Theorem ovexg 5887

Description: Evaluating a set operation at two sets gives a set. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ovexg	|- ( ( A e. V /\ F e. W /\ B e. X ) -> ( A F B ) e. _V )

Proof of Theorem ovexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 5856	. 2 |- ( A F B ) = ( F ` <. A , B >. )
2		simp2 993	. . 3 |- ( ( A e. V /\ F e. W /\ B e. X ) -> F e. W )
3		opexg 4213	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. X ) -> <. A , B >. e. _V )
4	3	3adant2 1011	. . 3 |- ( ( A e. V /\ F e. W /\ B e. X ) -> <. A , B >. e. _V )
5		fvexg 5515	. . 3 |- ( ( F e. W /\ <. A , B >. e. _V ) -> ( F ` <. A , B >. ) e. _V )
6	2, 4, 5	syl2anc 409	. 2 |- ( ( A e. V /\ F e. W /\ B e. X ) -> ( F ` <. A , B >. ) e. _V )
7	1, 6	eqeltrid 2257	1 |- ( ( A e. V /\ F e. W /\ B e. X ) -> ( A F B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 973   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   <.cop 3586   ` cfv 5198  (class class class)co 5853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-cnv 4619  df-dm 4621  df-rn 4622  df-iota 5160  df-fv 5206  df-ov 5856

This theorem is referenced by:  mapxpen  6826  plusfvalg  12617  plusffng  12619  grpsubval  12749  metrest  13300