Theorem hashfinmndnn 13264

Description: A finite monoid has positive integer size. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashfinmndnn.1	|- B = ( Base ` G )
hashfinmndnn.2	|- ( ph -> G e. Mnd )
hashfinmndnn.3	|- ( ph -> B e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
hashfinmndnn	|- ( ph -> (♯ ` B ) e. NN )

Proof of Theorem hashfinmndnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashfinmndnn.3	. . 3 |- ( ph -> B e. Fin )
2		hashcl 10926	. . 3 |- ( B e. Fin -> (♯ ` B ) e. NN0 )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> (♯ ` B ) e. NN0 )
4		hashfinmndnn.2	. . . . 5 |- ( ph -> G e. Mnd )
5		hashfinmndnn.1	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
6		eqid 2205	. . . . . 6 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
7	5, 6	mndidcl 13262	. . . . 5 |- ( G e. Mnd -> ( 0g ` G ) e. B )
8	4, 7	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( 0g ` G ) e. B )
9	8, 1	fihashelne0d 10942	. . 3 |- ( ph -> -. (♯ ` B ) = 0 )
10	9	neqned 2383	. 2 |- ( ph -> (♯ ` B ) =/= 0 )
11		elnnne0 9309	. 2 |- ( (♯ ` B ) e. NN <-> ( (♯ ` B ) e. NN0 /\ (♯ ` B ) =/= 0 ) )
12	3, 10, 11	sylanbrc 417	1 |- ( ph -> (♯ ` B ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2176   =/= wne 2376   ` cfv 5271   Fincfn 6827   0cc0 7925   NNcn 9036   NN0cn0 9295  ♯chash 10920   Basecbs 12832   0gc0g 13088   Mndcmnd 13248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-recs 6391  df-frec 6477  df-1o 6502  df-er 6620  df-en 6828  df-dom 6829  df-fin 6830  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-2 9095  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-fz 10131  df-ihash 10921  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-plusg 12922  df-0g 13090  df-mgm 13188  df-sgrp 13234  df-mnd 13249

This theorem is referenced by:  hashfingrpnn  13368