Theorem snssd 3823

Description: The singleton of an element of a class is a subset of the class (deduction form). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
snssd.1	|- ( ph -> A e. B )

Assertion

Ref	Expression
snssd	|- ( ph -> { A } C_ B )

Proof of Theorem snssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssd.1	. 2 |- ( ph -> A e. B )
2		snssg 3812	. . 3 |- ( A e. B -> ( A e. B <-> { A } C_ B ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( A e. B <-> { A } C_ B ) )
4	1, 3	mpbid 147	1 |- ( ph -> { A } C_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2202   C_ wss 3201   {csn 3673

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-v 2805  df-in 3207  df-ss 3214  df-sn 3679

This theorem is referenced by:  pwntru  4295  ecinxp  6822  xpdom3m  7061  ac6sfi  7130  undifdc  7159  iunfidisj  7188  fidcenumlemr  7197  ssfii  7233  en2other2  7467  pw1m  7502  un0addcl  9494  un0mulcl  9495  fseq1p1m1  10391  fsumge1  12102  fprodsplit1f  12275  bitsinv1  12603  phicl2  12866  ennnfonelemhf1o  13114  imasaddfnlemg  13477  imasaddflemg  13479  0subm  13647  gsumvallem2  13656  trivsubgd  13867  trivsubgsnd  13868  trivnsgd  13884  kerf1ghm  13941  lsssn0  14466  lss0ss  14467  lsptpcl  14490  lspsnvsi  14514  lspun0  14521  mulgrhm2  14706  zndvds  14745  rest0  14990  iscnp4  15029  cnconst2  15044  cnpdis  15053  txdis  15088  txdis1cn  15089  fsumcncntop  15378  dvef  15538  plyf  15548  elplyr  15551  elplyd  15552  ply1term  15554  plyaddlem  15560  plymullem  15561  plycolemc  15569  plycn  15573  dvply2g  15577  perfectlem2  15814  upgr1elem1  16061  bj-omtrans  16672  pwtrufal  16719  gfsumcl  16816