Theorem mpteq12dv 4214

Description: An equality inference for the maps-to notation. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpteq12dv.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)
mpteq12dv.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
mpteq12dv	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷))

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem mpteq12dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpteq12dv.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)
2		mpteq12dv.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐷)
3	2	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐷)
4	1, 3	mpteq12dva 4213	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ↦ cmpt 4193

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-ral 2533  df-opab 4194  df-mpt 4195

This theorem is used by:  mpteq1i  4218  mpteq12i  4221  ofovex  6311  offval  6314  offval3  6371  indv  9305  ccatfvalfi  11382  swrdval  11442  odzval  13049  restval  13658  qusval  13703  grpinvfvalg  13906  grpinvpropdg  13939  cntzex  14150  cntzfval  14152  gsum2dfilem2  14272  gsum2dfi  14273  gsum2d2fi  14274  prdsex  14279  prdsval  14280  opprnegg  14498  lspfval  14834  lsppropd  14878  sraval  14883  aspval  15124  asclfval  15130  ressascl  15148  psrval  15161  psrass1filem  15196  psrmulvalfi  15207  mvrfval  15226  ntrfval  15359  clsfval  15360  neifval  15399  cnpfval  15454  cnprcl2k  15465  reldvg  15938  dvfvalap  15940  eldvap  15941  vtxdgfval  16767  vtxdgop  16771  vtxdeqd  16775