Theorem fnpr2ob 13486

Description: Biconditional version of fnpr2o 13485. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fnpr2ob	|- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) <-> { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } Fn 2o )

Proof of Theorem fnpr2ob

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnpr2o 13485	. 2 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } Fn 2o )
2		0ex 4221	. . . . . . . 8 |- (/) e. _V
3	2	prid1 3781	. . . . . . 7 |- (/) e. { (/) , 1o }
4		df2o3 6640	. . . . . . 7 |- 2o = { (/) , 1o }
5	3, 4	eleqtrri 2307	. . . . . 6 |- (/) e. 2o
6		fndm 5436	. . . . . 6 |- ( { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } Fn 2o -> dom { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } = 2o )
7	5, 6	eleqtrrid 2321	. . . . 5 |- ( { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } Fn 2o -> (/) e. dom { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } )
8	2	eldm2 4935	. . . . 5 |- ( (/) e. dom { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } <-> E. k <. (/) , k >. e. { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } )
9	7, 8	sylib 122	. . . 4 |- ( { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } Fn 2o -> E. k <. (/) , k >. e. { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } )
10		1n0 6643	. . . . . . . . . . 11 |- 1o =/= (/)
11	10	nesymi 2449	. . . . . . . . . 10 |- -. (/) = 1o
12		vex 2806	. . . . . . . . . . 11 |- k e. _V
13	2, 12	opth1 4334	. . . . . . . . . 10 |- ( <. (/) , k >. = <. 1o , B >. -> (/) = 1o )
14	11, 13	mto 668	. . . . . . . . 9 |- -. <. (/) , k >. = <. 1o , B >.
15		elpri 3696	. . . . . . . . 9 |- ( <. (/) , k >. e. { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } -> ( <. (/) , k >. = <. (/) , A >. \/ <. (/) , k >. = <. 1o , B >. ) )
16		orel2 734	. . . . . . . . 9 |- ( -. <. (/) , k >. = <. 1o , B >. -> ( ( <. (/) , k >. = <. (/) , A >. \/ <. (/) , k >. = <. 1o , B >. ) -> <. (/) , k >. = <. (/) , A >. ) )
17	14, 15, 16	mpsyl 65	. . . . . . . 8 |- ( <. (/) , k >. e. { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } -> <. (/) , k >. = <. (/) , A >. )
18	2, 12	opth 4335	. . . . . . . 8 |- ( <. (/) , k >. = <. (/) , A >. <-> ( (/) = (/) /\ k = A ) )
19	17, 18	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( <. (/) , k >. e. { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } -> ( (/) = (/) /\ k = A ) )
20	19	simprd 114	. . . . . 6 |- ( <. (/) , k >. e. { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } -> k = A )
21	20	eximi 1649	. . . . 5 |- ( E. k <. (/) , k >. e. { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } -> E. k k = A )
22		isset 2810	. . . . 5 |- ( A e. _V <-> E. k k = A )
23	21, 22	sylibr 134	. . . 4 |- ( E. k <. (/) , k >. e. { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } -> A e. _V )
24	9, 23	syl 14	. . 3 |- ( { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } Fn 2o -> A e. _V )
25		1oex 6633	. . . . . . . 8 |- 1o e. _V
26	25	prid2 3782	. . . . . . 7 |- 1o e. { (/) , 1o }
27	26, 4	eleqtrri 2307	. . . . . 6 |- 1o e. 2o
28	27, 6	eleqtrrid 2321	. . . . 5 |- ( { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } Fn 2o -> 1o e. dom { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } )
29	25	eldm2 4935	. . . . 5 |- ( 1o e. dom { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } <-> E. k <. 1o , k >. e. { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } )
30	28, 29	sylib 122	. . . 4 |- ( { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } Fn 2o -> E. k <. 1o , k >. e. { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } )
31	10	neii 2405	. . . . . . . . . 10 |- -. 1o = (/)
32	25, 12	opth1 4334	. . . . . . . . . 10 |- ( <. 1o , k >. = <. (/) , A >. -> 1o = (/) )
33	31, 32	mto 668	. . . . . . . . 9 |- -. <. 1o , k >. = <. (/) , A >.
34		elpri 3696	. . . . . . . . . 10 |- ( <. 1o , k >. e. { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } -> ( <. 1o , k >. = <. (/) , A >. \/ <. 1o , k >. = <. 1o , B >. ) )
35	34	orcomd 737	. . . . . . . . 9 |- ( <. 1o , k >. e. { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } -> ( <. 1o , k >. = <. 1o , B >. \/ <. 1o , k >. = <. (/) , A >. ) )
36		orel2 734	. . . . . . . . 9 |- ( -. <. 1o , k >. = <. (/) , A >. -> ( ( <. 1o , k >. = <. 1o , B >. \/ <. 1o , k >. = <. (/) , A >. ) -> <. 1o , k >. = <. 1o , B >. ) )
37	33, 35, 36	mpsyl 65	. . . . . . . 8 |- ( <. 1o , k >. e. { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } -> <. 1o , k >. = <. 1o , B >. )
38	25, 12	opth 4335	. . . . . . . 8 |- ( <. 1o , k >. = <. 1o , B >. <-> ( 1o = 1o /\ k = B ) )
39	37, 38	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( <. 1o , k >. e. { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } -> ( 1o = 1o /\ k = B ) )
40	39	simprd 114	. . . . . 6 |- ( <. 1o , k >. e. { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } -> k = B )
41	40	eximi 1649	. . . . 5 |- ( E. k <. 1o , k >. e. { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } -> E. k k = B )
42		isset 2810	. . . . 5 |- ( B e. _V <-> E. k k = B )
43	41, 42	sylibr 134	. . . 4 |- ( E. k <. 1o , k >. e. { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } -> B e. _V )
44	30, 43	syl 14	. . 3 |- ( { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } Fn 2o -> B e. _V )
45	24, 44	jca 306	. 2 |- ( { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } Fn 2o -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
46	1, 45	impbii 126	1 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) <-> { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } Fn 2o )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2202   _Vcvv 2803   (/)c0 3496   {cpr 3674   <.cop 3676   dom cdm 4731   Fn wfn 5328   1oc1o 6618   2oc2o 6619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-fun 5335  df-fn 5336  df-1o 6625  df-2o 6626

This theorem is referenced by:  xpsfrnel2  13492