Theorem fnpr2ob 12778

Description: Biconditional version of fnpr2o 12777. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fnpr2ob	|- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) <-> { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } Fn 2o )

Proof of Theorem fnpr2ob

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnpr2o 12777	. 2 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } Fn 2o )
2		0ex 4142	. . . . . . . 8 |- (/) e. _V
3	2	prid1 3710	. . . . . . 7 |- (/) e. { (/) , 1o }
4		df2o3 6445	. . . . . . 7 |- 2o = { (/) , 1o }
5	3, 4	eleqtrri 2263	. . . . . 6 |- (/) e. 2o
6		fndm 5327	. . . . . 6 |- ( { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } Fn 2o -> dom { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } = 2o )
7	5, 6	eleqtrrid 2277	. . . . 5 |- ( { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } Fn 2o -> (/) e. dom { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } )
8	2	eldm2 4837	. . . . 5 |- ( (/) e. dom { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } <-> E. k <. (/) , k >. e. { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } )
9	7, 8	sylib 122	. . . 4 |- ( { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } Fn 2o -> E. k <. (/) , k >. e. { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } )
10		1n0 6447	. . . . . . . . . . 11 |- 1o =/= (/)
11	10	nesymi 2403	. . . . . . . . . 10 |- -. (/) = 1o
12		vex 2752	. . . . . . . . . . 11 |- k e. _V
13	2, 12	opth1 4248	. . . . . . . . . 10 |- ( <. (/) , k >. = <. 1o , B >. -> (/) = 1o )
14	11, 13	mto 663	. . . . . . . . 9 |- -. <. (/) , k >. = <. 1o , B >.
15		elpri 3627	. . . . . . . . 9 |- ( <. (/) , k >. e. { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } -> ( <. (/) , k >. = <. (/) , A >. \/ <. (/) , k >. = <. 1o , B >. ) )
16		orel2 727	. . . . . . . . 9 |- ( -. <. (/) , k >. = <. 1o , B >. -> ( ( <. (/) , k >. = <. (/) , A >. \/ <. (/) , k >. = <. 1o , B >. ) -> <. (/) , k >. = <. (/) , A >. ) )
17	14, 15, 16	mpsyl 65	. . . . . . . 8 |- ( <. (/) , k >. e. { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } -> <. (/) , k >. = <. (/) , A >. )
18	2, 12	opth 4249	. . . . . . . 8 |- ( <. (/) , k >. = <. (/) , A >. <-> ( (/) = (/) /\ k = A ) )
19	17, 18	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( <. (/) , k >. e. { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } -> ( (/) = (/) /\ k = A ) )
20	19	simprd 114	. . . . . 6 |- ( <. (/) , k >. e. { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } -> k = A )
21	20	eximi 1610	. . . . 5 |- ( E. k <. (/) , k >. e. { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } -> E. k k = A )
22		isset 2755	. . . . 5 |- ( A e. _V <-> E. k k = A )
23	21, 22	sylibr 134	. . . 4 |- ( E. k <. (/) , k >. e. { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } -> A e. _V )
24	9, 23	syl 14	. . 3 |- ( { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } Fn 2o -> A e. _V )
25		1oex 6439	. . . . . . . 8 |- 1o e. _V
26	25	prid2 3711	. . . . . . 7 |- 1o e. { (/) , 1o }
27	26, 4	eleqtrri 2263	. . . . . 6 |- 1o e. 2o
28	27, 6	eleqtrrid 2277	. . . . 5 |- ( { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } Fn 2o -> 1o e. dom { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } )
29	25	eldm2 4837	. . . . 5 |- ( 1o e. dom { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } <-> E. k <. 1o , k >. e. { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } )
30	28, 29	sylib 122	. . . 4 |- ( { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } Fn 2o -> E. k <. 1o , k >. e. { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } )
31	10	neii 2359	. . . . . . . . . 10 |- -. 1o = (/)
32	25, 12	opth1 4248	. . . . . . . . . 10 |- ( <. 1o , k >. = <. (/) , A >. -> 1o = (/) )
33	31, 32	mto 663	. . . . . . . . 9 |- -. <. 1o , k >. = <. (/) , A >.
34		elpri 3627	. . . . . . . . . 10 |- ( <. 1o , k >. e. { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } -> ( <. 1o , k >. = <. (/) , A >. \/ <. 1o , k >. = <. 1o , B >. ) )
35	34	orcomd 730	. . . . . . . . 9 |- ( <. 1o , k >. e. { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } -> ( <. 1o , k >. = <. 1o , B >. \/ <. 1o , k >. = <. (/) , A >. ) )
36		orel2 727	. . . . . . . . 9 |- ( -. <. 1o , k >. = <. (/) , A >. -> ( ( <. 1o , k >. = <. 1o , B >. \/ <. 1o , k >. = <. (/) , A >. ) -> <. 1o , k >. = <. 1o , B >. ) )
37	33, 35, 36	mpsyl 65	. . . . . . . 8 |- ( <. 1o , k >. e. { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } -> <. 1o , k >. = <. 1o , B >. )
38	25, 12	opth 4249	. . . . . . . 8 |- ( <. 1o , k >. = <. 1o , B >. <-> ( 1o = 1o /\ k = B ) )
39	37, 38	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( <. 1o , k >. e. { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } -> ( 1o = 1o /\ k = B ) )
40	39	simprd 114	. . . . . 6 |- ( <. 1o , k >. e. { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } -> k = B )
41	40	eximi 1610	. . . . 5 |- ( E. k <. 1o , k >. e. { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } -> E. k k = B )
42		isset 2755	. . . . 5 |- ( B e. _V <-> E. k k = B )
43	41, 42	sylibr 134	. . . 4 |- ( E. k <. 1o , k >. e. { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } -> B e. _V )
44	30, 43	syl 14	. . 3 |- ( { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } Fn 2o -> B e. _V )
45	24, 44	jca 306	. 2 |- ( { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } Fn 2o -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
46	1, 45	impbii 126	1 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) <-> { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } Fn 2o )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1363   E.wex 1502   e. wcel 2158   _Vcvv 2749   (/)c0 3434   {cpr 3605   <.cop 3607   dom cdm 4638   Fn wfn 5223   1oc1o 6424   2oc2o 6425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-v 2751  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-fun 5230  df-fn 5231  df-1o 6431  df-2o 6432

This theorem is referenced by:  xpsfrnel2  12784