Theorem lmodvnegid 13803

Description: Addition of a vector with its negative. (Contributed by NM, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvnegid.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvnegid.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lmodvnegid.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lmodvnegid.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmodvnegid	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 + (𝑁‘𝑋)) = 0 )

Proof of Theorem lmodvnegid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodgrp 13768	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
2		lmodvnegid.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lmodvnegid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑊)
4		lmodvnegid.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
5		lmodvnegid.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
6	2, 3, 4, 5	grprinv 13110	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 + (𝑁‘𝑋)) = 0 )
7	1, 6	sylan 283	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 + (𝑁‘𝑋)) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ‘cfv 5246  (class class class)co 5910  Basecbs 12605  +_gcplusg 12682  0_gc0g 12854  Grpcgrp 13059  inv_gcminusg 13060  LModclmod 13761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1re 7956  ax-addrcl 7959

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4322  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-f1 5251  df-fo 5252  df-f1o 5253  df-fv 5254  df-riota 5865  df-ov 5913  df-inn 8973  df-2 9031  df-3 9032  df-4 9033  df-5 9034  df-6 9035  df-ndx 12608  df-slot 12609  df-base 12611  df-plusg 12695  df-mulr 12696  df-sca 12698  df-vsca 12699  df-0g 12856  df-mgm 12926  df-sgrp 12972  df-mnd 12985  df-grp 13062  df-minusg 13063  df-lmod 13763

This theorem is referenced by:  lmodvneg1  13804