Theorem lmodvnegcl 14749

Description: Closure of vector negative. (Contributed by NM, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvnegcl.v	|- V = ( Base ` W )
lmodvnegcl.n	|- N = ( invg ` W )

Assertion

Ref	Expression
lmodvnegcl	|- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` X ) e. V )

Proof of Theorem lmodvnegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodgrp 14714	. 2 |- ( W e. LMod -> W e. Grp )
2		lmodvnegcl.v	. . 3 |- V = ( Base ` W )
3		lmodvnegcl.n	. . 3 |- N = ( invg ` W )
4	2, 3	grpinvcl 13906	. 2 |- ( ( W e. Grp /\ X e. V ) -> ( N ` X ) e. V )
5	1, 4	sylan 283	1 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` X ) e. V )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5377   Basecbs 13404   Grpcgrp 13858   invgcminusg 13859   LModclmod 14707

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1re 8274  ax-addrcl 8277

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-5 9369  df-6 9370  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-0g 13665  df-mgm 13729  df-sgrp 13770  df-mnd 13783  df-grp 13861  df-minusg 13862  df-lmod 14709

This theorem is used by:  lmodvneg1  14751  lspsnneg  14841