Theorem eldvap 15269

Description: The differentiable predicate. A function F is differentiable at B with derivative C iff F is defined in a neighborhood of B and the difference quotient has limit C at B. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvval.t	|- T = ( K ↾t S )
dvval.k	|- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
eldvap.g	|- G = ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) )
eldv.s	|- ( ph -> S C_ CC )
eldv.f	|- ( ph -> F : A --> CC )
eldv.a	|- ( ph -> A C_ S )

Assertion

Ref	Expression
eldvap	|- ( ph -> ( B ( S _D F ) C <-> ( B e. ( ( int ` T ) ` A ) /\ C e. ( G lim CC B ) ) ) )

Distinct variable groups:   w, A, z   w, F, z   w, S, z   z, B, w

Allowed substitution hints:   ph( z, w)   C( z, w)   T( z, w)   G( z, w)   K( z, w)

Proof of Theorem eldvap

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldv.s	. . . . 5 |- ( ph -> S C_ CC )
2		eldv.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : A --> CC )
3		eldv.a	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ S )
4		dvval.t	. . . . . 6 |- T = ( K ↾t S )
5		dvval.k	. . . . . 6 |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
6	4, 5	dvfvalap 15268	. . . . 5 |- ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) -> ( ( S _D F ) = U_ x e. ( ( int ` T ) ` A ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. A | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) /\ ( S _D F ) C_ ( ( ( int ` T ) ` A ) X. CC ) ) )
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1250	. . . 4 |- ( ph -> ( ( S _D F ) = U_ x e. ( ( int ` T ) ` A ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. A | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) /\ ( S _D F ) C_ ( ( ( int ` T ) ` A ) X. CC ) ) )
8	7	simpld 112	. . 3 |- ( ph -> ( S _D F ) = U_ x e. ( ( int ` T ) ` A ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. A | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
9	8	eleq2d 2277	. 2 |- ( ph -> ( <. B , C >. e. ( S _D F ) <-> <. B , C >. e. U_ x e. ( ( int ` T ) ` A ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. A | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) ) )
10		df-br 4060	. . 3 |- ( B ( S _D F ) C <-> <. B , C >. e. ( S _D F ) )
11	10	bicomi 132	. 2 |- ( <. B , C >. e. ( S _D F ) <-> B ( S _D F ) C )
12		breq2 4063	. . . . . . 7 |- ( x = B -> ( w # x <-> w # B ) )
13	12	rabbidv 2765	. . . . . 6 |- ( x = B -> { w e. A | w # x } = { w e. A | w # B } )
14		fveq2 5599	. . . . . . . 8 |- ( x = B -> ( F ` x ) = ( F ` B ) )
15	14	oveq2d 5983	. . . . . . 7 |- ( x = B -> ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) = ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) )
16		oveq2 5975	. . . . . . 7 |- ( x = B -> ( z - x ) = ( z - B ) )
17	15, 16	oveq12d 5985	. . . . . 6 |- ( x = B -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) = ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) )
18	13, 17	mpteq12dv 4142	. . . . 5 |- ( x = B -> ( z e. { w e. A | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) = ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) ) )
19		eldvap.g	. . . . 5 |- G = ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) )
20	18, 19	eqtr4di 2258	. . . 4 |- ( x = B -> ( z e. { w e. A | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) = G )
21		id 19	. . . 4 |- ( x = B -> x = B )
22	20, 21	oveq12d 5985	. . 3 |- ( x = B -> ( ( z e. { w e. A | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) = ( G lim CC B ) )
23	22	opeliunxp2 4836	. 2 |- ( <. B , C >. e. U_ x e. ( ( int ` T ) ` A ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. A | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) <-> ( B e. ( ( int ` T ) ` A ) /\ C e. ( G lim CC B ) ) )
24	9, 11, 23	3bitr3g 222	1 |- ( ph -> ( B ( S _D F ) C <-> ( B e. ( ( int ` T ) ` A ) /\ C e. ( G lim CC B ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2178   {crab 2490   C_ wss 3174   {csn 3643   <.cop 3646   U_ciun 3941   class class class wbr 4059   |-> cmpt 4121   X. cxp 4691   o. ccom 4697   -->wf 5286   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   CCcc 7958   - cmin 8278   # cap 8689   / cdiv 8780   abscabs 11423   ↾_t crest 13186   MetOpencmopn 14418   intcnt 14680   lim CC climc 15241   _D cdv 15242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079  ax-caucvg 8080

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-isom 5299  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-map 6760  df-pm 6761  df-sup 7112  df-inf 7113  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-q 9776  df-rp 9811  df-xneg 9929  df-xadd 9930  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-cj 11268  df-re 11269  df-im 11270  df-rsqrt 11424  df-abs 11425  df-rest 13188  df-topgen 13207  df-psmet 14420  df-xmet 14421  df-met 14422  df-bl 14423  df-mopn 14424  df-top 14585  df-topon 14598  df-bases 14630  df-ntr 14683  df-limced 15243  df-dvap 15244

This theorem is referenced by:  dvcl  15270  dvfgg  15275  dvidlemap  15278  dvidrelem  15279  dvidsslem  15280  dvcnp2cntop  15286  dvaddxxbr  15288  dvmulxxbr  15289  dvcoapbr  15294  dvcjbr  15295  dvrecap  15300  dveflem  15313