Theorem eulerthlemrprm 12601

Description: Lemma for eulerth 12605. N and prod_ x e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ( F ` x ) are relatively prime. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerth.1	|- ( ph -> ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) )
eulerth.2	|- S = { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 }
eulerth.4	|- ( ph -> F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> S )

Assertion

Ref	Expression
eulerthlemrprm	|- ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ( F ` x ) ) = 1 )

Distinct variable groups:   x, F   y, F   x, N   y, N   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( y)   A( x, y)   S( x, y)

Proof of Theorem eulerthlemrprm

Dummy variables k w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerth.1	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) )
2	1	simp1d 1012	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN )
3	2	phicld 12590	. . . 4 |- ( ph -> ( phi ` N ) e. NN )
4		elnnuz 9698	. . . 4 |- ( ( phi ` N ) e. NN <-> ( phi ` N ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
5	3, 4	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> ( phi ` N ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
6		eluzfz2 10167	. . 3 |- ( ( phi ` N ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( phi ` N ) e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) )
7	5, 6	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( phi ` N ) e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) )
8		oveq2 5962	. . . . . . 7 |- ( w = 1 -> ( 1 ... w ) = ( 1 ... 1 ) )
9	8	prodeq1d 11925	. . . . . 6 |- ( w = 1 -> prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) = prod_ x e. ( 1 ... 1 ) ( F ` x ) )
10	9	oveq2d 5970	. . . . 5 |- ( w = 1 -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) ) = ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... 1 ) ( F ` x ) ) )
11	10	eqeq1d 2215	. . . 4 |- ( w = 1 -> ( ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) ) = 1 <-> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... 1 ) ( F ` x ) ) = 1 ) )
12	11	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = 1 -> ( ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) ) = 1 ) <-> ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... 1 ) ( F ` x ) ) = 1 ) ) )
13		oveq2 5962	. . . . . . 7 |- ( w = k -> ( 1 ... w ) = ( 1 ... k ) )
14	13	prodeq1d 11925	. . . . . 6 |- ( w = k -> prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) = prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) )
15	14	oveq2d 5970	. . . . 5 |- ( w = k -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) ) = ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) )
16	15	eqeq1d 2215	. . . 4 |- ( w = k -> ( ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) ) = 1 <-> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 ) )
17	16	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = k -> ( ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) ) = 1 ) <-> ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 ) ) )
18		oveq2 5962	. . . . . . 7 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( 1 ... w ) = ( 1 ... ( k + 1 ) ) )
19	18	prodeq1d 11925	. . . . . 6 |- ( w = ( k + 1 ) -> prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) = prod_ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` x ) )
20	19	oveq2d 5970	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) ) = ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` x ) ) )
21	20	eqeq1d 2215	. . . 4 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) ) = 1 <-> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` x ) ) = 1 ) )
22	21	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) ) = 1 ) <-> ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` x ) ) = 1 ) ) )
23		oveq2 5962	. . . . . . 7 |- ( w = ( phi ` N ) -> ( 1 ... w ) = ( 1 ... ( phi ` N ) ) )
24	23	prodeq1d 11925	. . . . . 6 |- ( w = ( phi ` N ) -> prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) = prod_ x e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ( F ` x ) )
25	24	oveq2d 5970	. . . . 5 |- ( w = ( phi ` N ) -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) ) = ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ( F ` x ) ) )
26	25	eqeq1d 2215	. . . 4 |- ( w = ( phi ` N ) -> ( ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) ) = 1 <-> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ( F ` x ) ) = 1 ) )
27	26	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = ( phi ` N ) -> ( ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) ) = 1 ) <-> ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ( F ` x ) ) = 1 ) ) )
28		1z 9411	. . . . . . 7 |- 1 e. ZZ
29		eulerth.2	. . . . . . . . . . 11 |- S = { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 }
30		ssrab2 3280	. . . . . . . . . . 11 |- { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 } C_ ( 0..^ N )
31	29, 30	eqsstri 3227	. . . . . . . . . 10 |- S C_ ( 0..^ N )
32		fzo0ssnn0 10357	. . . . . . . . . 10 |- ( 0..^ N ) C_ NN0
33	31, 32	sstri 3204	. . . . . . . . 9 |- S C_ NN0
34		nn0sscn 9313	. . . . . . . . 9 |- NN0 C_ CC
35	33, 34	sstri 3204	. . . . . . . 8 |- S C_ CC
36		eulerth.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> S )
37		f1of 5531	. . . . . . . . . 10 |- ( F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> S -> F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) --> S )
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) --> S )
39	3	nnge1d 9092	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 <_ ( phi ` N ) )
40		uzid 9675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 e. ZZ -> 1 e. ( ZZ>= ` 1 ) )
41	28, 40	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. ( ZZ>= ` 1 )
42	3	nnzd 9507	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( phi ` N ) e. ZZ )
43		elfz5 10152	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ ( phi ` N ) e. ZZ ) -> ( 1 e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) <-> 1 <_ ( phi ` N ) ) )
44	41, 42, 43	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) <-> 1 <_ ( phi ` N ) ) )
45	39, 44	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) )
46	38, 45	ffvelcdmd 5726	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` 1 ) e. S )
47	35, 46	sselid 3193	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` 1 ) e. CC )
48		fveq2 5586	. . . . . . . 8 |- ( x = 1 -> ( F ` x ) = ( F ` 1 ) )
49	48	fprod1 11955	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( F ` 1 ) e. CC ) -> prod_ x e. ( 1 ... 1 ) ( F ` x ) = ( F ` 1 ) )
50	28, 47, 49	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ph -> prod_ x e. ( 1 ... 1 ) ( F ` x ) = ( F ` 1 ) )
51	50	oveq2d 5970	. . . . 5 |- ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... 1 ) ( F ` x ) ) = ( N gcd ( F ` 1 ) ) )
52	2	nnzd 9507	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ZZ )
53		nn0ssz 9403	. . . . . . . 8 |- NN0 C_ ZZ
54	33, 53	sstri 3204	. . . . . . 7 |- S C_ ZZ
55	54, 46	sselid 3193	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` 1 ) e. ZZ )
56		gcdcom 12344	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ ( F ` 1 ) e. ZZ ) -> ( N gcd ( F ` 1 ) ) = ( ( F ` 1 ) gcd N ) )
57	52, 55, 56	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( N gcd ( F ` 1 ) ) = ( ( F ` 1 ) gcd N ) )
58		oveq1 5961	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( F ` 1 ) -> ( y gcd N ) = ( ( F ` 1 ) gcd N ) )
59	58	eqeq1d 2215	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` 1 ) -> ( ( y gcd N ) = 1 <-> ( ( F ` 1 ) gcd N ) = 1 ) )
60	59, 29	elrab2 2934	. . . . . . 7 |- ( ( F ` 1 ) e. S <-> ( ( F ` 1 ) e. ( 0..^ N ) /\ ( ( F ` 1 ) gcd N ) = 1 ) )
61	46, 60	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F ` 1 ) e. ( 0..^ N ) /\ ( ( F ` 1 ) gcd N ) = 1 ) )
62	61	simprd 114	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F ` 1 ) gcd N ) = 1 )
63	51, 57, 62	3eqtrd 2243	. . . 4 |- ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... 1 ) ( F ` x ) ) = 1 )
64	63	a1i 9	. . 3 |- ( ( phi ` N ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... 1 ) ( F ` x ) ) = 1 ) )
65		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 ) -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 )
66	38	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) --> S )
67		fzofzp1 10369	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) )
68	67	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) )
69	66, 68	ffvelcdmd 5726	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. S )
70	54, 69	sselid 3193	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. ZZ )
71	52	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> N e. ZZ )
72		gcdcom 12344	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) gcd N ) = ( N gcd ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
73	70, 71, 72	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) gcd N ) = ( N gcd ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
74		oveq1 5961	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( F ` ( k + 1 ) ) -> ( y gcd N ) = ( ( F ` ( k + 1 ) ) gcd N ) )
75	74	eqeq1d 2215	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( F ` ( k + 1 ) ) -> ( ( y gcd N ) = 1 <-> ( ( F ` ( k + 1 ) ) gcd N ) = 1 ) )
76	75, 29	elrab2 2934	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. S <-> ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. ( 0..^ N ) /\ ( ( F ` ( k + 1 ) ) gcd N ) = 1 ) )
77	76	simprbi 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. S -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) gcd N ) = 1 )
78	69, 77	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) gcd N ) = 1 )
79	73, 78	eqtr3d 2241	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> ( N gcd ( F ` ( k + 1 ) ) ) = 1 )
80	79	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 ) -> ( N gcd ( F ` ( k + 1 ) ) ) = 1 )
81	28	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> 1 e. ZZ )
82		elfzoelz 10282	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) -> k e. ZZ )
83	82	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> k e. ZZ )
84	81, 83	fzfigd 10589	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> ( 1 ... k ) e. Fin )
85	38	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) --> S )
86		elfznn 10189	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( 1 ... k ) -> x e. NN )
87	86	nnred 9062	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( 1 ... k ) -> x e. RR )
88	87	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> x e. RR )
89	3	nnred 9062	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( phi ` N ) e. RR )
90	89	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> ( phi ` N ) e. RR )
91	82	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> k e. ZZ )
92	91	zred 9508	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> k e. RR )
93		elfzle2 10163	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( 1 ... k ) -> x <_ k )
94	93	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> x <_ k )
95		elfzolt2 10292	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) -> k < ( phi ` N ) )
96	95	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> k < ( phi ` N ) )
97	88, 92, 90, 94, 96	lelttrd 8210	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> x < ( phi ` N ) )
98	88, 90, 97	ltled 8204	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> x <_ ( phi ` N ) )
99		elfzuz 10156	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 1 ... k ) -> x e. ( ZZ>= ` 1 ) )
100	42	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> ( phi ` N ) e. ZZ )
101		elfz5 10152	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ ( phi ` N ) e. ZZ ) -> ( x e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) <-> x <_ ( phi ` N ) ) )
102	99, 100, 101	syl2an2 594	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> ( x e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) <-> x <_ ( phi ` N ) ) )
103	98, 102	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> x e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) )
104	85, 103	ffvelcdmd 5726	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> ( F ` x ) e. S )
105	54, 104	sselid 3193	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> ( F ` x ) e. ZZ )
106	84, 105	fprodzcl 11970	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) e. ZZ )
107		rpmul 12470	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) e. ZZ /\ ( F ` ( k + 1 ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 /\ ( N gcd ( F ` ( k + 1 ) ) ) = 1 ) -> ( N gcd ( prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = 1 ) )
108	71, 106, 70, 107	syl3anc 1250	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> ( ( ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 /\ ( N gcd ( F ` ( k + 1 ) ) ) = 1 ) -> ( N gcd ( prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = 1 ) )
109	108	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 ) -> ( ( ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 /\ ( N gcd ( F ` ( k + 1 ) ) ) = 1 ) -> ( N gcd ( prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = 1 ) )
110	65, 80, 109	mp2and 433	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 ) -> ( N gcd ( prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = 1 )
111		elfzouz 10286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
112	111	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
113	38	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) --> S )
114		elfzelz 10160	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) -> x e. ZZ )
115	114	zred 9508	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) -> x e. RR )
116	115	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> x e. RR )
117	82	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> k e. ZZ )
118	117	peano2zd 9511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
119	118	zred 9508	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. RR )
120	89	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( phi ` N ) e. RR )
121		elfzle2 10163	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) -> x <_ ( k + 1 ) )
122	121	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> x <_ ( k + 1 ) )
123		elfzle2 10163	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k + 1 ) e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) -> ( k + 1 ) <_ ( phi ` N ) )
124	67, 123	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) -> ( k + 1 ) <_ ( phi ` N ) )
125	124	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) <_ ( phi ` N ) )
126	116, 119, 120, 122, 125	letrd 8209	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> x <_ ( phi ` N ) )
127		elfzuz 10156	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) -> x e. ( ZZ>= ` 1 ) )
128	42	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( phi ` N ) e. ZZ )
129	127, 128, 101	syl2an2 594	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( x e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) <-> x <_ ( phi ` N ) ) )
130	126, 129	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> x e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) )
131	113, 130	ffvelcdmd 5726	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( F ` x ) e. S )
132	35, 131	sselid 3193	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( F ` x ) e. CC )
133		fveq2 5586	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
134	112, 132, 133	fprodp1 11961	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> prod_ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` x ) = ( prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
135	134	oveq2d 5970	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` x ) ) = ( N gcd ( prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
136	135	eqeq1d 2215	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> ( ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` x ) ) = 1 <-> ( N gcd ( prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = 1 ) )
137	136	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 ) -> ( ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` x ) ) = 1 <-> ( N gcd ( prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = 1 ) )
138	110, 137	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 ) -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` x ) ) = 1 )
139	138	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> ( ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` x ) ) = 1 ) )
140	139	expcom 116	. . . 4 |- ( k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) -> ( ph -> ( ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` x ) ) = 1 ) ) )
141	140	a2d 26	. . 3 |- ( k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) -> ( ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 ) -> ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` x ) ) = 1 ) ) )
142	12, 17, 22, 27, 64, 141	fzind2 10381	. 2 |- ( ( phi ` N ) e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) -> ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ( F ` x ) ) = 1 ) )
143	7, 142	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ( F ` x ) ) = 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2177   {crab 2489   class class class wbr 4048   -->wf 5273   -1-1-onto->wf1o 5276   ` cfv 5277  (class class class)co 5954   CCcc 7936   RRcr 7937   0cc0 7938   1c1 7939   + caddc 7941   x. cmul 7943   < clt 8120   <_ cle 8121   NNcn 9049   NN0cn0 9308   ZZcz 9385   ZZ>=cuz 9661   ...cfz 10143  ..^cfzo 10277   prod_cprod 11911   gcd cgcd 12324   phicphi 12581

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4164  ax-sep 4167  ax-nul 4175  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-iinf 4641  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-1re 8032  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-mulrcl 8037  ax-addcom 8038  ax-mulcom 8039  ax-addass 8040  ax-mulass 8041  ax-distr 8042  ax-i2m1 8043  ax-0lt1 8044  ax-1rid 8045  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-precex 8048  ax-cnre 8049  ax-pre-ltirr 8050  ax-pre-ltwlin 8051  ax-pre-lttrn 8052  ax-pre-apti 8053  ax-pre-ltadd 8054  ax-pre-mulgt0 8055  ax-pre-mulext 8056  ax-arch 8057  ax-caucvg 8058

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-csb 3096  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-if 3574  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-iun 3932  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-tr 4148  df-id 4345  df-po 4348  df-iso 4349  df-iord 4418  df-on 4420  df-ilim 4421  df-suc 4423  df-iom 4644  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-f1 5282  df-fo 5283  df-f1o 5284  df-fv 5285  df-isom 5286  df-riota 5909  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-1st 6236  df-2nd 6237  df-recs 6401  df-irdg 6466  df-frec 6487  df-1o 6512  df-oadd 6516  df-er 6630  df-en 6838  df-dom 6839  df-fin 6840  df-sup 7098  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-xr 8124  df-ltxr 8125  df-le 8126  df-sub 8258  df-neg 8259  df-reap 8661  df-ap 8668  df-div 8759  df-inn 9050  df-2 9108  df-3 9109  df-4 9110  df-n0 9309  df-z 9386  df-uz 9662  df-q 9754  df-rp 9789  df-fz 10144  df-fzo 10278  df-fl 10426  df-mod 10481  df-seqfrec 10606  df-exp 10697  df-ihash 10934  df-cj 11203  df-re 11204  df-im 11205  df-rsqrt 11359  df-abs 11360  df-clim 11640  df-proddc 11912  df-dvds 12149  df-gcd 12325  df-phi 12583

This theorem is referenced by:  eulerthlemth  12604