Theorem snssd 3768

Description: The singleton of an element of a class is a subset of the class (deduction form). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
snssd.1	|- ( ph -> A e. B )

Assertion

Ref	Expression
snssd	|- ( ph -> { A } C_ B )

Proof of Theorem snssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssd.1	. 2 |- ( ph -> A e. B )
2		snssg 3757	. . 3 |- ( A e. B -> ( A e. B <-> { A } C_ B ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( A e. B <-> { A } C_ B ) )
4	1, 3	mpbid 147	1 |- ( ph -> { A } C_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2167   C_ wss 3157   {csn 3623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3629

This theorem is referenced by:  pwntru  4233  ecinxp  6670  xpdom3m  6894  ac6sfi  6960  undifdc  6986  iunfidisj  7013  fidcenumlemr  7022  ssfii  7041  en2other2  7265  un0addcl  9284  un0mulcl  9285  fseq1p1m1  10171  fsumge1  11628  fprodsplit1f  11801  bitsinv1  12129  phicl2  12392  ennnfonelemhf1o  12640  imasaddfnlemg  12967  imasaddflemg  12969  0subm  13126  gsumvallem2  13135  trivsubgd  13340  trivsubgsnd  13341  trivnsgd  13357  kerf1ghm  13414  lsssn0  13936  lss0ss  13937  lsptpcl  13960  lspsnvsi  13984  lspun0  13991  mulgrhm2  14176  zndvds  14215  rest0  14425  iscnp4  14464  cnconst2  14479  cnpdis  14488  txdis  14523  txdis1cn  14524  fsumcncntop  14813  dvef  14973  plyf  14983  elplyr  14986  elplyd  14987  ply1term  14989  plyaddlem  14995  plymullem  14996  plycolemc  15004  plycn  15008  dvply2g  15012  perfectlem2  15246  bj-omtrans  15612  pwtrufal  15652