Theorem eqeltrdi 2231

Description: A membership and equality inference. (Contributed by NM, 4-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqeltrdi.1	|- ( ph -> A = B )
eqeltrdi.2	|- B e. C

Assertion

Ref	Expression
eqeltrdi	|- ( ph -> A e. C )

Proof of Theorem eqeltrdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeltrdi.1	. 2 |- ( ph -> A = B )
2		eqeltrdi.2	. . 3 |- B e. C
3	2	a1i 9	. 2 |- ( ph -> B e. C )
4	1, 3	eqeltrd 2217	1 |- ( ph -> A e. C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1332   e. wcel 1481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1424  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-ial 1515  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-cleq 2133  df-clel 2136

This theorem is referenced by:  eqeltrrdi  2232  snexprc  4118  onsucelsucexmidlem  4452  dcextest  4503  nnpredcl  4544  ovprc  5814  nnmcl  6385  xpsnen  6723  xpfi  6826  snexxph  6846  ctssdclemn0  7003  exmidonfinlem  7066  indpi  7174  nq0m0r  7288  genpelxp  7343  un0mulcl  9035  znegcl  9109  zeo  9180  eqreznegel  9433  xnegcl  9645  modqid0  10154  q2txmodxeq0  10188  ser0  10318  expcllem  10335  m1expcl2  10346  bcval  10527  bccl  10545  hashinfom  10556  resqrexlemlo  10817  iserge0  11144  sumrbdclem  11178  fsum3cvg  11179  summodclem3  11181  summodclem2a  11182  fisumss  11193  binom  11285  bcxmas  11290  prodf1  11343  prodrbdclem  11372  fproddccvg  11373  prodmodclem2a  11377  gcdval  11684  gcdcl  11691  lcmcl  11789  ssblps  12633  ssbl  12634  xmeter  12644  blssioo  12753  012of  13363  2o01f  13364  nninfsellemeqinf  13387  nninffeq  13391  trilpolemclim  13404