Theorem mapm 6974

Description: Set exponentiation is inhabited if the base is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Oct-2026.)

Assertion

Ref	Expression
mapm	|- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. A ) -> E. x x e. ( A ^m B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, C

Allowed substitution hints:   V( x)   W( x)

Proof of Theorem mapm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstg 5592	. . . . 5 |- ( C e. A -> ( B X. { C } ) : B --> { C } )
2	1	3ad2ant3 1051	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. A ) -> ( B X. { C } ) : B --> { C } )
3		simp3 1030	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. A ) -> C e. A )
4	3	snssd 3860	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. A ) -> { C } C_ A )
5	2, 4	fssd 5550	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. A ) -> ( B X. { C } ) : B --> A )
6		simp1 1028	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. A ) -> A e. V )
7		simp2 1029	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. A ) -> B e. W )
8	6, 7	elmapd 6940	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. A ) -> ( ( B X. { C } ) e. ( A ^m B ) <-> ( B X. { C } ) : B --> A ) )
9	5, 8	mpbird 167	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. A ) -> ( B X. { C } ) e. ( A ^m B ) )
10		elex2 2838	. 2 |- ( ( B X. { C } ) e. ( A ^m B ) -> E. x x e. ( A ^m B ) )
11	9, 10	syl 14	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. A ) -> E. x x e. ( A ^m B ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ w3a 1009   E.wex 1545   e. wcel 2209   {csn 3709   X. cxp 4774   -->wf 5376  (class class class)co 6088   ^m cmap 6926

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-map 6928

This theorem is used by: (None)