Theorem prodeq1d 12250

Description: Equality deduction for product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
prodeq1d.1	|- ( ph -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
prodeq1d	|- ( ph -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )

Distinct variable groups:   A, k   B, k

Allowed substitution hints:   ph( k)   C( k)

Proof of Theorem prodeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1d.1	. 2 |- ( ph -> A = B )
2		prodeq1 12239	. 2 |- ( A = B -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   prod_cprod 12236

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-if 3621  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-cnv 4757  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-iota 5312  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-recs 6536  df-frec 6622  df-seqfrec 10810  df-proddc 12237

This theorem is referenced by:  prodeq12dv  12255  prodeq12rdv  12256  fprodf1o  12274  fprod1  12280  fprodp1  12286  fprodcl2lem  12291  fprodfac  12301  fprodabs  12302  fprod2d  12309  fprodcom2fi  12312  eulerthlemrprm  12926  eulerthlema  12927  gausslemma2dlem4  15937