Theorem mpteq12dv 4214

Description: An equality inference for the maps-to notation. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpteq12dv.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)
mpteq12dv.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
mpteq12dv	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷))

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem mpteq12dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpteq12dv.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)
2		mpteq12dv.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐷)
3	2	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐷)
4	1, 3	mpteq12dva 4213	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ↦ cmpt 4193

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-ral 2533  df-opab 4194  df-mpt 4195

This theorem is used by:  mpteq1i  4218  mpteq12i  4221  ofovex  6311  offval  6314  offval3  6371  indv  9305  ccatfvalfi  11383  swrdval  11443  odzval  13050  restval  13659  qusval  13704  grpinvfvalg  13907  grpinvpropdg  13940  cntzex  14151  cntzfval  14153  gsum2dfilem2  14273  gsum2dfi  14274  gsum2d2fi  14275  prdsex  14280  prdsval  14281  opprnegg  14499  lspfval  14835  lsppropd  14879  sraval  14884  aspval  15125  asclfval  15131  ressascl  15149  psrval  15162  psrass1filem  15182  psrmulvalfi  15193  mvrfval  15210  ntrfval  15338  clsfval  15339  neifval  15378  cnpfval  15433  cnprcl2k  15444  reldvg  15917  dvfvalap  15919  eldvap  15920  vtxdgfval  16746  vtxdgop  16750  vtxdeqd  16754