Theorem mndidcl 13295

Description: The identity element of a monoid belongs to the monoid. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndidcl.b	|- B = ( Base ` G )
mndidcl.o	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mndidcl	|- ( G e. Mnd -> .0. e. B )

Proof of Theorem mndidcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndidcl.b	. 2 |- B = ( Base ` G )
2		mndidcl.o	. 2 |- .0. = ( 0g ` G )
3		eqid 2205	. 2 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
4	1, 3	mndid 13290	. 2 |- ( G e. Mnd -> E. x e. B A. y e. B ( ( x ( +g ` G ) y ) = y /\ ( y ( +g ` G ) x ) = y ) )
5	1, 2, 3, 4	mgmidcl 13243	1 |- ( G e. Mnd -> .0. e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2176   ` cfv 5272   Basecbs 12865   +g cplusg 12942   0gc0g 13121   Mndcmnd 13281

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1re 8021  ax-addrcl 8024

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-inn 9039  df-2 9097  df-ndx 12868  df-slot 12869  df-base 12871  df-plusg 12955  df-0g 13123  df-mgm 13221  df-sgrp 13267  df-mnd 13282

This theorem is referenced by:  mndbn0  13296  hashfinmndnn  13297  mndpfo  13303  prdsidlem  13312  imasmnd  13318  idmhm  13334  mhmf1o  13335  issubmd  13339  submid  13342  0subm  13349  0mhm  13351  mhmco  13355  mhmeql  13357  gsumvallem2  13358  gsumfzz  13360  gsumfzcl  13364  dfgrp2  13392  grpidcl  13394  mhmid  13484  mhmmnd  13485  mulgnn0cl  13507  mulgnn0z  13518  gsumfzmptfidmadd  13708  srgidcl  13771  srg0cl  13772  ringidcl  13815