Theorem hashfinmndnn 13465

Description: A finite monoid has positive integer size. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashfinmndnn.1	|- B = ( Base ` G )
hashfinmndnn.2	|- ( ph -> G e. Mnd )
hashfinmndnn.3	|- ( ph -> B e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
hashfinmndnn	|- ( ph -> (♯ ` B ) e. NN )

Proof of Theorem hashfinmndnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashfinmndnn.3	. . 3 |- ( ph -> B e. Fin )
2		hashcl 11003	. . 3 |- ( B e. Fin -> (♯ ` B ) e. NN0 )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> (♯ ` B ) e. NN0 )
4		hashfinmndnn.2	. . . . 5 |- ( ph -> G e. Mnd )
5		hashfinmndnn.1	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
6		eqid 2229	. . . . . 6 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
7	5, 6	mndidcl 13463	. . . . 5 |- ( G e. Mnd -> ( 0g ` G ) e. B )
8	4, 7	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( 0g ` G ) e. B )
9	8, 1	fihashelne0d 11019	. . 3 |- ( ph -> -. (♯ ` B ) = 0 )
10	9	neqned 2407	. 2 |- ( ph -> (♯ ` B ) =/= 0 )
11		elnnne0 9383	. 2 |- ( (♯ ` B ) e. NN <-> ( (♯ ` B ) e. NN0 /\ (♯ ` B ) =/= 0 ) )
12	3, 10, 11	sylanbrc 417	1 |- ( ph -> (♯ ` B ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   ` cfv 5318   Fincfn 6887   0cc0 7999   NNcn 9110   NN0cn0 9369  ♯chash 10997   Basecbs 13032   0gc0g 13289   Mndcmnd 13449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-recs 6451  df-frec 6537  df-1o 6562  df-er 6680  df-en 6888  df-dom 6889  df-fin 6890  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-2 9169  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-fz 10205  df-ihash 10998  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-plusg 13123  df-0g 13291  df-mgm 13389  df-sgrp 13435  df-mnd 13450

This theorem is referenced by:  hashfingrpnn  13569