Theorem mhmf 12717

Description: A monoid homomorphism is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhmf.b	|- B = ( Base ` S )
mhmf.c	|- C = ( Base ` T )

Assertion

Ref	Expression
mhmf	|- ( F e. ( S MndHom T ) -> F : B --> C )

Proof of Theorem mhmf

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhmf.b	. . . 4 |- B = ( Base ` S )
2		mhmf.c	. . . 4 |- C = ( Base ` T )
3		eqid 2175	. . . 4 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
4		eqid 2175	. . . 4 |- ( +g ` T ) = ( +g ` T )
5		eqid 2175	. . . 4 |- ( 0g ` S ) = ( 0g ` S )
6		eqid 2175	. . . 4 |- ( 0g ` T ) = ( 0g ` T )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ismhm 12714	. . 3 |- ( F e. ( S MndHom T ) <-> ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) /\ ( F : B --> C /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` T ) ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) ) )
8	7	simprbi 275	. 2 |- ( F e. ( S MndHom T ) -> ( F : B --> C /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` T ) ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) )
9	8	simp1d 1009	1 |- ( F e. ( S MndHom T ) -> F : B --> C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2146   A.wral 2453   -->wf 5204   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   Basecbs 12427   +g cplusg 12491   0gc0g 12625   Mndcmnd 12681   MndHom cmhm 12710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1re 7880  ax-addrcl 7883

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-fv 5216  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-map 6640  df-inn 8891  df-ndx 12430  df-slot 12431  df-base 12433  df-mhm 12712

This theorem is referenced by:  mhmf1o  12722  mhmco  12734  mhmima  12735  mhmeql  12736  mhmmulg  12882