Theorem eldvap 12823

Description: The differentiable predicate. A function F is differentiable at B with derivative C iff F is defined in a neighborhood of B and the difference quotient has limit C at B. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvval.t	|- T = ( K ↾t S )
dvval.k	|- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
eldvap.g	|- G = ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) )
eldv.s	|- ( ph -> S C_ CC )
eldv.f	|- ( ph -> F : A --> CC )
eldv.a	|- ( ph -> A C_ S )

Assertion

Ref	Expression
eldvap	|- ( ph -> ( B ( S _D F ) C <-> ( B e. ( ( int ` T ) ` A ) /\ C e. ( G lim CC B ) ) ) )

Distinct variable groups:   w, A, z   w, F, z   w, S, z   z, B, w

Allowed substitution hints:   ph( z, w)   C( z, w)   T( z, w)   G( z, w)   K( z, w)

Proof of Theorem eldvap

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldv.s	. . . . 5 |- ( ph -> S C_ CC )
2		eldv.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : A --> CC )
3		eldv.a	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ S )
4		dvval.t	. . . . . 6 |- T = ( K ↾t S )
5		dvval.k	. . . . . 6 |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
6	4, 5	dvfvalap 12822	. . . . 5 |- ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) -> ( ( S _D F ) = U_ x e. ( ( int ` T ) ` A ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. A | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) /\ ( S _D F ) C_ ( ( ( int ` T ) ` A ) X. CC ) ) )
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1216	. . . 4 |- ( ph -> ( ( S _D F ) = U_ x e. ( ( int ` T ) ` A ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. A | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) /\ ( S _D F ) C_ ( ( ( int ` T ) ` A ) X. CC ) ) )
8	7	simpld 111	. . 3 |- ( ph -> ( S _D F ) = U_ x e. ( ( int ` T ) ` A ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. A | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
9	8	eleq2d 2209	. 2 |- ( ph -> ( <. B , C >. e. ( S _D F ) <-> <. B , C >. e. U_ x e. ( ( int ` T ) ` A ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. A | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) ) )
10		df-br 3930	. . 3 |- ( B ( S _D F ) C <-> <. B , C >. e. ( S _D F ) )
11	10	bicomi 131	. 2 |- ( <. B , C >. e. ( S _D F ) <-> B ( S _D F ) C )
12		breq2 3933	. . . . . . 7 |- ( x = B -> ( w # x <-> w # B ) )
13	12	rabbidv 2675	. . . . . 6 |- ( x = B -> { w e. A | w # x } = { w e. A | w # B } )
14		fveq2 5421	. . . . . . . 8 |- ( x = B -> ( F ` x ) = ( F ` B ) )
15	14	oveq2d 5790	. . . . . . 7 |- ( x = B -> ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) = ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) )
16		oveq2 5782	. . . . . . 7 |- ( x = B -> ( z - x ) = ( z - B ) )
17	15, 16	oveq12d 5792	. . . . . 6 |- ( x = B -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) = ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) )
18	13, 17	mpteq12dv 4010	. . . . 5 |- ( x = B -> ( z e. { w e. A | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) = ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) ) )
19		eldvap.g	. . . . 5 |- G = ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) )
20	18, 19	syl6eqr 2190	. . . 4 |- ( x = B -> ( z e. { w e. A | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) = G )
21		id 19	. . . 4 |- ( x = B -> x = B )
22	20, 21	oveq12d 5792	. . 3 |- ( x = B -> ( ( z e. { w e. A | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) = ( G lim CC B ) )
23	22	opeliunxp2 4679	. 2 |- ( <. B , C >. e. U_ x e. ( ( int ` T ) ` A ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. A | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) <-> ( B e. ( ( int ` T ) ` A ) /\ C e. ( G lim CC B ) ) )
24	9, 11, 23	3bitr3g 221	1 |- ( ph -> ( B ( S _D F ) C <-> ( B e. ( ( int ` T ) ` A ) /\ C e. ( G lim CC B ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   {crab 2420   C_ wss 3071   {csn 3527   <.cop 3530   U_ciun 3813   class class class wbr 3929   |-> cmpt 3989   X. cxp 4537   o. ccom 4543   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7621   - cmin 7936   # cap 8346   / cdiv 8435   abscabs 10772   ↾_t crest 12123   MetOpencmopn 12157   intcnt 12265   lim CC climc 12795   _D cdv 12796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7714  ax-resscn 7715  ax-1cn 7716  ax-1re 7717  ax-icn 7718  ax-addcl 7719  ax-addrcl 7720  ax-mulcl 7721  ax-mulrcl 7722  ax-addcom 7723  ax-mulcom 7724  ax-addass 7725  ax-mulass 7726  ax-distr 7727  ax-i2m1 7728  ax-0lt1 7729  ax-1rid 7730  ax-0id 7731  ax-rnegex 7732  ax-precex 7733  ax-cnre 7734  ax-pre-ltirr 7735  ax-pre-ltwlin 7736  ax-pre-lttrn 7737  ax-pre-apti 7738  ax-pre-ltadd 7739  ax-pre-mulgt0 7740  ax-pre-mulext 7741  ax-arch 7742  ax-caucvg 7743

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-map 6544  df-pm 6545  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7805  df-mnf 7806  df-xr 7807  df-ltxr 7808  df-le 7809  df-sub 7938  df-neg 7939  df-reap 8340  df-ap 8347  df-div 8436  df-inn 8724  df-2 8782  df-3 8783  df-4 8784  df-n0 8981  df-z 9058  df-uz 9330  df-q 9415  df-rp 9445  df-xneg 9562  df-xadd 9563  df-seqfrec 10222  df-exp 10296  df-cj 10617  df-re 10618  df-im 10619  df-rsqrt 10773  df-abs 10774  df-rest 12125  df-topgen 12144  df-psmet 12159  df-xmet 12160  df-met 12161  df-bl 12162  df-mopn 12163  df-top 12168  df-topon 12181  df-bases 12213  df-ntr 12268  df-limced 12797  df-dvap 12798

This theorem is referenced by:  dvcl  12824  dvfgg  12829  dvidlemap  12832  dvcnp2cntop  12835  dvaddxxbr  12837  dvmulxxbr  12838  dvcoapbr  12843  dvcjbr  12844  dvrecap  12849  dveflem  12858