ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  issubmnd Unicode version

Theorem issubmnd 12843
Description: Characterize a submonoid by closure properties. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
issubmnd.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
issubmnd.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
issubmnd.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
issubmnd.h  |-  H  =  ( Gs  S )
Assertion
Ref Expression
issubmnd  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  ->  ( H  e.  Mnd  <->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
) )
Distinct variable groups:    x, y, B   
x, G, y    x, H, y    x,  .+ , y    x, S, y    x,  .0. , y

Proof of Theorem issubmnd
Dummy variables  v  u  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 528 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  H  e.  Mnd )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  ->  H  e.  Mnd )
2 simprl 529 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  H  e.  Mnd )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  ->  x  e.  S )
3 issubmnd.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( Gs  S )
43a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  ->  H  =  ( Gs  S ) )
5 issubmnd.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  G
)
65a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  ->  B  =  ( Base `  G
) )
7 simp1 997 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  ->  G  e.  Mnd )
8 simp2 998 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  ->  S  C_  B )
94, 6, 7, 8ressbas2d 12528 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  ->  S  =  ( Base `  H
) )
109ad2antrr 488 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  H  e.  Mnd )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  ->  S  =  ( Base `  H ) )
112, 10eleqtrd 2256 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  H  e.  Mnd )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  ->  x  e.  ( Base `  H ) )
12 simprr 531 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  H  e.  Mnd )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
y  e.  S )
1312, 10eleqtrd 2256 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  H  e.  Mnd )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
y  e.  ( Base `  H ) )
14 eqid 2177 . . . . . 6  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
15 eqid 2177 . . . . . 6  |-  ( +g  `  H )  =  ( +g  `  H )
1614, 15mndcl 12824 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  Mnd  /\  x  e.  ( Base `  H )  /\  y  e.  ( Base `  H
) )  ->  (
x ( +g  `  H
) y )  e.  ( Base `  H
) )
171, 11, 13, 16syl3anc 1238 . . . 4  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  H  e.  Mnd )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x ( +g  `  H ) y )  e.  ( Base `  H
) )
18 issubmnd.p . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  G )
1918a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  ->  .+  =  ( +g  `  G ) )
20 basfn 12520 . . . . . . . . . . 11  |-  Base  Fn  _V
21 elex 2749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Mnd  ->  G  e.  _V )
22 funfvex 5533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  Base  /\  G  e. 
dom  Base )  ->  ( Base `  G )  e. 
_V )
2322funfni 5317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
Base  Fn  _V  /\  G  e.  _V )  ->  ( Base `  G )  e. 
_V )
2420, 21, 23sylancr 414 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  Mnd  ->  ( Base `  G )  e. 
_V )
255, 24eqeltrid 2264 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  Mnd  ->  B  e.  _V )
267, 25syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  ->  B  e.  _V )
2726, 8ssexd 4144 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  ->  S  e.  _V )
284, 19, 27, 7ressplusgd 12587 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  ->  .+  =  ( +g  `  H ) )
2928ad2antrr 488 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  H  e.  Mnd )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  ->  .+  =  ( +g  `  H ) )
3029oveqd 5892 . . . 4  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  H  e.  Mnd )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( x ( +g  `  H
) y ) )
3117, 30, 103eltr4d 2261 . . 3  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  H  e.  Mnd )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
3231ralrimivva 2559 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  H  e.  Mnd )  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S )
339adantr 276 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S )  ->  S  =  ( Base `  H
) )
3428adantr 276 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S )  ->  .+  =  ( +g  `  H ) )
35 ovrspc2v 5901 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S
)  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)  ->  ( u  .+  v )  e.  S
)
3635ancoms 268 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
u  e.  S  /\  v  e.  S )
)  ->  ( u  .+  v )  e.  S
)
37363impb 1199 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S )  ->  (
u  .+  v )  e.  S )
38373adant1l 1230 . . 3  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S
)  ->  ( u  .+  v )  e.  S
)
39 simpl1 1000 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S )  ->  G  e.  Mnd )
40 simpl2 1001 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S )  ->  S  C_  B )
4140sseld 3155 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S )  ->  (
u  e.  S  ->  u  e.  B )
)
4240sseld 3155 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S )  ->  (
v  e.  S  -> 
v  e.  B ) )
4340sseld 3155 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S )  ->  (
w  e.  S  ->  w  e.  B )
)
4441, 42, 433anim123d 1319 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S )  ->  (
( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  w  e.  S
)  ->  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B ) ) )
4544imp 124 . . . 4  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  w  e.  S ) )  -> 
( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B
) )
465, 18mndass 12825 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
( u  .+  v
)  .+  w )  =  ( u  .+  ( v  .+  w
) ) )
4739, 45, 46syl2an2r 595 . . 3  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  w  e.  S ) )  -> 
( ( u  .+  v )  .+  w
)  =  ( u 
.+  ( v  .+  w ) ) )
48 simpl3 1002 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S )  ->  .0.  e.  S )
4940sselda 3156 . . . 4  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)  /\  u  e.  S )  ->  u  e.  B )
50 issubmnd.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
515, 18, 50mndlid 12836 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  u  e.  B )  ->  (  .0.  .+  u
)  =  u )
5239, 49, 51syl2an2r 595 . . 3  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)  /\  u  e.  S )  ->  (  .0.  .+  u )  =  u )
535, 18, 50mndrid 12837 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  u  e.  B )  ->  ( u  .+  .0.  )  =  u )
5439, 49, 53syl2an2r 595 . . 3  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)  /\  u  e.  S )  ->  (
u  .+  .0.  )  =  u )
5533, 34, 38, 47, 48, 52, 54ismndd 12838 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S )  ->  H  e.  Mnd )
5632, 55impbida 596 1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  ->  ( H  e.  Mnd  <->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   _Vcvv 2738    C_ wss 3130    Fn wfn 5212   ` cfv 5217  (class class class)co 5875   Basecbs 12462   ↾s cress 12463   +g cplusg 12536   0gc0g 12705   Mndcmnd 12817
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltadd 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-ltxr 7997  df-inn 8920  df-2 8978  df-ndx 12465  df-slot 12466  df-base 12468  df-sets 12469  df-iress 12470  df-plusg 12549  df-0g 12707  df-mgm 12775  df-sgrp 12808  df-mnd 12818
This theorem is referenced by:  issubm2  12864
  Copyright terms: Public domain W3C validator