Theorem lmodvnegcl 14493

Description: Closure of vector negative. (Contributed by NM, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvnegcl.v	|- V = ( Base ` W )
lmodvnegcl.n	|- N = ( invg ` W )

Assertion

Ref	Expression
lmodvnegcl	|- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` X ) e. V )

Proof of Theorem lmodvnegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodgrp 14459	. 2 |- ( W e. LMod -> W e. Grp )
2		lmodvnegcl.v	. . 3 |- V = ( Base ` W )
3		lmodvnegcl.n	. . 3 |- N = ( invg ` W )
4	2, 3	grpinvcl 13778	. 2 |- ( ( W e. Grp /\ X e. V ) -> ( N ` X ) e. V )
5	1, 4	sylan 283	1 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` X ) e. V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   ` cfv 5354   Basecbs 13229   Grpcgrp 13730   invgcminusg 13731   LModclmod 14452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1re 8223  ax-addrcl 8226

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-4 9300  df-5 9301  df-6 9302  df-ndx 13232  df-slot 13233  df-base 13235  df-plusg 13320  df-mulr 13321  df-sca 13323  df-vsca 13324  df-0g 13488  df-mgm 13586  df-sgrp 13632  df-mnd 13647  df-grp 13733  df-minusg 13734  df-lmod 14454

This theorem is referenced by:  lmodvneg1  14495  lspsnneg  14585