Theorem eulerthlemrprm 12422

Description: Lemma for eulerth 12426. N and prod_ x e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ( F ` x ) are relatively prime. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerth.1	|- ( ph -> ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) )
eulerth.2	|- S = { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 }
eulerth.4	|- ( ph -> F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> S )

Assertion

Ref	Expression
eulerthlemrprm	|- ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ( F ` x ) ) = 1 )

Distinct variable groups:   x, F   y, F   x, N   y, N   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( y)   A( x, y)   S( x, y)

Proof of Theorem eulerthlemrprm

Dummy variables k w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerth.1	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) )
2	1	simp1d 1011	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN )
3	2	phicld 12411	. . . 4 |- ( ph -> ( phi ` N ) e. NN )
4		elnnuz 9655	. . . 4 |- ( ( phi ` N ) e. NN <-> ( phi ` N ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
5	3, 4	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> ( phi ` N ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
6		eluzfz2 10124	. . 3 |- ( ( phi ` N ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( phi ` N ) e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) )
7	5, 6	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( phi ` N ) e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) )
8		oveq2 5933	. . . . . . 7 |- ( w = 1 -> ( 1 ... w ) = ( 1 ... 1 ) )
9	8	prodeq1d 11746	. . . . . 6 |- ( w = 1 -> prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) = prod_ x e. ( 1 ... 1 ) ( F ` x ) )
10	9	oveq2d 5941	. . . . 5 |- ( w = 1 -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) ) = ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... 1 ) ( F ` x ) ) )
11	10	eqeq1d 2205	. . . 4 |- ( w = 1 -> ( ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) ) = 1 <-> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... 1 ) ( F ` x ) ) = 1 ) )
12	11	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = 1 -> ( ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) ) = 1 ) <-> ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... 1 ) ( F ` x ) ) = 1 ) ) )
13		oveq2 5933	. . . . . . 7 |- ( w = k -> ( 1 ... w ) = ( 1 ... k ) )
14	13	prodeq1d 11746	. . . . . 6 |- ( w = k -> prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) = prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) )
15	14	oveq2d 5941	. . . . 5 |- ( w = k -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) ) = ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) )
16	15	eqeq1d 2205	. . . 4 |- ( w = k -> ( ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) ) = 1 <-> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 ) )
17	16	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = k -> ( ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) ) = 1 ) <-> ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 ) ) )
18		oveq2 5933	. . . . . . 7 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( 1 ... w ) = ( 1 ... ( k + 1 ) ) )
19	18	prodeq1d 11746	. . . . . 6 |- ( w = ( k + 1 ) -> prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) = prod_ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` x ) )
20	19	oveq2d 5941	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) ) = ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` x ) ) )
21	20	eqeq1d 2205	. . . 4 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) ) = 1 <-> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` x ) ) = 1 ) )
22	21	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) ) = 1 ) <-> ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` x ) ) = 1 ) ) )
23		oveq2 5933	. . . . . . 7 |- ( w = ( phi ` N ) -> ( 1 ... w ) = ( 1 ... ( phi ` N ) ) )
24	23	prodeq1d 11746	. . . . . 6 |- ( w = ( phi ` N ) -> prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) = prod_ x e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ( F ` x ) )
25	24	oveq2d 5941	. . . . 5 |- ( w = ( phi ` N ) -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) ) = ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ( F ` x ) ) )
26	25	eqeq1d 2205	. . . 4 |- ( w = ( phi ` N ) -> ( ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) ) = 1 <-> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ( F ` x ) ) = 1 ) )
27	26	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = ( phi ` N ) -> ( ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) ) = 1 ) <-> ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ( F ` x ) ) = 1 ) ) )
28		1z 9369	. . . . . . 7 |- 1 e. ZZ
29		eulerth.2	. . . . . . . . . . 11 |- S = { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 }
30		ssrab2 3269	. . . . . . . . . . 11 |- { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 } C_ ( 0..^ N )
31	29, 30	eqsstri 3216	. . . . . . . . . 10 |- S C_ ( 0..^ N )
32		fzo0ssnn0 10308	. . . . . . . . . 10 |- ( 0..^ N ) C_ NN0
33	31, 32	sstri 3193	. . . . . . . . 9 |- S C_ NN0
34		nn0sscn 9271	. . . . . . . . 9 |- NN0 C_ CC
35	33, 34	sstri 3193	. . . . . . . 8 |- S C_ CC
36		eulerth.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> S )
37		f1of 5507	. . . . . . . . . 10 |- ( F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> S -> F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) --> S )
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) --> S )
39	3	nnge1d 9050	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 <_ ( phi ` N ) )
40		uzid 9632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 e. ZZ -> 1 e. ( ZZ>= ` 1 ) )
41	28, 40	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. ( ZZ>= ` 1 )
42	3	nnzd 9464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( phi ` N ) e. ZZ )
43		elfz5 10109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ ( phi ` N ) e. ZZ ) -> ( 1 e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) <-> 1 <_ ( phi ` N ) ) )
44	41, 42, 43	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) <-> 1 <_ ( phi ` N ) ) )
45	39, 44	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) )
46	38, 45	ffvelcdmd 5701	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` 1 ) e. S )
47	35, 46	sselid 3182	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` 1 ) e. CC )
48		fveq2 5561	. . . . . . . 8 |- ( x = 1 -> ( F ` x ) = ( F ` 1 ) )
49	48	fprod1 11776	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( F ` 1 ) e. CC ) -> prod_ x e. ( 1 ... 1 ) ( F ` x ) = ( F ` 1 ) )
50	28, 47, 49	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ph -> prod_ x e. ( 1 ... 1 ) ( F ` x ) = ( F ` 1 ) )
51	50	oveq2d 5941	. . . . 5 |- ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... 1 ) ( F ` x ) ) = ( N gcd ( F ` 1 ) ) )
52	2	nnzd 9464	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ZZ )
53		nn0ssz 9361	. . . . . . . 8 |- NN0 C_ ZZ
54	33, 53	sstri 3193	. . . . . . 7 |- S C_ ZZ
55	54, 46	sselid 3182	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` 1 ) e. ZZ )
56		gcdcom 12165	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ ( F ` 1 ) e. ZZ ) -> ( N gcd ( F ` 1 ) ) = ( ( F ` 1 ) gcd N ) )
57	52, 55, 56	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( N gcd ( F ` 1 ) ) = ( ( F ` 1 ) gcd N ) )
58		oveq1 5932	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( F ` 1 ) -> ( y gcd N ) = ( ( F ` 1 ) gcd N ) )
59	58	eqeq1d 2205	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` 1 ) -> ( ( y gcd N ) = 1 <-> ( ( F ` 1 ) gcd N ) = 1 ) )
60	59, 29	elrab2 2923	. . . . . . 7 |- ( ( F ` 1 ) e. S <-> ( ( F ` 1 ) e. ( 0..^ N ) /\ ( ( F ` 1 ) gcd N ) = 1 ) )
61	46, 60	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F ` 1 ) e. ( 0..^ N ) /\ ( ( F ` 1 ) gcd N ) = 1 ) )
62	61	simprd 114	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F ` 1 ) gcd N ) = 1 )
63	51, 57, 62	3eqtrd 2233	. . . 4 |- ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... 1 ) ( F ` x ) ) = 1 )
64	63	a1i 9	. . 3 |- ( ( phi ` N ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... 1 ) ( F ` x ) ) = 1 ) )
65		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 ) -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 )
66	38	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) --> S )
67		fzofzp1 10320	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) )
68	67	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) )
69	66, 68	ffvelcdmd 5701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. S )
70	54, 69	sselid 3182	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. ZZ )
71	52	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> N e. ZZ )
72		gcdcom 12165	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) gcd N ) = ( N gcd ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
73	70, 71, 72	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) gcd N ) = ( N gcd ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
74		oveq1 5932	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( F ` ( k + 1 ) ) -> ( y gcd N ) = ( ( F ` ( k + 1 ) ) gcd N ) )
75	74	eqeq1d 2205	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( F ` ( k + 1 ) ) -> ( ( y gcd N ) = 1 <-> ( ( F ` ( k + 1 ) ) gcd N ) = 1 ) )
76	75, 29	elrab2 2923	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. S <-> ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. ( 0..^ N ) /\ ( ( F ` ( k + 1 ) ) gcd N ) = 1 ) )
77	76	simprbi 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. S -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) gcd N ) = 1 )
78	69, 77	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) gcd N ) = 1 )
79	73, 78	eqtr3d 2231	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> ( N gcd ( F ` ( k + 1 ) ) ) = 1 )
80	79	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 ) -> ( N gcd ( F ` ( k + 1 ) ) ) = 1 )
81	28	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> 1 e. ZZ )
82		elfzoelz 10239	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) -> k e. ZZ )
83	82	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> k e. ZZ )
84	81, 83	fzfigd 10540	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> ( 1 ... k ) e. Fin )
85	38	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) --> S )
86		elfznn 10146	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( 1 ... k ) -> x e. NN )
87	86	nnred 9020	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( 1 ... k ) -> x e. RR )
88	87	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> x e. RR )
89	3	nnred 9020	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( phi ` N ) e. RR )
90	89	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> ( phi ` N ) e. RR )
91	82	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> k e. ZZ )
92	91	zred 9465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> k e. RR )
93		elfzle2 10120	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( 1 ... k ) -> x <_ k )
94	93	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> x <_ k )
95		elfzolt2 10249	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) -> k < ( phi ` N ) )
96	95	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> k < ( phi ` N ) )
97	88, 92, 90, 94, 96	lelttrd 8168	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> x < ( phi ` N ) )
98	88, 90, 97	ltled 8162	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> x <_ ( phi ` N ) )
99		elfzuz 10113	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 1 ... k ) -> x e. ( ZZ>= ` 1 ) )
100	42	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> ( phi ` N ) e. ZZ )
101		elfz5 10109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ ( phi ` N ) e. ZZ ) -> ( x e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) <-> x <_ ( phi ` N ) ) )
102	99, 100, 101	syl2an2 594	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> ( x e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) <-> x <_ ( phi ` N ) ) )
103	98, 102	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> x e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) )
104	85, 103	ffvelcdmd 5701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> ( F ` x ) e. S )
105	54, 104	sselid 3182	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> ( F ` x ) e. ZZ )
106	84, 105	fprodzcl 11791	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) e. ZZ )
107		rpmul 12291	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) e. ZZ /\ ( F ` ( k + 1 ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 /\ ( N gcd ( F ` ( k + 1 ) ) ) = 1 ) -> ( N gcd ( prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = 1 ) )
108	71, 106, 70, 107	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> ( ( ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 /\ ( N gcd ( F ` ( k + 1 ) ) ) = 1 ) -> ( N gcd ( prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = 1 ) )
109	108	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 ) -> ( ( ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 /\ ( N gcd ( F ` ( k + 1 ) ) ) = 1 ) -> ( N gcd ( prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = 1 ) )
110	65, 80, 109	mp2and 433	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 ) -> ( N gcd ( prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = 1 )
111		elfzouz 10243	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
112	111	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
113	38	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) --> S )
114		elfzelz 10117	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) -> x e. ZZ )
115	114	zred 9465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) -> x e. RR )
116	115	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> x e. RR )
117	82	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> k e. ZZ )
118	117	peano2zd 9468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
119	118	zred 9465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. RR )
120	89	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( phi ` N ) e. RR )
121		elfzle2 10120	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) -> x <_ ( k + 1 ) )
122	121	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> x <_ ( k + 1 ) )
123		elfzle2 10120	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k + 1 ) e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) -> ( k + 1 ) <_ ( phi ` N ) )
124	67, 123	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) -> ( k + 1 ) <_ ( phi ` N ) )
125	124	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) <_ ( phi ` N ) )
126	116, 119, 120, 122, 125	letrd 8167	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> x <_ ( phi ` N ) )
127		elfzuz 10113	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) -> x e. ( ZZ>= ` 1 ) )
128	42	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( phi ` N ) e. ZZ )
129	127, 128, 101	syl2an2 594	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( x e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) <-> x <_ ( phi ` N ) ) )
130	126, 129	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> x e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) )
131	113, 130	ffvelcdmd 5701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( F ` x ) e. S )
132	35, 131	sselid 3182	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( F ` x ) e. CC )
133		fveq2 5561	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
134	112, 132, 133	fprodp1 11782	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> prod_ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` x ) = ( prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
135	134	oveq2d 5941	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` x ) ) = ( N gcd ( prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
136	135	eqeq1d 2205	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> ( ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` x ) ) = 1 <-> ( N gcd ( prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = 1 ) )
137	136	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 ) -> ( ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` x ) ) = 1 <-> ( N gcd ( prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = 1 ) )
138	110, 137	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 ) -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` x ) ) = 1 )
139	138	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> ( ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` x ) ) = 1 ) )
140	139	expcom 116	. . . 4 |- ( k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) -> ( ph -> ( ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` x ) ) = 1 ) ) )
141	140	a2d 26	. . 3 |- ( k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) -> ( ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 ) -> ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` x ) ) = 1 ) ) )
142	12, 17, 22, 27, 64, 141	fzind2 10332	. 2 |- ( ( phi ` N ) e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) -> ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ( F ` x ) ) = 1 ) )
143	7, 142	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ( F ` x ) ) = 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   {crab 2479   class class class wbr 4034   -->wf 5255   -1-1-onto->wf1o 5258   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   CCcc 7894   RRcr 7895   0cc0 7896   1c1 7897   + caddc 7899   x. cmul 7901   < clt 8078   <_ cle 8079   NNcn 9007   NN0cn0 9266   ZZcz 9343   ZZ>=cuz 9618   ...cfz 10100  ..^cfzo 10234   prod_cprod 11732   gcd cgcd 12145   phicphi 12402

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-oadd 6487  df-er 6601  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-sup 7059  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-fl 10377  df-mod 10432  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-ihash 10885  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-clim 11461  df-proddc 11733  df-dvds 11970  df-gcd 12146  df-phi 12404

This theorem is referenced by:  eulerthlemth  12425