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Theorem eulerthlemrprm 12096
Description: Lemma for eulerth 12100. 
N and  prod_ x  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ( F `  x
) are relatively prime. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerth.1  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 ) )
eulerth.2  |-  S  =  { y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd  N
)  =  1 }
eulerth.4  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-onto-> S )
Assertion
Ref Expression
eulerthlemrprm  |-  ( ph  ->  ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... ( phi `  N
) ) ( F `
 x ) )  =  1 )
Distinct variable groups:    x, F    y, F    x, N    y, N    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( y)    A( x, y)    S( x, y)

Proof of Theorem eulerthlemrprm
Dummy variables  k  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eulerth.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 ) )
21simp1d 994 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
32phicld 12085 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( phi `  N
)  e.  NN )
4 elnnuz 9470 . . . 4  |-  ( ( phi `  N )  e.  NN  <->  ( phi `  N )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
53, 4sylib 121 . . 3  |-  ( ph  ->  ( phi `  N
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
6 eluzfz2 9929 . . 3  |-  ( ( phi `  N )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( phi `  N )  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) )
75, 6syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( phi `  N
)  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) )
8 oveq2 5829 . . . . . . 7  |-  ( w  =  1  ->  (
1 ... w )  =  ( 1 ... 1
) )
98prodeq1d 11456 . . . . . 6  |-  ( w  =  1  ->  prod_ x  e.  ( 1 ... w ) ( F `
 x )  = 
prod_ x  e.  (
1 ... 1 ) ( F `  x ) )
109oveq2d 5837 . . . . 5  |-  ( w  =  1  ->  ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... w ) ( F `  x
) )  =  ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... 1
) ( F `  x ) ) )
1110eqeq1d 2166 . . . 4  |-  ( w  =  1  ->  (
( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... w ) ( F `
 x ) )  =  1  <->  ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... 1 ) ( F `  x
) )  =  1 ) )
1211imbi2d 229 . . 3  |-  ( w  =  1  ->  (
( ph  ->  ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... w ) ( F `  x
) )  =  1 )  <->  ( ph  ->  ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... 1
) ( F `  x ) )  =  1 ) ) )
13 oveq2 5829 . . . . . . 7  |-  ( w  =  k  ->  (
1 ... w )  =  ( 1 ... k
) )
1413prodeq1d 11456 . . . . . 6  |-  ( w  =  k  ->  prod_ x  e.  ( 1 ... w ) ( F `
 x )  = 
prod_ x  e.  (
1 ... k ) ( F `  x ) )
1514oveq2d 5837 . . . . 5  |-  ( w  =  k  ->  ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... w ) ( F `  x
) )  =  ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... k
) ( F `  x ) ) )
1615eqeq1d 2166 . . . 4  |-  ( w  =  k  ->  (
( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... w ) ( F `
 x ) )  =  1  <->  ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x
) )  =  1 ) )
1716imbi2d 229 . . 3  |-  ( w  =  k  ->  (
( ph  ->  ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... w ) ( F `  x
) )  =  1 )  <->  ( ph  ->  ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... k
) ( F `  x ) )  =  1 ) ) )
18 oveq2 5829 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
1 ... w )  =  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) )
1918prodeq1d 11456 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  prod_ x  e.  ( 1 ... w ) ( F `
 x )  = 
prod_ x  e.  (
1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  x ) )
2019oveq2d 5837 . . . . 5  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... w ) ( F `  x
) )  =  ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( F `  x ) ) )
2120eqeq1d 2166 . . . 4  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... w ) ( F `
 x ) )  =  1  <->  ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  x
) )  =  1 ) )
2221imbi2d 229 . . 3  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... w ) ( F `  x
) )  =  1 )  <->  ( ph  ->  ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( F `  x ) )  =  1 ) ) )
23 oveq2 5829 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( phi `  N )  ->  (
1 ... w )  =  ( 1 ... ( phi `  N ) ) )
2423prodeq1d 11456 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( phi `  N )  ->  prod_ x  e.  ( 1 ... w ) ( F `
 x )  = 
prod_ x  e.  (
1 ... ( phi `  N ) ) ( F `  x ) )
2524oveq2d 5837 . . . . 5  |-  ( w  =  ( phi `  N )  ->  ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... w ) ( F `  x
) )  =  ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ( F `  x
) ) )
2625eqeq1d 2166 . . . 4  |-  ( w  =  ( phi `  N )  ->  (
( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... w ) ( F `
 x ) )  =  1  <->  ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ( F `  x ) )  =  1 ) )
2726imbi2d 229 . . 3  |-  ( w  =  ( phi `  N )  ->  (
( ph  ->  ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... w ) ( F `  x
) )  =  1 )  <->  ( ph  ->  ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ( F `  x
) )  =  1 ) ) )
28 1z 9188 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
29 eulerth.2 . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  { y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd  N
)  =  1 }
30 ssrab2 3213 . . . . . . . . . . 11  |-  { y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd  N )  =  1 }  C_  (
0..^ N )
3129, 30eqsstri 3160 . . . . . . . . . 10  |-  S  C_  ( 0..^ N )
32 fzo0ssnn0 10109 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0..^ N )  C_  NN0
3331, 32sstri 3137 . . . . . . . . 9  |-  S  C_  NN0
34 nn0sscn 9090 . . . . . . . . 9  |-  NN0  C_  CC
3533, 34sstri 3137 . . . . . . . 8  |-  S  C_  CC
36 eulerth.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-onto-> S )
37 f1of 5413 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : ( 1 ... ( phi `  N
) ) -1-1-onto-> S  ->  F :
( 1 ... ( phi `  N ) ) --> S )
3836, 37syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... ( phi `  N ) ) --> S )
393nnge1d 8871 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  <_  ( phi `  N ) )
40 uzid 9448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  1  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
4128, 40ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  ( ZZ>= `  1 )
423nnzd 9280 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( phi `  N
)  e.  ZZ )
43 elfz5 9915 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  ( phi `  N )  e.  ZZ )  ->  (
1  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  <->  1  <_  ( phi `  N ) ) )
4441, 42, 43sylancr 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  <->  1  <_  ( phi `  N ) ) )
4539, 44mpbird 166 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) )
4638, 45ffvelrnd 5602 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  S )
4735, 46sseldi 3126 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  CC )
48 fveq2 5467 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  ( F `  x )  =  ( F ` 
1 ) )
4948fprod1 11486 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( F `  1 )  e.  CC )  ->  prod_ x  e.  ( 1 ... 1 ) ( F `  x )  =  ( F ` 
1 ) )
5028, 47, 49sylancr 411 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  prod_ x  e.  ( 1 ... 1 ) ( F `  x
)  =  ( F `
 1 ) )
5150oveq2d 5837 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... 1 ) ( F `
 x ) )  =  ( N  gcd  ( F `  1 ) ) )
522nnzd 9280 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
53 nn0ssz 9180 . . . . . . . 8  |-  NN0  C_  ZZ
5433, 53sstri 3137 . . . . . . 7  |-  S  C_  ZZ
5554, 46sseldi 3126 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  ZZ )
56 gcdcom 11851 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( F `  1 )  e.  ZZ )  -> 
( N  gcd  ( F `  1 )
)  =  ( ( F `  1 )  gcd  N ) )
5752, 55, 56syl2anc 409 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  gcd  ( F `  1 )
)  =  ( ( F `  1 )  gcd  N ) )
58 oveq1 5828 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( F ` 
1 )  ->  (
y  gcd  N )  =  ( ( F `
 1 )  gcd 
N ) )
5958eqeq1d 2166 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( F ` 
1 )  ->  (
( y  gcd  N
)  =  1  <->  (
( F `  1
)  gcd  N )  =  1 ) )
6059, 29elrab2 2871 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  1 )  e.  S  <->  ( ( F `  1 )  e.  ( 0..^ N )  /\  ( ( F `
 1 )  gcd 
N )  =  1 ) )
6146, 60sylib 121 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
1 )  e.  ( 0..^ N )  /\  ( ( F ` 
1 )  gcd  N
)  =  1 ) )
6261simprd 113 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
1 )  gcd  N
)  =  1 )
6351, 57, 623eqtrd 2194 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... 1 ) ( F `
 x ) )  =  1 )
6463a1i 9 . . 3  |-  ( ( phi `  N )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ph  ->  ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... 1 ) ( F `
 x ) )  =  1 ) )
65 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  ( N  gcd  prod_
x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x ) )  =  1 )  ->  ( N  gcd  prod_
x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x ) )  =  1 )
6638adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  F : ( 1 ... ( phi `  N ) ) --> S )
67 fzofzp1 10121 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) )
6867adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) )
6966, 68ffvelrnd 5602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  S
)
7054, 69sseldi 3126 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  ZZ )
7152adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
72 gcdcom 11851 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  (
k  +  1 ) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  gcd  N
)  =  ( N  gcd  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
7370, 71, 72syl2anc 409 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  ( ( F `
 ( k  +  1 ) )  gcd 
N )  =  ( N  gcd  ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) )
74 oveq1 5828 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( F `  ( k  +  1 ) )  ->  (
y  gcd  N )  =  ( ( F `
 ( k  +  1 ) )  gcd 
N ) )
7574eqeq1d 2166 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( F `  ( k  +  1 ) )  ->  (
( y  gcd  N
)  =  1  <->  (
( F `  (
k  +  1 ) )  gcd  N )  =  1 ) )
7675, 29elrab2 2871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  S  <->  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  ( 0..^ N )  /\  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  gcd  N )  =  1 ) )
7776simprbi 273 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  S  ->  (
( F `  (
k  +  1 ) )  gcd  N )  =  1 )
7869, 77syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  ( ( F `
 ( k  +  1 ) )  gcd 
N )  =  1 )
7973, 78eqtr3d 2192 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  ( N  gcd  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  =  1 )
8079adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  ( N  gcd  prod_
x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x ) )  =  1 )  ->  ( N  gcd  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  =  1 )
8128a1i 9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
82 elfzoelz 10041 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) )  ->  k  e.  ZZ )
8382adantl 275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
8481, 83fzfigd 10325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  ( 1 ... k )  e.  Fin )
8538ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... k ) )  ->  F :
( 1 ... ( phi `  N ) ) --> S )
86 elfznn 9951 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 1 ... k )  ->  x  e.  NN )
8786nnred 8841 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 ... k )  ->  x  e.  RR )
8887adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... k ) )  ->  x  e.  RR )
893nnred 8841 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( phi `  N
)  e.  RR )
9089ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... k ) )  ->  ( phi `  N )  e.  RR )
9182ad2antlr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... k ) )  ->  k  e.  ZZ )
9291zred 9281 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... k ) )  ->  k  e.  RR )
93 elfzle2 9925 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 1 ... k )  ->  x  <_  k )
9493adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... k ) )  ->  x  <_  k )
95 elfzolt2 10050 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) )  ->  k  <  ( phi `  N ) )
9695ad2antlr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... k ) )  ->  k  <  ( phi `  N ) )
9788, 92, 90, 94, 96lelttrd 7995 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... k ) )  ->  x  <  ( phi `  N ) )
9888, 90, 97ltled 7989 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... k ) )  ->  x  <_  ( phi `  N ) )
99 elfzuz 9919 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 ... k )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
10042ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... k ) )  ->  ( phi `  N )  e.  ZZ )
101 elfz5 9915 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  ( phi `  N )  e.  ZZ )  ->  (
x  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  <->  x  <_  ( phi `  N ) ) )
10299, 100, 101syl2an2 584 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... k ) )  ->  ( x  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  <-> 
x  <_  ( phi `  N ) ) )
10398, 102mpbird 166 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... k ) )  ->  x  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) )
10485, 103ffvelrnd 5602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... k ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
10554, 104sseldi 3126 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... k ) )  ->  ( F `  x )  e.  ZZ )
10684, 105fprodzcl 11501 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  prod_ x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x
)  e.  ZZ )
107 rpmul 11969 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  prod_ x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x )  e.  ZZ  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x
) )  =  1  /\  ( N  gcd  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  =  1 )  ->  ( N  gcd  ( prod_ x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x
)  x.  ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) )  =  1 ) )
10871, 106, 70, 107syl3anc 1220 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  ( ( ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... k
) ( F `  x ) )  =  1  /\  ( N  gcd  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  =  1 )  ->  ( N  gcd  ( prod_ x  e.  ( 1 ... k
) ( F `  x )  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  1 ) )
109108adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  ( N  gcd  prod_
x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x ) )  =  1 )  ->  ( ( ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... k
) ( F `  x ) )  =  1  /\  ( N  gcd  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  =  1 )  ->  ( N  gcd  ( prod_ x  e.  ( 1 ... k
) ( F `  x )  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  1 ) )
11065, 80, 109mp2and 430 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  ( N  gcd  prod_
x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x ) )  =  1 )  ->  ( N  gcd  ( prod_ x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x
)  x.  ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) )  =  1 )
111 elfzouz 10045 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
112111adantl 275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
11338ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  F :
( 1 ... ( phi `  N ) ) --> S )
114 elfzelz 9923 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) )  ->  x  e.  ZZ )
115114zred 9281 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) )  ->  x  e.  RR )
116115adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  x  e.  RR )
11782ad2antlr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
118117peano2zd 9284 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ZZ )
119118zred 9281 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
12089ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  ( phi `  N )  e.  RR )
121 elfzle2 9925 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) )  ->  x  <_  ( k  +  1 ) )
122121adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  x  <_  ( k  +  1 ) )
123 elfzle2 9925 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... ( phi `  N
) )  ->  (
k  +  1 )  <_  ( phi `  N ) )
12467, 123syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) )  ->  ( k  +  1 )  <_ 
( phi `  N
) )
125124ad2antlr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  +  1 )  <_ 
( phi `  N
) )
126116, 119, 120, 122, 125letrd 7994 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  x  <_  ( phi `  N ) )
127 elfzuz 9919 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
12842ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  ( phi `  N )  e.  ZZ )
129127, 128, 101syl2an2 584 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  ( x  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  <-> 
x  <_  ( phi `  N ) ) )
130126, 129mpbird 166 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  x  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) )
131113, 130ffvelrnd 5602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
13235, 131sseldi 3126 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
133 fveq2 5467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
134112, 132, 133fprodp1 11492 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  prod_ x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  x
)  =  ( prod_
x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x )  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
135134oveq2d 5837 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  ( N  gcd  prod_
x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  x ) )  =  ( N  gcd  ( prod_ x  e.  ( 1 ... k
) ( F `  x )  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
136135eqeq1d 2166 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  ( ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  x
) )  =  1  <-> 
( N  gcd  ( prod_ x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x )  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  1 ) )
137136adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  ( N  gcd  prod_
x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x ) )  =  1 )  ->  ( ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  x
) )  =  1  <-> 
( N  gcd  ( prod_ x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x )  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  1 ) )
138110, 137mpbird 166 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  ( N  gcd  prod_
x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x ) )  =  1 )  ->  ( N  gcd  prod_
x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  x ) )  =  1 )
139138ex 114 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  ( ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x
) )  =  1  ->  ( N  gcd  prod_
x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  x ) )  =  1 ) )
140139expcom 115 . . . 4  |-  ( k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) )  ->  ( ph  ->  ( ( N  gcd  prod_
x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x ) )  =  1  -> 
( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `
 x ) )  =  1 ) ) )
141140a2d 26 . . 3  |-  ( k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) )  ->  ( ( ph  ->  ( N  gcd  prod_
x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x ) )  =  1 )  ->  ( ph  ->  ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( F `  x ) )  =  1 ) ) )
14212, 17, 22, 27, 64, 141fzind2 10133 . 2  |-  ( ( phi `  N )  e.  ( 1 ... ( phi `  N
) )  ->  ( ph  ->  ( N  gcd  prod_
x  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ( F `  x ) )  =  1 ) )
1437, 142mpcom 36 1  |-  ( ph  ->  ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... ( phi `  N
) ) ( F `
 x ) )  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 963    = wceq 1335    e. wcel 2128   {crab 2439   class class class wbr 3965   -->wf 5165   -1-1-onto->wf1o 5168   ` cfv 5169  (class class class)co 5821   CCcc 7725   RRcr 7726   0cc0 7727   1c1 7728    + caddc 7730    x. cmul 7732    < clt 7907    <_ cle 7908   NNcn 8828   NN0cn0 9085   ZZcz 9162   ZZ>=cuz 9434   ...cfz 9907  ..^cfzo 10036   prod_cprod 11442    gcd cgcd 11823   phicphi 12077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546  ax-cnex 7818  ax-resscn 7819  ax-1cn 7820  ax-1re 7821  ax-icn 7822  ax-addcl 7823  ax-addrcl 7824  ax-mulcl 7825  ax-mulrcl 7826  ax-addcom 7827  ax-mulcom 7828  ax-addass 7829  ax-mulass 7830  ax-distr 7831  ax-i2m1 7832  ax-0lt1 7833  ax-1rid 7834  ax-0id 7835  ax-rnegex 7836  ax-precex 7837  ax-cnre 7838  ax-pre-ltirr 7839  ax-pre-ltwlin 7840  ax-pre-lttrn 7841  ax-pre-apti 7842  ax-pre-ltadd 7843  ax-pre-mulgt0 7844  ax-pre-mulext 7845  ax-arch 7846  ax-caucvg 7847
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-isom 5178  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-irdg 6314  df-frec 6335  df-1o 6360  df-oadd 6364  df-er 6477  df-en 6683  df-dom 6684  df-fin 6685  df-sup 6925  df-pnf 7909  df-mnf 7910  df-xr 7911  df-ltxr 7912  df-le 7913  df-sub 8043  df-neg 8044  df-reap 8445  df-ap 8452  df-div 8541  df-inn 8829  df-2 8887  df-3 8888  df-4 8889  df-n0 9086  df-z 9163  df-uz 9435  df-q 9524  df-rp 9556  df-fz 9908  df-fzo 10037  df-fl 10164  df-mod 10217  df-seqfrec 10340  df-exp 10414  df-ihash 10645  df-cj 10737  df-re 10738  df-im 10739  df-rsqrt 10893  df-abs 10894  df-clim 11171  df-proddc 11443  df-dvds 11679  df-gcd 11824  df-phi 12078
This theorem is referenced by:  eulerthlemth  12099
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