Theorem opnneiid 14636

Description: Only an open set is a neighborhood of itself. (Contributed by FL, 2-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
opnneiid	|- ( J e. Top -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` N ) <-> N e. J ) )

Proof of Theorem opnneiid

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neii2 14621	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` N ) ) -> E. x e. J ( N C_ x /\ x C_ N ) )
2		eqss 3208	. . . . . 6 |- ( N = x <-> ( N C_ x /\ x C_ N ) )
3		eleq1a 2277	. . . . . 6 |- ( x e. J -> ( N = x -> N e. J ) )
4	2, 3	biimtrrid 153	. . . . 5 |- ( x e. J -> ( ( N C_ x /\ x C_ N ) -> N e. J ) )
5	4	rexlimiv 2617	. . . 4 |- ( E. x e. J ( N C_ x /\ x C_ N ) -> N e. J )
6	1, 5	syl 14	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` N ) ) -> N e. J )
7	6	ex 115	. 2 |- ( J e. Top -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` N ) -> N e. J ) )
8		ssid 3213	. . 3 |- N C_ N
9		opnneiss 14630	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ N e. J /\ N C_ N ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` N ) )
10	9	3exp 1205	. . 3 |- ( J e. Top -> ( N e. J -> ( N C_ N -> N e. ( ( nei ` J ) ` N ) ) ) )
11	8, 10	mpii 44	. 2 |- ( J e. Top -> ( N e. J -> N e. ( ( nei ` J ) ` N ) ) )
12	7, 11	impbid 129	1 |- ( J e. Top -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` N ) <-> N e. J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176   E.wrex 2485   C_ wss 3166   ` cfv 5271   Topctop 14469   neicnei 14610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-top 14470  df-nei 14611

This theorem is referenced by:  0nei  14638