Theorem opnneiid 13749

Description: Only an open set is a neighborhood of itself. (Contributed by FL, 2-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
opnneiid	|- ( J e. Top -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` N ) <-> N e. J ) )

Proof of Theorem opnneiid

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neii2 13734	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` N ) ) -> E. x e. J ( N C_ x /\ x C_ N ) )
2		eqss 3172	. . . . . 6 |- ( N = x <-> ( N C_ x /\ x C_ N ) )
3		eleq1a 2249	. . . . . 6 |- ( x e. J -> ( N = x -> N e. J ) )
4	2, 3	biimtrrid 153	. . . . 5 |- ( x e. J -> ( ( N C_ x /\ x C_ N ) -> N e. J ) )
5	4	rexlimiv 2588	. . . 4 |- ( E. x e. J ( N C_ x /\ x C_ N ) -> N e. J )
6	1, 5	syl 14	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` N ) ) -> N e. J )
7	6	ex 115	. 2 |- ( J e. Top -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` N ) -> N e. J ) )
8		ssid 3177	. . 3 |- N C_ N
9		opnneiss 13743	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ N e. J /\ N C_ N ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` N ) )
10	9	3exp 1202	. . 3 |- ( J e. Top -> ( N e. J -> ( N C_ N -> N e. ( ( nei ` J ) ` N ) ) ) )
11	8, 10	mpii 44	. 2 |- ( J e. Top -> ( N e. J -> N e. ( ( nei ` J ) ` N ) ) )
12	7, 11	impbid 129	1 |- ( J e. Top -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` N ) <-> N e. J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   E.wrex 2456   C_ wss 3131   ` cfv 5218   Topctop 13582   neicnei 13723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-top 13583  df-nei 13724

This theorem is referenced by:  0nei  13751