Theorem eulerthlemrprm 12183

Description: Lemma for eulerth 12187. N and prod_ x e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ( F ` x ) are relatively prime. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerth.1	|- ( ph -> ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) )
eulerth.2	|- S = { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 }
eulerth.4	|- ( ph -> F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> S )

Assertion

Ref	Expression
eulerthlemrprm	|- ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ( F ` x ) ) = 1 )

Distinct variable groups:   x, F   y, F   x, N   y, N   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( y)   A( x, y)   S( x, y)

Proof of Theorem eulerthlemrprm

Dummy variables k w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerth.1	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) )
2	1	simp1d 1004	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN )
3	2	phicld 12172	. . . 4 |- ( ph -> ( phi ` N ) e. NN )
4		elnnuz 9523	. . . 4 |- ( ( phi ` N ) e. NN <-> ( phi ` N ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
5	3, 4	sylib 121	. . 3 |- ( ph -> ( phi ` N ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
6		eluzfz2 9988	. . 3 |- ( ( phi ` N ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( phi ` N ) e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) )
7	5, 6	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( phi ` N ) e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) )
8		oveq2 5861	. . . . . . 7 |- ( w = 1 -> ( 1 ... w ) = ( 1 ... 1 ) )
9	8	prodeq1d 11527	. . . . . 6 |- ( w = 1 -> prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) = prod_ x e. ( 1 ... 1 ) ( F ` x ) )
10	9	oveq2d 5869	. . . . 5 |- ( w = 1 -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) ) = ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... 1 ) ( F ` x ) ) )
11	10	eqeq1d 2179	. . . 4 |- ( w = 1 -> ( ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) ) = 1 <-> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... 1 ) ( F ` x ) ) = 1 ) )
12	11	imbi2d 229	. . 3 |- ( w = 1 -> ( ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) ) = 1 ) <-> ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... 1 ) ( F ` x ) ) = 1 ) ) )
13		oveq2 5861	. . . . . . 7 |- ( w = k -> ( 1 ... w ) = ( 1 ... k ) )
14	13	prodeq1d 11527	. . . . . 6 |- ( w = k -> prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) = prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) )
15	14	oveq2d 5869	. . . . 5 |- ( w = k -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) ) = ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) )
16	15	eqeq1d 2179	. . . 4 |- ( w = k -> ( ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) ) = 1 <-> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 ) )
17	16	imbi2d 229	. . 3 |- ( w = k -> ( ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) ) = 1 ) <-> ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 ) ) )
18		oveq2 5861	. . . . . . 7 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( 1 ... w ) = ( 1 ... ( k + 1 ) ) )
19	18	prodeq1d 11527	. . . . . 6 |- ( w = ( k + 1 ) -> prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) = prod_ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` x ) )
20	19	oveq2d 5869	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) ) = ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` x ) ) )
21	20	eqeq1d 2179	. . . 4 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) ) = 1 <-> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` x ) ) = 1 ) )
22	21	imbi2d 229	. . 3 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) ) = 1 ) <-> ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` x ) ) = 1 ) ) )
23		oveq2 5861	. . . . . . 7 |- ( w = ( phi ` N ) -> ( 1 ... w ) = ( 1 ... ( phi ` N ) ) )
24	23	prodeq1d 11527	. . . . . 6 |- ( w = ( phi ` N ) -> prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) = prod_ x e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ( F ` x ) )
25	24	oveq2d 5869	. . . . 5 |- ( w = ( phi ` N ) -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) ) = ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ( F ` x ) ) )
26	25	eqeq1d 2179	. . . 4 |- ( w = ( phi ` N ) -> ( ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) ) = 1 <-> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ( F ` x ) ) = 1 ) )
27	26	imbi2d 229	. . 3 |- ( w = ( phi ` N ) -> ( ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) ) = 1 ) <-> ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ( F ` x ) ) = 1 ) ) )
28		1z 9238	. . . . . . 7 |- 1 e. ZZ
29		eulerth.2	. . . . . . . . . . 11 |- S = { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 }
30		ssrab2 3232	. . . . . . . . . . 11 |- { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 } C_ ( 0..^ N )
31	29, 30	eqsstri 3179	. . . . . . . . . 10 |- S C_ ( 0..^ N )
32		fzo0ssnn0 10171	. . . . . . . . . 10 |- ( 0..^ N ) C_ NN0
33	31, 32	sstri 3156	. . . . . . . . 9 |- S C_ NN0
34		nn0sscn 9140	. . . . . . . . 9 |- NN0 C_ CC
35	33, 34	sstri 3156	. . . . . . . 8 |- S C_ CC
36		eulerth.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> S )
37		f1of 5442	. . . . . . . . . 10 |- ( F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> S -> F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) --> S )
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) --> S )
39	3	nnge1d 8921	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 <_ ( phi ` N ) )
40		uzid 9501	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 e. ZZ -> 1 e. ( ZZ>= ` 1 ) )
41	28, 40	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. ( ZZ>= ` 1 )
42	3	nnzd 9333	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( phi ` N ) e. ZZ )
43		elfz5 9973	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ ( phi ` N ) e. ZZ ) -> ( 1 e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) <-> 1 <_ ( phi ` N ) ) )
44	41, 42, 43	sylancr 412	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) <-> 1 <_ ( phi ` N ) ) )
45	39, 44	mpbird 166	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) )
46	38, 45	ffvelrnd 5632	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` 1 ) e. S )
47	35, 46	sselid 3145	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` 1 ) e. CC )
48		fveq2 5496	. . . . . . . 8 |- ( x = 1 -> ( F ` x ) = ( F ` 1 ) )
49	48	fprod1 11557	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( F ` 1 ) e. CC ) -> prod_ x e. ( 1 ... 1 ) ( F ` x ) = ( F ` 1 ) )
50	28, 47, 49	sylancr 412	. . . . . 6 |- ( ph -> prod_ x e. ( 1 ... 1 ) ( F ` x ) = ( F ` 1 ) )
51	50	oveq2d 5869	. . . . 5 |- ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... 1 ) ( F ` x ) ) = ( N gcd ( F ` 1 ) ) )
52	2	nnzd 9333	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ZZ )
53		nn0ssz 9230	. . . . . . . 8 |- NN0 C_ ZZ
54	33, 53	sstri 3156	. . . . . . 7 |- S C_ ZZ
55	54, 46	sselid 3145	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` 1 ) e. ZZ )
56		gcdcom 11928	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ ( F ` 1 ) e. ZZ ) -> ( N gcd ( F ` 1 ) ) = ( ( F ` 1 ) gcd N ) )
57	52, 55, 56	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ph -> ( N gcd ( F ` 1 ) ) = ( ( F ` 1 ) gcd N ) )
58		oveq1 5860	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( F ` 1 ) -> ( y gcd N ) = ( ( F ` 1 ) gcd N ) )
59	58	eqeq1d 2179	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` 1 ) -> ( ( y gcd N ) = 1 <-> ( ( F ` 1 ) gcd N ) = 1 ) )
60	59, 29	elrab2 2889	. . . . . . 7 |- ( ( F ` 1 ) e. S <-> ( ( F ` 1 ) e. ( 0..^ N ) /\ ( ( F ` 1 ) gcd N ) = 1 ) )
61	46, 60	sylib 121	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F ` 1 ) e. ( 0..^ N ) /\ ( ( F ` 1 ) gcd N ) = 1 ) )
62	61	simprd 113	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F ` 1 ) gcd N ) = 1 )
63	51, 57, 62	3eqtrd 2207	. . . 4 |- ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... 1 ) ( F ` x ) ) = 1 )
64	63	a1i 9	. . 3 |- ( ( phi ` N ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... 1 ) ( F ` x ) ) = 1 ) )
65		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 ) -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 )
66	38	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) --> S )
67		fzofzp1 10183	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) )
68	67	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) )
69	66, 68	ffvelrnd 5632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. S )
70	54, 69	sselid 3145	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. ZZ )
71	52	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> N e. ZZ )
72		gcdcom 11928	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) gcd N ) = ( N gcd ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
73	70, 71, 72	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) gcd N ) = ( N gcd ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
74		oveq1 5860	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( F ` ( k + 1 ) ) -> ( y gcd N ) = ( ( F ` ( k + 1 ) ) gcd N ) )
75	74	eqeq1d 2179	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( F ` ( k + 1 ) ) -> ( ( y gcd N ) = 1 <-> ( ( F ` ( k + 1 ) ) gcd N ) = 1 ) )
76	75, 29	elrab2 2889	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. S <-> ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. ( 0..^ N ) /\ ( ( F ` ( k + 1 ) ) gcd N ) = 1 ) )
77	76	simprbi 273	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. S -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) gcd N ) = 1 )
78	69, 77	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) gcd N ) = 1 )
79	73, 78	eqtr3d 2205	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> ( N gcd ( F ` ( k + 1 ) ) ) = 1 )
80	79	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 ) -> ( N gcd ( F ` ( k + 1 ) ) ) = 1 )
81	28	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> 1 e. ZZ )
82		elfzoelz 10103	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) -> k e. ZZ )
83	82	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> k e. ZZ )
84	81, 83	fzfigd 10387	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> ( 1 ... k ) e. Fin )
85	38	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) --> S )
86		elfznn 10010	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( 1 ... k ) -> x e. NN )
87	86	nnred 8891	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( 1 ... k ) -> x e. RR )
88	87	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> x e. RR )
89	3	nnred 8891	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( phi ` N ) e. RR )
90	89	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> ( phi ` N ) e. RR )
91	82	ad2antlr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> k e. ZZ )
92	91	zred 9334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> k e. RR )
93		elfzle2 9984	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( 1 ... k ) -> x <_ k )
94	93	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> x <_ k )
95		elfzolt2 10112	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) -> k < ( phi ` N ) )
96	95	ad2antlr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> k < ( phi ` N ) )
97	88, 92, 90, 94, 96	lelttrd 8044	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> x < ( phi ` N ) )
98	88, 90, 97	ltled 8038	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> x <_ ( phi ` N ) )
99		elfzuz 9977	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 1 ... k ) -> x e. ( ZZ>= ` 1 ) )
100	42	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> ( phi ` N ) e. ZZ )
101		elfz5 9973	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ ( phi ` N ) e. ZZ ) -> ( x e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) <-> x <_ ( phi ` N ) ) )
102	99, 100, 101	syl2an2 589	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> ( x e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) <-> x <_ ( phi ` N ) ) )
103	98, 102	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> x e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) )
104	85, 103	ffvelrnd 5632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> ( F ` x ) e. S )
105	54, 104	sselid 3145	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> ( F ` x ) e. ZZ )
106	84, 105	fprodzcl 11572	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) e. ZZ )
107		rpmul 12052	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) e. ZZ /\ ( F ` ( k + 1 ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 /\ ( N gcd ( F ` ( k + 1 ) ) ) = 1 ) -> ( N gcd ( prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = 1 ) )
108	71, 106, 70, 107	syl3anc 1233	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> ( ( ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 /\ ( N gcd ( F ` ( k + 1 ) ) ) = 1 ) -> ( N gcd ( prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = 1 ) )
109	108	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 ) -> ( ( ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 /\ ( N gcd ( F ` ( k + 1 ) ) ) = 1 ) -> ( N gcd ( prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = 1 ) )
110	65, 80, 109	mp2and 431	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 ) -> ( N gcd ( prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = 1 )
111		elfzouz 10107	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
112	111	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
113	38	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) --> S )
114		elfzelz 9981	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) -> x e. ZZ )
115	114	zred 9334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) -> x e. RR )
116	115	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> x e. RR )
117	82	ad2antlr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> k e. ZZ )
118	117	peano2zd 9337	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
119	118	zred 9334	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. RR )
120	89	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( phi ` N ) e. RR )
121		elfzle2 9984	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) -> x <_ ( k + 1 ) )
122	121	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> x <_ ( k + 1 ) )
123		elfzle2 9984	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k + 1 ) e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) -> ( k + 1 ) <_ ( phi ` N ) )
124	67, 123	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) -> ( k + 1 ) <_ ( phi ` N ) )
125	124	ad2antlr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) <_ ( phi ` N ) )
126	116, 119, 120, 122, 125	letrd 8043	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> x <_ ( phi ` N ) )
127		elfzuz 9977	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) -> x e. ( ZZ>= ` 1 ) )
128	42	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( phi ` N ) e. ZZ )
129	127, 128, 101	syl2an2 589	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( x e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) <-> x <_ ( phi ` N ) ) )
130	126, 129	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> x e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) )
131	113, 130	ffvelrnd 5632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( F ` x ) e. S )
132	35, 131	sselid 3145	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( F ` x ) e. CC )
133		fveq2 5496	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
134	112, 132, 133	fprodp1 11563	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> prod_ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` x ) = ( prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
135	134	oveq2d 5869	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` x ) ) = ( N gcd ( prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
136	135	eqeq1d 2179	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> ( ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` x ) ) = 1 <-> ( N gcd ( prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = 1 ) )
137	136	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 ) -> ( ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` x ) ) = 1 <-> ( N gcd ( prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = 1 ) )
138	110, 137	mpbird 166	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 ) -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` x ) ) = 1 )
139	138	ex 114	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> ( ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` x ) ) = 1 ) )
140	139	expcom 115	. . . 4 |- ( k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) -> ( ph -> ( ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` x ) ) = 1 ) ) )
141	140	a2d 26	. . 3 |- ( k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) -> ( ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 ) -> ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` x ) ) = 1 ) ) )
142	12, 17, 22, 27, 64, 141	fzind2 10195	. 2 |- ( ( phi ` N ) e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) -> ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ( F ` x ) ) = 1 ) )
143	7, 142	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ( F ` x ) ) = 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   {crab 2452   class class class wbr 3989   -->wf 5194   -1-1-onto->wf1o 5197   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   CCcc 7772   RRcr 7773   0cc0 7774   1c1 7775   + caddc 7777   x. cmul 7779   < clt 7954   <_ cle 7955   NNcn 8878   NN0cn0 9135   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   ...cfz 9965  ..^cfzo 10098   prod_cprod 11513   gcd cgcd 11897   phicphi 12163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-sup 6961  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-fl 10226  df-mod 10279  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-proddc 11514  df-dvds 11750  df-gcd 11898  df-phi 12165

This theorem is referenced by:  eulerthlemth  12186