Theorem mhmf 13037

Description: A monoid homomorphism is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhmf.b	|- B = ( Base ` S )
mhmf.c	|- C = ( Base ` T )

Assertion

Ref	Expression
mhmf	|- ( F e. ( S MndHom T ) -> F : B --> C )

Proof of Theorem mhmf

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhmf.b	. . . 4 |- B = ( Base ` S )
2		mhmf.c	. . . 4 |- C = ( Base ` T )
3		eqid 2193	. . . 4 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
4		eqid 2193	. . . 4 |- ( +g ` T ) = ( +g ` T )
5		eqid 2193	. . . 4 |- ( 0g ` S ) = ( 0g ` S )
6		eqid 2193	. . . 4 |- ( 0g ` T ) = ( 0g ` T )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ismhm 13033	. . 3 |- ( F e. ( S MndHom T ) <-> ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) /\ ( F : B --> C /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` T ) ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) ) )
8	7	simprbi 275	. 2 |- ( F e. ( S MndHom T ) -> ( F : B --> C /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` T ) ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) )
9	8	simp1d 1011	1 |- ( F e. ( S MndHom T ) -> F : B --> C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   -->wf 5250   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   Basecbs 12618   +g cplusg 12695   0gc0g 12867   Mndcmnd 12997   MndHom cmhm 13029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-map 6704  df-inn 8983  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-mhm 13031

This theorem is referenced by:  mhmf1o  13042  resmhm  13059  resmhm2  13060  resmhm2b  13061  mhmco  13062  mhmima  13063  mhmeql  13064  gsumwmhm  13070  mhmmulg  13233  ghmmhmb  13324  gsumfzmhm  13413  gsumfzmhm2  13414