Theorem issubmnd 13475

Description: Characterize a submonoid by closure properties. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubmnd.b	|- B = ( Base ` G )
issubmnd.p	|- .+ = ( +g ` G )
issubmnd.z	|- .0. = ( 0g ` G )
issubmnd.h	|- H = ( G ↾s S )

Assertion

Ref	Expression
issubmnd	|- ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) -> ( H e. Mnd <-> A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, G, y   x, H, y   x, .+ , y   x, S, y   x, .0. , y

Proof of Theorem issubmnd

Dummy variables v u w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ H e. Mnd ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> H e. Mnd )
2		simprl 529	. . . . . 6 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ H e. Mnd ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> x e. S )
3		issubmnd.h	. . . . . . . . 9 |- H = ( G ↾s S )
4	3	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) -> H = ( G ↾s S ) )
5		issubmnd.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` G )
6	5	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) -> B = ( Base ` G ) )
7		simp1 1021	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) -> G e. Mnd )
8		simp2 1022	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) -> S C_ B )
9	4, 6, 7, 8	ressbas2d 13101	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) -> S = ( Base ` H ) )
10	9	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ H e. Mnd ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> S = ( Base ` H ) )
11	2, 10	eleqtrd 2308	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ H e. Mnd ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> x e. ( Base ` H ) )
12		simprr 531	. . . . . 6 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ H e. Mnd ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> y e. S )
13	12, 10	eleqtrd 2308	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ H e. Mnd ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> y e. ( Base ` H ) )
14		eqid 2229	. . . . . 6 |- ( Base ` H ) = ( Base ` H )
15		eqid 2229	. . . . . 6 |- ( +g ` H ) = ( +g ` H )
16	14, 15	mndcl 13456	. . . . 5 |- ( ( H e. Mnd /\ x e. ( Base ` H ) /\ y e. ( Base ` H ) ) -> ( x ( +g ` H ) y ) e. ( Base ` H ) )
17	1, 11, 13, 16	syl3anc 1271	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ H e. Mnd ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x ( +g ` H ) y ) e. ( Base ` H ) )
18		issubmnd.p	. . . . . . . 8 |- .+ = ( +g ` G )
19	18	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) -> .+ = ( +g ` G ) )
20		basfn 13091	. . . . . . . . . . 11 |- Base Fn _V
21		elex 2811	. . . . . . . . . . 11 |- ( G e. Mnd -> G e. _V )
22		funfvex 5644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun Base /\ G e. dom Base ) -> ( Base ` G ) e. _V )
23	22	funfni 5423	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Base Fn _V /\ G e. _V ) -> ( Base ` G ) e. _V )
24	20, 21, 23	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. Mnd -> ( Base ` G ) e. _V )
25	5, 24	eqeltrid 2316	. . . . . . . . 9 |- ( G e. Mnd -> B e. _V )
26	7, 25	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) -> B e. _V )
27	26, 8	ssexd 4224	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) -> S e. _V )
28	4, 19, 27, 7	ressplusgd 13162	. . . . . 6 |- ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) -> .+ = ( +g ` H ) )
29	28	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ H e. Mnd ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> .+ = ( +g ` H ) )
30	29	oveqd 6018	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ H e. Mnd ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( x ( +g ` H ) y ) )
31	17, 30, 10	3eltr4d 2313	. . 3 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ H e. Mnd ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
32	31	ralrimivva 2612	. 2 |- ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ H e. Mnd ) -> A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S )
33	9	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) -> S = ( Base ` H ) )
34	28	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) -> .+ = ( +g ` H ) )
35		ovrspc2v 6027	. . . . . 6 |- ( ( ( u e. S /\ v e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) -> ( u .+ v ) e. S )
36	35	ancoms 268	. . . . 5 |- ( ( A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ ( u e. S /\ v e. S ) ) -> ( u .+ v ) e. S )
37	36	3impb 1223	. . . 4 |- ( ( A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S /\ u e. S /\ v e. S ) -> ( u .+ v ) e. S )
38	37	3adant1l 1254	. . 3 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) /\ u e. S /\ v e. S ) -> ( u .+ v ) e. S )
39		simpl1 1024	. . . 4 |- ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) -> G e. Mnd )
40		simpl2 1025	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) -> S C_ B )
41	40	sseld 3223	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) -> ( u e. S -> u e. B ) )
42	40	sseld 3223	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) -> ( v e. S -> v e. B ) )
43	40	sseld 3223	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) -> ( w e. S -> w e. B ) )
44	41, 42, 43	3anim123d 1353	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) -> ( ( u e. S /\ v e. S /\ w e. S ) -> ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) )
45	44	imp 124	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) /\ ( u e. S /\ v e. S /\ w e. S ) ) -> ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) )
46	5, 18	mndass 13457	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u .+ v ) .+ w ) = ( u .+ ( v .+ w ) ) )
47	39, 45, 46	syl2an2r 597	. . 3 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) /\ ( u e. S /\ v e. S /\ w e. S ) ) -> ( ( u .+ v ) .+ w ) = ( u .+ ( v .+ w ) ) )
48		simpl3 1026	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) -> .0. e. S )
49	40	sselda 3224	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) /\ u e. S ) -> u e. B )
50		issubmnd.z	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` G )
51	5, 18, 50	mndlid 13468	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ u e. B ) -> ( .0. .+ u ) = u )
52	39, 49, 51	syl2an2r 597	. . 3 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) /\ u e. S ) -> ( .0. .+ u ) = u )
53	5, 18, 50	mndrid 13469	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ u e. B ) -> ( u .+ .0. ) = u )
54	39, 49, 53	syl2an2r 597	. . 3 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) /\ u e. S ) -> ( u .+ .0. ) = u )
55	33, 34, 38, 47, 48, 52, 54	ismndd 13470	. 2 |- ( ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) -> H e. Mnd )
56	32, 55	impbida 598	1 |- ( ( G e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) -> ( H e. Mnd <-> A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   _Vcvv 2799   C_ wss 3197   Fn wfn 5313   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   Basecbs 13032   ↾_s cress 13033   +g cplusg 13110   0gc0g 13289   Mndcmnd 13449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-ltxr 8186  df-inn 9111  df-2 9169  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-sets 13039  df-iress 13040  df-plusg 13123  df-0g 13291  df-mgm 13389  df-sgrp 13435  df-mnd 13450

This theorem is referenced by:  issubm2  13506