Theorem mndprop 12868

Description: If two structures have the same group components (properties), one is a monoid iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndprop.b	|- ( Base ` K ) = ( Base ` L )
mndprop.p	|- ( +g ` K ) = ( +g ` L )

Assertion

Ref	Expression
mndprop	|- ( K e. Mnd <-> L e. Mnd )

Proof of Theorem mndprop

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2190	. . 3 |- ( T. -> ( Base ` K ) = ( Base ` K ) )
2		mndprop.b	. . . 4 |- ( Base ` K ) = ( Base ` L )
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ( Base ` K ) = ( Base ` L ) )
4		mndprop.p	. . . . 5 |- ( +g ` K ) = ( +g ` L )
5	4	oveqi 5904	. . . 4 |- ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y )
6	5	a1i 9	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
7	1, 3, 6	mndpropd 12867	. 2 |- ( T. -> ( K e. Mnd <-> L e. Mnd ) )
8	7	mptru 1373	1 |- ( K e. Mnd <-> L e. Mnd )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   T. wtru 1365   e. wcel 2160   ` cfv 5231  (class class class)co 5891   Basecbs 12480   +g cplusg 12555   Mndcmnd 12843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1re 7923  ax-addrcl 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-fv 5239  df-ov 5894  df-inn 8938  df-2 8996  df-ndx 12483  df-slot 12484  df-base 12486  df-plusg 12568  df-mgm 12798  df-sgrp 12831  df-mnd 12844

This theorem is referenced by: (None)