Theorem mnd12g 13375

Description: Commutative/associative law for monoids, with an explicit commutativity hypothesis. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
mnd4g.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
mnd4g.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
mnd4g.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
mnd4g.4	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
mnd12g.5	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
mnd12g	⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) = (𝑌 + (𝑋 + 𝑍)))

Proof of Theorem mnd12g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnd12g.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
2	1	oveq1d 5982	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = ((𝑌 + 𝑋) + 𝑍))
3		mnd4g.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
4		mnd4g.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		mnd4g.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		mnd4g.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
7		mndcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8		mndcl.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
9	7, 8	mndass 13371	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
10	3, 4, 5, 6, 9	syl13anc 1252	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
11	7, 8	mndass 13371	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑌 + 𝑋) + 𝑍) = (𝑌 + (𝑋 + 𝑍)))
12	3, 5, 4, 6, 11	syl13anc 1252	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 + 𝑋) + 𝑍) = (𝑌 + (𝑋 + 𝑍)))
13	2, 10, 12	3eqtr3d 2248	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) = (𝑌 + (𝑋 + 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  ‘cfv 5290  (class class class)co 5967  Basecbs 12947  +_gcplusg 13024  Mndcmnd 13363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1re 8054  ax-addrcl 8057

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-fv 5298  df-ov 5970  df-inn 9072  df-2 9130  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-plusg 13037  df-sgrp 13349  df-mnd 13364

This theorem is referenced by:  mnd4g  13376  cmn12  13757