Theorem ovigg 5931

Description: The value of an operation class abstraction. Compare ovig 5932. The condition ( x e. R /\ y e. S ) is been removed. (Contributed by FL, 24-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovigg.1	|- ( ( x = A /\ y = B /\ z = C ) -> ( ph <-> ps ) )
ovigg.4	|- E* z ph
ovigg.5	|- F = { <. <. x , y >. , z >. | ph }

Assertion

Ref	Expression
ovigg	|- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( ps -> ( A F B ) = C ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z   x, C, y, z   ps, x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   F( x, y, z)   V( x, y, z)   W( x, y, z)   X( x, y, z)

Proof of Theorem ovigg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovigg.1	. . 3 |- ( ( x = A /\ y = B /\ z = C ) -> ( ph <-> ps ) )
2	1	eloprabga 5898	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. <. A , B >. , C >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ph } <-> ps ) )
3		df-ov 5817	. . . 4 |- ( A F B ) = ( F ` <. A , B >. )
4		ovigg.5	. . . . 5 |- F = { <. <. x , y >. , z >. | ph }
5	4	fveq1i 5462	. . . 4 |- ( F ` <. A , B >. ) = ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } ` <. A , B >. )
6	3, 5	eqtri 2175	. . 3 |- ( A F B ) = ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } ` <. A , B >. )
7		ovigg.4	. . . . 5 |- E* z ph
8	7	funoprab 5911	. . . 4 |- Fun { <. <. x , y >. , z >. | ph }
9		funopfv 5501	. . . 4 |- ( Fun { <. <. x , y >. , z >. | ph } -> ( <. <. A , B >. , C >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ph } -> ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } ` <. A , B >. ) = C ) )
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 |- ( <. <. A , B >. , C >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ph } -> ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } ` <. A , B >. ) = C )
11	6, 10	syl5eq 2199	. 2 |- ( <. <. A , B >. , C >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ph } -> ( A F B ) = C )
12	2, 11	syl6bir 163	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( ps -> ( A F B ) = C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   /\ w3a 963   = wceq 1332   E*wmo 2004   e. wcel 2125   <.cop 3559   Fun wfun 5157   ` cfv 5163  (class class class)co 5814   {coprab 5815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ral 2437  df-rex 2438  df-v 2711  df-sbc 2934  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-br 3962  df-opab 4022  df-id 4248  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fv 5171  df-ov 5817  df-oprab 5818

This theorem is referenced by:  ovig  5932