Theorem issubmnd 13274

Description: Characterize a submonoid by closure properties. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubmnd.b	|- B = ( Base ` G )
issubmnd.p	|- .+ = ( +g ` G )
issubmnd.z	|- .0. = ( 0g ` G )
issubmnd.h	|- H = ( G ↾s S )

Assertion

Ref	Expression
issubmnd	|- ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) -> ( H e. Mnd <-> A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, G, y   x, H, y   x, .+ , y   x, S, y   x, .0. , y

Proof of Theorem issubmnd

Dummy variables v u w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ H e. Mnd ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> H e. Mnd )
2		simprl 529	. . . . . 6 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ H e. Mnd ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> x e. S )
3		issubmnd.h	. . . . . . . . 9 |- H = ( G ↾s S )
4	3	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) -> H = ( G ↾s S ) )
5		issubmnd.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` G )
6	5	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) -> B = ( Base ` G ) )
7		simp1 1000	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) -> G e. Mnd )
8		simp2 1001	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) -> S C_ B )
9	4, 6, 7, 8	ressbas2d 12900	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) -> S = ( Base ` H ) )
10	9	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ H e. Mnd ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> S = ( Base ` H ) )
11	2, 10	eleqtrd 2284	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ H e. Mnd ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> x e. ( Base ` H ) )
12		simprr 531	. . . . . 6 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ H e. Mnd ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> y e. S )
13	12, 10	eleqtrd 2284	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ H e. Mnd ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> y e. ( Base ` H ) )
14		eqid 2205	. . . . . 6 |- ( Base ` H ) = ( Base ` H )
15		eqid 2205	. . . . . 6 |- ( +g ` H ) = ( +g ` H )
16	14, 15	mndcl 13255	. . . . 5 |- ( ( H e. Mnd /\ x e. ( Base ` H ) /\ y e. ( Base ` H ) ) -> ( x ( +g ` H ) y ) e. ( Base ` H ) )
17	1, 11, 13, 16	syl3anc 1250	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ H e. Mnd ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x ( +g ` H ) y ) e. ( Base ` H ) )
18		issubmnd.p	. . . . . . . 8 |- .+ = ( +g ` G )
19	18	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) -> .+ = ( +g ` G ) )
20		basfn 12890	. . . . . . . . . . 11 |- Base Fn _V
21		elex 2783	. . . . . . . . . . 11 |- ( G e. Mnd -> G e. _V )
22		funfvex 5593	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun Base /\ G e. dom Base ) -> ( Base ` G ) e. _V )
23	22	funfni 5376	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Base Fn _V /\ G e. _V ) -> ( Base ` G ) e. _V )
24	20, 21, 23	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. Mnd -> ( Base ` G ) e. _V )
25	5, 24	eqeltrid 2292	. . . . . . . . 9 |- ( G e. Mnd -> B e. _V )
26	7, 25	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) -> B e. _V )
27	26, 8	ssexd 4184	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) -> S e. _V )
28	4, 19, 27, 7	ressplusgd 12961	. . . . . 6 |- ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) -> .+ = ( +g ` H ) )
29	28	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ H e. Mnd ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> .+ = ( +g ` H ) )
30	29	oveqd 5961	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ H e. Mnd ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( x ( +g ` H ) y ) )
31	17, 30, 10	3eltr4d 2289	. . 3 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ H e. Mnd ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
32	31	ralrimivva 2588	. 2 |- ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ H e. Mnd ) -> A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S )
33	9	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) -> S = ( Base ` H ) )
34	28	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) -> .+ = ( +g ` H ) )
35		ovrspc2v 5970	. . . . . 6 |- ( ( ( u e. S /\ v e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) -> ( u .+ v ) e. S )
36	35	ancoms 268	. . . . 5 |- ( ( A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( u e. S /\ v e. S ) ) -> ( u .+ v ) e. S )
37	36	3impb 1202	. . . 4 |- ( ( A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ u e. S /\ v e. S ) -> ( u .+ v ) e. S )
38	37	3adant1l 1233	. . 3 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) /\ u e. S /\ v e. S ) -> ( u .+ v ) e. S )
39		simpl1 1003	. . . 4 |- ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) -> G e. Mnd )
40		simpl2 1004	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) -> S C_ B )
41	40	sseld 3192	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) -> ( u e. S -> u e. B ) )
42	40	sseld 3192	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) -> ( v e. S -> v e. B ) )
43	40	sseld 3192	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) -> ( w e. S -> w e. B ) )
44	41, 42, 43	3anim123d 1332	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) -> ( ( u e. S /\ v e. S /\ w e. S ) -> ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) )
45	44	imp 124	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) /\ ( u e. S /\ v e. S /\ w e. S ) ) -> ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) )
46	5, 18	mndass 13256	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u .+ v ) .+ w ) = ( u .+ ( v .+ w ) ) )
47	39, 45, 46	syl2an2r 595	. . 3 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) /\ ( u e. S /\ v e. S /\ w e. S ) ) -> ( ( u .+ v ) .+ w ) = ( u .+ ( v .+ w ) ) )
48		simpl3 1005	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) -> .0. e. S )
49	40	sselda 3193	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) /\ u e. S ) -> u e. B )
50		issubmnd.z	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` G )
51	5, 18, 50	mndlid 13267	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ u e. B ) -> ( .0. .+ u ) = u )
52	39, 49, 51	syl2an2r 595	. . 3 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) /\ u e. S ) -> ( .0. .+ u ) = u )
53	5, 18, 50	mndrid 13268	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ u e. B ) -> ( u .+ .0. ) = u )
54	39, 49, 53	syl2an2r 595	. . 3 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) /\ u e. S ) -> ( u .+ .0. ) = u )
55	33, 34, 38, 47, 48, 52, 54	ismndd 13269	. 2 |- ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) -> H e. Mnd )
56	32, 55	impbida 596	1 |- ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) -> ( H e. Mnd <-> A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   _Vcvv 2772   C_ wss 3166   Fn wfn 5266   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   Basecbs 12832   ↾_s cress 12833   +g cplusg 12909   0gc0g 13088   Mndcmnd 13248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-ltxr 8112  df-inn 9037  df-2 9095  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-sets 12839  df-iress 12840  df-plusg 12922  df-0g 13090  df-mgm 13188  df-sgrp 13234  df-mnd 13249

This theorem is referenced by:  issubm2  13305