Theorem opnneiid 15390

Description: Only an open set is a neighborhood of itself. (Contributed by FL, 2-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
opnneiid	|- ( J e. Top -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` N ) <-> N e. J ) )

Proof of Theorem opnneiid

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neii2 15375	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` N ) ) -> E. x e. J ( N C_ x /\ x C_ N ) )
2		eqss 3263	. . . . . 6 |- ( N = x <-> ( N C_ x /\ x C_ N ) )
3		eleq1a 2310	. . . . . 6 |- ( x e. J -> ( N = x -> N e. J ) )
4	2, 3	biimtrrid 153	. . . . 5 |- ( x e. J -> ( ( N C_ x /\ x C_ N ) -> N e. J ) )
5	4	rexlimiv 2662	. . . 4 |- ( E. x e. J ( N C_ x /\ x C_ N ) -> N e. J )
6	1, 5	syl 14	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` N ) ) -> N e. J )
7	6	ex 115	. 2 |- ( J e. Top -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` N ) -> N e. J ) )
8		ssid 3268	. . 3 |- N C_ N
9		opnneiss 15384	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ N e. J /\ N C_ N ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` N ) )
10	9	3exp 1233	. . 3 |- ( J e. Top -> ( N e. J -> ( N C_ N -> N e. ( ( nei ` J ) ` N ) ) ) )
11	8, 10	mpii 44	. 2 |- ( J e. Top -> ( N e. J -> N e. ( ( nei ` J ) ` N ) ) )
12	7, 11	impbid 129	1 |- ( J e. Top -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` N ) <-> N e. J ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529   C_ wss 3220   ` cfv 5380   Topctop 15223   neicnei 15364

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-top 15224  df-nei 15365

This theorem is used by:  0nei  15392