Theorem opnneiss 15384

Description: An open set is a neighborhood of any of its subsets. (Contributed by NM, 13-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
opnneiss	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))

Proof of Theorem opnneiss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1030	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁) → 𝑆 ⊆ 𝑁)
2		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
3	2	eltopss 15235	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽) → 𝑁 ⊆ ∪ 𝐽)
4		sstr 3256	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ ∪ 𝐽) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
5	4	ancoms 268	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
6	3, 5	stoic3 1480	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
7	2	opnneissb 15381	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → (𝑆 ⊆ 𝑁 ↔ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
8	6, 7	syld3an3 1323	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁) → (𝑆 ⊆ 𝑁 ↔ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
9	1, 8	mpbid 147	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220  ∪ cuni 3935  ‘cfv 5380  Topctop 15223  neicnei 15364

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-top 15224  df-nei 15365

This theorem is used by:  opnneip  15385  tpnei  15386  topssnei  15388  opnneiid  15390  neissex  15391