Theorem ovexg 6041

Description: Evaluating a set operation at two sets gives a set. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ovexg	|- ( ( A e. V /\ F e. W /\ B e. X ) -> ( A F B ) e. _V )

Proof of Theorem ovexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 6010	. 2 |- ( A F B ) = ( F ` <. A , B >. )
2		simp2 1022	. . 3 |- ( ( A e. V /\ F e. W /\ B e. X ) -> F e. W )
3		opexg 4314	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. X ) -> <. A , B >. e. _V )
4	3	3adant2 1040	. . 3 |- ( ( A e. V /\ F e. W /\ B e. X ) -> <. A , B >. e. _V )
5		fvexg 5648	. . 3 |- ( ( F e. W /\ <. A , B >. e. _V ) -> ( F ` <. A , B >. ) e. _V )
6	2, 4, 5	syl2anc 411	. 2 |- ( ( A e. V /\ F e. W /\ B e. X ) -> ( F ` <. A , B >. ) e. _V )
7	1, 6	eqeltrid 2316	1 |- ( ( A e. V /\ F e. W /\ B e. X ) -> ( A F B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1002   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   <.cop 3669   ` cfv 5318  (class class class)co 6007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-cnv 4727  df-dm 4729  df-rn 4730  df-iota 5278  df-fv 5326  df-ov 6010

This theorem is referenced by:  mapxpen  7017  seq1g  10697  seqp1g  10700  seqclg  10706  seqm1g  10708  seqfeq4g  10765  prdsplusgfval  13333  prdsmulrfval  13335  imasex  13354  imasival  13355  imasbas  13356  imasplusg  13357  imasmulr  13358  imasaddfnlemg  13363  imasaddvallemg  13364  plusfvalg  13412  plusffng  13414  gsumsplit1r  13447  gsumprval  13448  gsumfzz  13544  gsumwsubmcl  13545  gsumfzcl  13548  grpsubval  13595  mulgval  13675  mulgfng  13677  mulgnngsum  13680  mulg1  13682  mulgnnp1  13683  mulgnndir  13704  subgintm  13751  subrngintm  14192  scafvalg  14287  scaffng  14289  rmodislmodlem  14330  rmodislmod  14331  lsssn0  14350  lss1d  14363  lssintclm  14364  ellspsn  14397  crngridl  14510  metrest  15196