Theorem mnd12g 13574

Description: Commutative/associative law for monoids, with an explicit commutativity hypothesis. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
mnd4g.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
mnd4g.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
mnd4g.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
mnd4g.4	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
mnd12g.5	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
mnd12g	⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) = (𝑌 + (𝑋 + 𝑍)))

Proof of Theorem mnd12g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnd12g.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
2	1	oveq1d 6043	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = ((𝑌 + 𝑋) + 𝑍))
3		mnd4g.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
4		mnd4g.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		mnd4g.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		mnd4g.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
7		mndcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8		mndcl.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
9	7, 8	mndass 13570	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
10	3, 4, 5, 6, 9	syl13anc 1276	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
11	7, 8	mndass 13570	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑌 + 𝑋) + 𝑍) = (𝑌 + (𝑋 + 𝑍)))
12	3, 5, 4, 6, 11	syl13anc 1276	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 + 𝑋) + 𝑍) = (𝑌 + (𝑋 + 𝑍)))
13	2, 10, 12	3eqtr3d 2272	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) = (𝑌 + (𝑋 + 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  Basecbs 13145  +_gcplusg 13223  Mndcmnd 13562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1re 8169  ax-addrcl 8172

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-ov 6031  df-inn 9186  df-2 9244  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-plusg 13236  df-sgrp 13548  df-mnd 13563

This theorem is referenced by:  mnd4g  13575  cmn12  13956