Theorem ovexg 6052

Description: Evaluating a set operation at two sets gives a set. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ovexg	|- ( ( A e. V /\ F e. W /\ B e. X ) -> ( A F B ) e. _V )

Proof of Theorem ovexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 6021	. 2 |- ( A F B ) = ( F ` <. A , B >. )
2		simp2 1024	. . 3 |- ( ( A e. V /\ F e. W /\ B e. X ) -> F e. W )
3		opexg 4320	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. X ) -> <. A , B >. e. _V )
4	3	3adant2 1042	. . 3 |- ( ( A e. V /\ F e. W /\ B e. X ) -> <. A , B >. e. _V )
5		fvexg 5658	. . 3 |- ( ( F e. W /\ <. A , B >. e. _V ) -> ( F ` <. A , B >. ) e. _V )
6	2, 4, 5	syl2anc 411	. 2 |- ( ( A e. V /\ F e. W /\ B e. X ) -> ( F ` <. A , B >. ) e. _V )
7	1, 6	eqeltrid 2318	1 |- ( ( A e. V /\ F e. W /\ B e. X ) -> ( A F B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1004   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   <.cop 3672   ` cfv 5326  (class class class)co 6018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-cnv 4733  df-dm 4735  df-rn 4736  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6021

This theorem is referenced by:  mapxpen  7034  seq1g  10726  seqp1g  10729  seqclg  10735  seqm1g  10737  seqfeq4g  10794  prdsplusgfval  13385  prdsmulrfval  13387  imasex  13406  imasival  13407  imasbas  13408  imasplusg  13409  imasmulr  13410  imasaddfnlemg  13415  imasaddvallemg  13416  plusfvalg  13464  plusffng  13466  gsumsplit1r  13499  gsumprval  13500  gsumfzz  13596  gsumwsubmcl  13597  gsumfzcl  13600  grpsubval  13647  mulgval  13727  mulgfng  13729  mulgnngsum  13732  mulg1  13734  mulgnnp1  13735  mulgnndir  13756  subgintm  13803  subrngintm  14245  scafvalg  14340  scaffng  14342  rmodislmodlem  14383  rmodislmod  14384  lsssn0  14403  lss1d  14416  lssintclm  14417  ellspsn  14450  crngridl  14563  metrest  15249