Theorem snssd 3789

Description: The singleton of an element of a class is a subset of the class (deduction form). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
snssd.1	|- ( ph -> A e. B )

Assertion

Ref	Expression
snssd	|- ( ph -> { A } C_ B )

Proof of Theorem snssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssd.1	. 2 |- ( ph -> A e. B )
2		snssg 3778	. . 3 |- ( A e. B -> ( A e. B <-> { A } C_ B ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( A e. B <-> { A } C_ B ) )
4	1, 3	mpbid 147	1 |- ( ph -> { A } C_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2178   C_ wss 3174   {csn 3643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-v 2778  df-in 3180  df-ss 3187  df-sn 3649

This theorem is referenced by:  pwntru  4259  ecinxp  6720  xpdom3m  6954  ac6sfi  7021  undifdc  7047  iunfidisj  7074  fidcenumlemr  7083  ssfii  7102  en2other2  7335  pw1m  7370  un0addcl  9363  un0mulcl  9364  fseq1p1m1  10251  fsumge1  11887  fprodsplit1f  12060  bitsinv1  12388  phicl2  12651  ennnfonelemhf1o  12899  imasaddfnlemg  13261  imasaddflemg  13263  0subm  13431  gsumvallem2  13440  trivsubgd  13651  trivsubgsnd  13652  trivnsgd  13668  kerf1ghm  13725  lsssn0  14247  lss0ss  14248  lsptpcl  14271  lspsnvsi  14295  lspun0  14302  mulgrhm2  14487  zndvds  14526  rest0  14766  iscnp4  14805  cnconst2  14820  cnpdis  14829  txdis  14864  txdis1cn  14865  fsumcncntop  15154  dvef  15314  plyf  15324  elplyr  15327  elplyd  15328  ply1term  15330  plyaddlem  15336  plymullem  15337  plycolemc  15345  plycn  15349  dvply2g  15353  perfectlem2  15587  upgr1elem1  15828  bj-omtrans  16091  pwtrufal  16136