Theorem lmodvnegid 13638

Description: Addition of a vector with its negative. (Contributed by NM, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvnegid.v	|- V = ( Base ` W )
lmodvnegid.p	|- .+ = ( +g ` W )
lmodvnegid.z	|- .0. = ( 0g ` W )
lmodvnegid.n	|- N = ( invg ` W )

Assertion

Ref	Expression
lmodvnegid	|- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( X .+ ( N ` X ) ) = .0. )

Proof of Theorem lmodvnegid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodgrp 13603	. 2 |- ( W e. LMod -> W e. Grp )
2		lmodvnegid.v	. . 3 |- V = ( Base ` W )
3		lmodvnegid.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` W )
4		lmodvnegid.z	. . 3 |- .0. = ( 0g ` W )
5		lmodvnegid.n	. . 3 |- N = ( invg ` W )
6	2, 3, 4, 5	grprinv 12988	. 2 |- ( ( W e. Grp /\ X e. V ) -> ( X .+ ( N ` X ) ) = .0. )
7	1, 6	sylan 283	1 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( X .+ ( N ` X ) ) = .0. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   ` cfv 5232  (class class class)co 5892   Basecbs 12507   +g cplusg 12582   0gc0g 12754   Grpcgrp 12938   invgcminusg 12939   LModclmod 13596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-cnex 7927  ax-resscn 7928  ax-1re 7930  ax-addrcl 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-inn 8945  df-2 9003  df-3 9004  df-4 9005  df-5 9006  df-6 9007  df-ndx 12510  df-slot 12511  df-base 12513  df-plusg 12595  df-mulr 12596  df-sca 12598  df-vsca 12599  df-0g 12756  df-mgm 12825  df-sgrp 12858  df-mnd 12871  df-grp 12941  df-minusg 12942  df-lmod 13598

This theorem is referenced by:  lmodvneg1  13639