Theorem mndidcl 12723

Description: The identity element of a monoid belongs to the monoid. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndidcl.b	|- B = ( Base ` G )
mndidcl.o	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mndidcl	|- ( G e. Mnd -> .0. e. B )

Proof of Theorem mndidcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndidcl.b	. 2 |- B = ( Base ` G )
2		mndidcl.o	. 2 |- .0. = ( 0g ` G )
3		eqid 2177	. 2 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
4	1, 3	mndid 12718	. 2 |- ( G e. Mnd -> E. x e. B A. y e. B ( ( x ( +g ` G ) y ) = y /\ ( y ( +g ` G ) x ) = y ) )
5	1, 2, 3, 4	mgmidcl 12689	1 |- ( G e. Mnd -> .0. e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   ` cfv 5212   Basecbs 12445   +g cplusg 12518   0gc0g 12653   Mndcmnd 12709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1re 7896  ax-addrcl 7899

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-inn 8909  df-2 8967  df-ndx 12448  df-slot 12449  df-base 12451  df-plusg 12531  df-0g 12655  df-mgm 12667  df-sgrp 12700  df-mnd 12710

This theorem is referenced by:  mndbn0  12724  hashfinmndnn  12725  mndpfo  12731  idmhm  12750  mhmf1o  12751  issubmd  12755  submid  12758  0subm  12761  0mhm  12763  mhmco  12764  mhmeql  12766  dfgrp2  12792  grpidcl  12794  mhmid  12868  mhmmnd  12869  mulgnn0cl  12888  mulgnn0z  12898  srgidcl  12985  srg0cl  12986  ringidcl  13029