Theorem ovexg 6035

Description: Evaluating a set operation at two sets gives a set. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ovexg	|- ( ( A e. V /\ F e. W /\ B e. X ) -> ( A F B ) e. _V )

Proof of Theorem ovexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 6004	. 2 |- ( A F B ) = ( F ` <. A , B >. )
2		simp2 1022	. . 3 |- ( ( A e. V /\ F e. W /\ B e. X ) -> F e. W )
3		opexg 4314	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. X ) -> <. A , B >. e. _V )
4	3	3adant2 1040	. . 3 |- ( ( A e. V /\ F e. W /\ B e. X ) -> <. A , B >. e. _V )
5		fvexg 5646	. . 3 |- ( ( F e. W /\ <. A , B >. e. _V ) -> ( F ` <. A , B >. ) e. _V )
6	2, 4, 5	syl2anc 411	. 2 |- ( ( A e. V /\ F e. W /\ B e. X ) -> ( F ` <. A , B >. ) e. _V )
7	1, 6	eqeltrid 2316	1 |- ( ( A e. V /\ F e. W /\ B e. X ) -> ( A F B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1002   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   <.cop 3669   ` cfv 5318  (class class class)co 6001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-cnv 4727  df-dm 4729  df-rn 4730  df-iota 5278  df-fv 5326  df-ov 6004

This theorem is referenced by:  mapxpen  7009  seq1g  10685  seqp1g  10688  seqclg  10694  seqm1g  10696  seqfeq4g  10753  prdsplusgfval  13317  prdsmulrfval  13319  imasex  13338  imasival  13339  imasbas  13340  imasplusg  13341  imasmulr  13342  imasaddfnlemg  13347  imasaddvallemg  13348  plusfvalg  13396  plusffng  13398  gsumsplit1r  13431  gsumprval  13432  gsumfzz  13528  gsumwsubmcl  13529  gsumfzcl  13532  grpsubval  13579  mulgval  13659  mulgfng  13661  mulgnngsum  13664  mulg1  13666  mulgnnp1  13667  mulgnndir  13688  subgintm  13735  subrngintm  14176  scafvalg  14271  scaffng  14273  rmodislmodlem  14314  rmodislmod  14315  lsssn0  14334  lss1d  14347  lssintclm  14348  ellspsn  14381  crngridl  14494  metrest  15180