Theorem ovigg 5962

Description: The value of an operation class abstraction. Compare ovig 5963. The condition ( x e. R /\ y e. S ) is been removed. (Contributed by FL, 24-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovigg.1	|- ( ( x = A /\ y = B /\ z = C ) -> ( ph <-> ps ) )
ovigg.4	|- E* z ph
ovigg.5	|- F = { <. <. x , y >. , z >. | ph }

Assertion

Ref	Expression
ovigg	|- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( ps -> ( A F B ) = C ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z   x, C, y, z   ps, x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   F( x, y, z)   V( x, y, z)   W( x, y, z)   X( x, y, z)

Proof of Theorem ovigg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovigg.1	. . 3 |- ( ( x = A /\ y = B /\ z = C ) -> ( ph <-> ps ) )
2	1	eloprabga 5929	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. <. A , B >. , C >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ph } <-> ps ) )
3		df-ov 5845	. . . 4 |- ( A F B ) = ( F ` <. A , B >. )
4		ovigg.5	. . . . 5 |- F = { <. <. x , y >. , z >. | ph }
5	4	fveq1i 5487	. . . 4 |- ( F ` <. A , B >. ) = ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } ` <. A , B >. )
6	3, 5	eqtri 2186	. . 3 |- ( A F B ) = ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } ` <. A , B >. )
7		ovigg.4	. . . . 5 |- E* z ph
8	7	funoprab 5942	. . . 4 |- Fun { <. <. x , y >. , z >. | ph }
9		funopfv 5526	. . . 4 |- ( Fun { <. <. x , y >. , z >. | ph } -> ( <. <. A , B >. , C >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ph } -> ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } ` <. A , B >. ) = C ) )
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 |- ( <. <. A , B >. , C >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ph } -> ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } ` <. A , B >. ) = C )
11	6, 10	syl5eq 2211	. 2 |- ( <. <. A , B >. , C >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ph } -> ( A F B ) = C )
12	2, 11	syl6bir 163	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( ps -> ( A F B ) = C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   /\ w3a 968   = wceq 1343   E*wmo 2015   e. wcel 2136   <.cop 3579   Fun wfun 5182   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   {coprab 5843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846

This theorem is referenced by:  ovig  5963