Theorem neissex 15030

Description: For any neighborhood N of S, there is a neighborhood x of S such that N is a neighborhood of all subsets of x. Generalization to subsets of Property V_iv of [BourbakiTop1] p. I.3. (Contributed by FL, 2-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
neissex	|- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> E. x e. ( ( nei ` J ) ` S ) A. y ( y C_ x -> N e. ( ( nei ` J ) ` y ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, J   x, N, y   x, S, y

Proof of Theorem neissex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neii2 15014	. 2 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> E. x e. J ( S C_ x /\ x C_ N ) )
2		opnneiss 15023	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ x e. J /\ S C_ x ) -> x e. ( ( nei ` J ) ` S ) )
3	2	3expb 1231	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ ( x e. J /\ S C_ x ) ) -> x e. ( ( nei ` J ) ` S ) )
4	3	adantrrr 487	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ ( x e. J /\ ( S C_ x /\ x C_ N ) ) ) -> x e. ( ( nei ` J ) ` S ) )
5	4	adantlr 477	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ ( x e. J /\ ( S C_ x /\ x C_ N ) ) ) -> x e. ( ( nei ` J ) ` S ) )
6		simplll 535	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ ( x e. J /\ x C_ N ) ) /\ y C_ x ) -> J e. Top )
7		simpll 527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ x e. J ) -> J e. Top )
8		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ x e. J ) -> x e. J )
9		eqid 2232	. . . . . . . . . . . 12 |- U. J = U. J
10	9	neii1 15012	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> N C_ U. J )
11	10	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ x e. J ) -> N C_ U. J )
12	9	opnssneib 15021	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ x e. J /\ N C_ U. J ) -> ( x C_ N <-> N e. ( ( nei ` J ) ` x ) ) )
13	7, 8, 11, 12	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ x e. J ) -> ( x C_ N <-> N e. ( ( nei ` J ) ` x ) ) )
14	13	biimpa 296	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ x e. J ) /\ x C_ N ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` x ) )
15	14	anasss 399	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ ( x e. J /\ x C_ N ) ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` x ) )
16	15	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ ( x e. J /\ x C_ N ) ) /\ y C_ x ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` x ) )
17		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ ( x e. J /\ x C_ N ) ) /\ y C_ x ) -> y C_ x )
18		neiss 15015	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` x ) /\ y C_ x ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` y ) )
19	6, 16, 17, 18	syl3anc 1274	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ ( x e. J /\ x C_ N ) ) /\ y C_ x ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` y ) )
20	19	ex 115	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ ( x e. J /\ x C_ N ) ) -> ( y C_ x -> N e. ( ( nei ` J ) ` y ) ) )
21	20	adantrrl 486	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ ( x e. J /\ ( S C_ x /\ x C_ N ) ) ) -> ( y C_ x -> N e. ( ( nei ` J ) ` y ) ) )
22	21	alrimiv 1923	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ ( x e. J /\ ( S C_ x /\ x C_ N ) ) ) -> A. y ( y C_ x -> N e. ( ( nei ` J ) ` y ) ) )
23	1, 5, 22	reximssdv 2646	1 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> E. x e. ( ( nei ` J ) ` S ) A. y ( y C_ x -> N e. ( ( nei ` J ) ` y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1396   e. wcel 2203   E.wrex 2521   C_ wss 3211   U.cuni 3914   ` cfv 5352   Topctop 14862   neicnei 15003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-top 14863  df-nei 15004

This theorem is referenced by: (None)