Theorem snssd 3813

Description: The singleton of an element of a class is a subset of the class (deduction form). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
snssd.1	|- ( ph -> A e. B )

Assertion

Ref	Expression
snssd	|- ( ph -> { A } C_ B )

Proof of Theorem snssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssd.1	. 2 |- ( ph -> A e. B )
2		snssg 3802	. . 3 |- ( A e. B -> ( A e. B <-> { A } C_ B ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( A e. B <-> { A } C_ B ) )
4	1, 3	mpbid 147	1 |- ( ph -> { A } C_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2200   C_ wss 3197   {csn 3666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-in 3203  df-ss 3210  df-sn 3672

This theorem is referenced by:  pwntru  4283  ecinxp  6765  xpdom3m  7001  ac6sfi  7068  undifdc  7097  iunfidisj  7124  fidcenumlemr  7133  ssfii  7152  en2other2  7385  pw1m  7420  un0addcl  9413  un0mulcl  9414  fseq1p1m1  10302  fsumge1  11988  fprodsplit1f  12161  bitsinv1  12489  phicl2  12752  ennnfonelemhf1o  13000  imasaddfnlemg  13363  imasaddflemg  13365  0subm  13533  gsumvallem2  13542  trivsubgd  13753  trivsubgsnd  13754  trivnsgd  13770  kerf1ghm  13827  lsssn0  14350  lss0ss  14351  lsptpcl  14374  lspsnvsi  14398  lspun0  14405  mulgrhm2  14590  zndvds  14629  rest0  14869  iscnp4  14908  cnconst2  14923  cnpdis  14932  txdis  14967  txdis1cn  14968  fsumcncntop  15257  dvef  15417  plyf  15427  elplyr  15430  elplyd  15431  ply1term  15433  plyaddlem  15439  plymullem  15440  plycolemc  15448  plycn  15452  dvply2g  15456  perfectlem2  15690  upgr1elem1  15936  bj-omtrans  16402  pwtrufal  16450