Theorem snssd 3752

Description: The singleton of an element of a class is a subset of the class (deduction form). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
snssd.1	|- ( ph -> A e. B )

Assertion

Ref	Expression
snssd	|- ( ph -> { A } C_ B )

Proof of Theorem snssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssd.1	. 2 |- ( ph -> A e. B )
2		snssg 3741	. . 3 |- ( A e. B -> ( A e. B <-> { A } C_ B ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( A e. B <-> { A } C_ B ) )
4	1, 3	mpbid 147	1 |- ( ph -> { A } C_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2160   C_ wss 3144   {csn 3607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-v 2754  df-in 3150  df-ss 3157  df-sn 3613

This theorem is referenced by:  pwntru  4217  ecinxp  6636  xpdom3m  6860  ac6sfi  6926  undifdc  6952  iunfidisj  6975  fidcenumlemr  6984  ssfii  7003  en2other2  7225  un0addcl  9239  un0mulcl  9240  fseq1p1m1  10124  fsumge1  11501  fprodsplit1f  11674  phicl2  12246  ennnfonelemhf1o  12464  imasaddfnlemg  12791  imasaddflemg  12793  0subm  12936  trivsubgd  13139  trivsubgsnd  13140  trivnsgd  13156  kerf1ghm  13213  lsssn0  13686  lss0ss  13687  lsptpcl  13710  lspsnvsi  13734  lspun0  13741  mulgrhm2  13908  rest0  14136  iscnp4  14175  cnconst2  14190  cnpdis  14199  txdis  14234  txdis1cn  14235  fsumcncntop  14513  dvef  14645  bj-omtrans  15166  pwtrufal  15206