Theorem snssd 3778

Description: The singleton of an element of a class is a subset of the class (deduction form). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
snssd.1	|- ( ph -> A e. B )

Assertion

Ref	Expression
snssd	|- ( ph -> { A } C_ B )

Proof of Theorem snssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssd.1	. 2 |- ( ph -> A e. B )
2		snssg 3767	. . 3 |- ( A e. B -> ( A e. B <-> { A } C_ B ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( A e. B <-> { A } C_ B ) )
4	1, 3	mpbid 147	1 |- ( ph -> { A } C_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2176   C_ wss 3166   {csn 3633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-v 2774  df-in 3172  df-ss 3179  df-sn 3639

This theorem is referenced by:  pwntru  4244  ecinxp  6699  xpdom3m  6931  ac6sfi  6997  undifdc  7023  iunfidisj  7050  fidcenumlemr  7059  ssfii  7078  en2other2  7306  un0addcl  9330  un0mulcl  9331  fseq1p1m1  10218  fsumge1  11805  fprodsplit1f  11978  bitsinv1  12306  phicl2  12569  ennnfonelemhf1o  12817  imasaddfnlemg  13179  imasaddflemg  13181  0subm  13349  gsumvallem2  13358  trivsubgd  13569  trivsubgsnd  13570  trivnsgd  13586  kerf1ghm  13643  lsssn0  14165  lss0ss  14166  lsptpcl  14189  lspsnvsi  14213  lspun0  14220  mulgrhm2  14405  zndvds  14444  rest0  14684  iscnp4  14723  cnconst2  14738  cnpdis  14747  txdis  14782  txdis1cn  14783  fsumcncntop  15072  dvef  15232  plyf  15242  elplyr  15245  elplyd  15246  ply1term  15248  plyaddlem  15254  plymullem  15255  plycolemc  15263  plycn  15267  dvply2g  15271  perfectlem2  15505  bj-omtrans  15929  pwtrufal  15971