Theorem snssd 3723

Description: The singleton of an element of a class is a subset of the class (deduction form). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
snssd.1	|- ( ph -> A e. B )

Assertion

Ref	Expression
snssd	|- ( ph -> { A } C_ B )

Proof of Theorem snssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssd.1	. 2 |- ( ph -> A e. B )
2		snssg 3714	. . 3 |- ( A e. B -> ( A e. B <-> { A } C_ B ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( A e. B <-> { A } C_ B ) )
4	1, 3	mpbid 146	1 |- ( ph -> { A } C_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   e. wcel 2141   C_ wss 3121   {csn 3581

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-v 2732  df-in 3127  df-ss 3134  df-sn 3587

This theorem is referenced by:  pwntru  4183  ecinxp  6584  xpdom3m  6808  ac6sfi  6872  undifdc  6897  iunfidisj  6919  fidcenumlemr  6928  ssfii  6947  en2other2  7160  un0addcl  9155  un0mulcl  9156  fseq1p1m1  10037  fsumge1  11411  fprodsplit1f  11584  phicl2  12155  ennnfonelemhf1o  12355  0subm  12689  rest0  12932  iscnp4  12971  cnconst2  12986  cnpdis  12995  txdis  13030  txdis1cn  13031  fsumcncntop  13309  dvef  13441  bj-omtrans  13951  pwtrufal  13990