Theorem eulerthlemrprm 13037

Description: Lemma for eulerth 13041. N and prod_ x e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ( F ` x ) are relatively prime. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerth.1	|- ( ph -> ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) )
eulerth.2	|- S = { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 }
eulerth.4	|- ( ph -> F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> S )

Assertion

Ref	Expression
eulerthlemrprm	|- ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ( F ` x ) ) = 1 )

Distinct variable groups:   x, F   y, F   x, N   y, N   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( y)   A( x, y)   S( x, y)

Proof of Theorem eulerthlemrprm

Dummy variables k w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerth.1	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) )
2	1	simp1d 1040	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN )
3	2	phicld 13026	. . . 4 |- ( ph -> ( phi ` N ) e. NN )
4		elnnuz 9976	. . . 4 |- ( ( phi ` N ) e. NN <-> ( phi ` N ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
5	3, 4	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> ( phi ` N ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
6		eluzfz2 10454	. . 3 |- ( ( phi ` N ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( phi ` N ) e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) )
7	5, 6	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( phi ` N ) e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) )
8		oveq2 6096	. . . . . . 7 |- ( w = 1 -> ( 1 ... w ) = ( 1 ... 1 ) )
9	8	prodeq1d 12357	. . . . . 6 |- ( w = 1 -> prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) = prod_ x e. ( 1 ... 1 ) ( F ` x ) )
10	9	oveq2d 6104	. . . . 5 |- ( w = 1 -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) ) = ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... 1 ) ( F ` x ) ) )
11	10	eqeq1d 2247	. . . 4 |- ( w = 1 -> ( ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) ) = 1 <-> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... 1 ) ( F ` x ) ) = 1 ) )
12	11	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = 1 -> ( ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) ) = 1 ) <-> ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... 1 ) ( F ` x ) ) = 1 ) ) )
13		oveq2 6096	. . . . . . 7 |- ( w = k -> ( 1 ... w ) = ( 1 ... k ) )
14	13	prodeq1d 12357	. . . . . 6 |- ( w = k -> prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) = prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) )
15	14	oveq2d 6104	. . . . 5 |- ( w = k -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) ) = ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) )
16	15	eqeq1d 2247	. . . 4 |- ( w = k -> ( ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) ) = 1 <-> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 ) )
17	16	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = k -> ( ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) ) = 1 ) <-> ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 ) ) )
18		oveq2 6096	. . . . . . 7 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( 1 ... w ) = ( 1 ... ( k + 1 ) ) )
19	18	prodeq1d 12357	. . . . . 6 |- ( w = ( k + 1 ) -> prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) = prod_ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` x ) )
20	19	oveq2d 6104	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) ) = ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` x ) ) )
21	20	eqeq1d 2247	. . . 4 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) ) = 1 <-> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` x ) ) = 1 ) )
22	21	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) ) = 1 ) <-> ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` x ) ) = 1 ) ) )
23		oveq2 6096	. . . . . . 7 |- ( w = ( phi ` N ) -> ( 1 ... w ) = ( 1 ... ( phi ` N ) ) )
24	23	prodeq1d 12357	. . . . . 6 |- ( w = ( phi ` N ) -> prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) = prod_ x e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ( F ` x ) )
25	24	oveq2d 6104	. . . . 5 |- ( w = ( phi ` N ) -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) ) = ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ( F ` x ) ) )
26	25	eqeq1d 2247	. . . 4 |- ( w = ( phi ` N ) -> ( ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) ) = 1 <-> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ( F ` x ) ) = 1 ) )
27	26	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = ( phi ` N ) -> ( ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... w ) ( F ` x ) ) = 1 ) <-> ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ( F ` x ) ) = 1 ) ) )
28		1z 9682	. . . . . . 7 |- 1 e. ZZ
29		eulerth.2	. . . . . . . . . . 11 |- S = { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 }
30		ssrab2 3333	. . . . . . . . . . 11 |- { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 } C_ ( 0..^ N )
31	29, 30	eqsstri 3280	. . . . . . . . . 10 |- S C_ ( 0..^ N )
32		fzo0ssnn0 10651	. . . . . . . . . 10 |- ( 0..^ N ) C_ NN0
33	31, 32	sstri 3257	. . . . . . . . 9 |- S C_ NN0
34		nn0sscn 9580	. . . . . . . . 9 |- NN0 C_ CC
35	33, 34	sstri 3257	. . . . . . . 8 |- S C_ CC
36		eulerth.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> S )
37		f1of 5642	. . . . . . . . . 10 |- ( F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> S -> F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) --> S )
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) --> S )
39	3	nnge1d 9357	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 <_ ( phi ` N ) )
40		uzid 9953	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 e. ZZ -> 1 e. ( ZZ>= ` 1 ) )
41	28, 40	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. ( ZZ>= ` 1 )
42	3	nnzd 9779	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( phi ` N ) e. ZZ )
43		elfz5 10438	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ ( phi ` N ) e. ZZ ) -> ( 1 e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) <-> 1 <_ ( phi ` N ) ) )
44	41, 42, 43	sylancr 418	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) <-> 1 <_ ( phi ` N ) ) )
45	39, 44	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) )
46	38, 45	ffvelcdmd 5847	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` 1 ) e. S )
47	35, 46	sselid 3246	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` 1 ) e. CC )
48		fveq2 5698	. . . . . . . 8 |- ( x = 1 -> ( F ` x ) = ( F ` 1 ) )
49	48	fprod1 12387	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( F ` 1 ) e. CC ) -> prod_ x e. ( 1 ... 1 ) ( F ` x ) = ( F ` 1 ) )
50	28, 47, 49	sylancr 418	. . . . . 6 |- ( ph -> prod_ x e. ( 1 ... 1 ) ( F ` x ) = ( F ` 1 ) )
51	50	oveq2d 6104	. . . . 5 |- ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... 1 ) ( F ` x ) ) = ( N gcd ( F ` 1 ) ) )
52	2	nnzd 9779	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ZZ )
53		nn0ssz 9674	. . . . . . . 8 |- NN0 C_ ZZ
54	33, 53	sstri 3257	. . . . . . 7 |- S C_ ZZ
55	54, 46	sselid 3246	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` 1 ) e. ZZ )
56		gcdcom 12776	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ ( F ` 1 ) e. ZZ ) -> ( N gcd ( F ` 1 ) ) = ( ( F ` 1 ) gcd N ) )
57	52, 55, 56	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ph -> ( N gcd ( F ` 1 ) ) = ( ( F ` 1 ) gcd N ) )
58		oveq1 6095	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( F ` 1 ) -> ( y gcd N ) = ( ( F ` 1 ) gcd N ) )
59	58	eqeq1d 2247	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` 1 ) -> ( ( y gcd N ) = 1 <-> ( ( F ` 1 ) gcd N ) = 1 ) )
60	59, 29	elrab2 2985	. . . . . . 7 |- ( ( F ` 1 ) e. S <-> ( ( F ` 1 ) e. ( 0..^ N ) /\ ( ( F ` 1 ) gcd N ) = 1 ) )
61	46, 60	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F ` 1 ) e. ( 0..^ N ) /\ ( ( F ` 1 ) gcd N ) = 1 ) )
62	61	simprd 114	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F ` 1 ) gcd N ) = 1 )
63	51, 57, 62	3eqtrd 2275	. . . 4 |- ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... 1 ) ( F ` x ) ) = 1 )
64	63	a1i 9	. . 3 |- ( ( phi ` N ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... 1 ) ( F ` x ) ) = 1 ) )
65		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 ) -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 )
66	38	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) --> S )
67		fzofzp1 10663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) )
68	67	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) )
69	66, 68	ffvelcdmd 5847	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. S )
70	54, 69	sselid 3246	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. ZZ )
71	52	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> N e. ZZ )
72		gcdcom 12776	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) gcd N ) = ( N gcd ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
73	70, 71, 72	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) gcd N ) = ( N gcd ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
74		oveq1 6095	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( F ` ( k + 1 ) ) -> ( y gcd N ) = ( ( F ` ( k + 1 ) ) gcd N ) )
75	74	eqeq1d 2247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( F ` ( k + 1 ) ) -> ( ( y gcd N ) = 1 <-> ( ( F ` ( k + 1 ) ) gcd N ) = 1 ) )
76	75, 29	elrab2 2985	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. S <-> ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. ( 0..^ N ) /\ ( ( F ` ( k + 1 ) ) gcd N ) = 1 ) )
77	76	simprbi 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. S -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) gcd N ) = 1 )
78	69, 77	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) gcd N ) = 1 )
79	73, 78	eqtr3d 2273	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> ( N gcd ( F ` ( k + 1 ) ) ) = 1 )
80	79	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 ) -> ( N gcd ( F ` ( k + 1 ) ) ) = 1 )
81	28	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> 1 e. ZZ )
82		elfzoelz 10572	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) -> k e. ZZ )
83	82	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> k e. ZZ )
84	81, 83	fzfigd 10890	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> ( 1 ... k ) e. Fin )
85	38	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) --> S )
86		elfznn 10478	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( 1 ... k ) -> x e. NN )
87	86	nnred 9327	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( 1 ... k ) -> x e. RR )
88	87	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> x e. RR )
89	3	nnred 9327	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( phi ` N ) e. RR )
90	89	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> ( phi ` N ) e. RR )
91	82	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> k e. ZZ )
92	91	zred 9780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> k e. RR )
93		elfzle2 10450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( 1 ... k ) -> x <_ k )
94	93	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> x <_ k )
95		elfzolt2 10582	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) -> k < ( phi ` N ) )
96	95	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> k < ( phi ` N ) )
97	88, 92, 90, 94, 96	lelttrd 8459	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> x < ( phi ` N ) )
98	88, 90, 97	ltled 8453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> x <_ ( phi ` N ) )
99		elfzuz 10442	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 1 ... k ) -> x e. ( ZZ>= ` 1 ) )
100	42	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> ( phi ` N ) e. ZZ )
101		elfz5 10438	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ ( phi ` N ) e. ZZ ) -> ( x e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) <-> x <_ ( phi ` N ) ) )
102	99, 100, 101	syl2an2 602	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> ( x e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) <-> x <_ ( phi ` N ) ) )
103	98, 102	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> x e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) )
104	85, 103	ffvelcdmd 5847	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> ( F ` x ) e. S )
105	54, 104	sselid 3246	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... k ) ) -> ( F ` x ) e. ZZ )
106	84, 105	fprodzcl 12402	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) e. ZZ )
107		rpmul 12902	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) e. ZZ /\ ( F ` ( k + 1 ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 /\ ( N gcd ( F ` ( k + 1 ) ) ) = 1 ) -> ( N gcd ( prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = 1 ) )
108	71, 106, 70, 107	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> ( ( ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 /\ ( N gcd ( F ` ( k + 1 ) ) ) = 1 ) -> ( N gcd ( prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = 1 ) )
109	108	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 ) -> ( ( ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 /\ ( N gcd ( F ` ( k + 1 ) ) ) = 1 ) -> ( N gcd ( prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = 1 ) )
110	65, 80, 109	mp2and 437	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 ) -> ( N gcd ( prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = 1 )
111		elfzouz 10576	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
112	111	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
113	38	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> F : ( 1 ... ( phi ` N ) ) --> S )
114		elfzelz 10446	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) -> x e. ZZ )
115	114	zred 9780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) -> x e. RR )
116	115	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> x e. RR )
117	82	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> k e. ZZ )
118	117	peano2zd 9783	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
119	118	zred 9780	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. RR )
120	89	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( phi ` N ) e. RR )
121		elfzle2 10450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) -> x <_ ( k + 1 ) )
122	121	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> x <_ ( k + 1 ) )
123		elfzle2 10450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k + 1 ) e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) -> ( k + 1 ) <_ ( phi ` N ) )
124	67, 123	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) -> ( k + 1 ) <_ ( phi ` N ) )
125	124	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) <_ ( phi ` N ) )
126	116, 119, 120, 122, 125	letrd 8458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> x <_ ( phi ` N ) )
127		elfzuz 10442	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) -> x e. ( ZZ>= ` 1 ) )
128	42	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( phi ` N ) e. ZZ )
129	127, 128, 101	syl2an2 602	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( x e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) <-> x <_ ( phi ` N ) ) )
130	126, 129	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> x e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) )
131	113, 130	ffvelcdmd 5847	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( F ` x ) e. S )
132	35, 131	sselid 3246	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ) -> ( F ` x ) e. CC )
133		fveq2 5698	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
134	112, 132, 133	fprodp1 12393	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> prod_ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` x ) = ( prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
135	134	oveq2d 6104	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` x ) ) = ( N gcd ( prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
136	135	eqeq1d 2247	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> ( ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` x ) ) = 1 <-> ( N gcd ( prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = 1 ) )
137	136	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 ) -> ( ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` x ) ) = 1 <-> ( N gcd ( prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = 1 ) )
138	110, 137	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) /\ ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 ) -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` x ) ) = 1 )
139	138	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) ) -> ( ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` x ) ) = 1 ) )
140	139	expcom 116	. . . 4 |- ( k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) -> ( ph -> ( ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` x ) ) = 1 ) ) )
141	140	a2d 26	. . 3 |- ( k e. ( 1..^ ( phi ` N ) ) -> ( ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... k ) ( F ` x ) ) = 1 ) -> ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` x ) ) = 1 ) ) )
142	12, 17, 22, 27, 64, 141	fzind2 10676	. 2 |- ( ( phi ` N ) e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) -> ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ( F ` x ) ) = 1 ) )
143	7, 142	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( N gcd prod_ x e. ( 1 ... ( phi ` N ) ) ( F ` x ) ) = 1 )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   class class class wbr 4131   -->wf 5376   -1-1-onto->wf1o 5379   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   CCcc 8184   RRcr 8185   0cc0 8186   1c1 8187   + caddc 8189   x. cmul 8191   < clt 8367   <_ cle 8368   NNcn 9314   NN0cn0 9575   ZZcz 9656   ZZ>=cuz 9938   ...cfz 10429  ..^cfzo 10567   prod_cprod 12343   gcd cgcd 12756   phicphi 13017

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305  ax-caucvg 8306

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-en 7028  df-dom 7029  df-fin 7030  df-sup 7331  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-q 10037  df-rp 10073  df-fz 10430  df-fzo 10568  df-fl 10723  df-mod 10782  df-seqfrec 10907  df-exp 10998  df-ihash 11238  df-cj 11630  df-re 11631  df-im 11632  df-rsqrt 11787  df-abs 11788  df-clim 12071  df-proddc 12344  df-dvds 12581  df-gcd 12757  df-phi 13019

This theorem is used by:  eulerthlemth  13040