Theorem snssd 3813

Description: The singleton of an element of a class is a subset of the class (deduction form). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
snssd.1	|- ( ph -> A e. B )

Assertion

Ref	Expression
snssd	|- ( ph -> { A } C_ B )

Proof of Theorem snssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssd.1	. 2 |- ( ph -> A e. B )
2		snssg 3802	. . 3 |- ( A e. B -> ( A e. B <-> { A } C_ B ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( A e. B <-> { A } C_ B ) )
4	1, 3	mpbid 147	1 |- ( ph -> { A } C_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2200   C_ wss 3197   {csn 3666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-in 3203  df-ss 3210  df-sn 3672

This theorem is referenced by:  pwntru  4283  ecinxp  6757  xpdom3m  6993  ac6sfi  7060  undifdc  7086  iunfidisj  7113  fidcenumlemr  7122  ssfii  7141  en2other2  7374  pw1m  7409  un0addcl  9402  un0mulcl  9403  fseq1p1m1  10290  fsumge1  11972  fprodsplit1f  12145  bitsinv1  12473  phicl2  12736  ennnfonelemhf1o  12984  imasaddfnlemg  13347  imasaddflemg  13349  0subm  13517  gsumvallem2  13526  trivsubgd  13737  trivsubgsnd  13738  trivnsgd  13754  kerf1ghm  13811  lsssn0  14334  lss0ss  14335  lsptpcl  14358  lspsnvsi  14382  lspun0  14389  mulgrhm2  14574  zndvds  14613  rest0  14853  iscnp4  14892  cnconst2  14907  cnpdis  14916  txdis  14951  txdis1cn  14952  fsumcncntop  15241  dvef  15401  plyf  15411  elplyr  15414  elplyd  15415  ply1term  15417  plyaddlem  15423  plymullem  15424  plycolemc  15432  plycn  15436  dvply2g  15440  perfectlem2  15674  upgr1elem1  15920  bj-omtrans  16319  pwtrufal  16363