Theorem elmapd 6940

Description: Deduction form of elmapg 6939. (Contributed by BJ, 11-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmapd.a	|- ( ph -> A e. V )
elmapd.b	|- ( ph -> B e. W )

Assertion

Ref	Expression
elmapd	|- ( ph -> ( C e. ( A ^m B ) <-> C : B --> A ) )

Proof of Theorem elmapd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapd.a	. 2 |- ( ph -> A e. V )
2		elmapd.b	. 2 |- ( ph -> B e. W )
3		elmapg 6939	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( C e. ( A ^m B ) <-> C : B --> A ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 |- ( ph -> ( C e. ( A ^m B ) <-> C : B --> A ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2209   -->wf 5376  (class class class)co 6088   ^m cmap 6926

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-map 6928

This theorem is used by:  mapfset  6949  mapfoss  6951  elmapssres  6958  mapsnd  6974  mapss  6977  pw2f1odclem  7138  mapen  7150  mapxpen  7152  mapunen  7155  2omap  7324  fodjuf  7491  ismkvnex  7501  wrdval  11329  ptex  13677  ismhm  13827  psrbaglefifi  15172  psrelbas  15179  psraddcl  15184  psrmulclfilem  15189  psr0cl  15191  psrnegcl  15193  psr1clfi  15198  mplsubgfilemm  15214  mplsubgfilemcl  15215  cnpdis  15468  plycj  15987  bj-charfunbi  17042  pw1map  17230  nninfself  17262  isomninnlem  17285  trilpolemlt1  17297  iswomninnlem  17306  iswomni0  17308  ismkvnnlem  17309