Theorem neissex 12334

Description: For any neighborhood N of S, there is a neighborhood x of S such that N is a neighborhood of all subsets of x. Generalization to subsets of Property V_iv of [BourbakiTop1] p. I.3. (Contributed by FL, 2-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
neissex	|- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> E. x e. ( ( nei ` J ) ` S ) A. y ( y C_ x -> N e. ( ( nei ` J ) ` y ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, J   x, N, y   x, S, y

Proof of Theorem neissex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neii2 12318	. 2 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> E. x e. J ( S C_ x /\ x C_ N ) )
2		opnneiss 12327	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ x e. J /\ S C_ x ) -> x e. ( ( nei ` J ) ` S ) )
3	2	3expb 1182	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ ( x e. J /\ S C_ x ) ) -> x e. ( ( nei ` J ) ` S ) )
4	3	adantrrr 478	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ ( x e. J /\ ( S C_ x /\ x C_ N ) ) ) -> x e. ( ( nei ` J ) ` S ) )
5	4	adantlr 468	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ ( x e. J /\ ( S C_ x /\ x C_ N ) ) ) -> x e. ( ( nei ` J ) ` S ) )
6		simplll 522	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ ( x e. J /\ x C_ N ) ) /\ y C_ x ) -> J e. Top )
7		simpll 518	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ x e. J ) -> J e. Top )
8		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ x e. J ) -> x e. J )
9		eqid 2139	. . . . . . . . . . . 12 |- U. J = U. J
10	9	neii1 12316	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> N C_ U. J )
11	10	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ x e. J ) -> N C_ U. J )
12	9	opnssneib 12325	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ x e. J /\ N C_ U. J ) -> ( x C_ N <-> N e. ( ( nei ` J ) ` x ) ) )
13	7, 8, 11, 12	syl3anc 1216	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ x e. J ) -> ( x C_ N <-> N e. ( ( nei ` J ) ` x ) ) )
14	13	biimpa 294	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ x e. J ) /\ x C_ N ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` x ) )
15	14	anasss 396	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ ( x e. J /\ x C_ N ) ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` x ) )
16	15	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ ( x e. J /\ x C_ N ) ) /\ y C_ x ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` x ) )
17		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ ( x e. J /\ x C_ N ) ) /\ y C_ x ) -> y C_ x )
18		neiss 12319	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` x ) /\ y C_ x ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` y ) )
19	6, 16, 17, 18	syl3anc 1216	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ ( x e. J /\ x C_ N ) ) /\ y C_ x ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` y ) )
20	19	ex 114	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ ( x e. J /\ x C_ N ) ) -> ( y C_ x -> N e. ( ( nei ` J ) ` y ) ) )
21	20	adantrrl 477	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ ( x e. J /\ ( S C_ x /\ x C_ N ) ) ) -> ( y C_ x -> N e. ( ( nei ` J ) ` y ) ) )
22	21	alrimiv 1846	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ ( x e. J /\ ( S C_ x /\ x C_ N ) ) ) -> A. y ( y C_ x -> N e. ( ( nei ` J ) ` y ) ) )
23	1, 5, 22	reximssdv 2536	1 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> E. x e. ( ( nei ` J ) ` S ) A. y ( y C_ x -> N e. ( ( nei ` J ) ` y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1329   e. wcel 1480   E.wrex 2417   C_ wss 3071   U.cuni 3736   ` cfv 5123   Topctop 12164   neicnei 12307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-top 12165  df-nei 12308

This theorem is referenced by: (None)