Theorem mndbn0 13724

Description: The base set of a monoid is not empty. (It is also inhabited, as seen at mndidcl 13723). Statement in [Lang] p. 3. (Contributed by AV, 29-Dec-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
mndbn0.b	|- B = ( Base ` G )

Assertion

Ref	Expression
mndbn0	|- ( G e. Mnd -> B =/= (/) )

Proof of Theorem mndbn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndbn0.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		eqid 2238	. . 3 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
3	1, 2	mndidcl 13723	. 2 |- ( G e. Mnd -> ( 0g ` G ) e. B )
4	3	ne0d 3529	1 |- ( G e. Mnd -> B =/= (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   (/)c0 3520   ` cfv 5375   Basecbs 13333   0gc0g 13590   Mndcmnd 13709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1re 8266  ax-addrcl 8269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-fv 5383  df-riota 6031  df-ov 6081  df-inn 9287  df-2 9345  df-ndx 13336  df-slot 13337  df-base 13339  df-plusg 13424  df-0g 13592  df-mgm 13656  df-sgrp 13697  df-mnd 13710

This theorem is referenced by: (None)