Theorem ovexg 6109

Description: Evaluating a set operation at two sets gives a set. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ovexg	|- ( ( A e. V /\ F e. W /\ B e. X ) -> ( A F B ) e. _V )

Proof of Theorem ovexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 6078	. 2 |- ( A F B ) = ( F ` <. A , B >. )
2		simp2 1029	. . 3 |- ( ( A e. V /\ F e. W /\ B e. X ) -> F e. W )
3		opexg 4363	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. X ) -> <. A , B >. e. _V )
4	3	3adant2 1047	. . 3 |- ( ( A e. V /\ F e. W /\ B e. X ) -> <. A , B >. e. _V )
5		fvexg 5709	. . 3 |- ( ( F e. W /\ <. A , B >. e. _V ) -> ( F ` <. A , B >. ) e. _V )
6	2, 4, 5	syl2anc 415	. 2 |- ( ( A e. V /\ F e. W /\ B e. X ) -> ( F ` <. A , B >. ) e. _V )
7	1, 6	eqeltrid 2325	1 |- ( ( A e. V /\ F e. W /\ B e. X ) -> ( A F B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   <.cop 3708   ` cfv 5372  (class class class)co 6075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-cnv 4777  df-dm 4779  df-rn 4780  df-iota 5332  df-fv 5380  df-ov 6078

This theorem is referenced by:  mapxpen  7138  seq1g  10878  seqp1g  10881  seqclg  10887  seqm1g  10889  seqfeq4g  10946  imasex  13603  imasival  13604  imasbas  13605  imasplusg  13606  imasmulr  13607  imasaddfnlemg  13612  imasaddvallemg  13613  plusfvalg  13660  plusffng  13662  gzsumsplit1r  13692  gzsumwsubmcl  13778  gzsumcl  13781  grpsubval  13828  mulgval  13902  mulgfng  13904  mulgnngzsum  13907  mulg1  13909  mulgnnp1  13910  mulgnndir  13931  subgintm  13978  prdsplusgfval  14161  prdsmulrfval  14163  subrngintm  14493  scafvalg  14616  scaffng  14618  rmodislmodlem  14659  rmodislmod  14660  lsssn0  14679  lss1d  14692  lssintclm  14693  ellspsn  14726  crngridl  14839  metrest  15530