Theorem snssd 3818

Description: The singleton of an element of a class is a subset of the class (deduction form). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
snssd.1	|- ( ph -> A e. B )

Assertion

Ref	Expression
snssd	|- ( ph -> { A } C_ B )

Proof of Theorem snssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssd.1	. 2 |- ( ph -> A e. B )
2		snssg 3807	. . 3 |- ( A e. B -> ( A e. B <-> { A } C_ B ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( A e. B <-> { A } C_ B ) )
4	1, 3	mpbid 147	1 |- ( ph -> { A } C_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2202   C_ wss 3200   {csn 3669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-v 2804  df-in 3206  df-ss 3213  df-sn 3675

This theorem is referenced by:  pwntru  4289  ecinxp  6779  xpdom3m  7018  ac6sfi  7087  undifdc  7116  iunfidisj  7145  fidcenumlemr  7154  ssfii  7173  en2other2  7407  pw1m  7442  un0addcl  9435  un0mulcl  9436  fseq1p1m1  10329  fsumge1  12040  fprodsplit1f  12213  bitsinv1  12541  phicl2  12804  ennnfonelemhf1o  13052  imasaddfnlemg  13415  imasaddflemg  13417  0subm  13585  gsumvallem2  13594  trivsubgd  13805  trivsubgsnd  13806  trivnsgd  13822  kerf1ghm  13879  lsssn0  14403  lss0ss  14404  lsptpcl  14427  lspsnvsi  14451  lspun0  14458  mulgrhm2  14643  zndvds  14682  rest0  14922  iscnp4  14961  cnconst2  14976  cnpdis  14985  txdis  15020  txdis1cn  15021  fsumcncntop  15310  dvef  15470  plyf  15480  elplyr  15483  elplyd  15484  ply1term  15486  plyaddlem  15492  plymullem  15493  plycolemc  15501  plycn  15505  dvply2g  15509  perfectlem2  15743  upgr1elem1  15990  bj-omtrans  16602  pwtrufal  16649  gfsumcl  16739