Theorem ovigg 6152

Description: The value of an operation class abstraction. Compare ovig 6153. The condition ( x e. R /\ y e. S ) is been removed. (Contributed by FL, 24-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovigg.1	|- ( ( x = A /\ y = B /\ z = C ) -> ( ph <-> ps ) )
ovigg.4	|- E* z ph
ovigg.5	|- F = { <. <. x , y >. , z >. | ph }

Assertion

Ref	Expression
ovigg	|- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( ps -> ( A F B ) = C ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z   x, C, y, z   ps, x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   F( x, y, z)   V( x, y, z)   W( x, y, z)   X( x, y, z)

Proof of Theorem ovigg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovigg.1	. . 3 |- ( ( x = A /\ y = B /\ z = C ) -> ( ph <-> ps ) )
2	1	eloprabga 6118	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. <. A , B >. , C >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ph } <-> ps ) )
3		df-ov 6031	. . . 4 |- ( A F B ) = ( F ` <. A , B >. )
4		ovigg.5	. . . . 5 |- F = { <. <. x , y >. , z >. | ph }
5	4	fveq1i 5649	. . . 4 |- ( F ` <. A , B >. ) = ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } ` <. A , B >. )
6	3, 5	eqtri 2252	. . 3 |- ( A F B ) = ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } ` <. A , B >. )
7		ovigg.4	. . . . 5 |- E* z ph
8	7	funoprab 6131	. . . 4 |- Fun { <. <. x , y >. , z >. | ph }
9		funopfv 5692	. . . 4 |- ( Fun { <. <. x , y >. , z >. | ph } -> ( <. <. A , B >. , C >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ph } -> ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } ` <. A , B >. ) = C ) )
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 |- ( <. <. A , B >. , C >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ph } -> ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } ` <. A , B >. ) = C )
11	6, 10	eqtrid 2276	. 2 |- ( <. <. A , B >. , C >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ph } -> ( A F B ) = C )
12	2, 11	biimtrrdi 164	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( ps -> ( A F B ) = C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   E*wmo 2080   e. wcel 2202   <.cop 3676   Fun wfun 5327   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   {coprab 6029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-sbc 3033  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032

This theorem is referenced by:  ovig  6153