923  df-sca 12925  df-vsca 12926  df-0g 13090  df-mgm 13188  df-sgrp 13234  df-mnd 13249  df-grp 13335  df-minusg 13336  df-lmod 14051

This theorem is referenced by:  lmodvneg1  14092