Theorem prodeq1d 11846

Description: Equality deduction for product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
prodeq1d.1	|- ( ph -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
prodeq1d	|- ( ph -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )

Distinct variable groups:   A, k   B, k

Allowed substitution hints:   ph( k)   C( k)

Proof of Theorem prodeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1d.1	. 2 |- ( ph -> A = B )
2		prodeq1 11835	. 2 |- ( A = B -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1372   prod_cprod 11832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-ext 2186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-if 3571  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-cnv 4682  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-iota 5231  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-recs 6390  df-frec 6476  df-seqfrec 10591  df-proddc 11833

This theorem is referenced by:  prodeq12dv  11851  prodeq12rdv  11852  fprodf1o  11870  fprod1  11876  fprodp1  11882  fprodcl2lem  11887  fprodfac  11897  fprodabs  11898  fprod2d  11905  fprodcom2fi  11908  eulerthlemrprm  12522  eulerthlema  12523  gausslemma2dlem4  15512