Theorem opnneiid 13233

Description: Only an open set is a neighborhood of itself. (Contributed by FL, 2-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
opnneiid	|- ( J e. Top -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` N ) <-> N e. J ) )

Proof of Theorem opnneiid

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neii2 13218	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` N ) ) -> E. x e. J ( N C_ x /\ x C_ N ) )
2		eqss 3168	. . . . . 6 |- ( N = x <-> ( N C_ x /\ x C_ N ) )
3		eleq1a 2247	. . . . . 6 |- ( x e. J -> ( N = x -> N e. J ) )
4	2, 3	syl5bir 153	. . . . 5 |- ( x e. J -> ( ( N C_ x /\ x C_ N ) -> N e. J ) )
5	4	rexlimiv 2586	. . . 4 |- ( E. x e. J ( N C_ x /\ x C_ N ) -> N e. J )
6	1, 5	syl 14	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` N ) ) -> N e. J )
7	6	ex 115	. 2 |- ( J e. Top -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` N ) -> N e. J ) )
8		ssid 3173	. . 3 |- N C_ N
9		opnneiss 13227	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ N e. J /\ N C_ N ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` N ) )
10	9	3exp 1202	. . 3 |- ( J e. Top -> ( N e. J -> ( N C_ N -> N e. ( ( nei ` J ) ` N ) ) ) )
11	8, 10	mpii 44	. 2 |- ( J e. Top -> ( N e. J -> N e. ( ( nei ` J ) ` N ) ) )
12	7, 11	impbid 129	1 |- ( J e. Top -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` N ) <-> N e. J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2146   E.wrex 2454   C_ wss 3127   ` cfv 5208   Topctop 13064   neicnei 13207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-top 13065  df-nei 13208

This theorem is referenced by:  0nei  13235