Theorem elmapd 6830

Description: Deduction form of elmapg 6829. (Contributed by BJ, 11-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmapd.a	|- ( ph -> A e. V )
elmapd.b	|- ( ph -> B e. W )

Assertion

Ref	Expression
elmapd	|- ( ph -> ( C e. ( A ^m B ) <-> C : B --> A ) )

Proof of Theorem elmapd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapd.a	. 2 |- ( ph -> A e. V )
2		elmapd.b	. 2 |- ( ph -> B e. W )
3		elmapg 6829	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( C e. ( A ^m B ) <-> C : B --> A ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( C e. ( A ^m B ) <-> C : B --> A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2202   -->wf 5322  (class class class)co 6017   ^m cmap 6816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-map 6818

This theorem is referenced by:  elmapssres  6841  mapss  6859  pw2f1odclem  7019  mapen  7031  mapxpen  7033  fodjuf  7343  ismkvnex  7353  wrdval  11115  ptex  13346  ismhm  13543  psrelbas  14688  psraddcl  14693  psr0cl  14694  psrnegcl  14696  psr1clfi  14701  mplsubgfilemm  14711  mplsubgfilemcl  14712  cnpdis  14965  plycj  15484  bj-charfunbi  16406  2omap  16594  pw1map  16596  nninfself  16615  isomninnlem  16634  trilpolemlt1  16645  iswomninnlem  16653  iswomni0  16655  ismkvnnlem  16656