Theorem ovexg 6084

Description: Evaluating a set operation at two sets gives a set. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ovexg	|- ( ( A e. V /\ F e. W /\ B e. X ) -> ( A F B ) e. _V )

Proof of Theorem ovexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 6053	. 2 |- ( A F B ) = ( F ` <. A , B >. )
2		simp2 1025	. . 3 |- ( ( A e. V /\ F e. W /\ B e. X ) -> F e. W )
3		opexg 4344	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. X ) -> <. A , B >. e. _V )
4	3	3adant2 1043	. . 3 |- ( ( A e. V /\ F e. W /\ B e. X ) -> <. A , B >. e. _V )
5		fvexg 5689	. . 3 |- ( ( F e. W /\ <. A , B >. e. _V ) -> ( F ` <. A , B >. ) e. _V )
6	2, 4, 5	syl2anc 411	. 2 |- ( ( A e. V /\ F e. W /\ B e. X ) -> ( F ` <. A , B >. ) e. _V )
7	1, 6	eqeltrid 2319	1 |- ( ( A e. V /\ F e. W /\ B e. X ) -> ( A F B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1005   e. wcel 2203   _Vcvv 2813   <.cop 3692   ` cfv 5352  (class class class)co 6050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-cnv 4757  df-dm 4759  df-rn 4760  df-iota 5312  df-fv 5360  df-ov 6053

This theorem is referenced by:  mapxpen  7101  seq1g  10825  seqp1g  10828  seqclg  10834  seqm1g  10836  seqfeq4g  10893  prdsplusgfval  13497  prdsmulrfval  13499  imasex  13518  imasival  13519  imasbas  13520  imasplusg  13521  imasmulr  13522  imasaddfnlemg  13527  imasaddvallemg  13528  plusfvalg  13576  plusffng  13578  gsumsplit1r  13611  gsumprval  13612  gsumfzz  13708  gsumwsubmcl  13709  gsumfzcl  13712  grpsubval  13759  mulgval  13839  mulgfng  13841  mulgnngsum  13844  mulg1  13846  mulgnnp1  13847  mulgnndir  13868  subgintm  13915  subrngintm  14357  scafvalg  14455  scaffng  14457  rmodislmodlem  14498  rmodislmod  14499  lsssn0  14518  lss1d  14531  lssintclm  14532  ellspsn  14565  crngridl  14678  metrest  15371