Theorem elmapd 6896

Description: Deduction form of elmapg 6895. (Contributed by BJ, 11-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmapd.a	|- ( ph -> A e. V )
elmapd.b	|- ( ph -> B e. W )

Assertion

Ref	Expression
elmapd	|- ( ph -> ( C e. ( A ^m B ) <-> C : B --> A ) )

Proof of Theorem elmapd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapd.a	. 2 |- ( ph -> A e. V )
2		elmapd.b	. 2 |- ( ph -> B e. W )
3		elmapg 6895	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( C e. ( A ^m B ) <-> C : B --> A ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( C e. ( A ^m B ) <-> C : B --> A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2203   -->wf 5348  (class class class)co 6050   ^m cmap 6882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-map 6884

This theorem is referenced by:  elmapssres  6907  mapsnd  6923  mapss  6926  pw2f1odclem  7087  mapen  7099  mapxpen  7101  mapunen  7104  2omap  7269  fodjuf  7436  ismkvnex  7446  wrdval  11227  ptex  13477  ismhm  13674  psrelbas  14830  psraddcl  14835  psr0cl  14836  psrnegcl  14838  psr1clfi  14843  mplsubgfilemm  14853  mplsubgfilemcl  14854  cnpdis  15107  plycj  15626  bj-charfunbi  16581  pw1map  16769  nninfself  16791  isomninnlem  16814  trilpolemlt1  16825  iswomninnlem  16834  iswomni0  16836  ismkvnnlem  16837