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Theorem eulerthlemrprm 12228
Description: Lemma for eulerth 12232. 
N and  prod_ x  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ( F `  x
) are relatively prime. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerth.1  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 ) )
eulerth.2  |-  S  =  { y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd  N
)  =  1 }
eulerth.4  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-onto-> S )
Assertion
Ref Expression
eulerthlemrprm  |-  ( ph  ->  ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... ( phi `  N
) ) ( F `
 x ) )  =  1 )
Distinct variable groups:    x, F    y, F    x, N    y, N    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( y)    A( x, y)    S( x, y)

Proof of Theorem eulerthlemrprm
Dummy variables  k  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eulerth.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 ) )
21simp1d 1009 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
32phicld 12217 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( phi `  N
)  e.  NN )
4 elnnuz 9563 . . . 4  |-  ( ( phi `  N )  e.  NN  <->  ( phi `  N )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
53, 4sylib 122 . . 3  |-  ( ph  ->  ( phi `  N
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
6 eluzfz2 10031 . . 3  |-  ( ( phi `  N )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( phi `  N )  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) )
75, 6syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( phi `  N
)  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) )
8 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( w  =  1  ->  (
1 ... w )  =  ( 1 ... 1
) )
98prodeq1d 11571 . . . . . 6  |-  ( w  =  1  ->  prod_ x  e.  ( 1 ... w ) ( F `
 x )  = 
prod_ x  e.  (
1 ... 1 ) ( F `  x ) )
109oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( w  =  1  ->  ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... w ) ( F `  x
) )  =  ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... 1
) ( F `  x ) ) )
1110eqeq1d 2186 . . . 4  |-  ( w  =  1  ->  (
( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... w ) ( F `
 x ) )  =  1  <->  ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... 1 ) ( F `  x
) )  =  1 ) )
1211imbi2d 230 . . 3  |-  ( w  =  1  ->  (
( ph  ->  ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... w ) ( F `  x
) )  =  1 )  <->  ( ph  ->  ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... 1
) ( F `  x ) )  =  1 ) ) )
13 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( w  =  k  ->  (
1 ... w )  =  ( 1 ... k
) )
1413prodeq1d 11571 . . . . . 6  |-  ( w  =  k  ->  prod_ x  e.  ( 1 ... w ) ( F `
 x )  = 
prod_ x  e.  (
1 ... k ) ( F `  x ) )
1514oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( w  =  k  ->  ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... w ) ( F `  x
) )  =  ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... k
) ( F `  x ) ) )
1615eqeq1d 2186 . . . 4  |-  ( w  =  k  ->  (
( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... w ) ( F `
 x ) )  =  1  <->  ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x
) )  =  1 ) )
1716imbi2d 230 . . 3  |-  ( w  =  k  ->  (
( ph  ->  ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... w ) ( F `  x
) )  =  1 )  <->  ( ph  ->  ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... k
) ( F `  x ) )  =  1 ) ) )
18 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
1 ... w )  =  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) )
1918prodeq1d 11571 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  prod_ x  e.  ( 1 ... w ) ( F `
 x )  = 
prod_ x  e.  (
1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  x ) )
2019oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... w ) ( F `  x
) )  =  ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( F `  x ) ) )
2120eqeq1d 2186 . . . 4  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... w ) ( F `
 x ) )  =  1  <->  ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  x
) )  =  1 ) )
2221imbi2d 230 . . 3  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... w ) ( F `  x
) )  =  1 )  <->  ( ph  ->  ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( F `  x ) )  =  1 ) ) )
23 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( phi `  N )  ->  (
1 ... w )  =  ( 1 ... ( phi `  N ) ) )
2423prodeq1d 11571 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( phi `  N )  ->  prod_ x  e.  ( 1 ... w ) ( F `
 x )  = 
prod_ x  e.  (
1 ... ( phi `  N ) ) ( F `  x ) )
2524oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( w  =  ( phi `  N )  ->  ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... w ) ( F `  x
) )  =  ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ( F `  x
) ) )
2625eqeq1d 2186 . . . 4  |-  ( w  =  ( phi `  N )  ->  (
( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... w ) ( F `
 x ) )  =  1  <->  ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ( F `  x ) )  =  1 ) )
2726imbi2d 230 . . 3  |-  ( w  =  ( phi `  N )  ->  (
( ph  ->  ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... w ) ( F `  x
) )  =  1 )  <->  ( ph  ->  ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ( F `  x
) )  =  1 ) ) )
28 1z 9278 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
29 eulerth.2 . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  { y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd  N
)  =  1 }
30 ssrab2 3240 . . . . . . . . . . 11  |-  { y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd  N )  =  1 }  C_  (
0..^ N )
3129, 30eqsstri 3187 . . . . . . . . . 10  |-  S  C_  ( 0..^ N )
32 fzo0ssnn0 10214 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0..^ N )  C_  NN0
3331, 32sstri 3164 . . . . . . . . 9  |-  S  C_  NN0
34 nn0sscn 9180 . . . . . . . . 9  |-  NN0  C_  CC
3533, 34sstri 3164 . . . . . . . 8  |-  S  C_  CC
36 eulerth.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-onto-> S )
37 f1of 5461 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : ( 1 ... ( phi `  N
) ) -1-1-onto-> S  ->  F :
( 1 ... ( phi `  N ) ) --> S )
3836, 37syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... ( phi `  N ) ) --> S )
393nnge1d 8961 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  <_  ( phi `  N ) )
40 uzid 9541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  1  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
4128, 40ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  ( ZZ>= `  1 )
423nnzd 9373 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( phi `  N
)  e.  ZZ )
43 elfz5 10016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  ( phi `  N )  e.  ZZ )  ->  (
1  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  <->  1  <_  ( phi `  N ) ) )
4441, 42, 43sylancr 414 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  <->  1  <_  ( phi `  N ) ) )
4539, 44mpbird 167 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) )
4638, 45ffvelcdmd 5652 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  S )
4735, 46sselid 3153 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  CC )
48 fveq2 5515 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  ( F `  x )  =  ( F ` 
1 ) )
4948fprod1 11601 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( F `  1 )  e.  CC )  ->  prod_ x  e.  ( 1 ... 1 ) ( F `  x )  =  ( F ` 
1 ) )
5028, 47, 49sylancr 414 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  prod_ x  e.  ( 1 ... 1 ) ( F `  x
)  =  ( F `
 1 ) )
5150oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... 1 ) ( F `
 x ) )  =  ( N  gcd  ( F `  1 ) ) )
522nnzd 9373 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
53 nn0ssz 9270 . . . . . . . 8  |-  NN0  C_  ZZ
5433, 53sstri 3164 . . . . . . 7  |-  S  C_  ZZ
5554, 46sselid 3153 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  ZZ )
56 gcdcom 11973 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( F `  1 )  e.  ZZ )  -> 
( N  gcd  ( F `  1 )
)  =  ( ( F `  1 )  gcd  N ) )
5752, 55, 56syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  gcd  ( F `  1 )
)  =  ( ( F `  1 )  gcd  N ) )
58 oveq1 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( F ` 
1 )  ->  (
y  gcd  N )  =  ( ( F `
 1 )  gcd 
N ) )
5958eqeq1d 2186 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( F ` 
1 )  ->  (
( y  gcd  N
)  =  1  <->  (
( F `  1
)  gcd  N )  =  1 ) )
6059, 29elrab2 2896 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  1 )  e.  S  <->  ( ( F `  1 )  e.  ( 0..^ N )  /\  ( ( F `
 1 )  gcd 
N )  =  1 ) )
6146, 60sylib 122 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
1 )  e.  ( 0..^ N )  /\  ( ( F ` 
1 )  gcd  N
)  =  1 ) )
6261simprd 114 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
1 )  gcd  N
)  =  1 )
6351, 57, 623eqtrd 2214 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... 1 ) ( F `
 x ) )  =  1 )
6463a1i 9 . . 3  |-  ( ( phi `  N )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ph  ->  ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... 1 ) ( F `
 x ) )  =  1 ) )
65 simpr 110 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  ( N  gcd  prod_
x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x ) )  =  1 )  ->  ( N  gcd  prod_
x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x ) )  =  1 )
6638adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  F : ( 1 ... ( phi `  N ) ) --> S )
67 fzofzp1 10226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) )
6867adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) )
6966, 68ffvelcdmd 5652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  S
)
7054, 69sselid 3153 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  ZZ )
7152adantr 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
72 gcdcom 11973 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  (
k  +  1 ) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  gcd  N
)  =  ( N  gcd  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
7370, 71, 72syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  ( ( F `
 ( k  +  1 ) )  gcd 
N )  =  ( N  gcd  ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) )
74 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( F `  ( k  +  1 ) )  ->  (
y  gcd  N )  =  ( ( F `
 ( k  +  1 ) )  gcd 
N ) )
7574eqeq1d 2186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( F `  ( k  +  1 ) )  ->  (
( y  gcd  N
)  =  1  <->  (
( F `  (
k  +  1 ) )  gcd  N )  =  1 ) )
7675, 29elrab2 2896 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  S  <->  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  ( 0..^ N )  /\  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  gcd  N )  =  1 ) )
7776simprbi 275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  S  ->  (
( F `  (
k  +  1 ) )  gcd  N )  =  1 )
7869, 77syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  ( ( F `
 ( k  +  1 ) )  gcd 
N )  =  1 )
7973, 78eqtr3d 2212 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  ( N  gcd  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  =  1 )
8079adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  ( N  gcd  prod_
x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x ) )  =  1 )  ->  ( N  gcd  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  =  1 )
8128a1i 9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
82 elfzoelz 10146 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) )  ->  k  e.  ZZ )
8382adantl 277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
8481, 83fzfigd 10430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  ( 1 ... k )  e.  Fin )
8538ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... k ) )  ->  F :
( 1 ... ( phi `  N ) ) --> S )
86 elfznn 10053 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 1 ... k )  ->  x  e.  NN )
8786nnred 8931 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 ... k )  ->  x  e.  RR )
8887adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... k ) )  ->  x  e.  RR )
893nnred 8931 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( phi `  N
)  e.  RR )
9089ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... k ) )  ->  ( phi `  N )  e.  RR )
9182ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... k ) )  ->  k  e.  ZZ )
9291zred 9374 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... k ) )  ->  k  e.  RR )
93 elfzle2 10027 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 1 ... k )  ->  x  <_  k )
9493adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... k ) )  ->  x  <_  k )
95 elfzolt2 10155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) )  ->  k  <  ( phi `  N ) )
9695ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... k ) )  ->  k  <  ( phi `  N ) )
9788, 92, 90, 94, 96lelttrd 8081 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... k ) )  ->  x  <  ( phi `  N ) )
9888, 90, 97ltled 8075 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... k ) )  ->  x  <_  ( phi `  N ) )
99 elfzuz 10020 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 ... k )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
10042ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... k ) )  ->  ( phi `  N )  e.  ZZ )
101 elfz5 10016 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  ( phi `  N )  e.  ZZ )  ->  (
x  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  <->  x  <_  ( phi `  N ) ) )
10299, 100, 101syl2an2 594 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... k ) )  ->  ( x  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  <-> 
x  <_  ( phi `  N ) ) )
10398, 102mpbird 167 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... k ) )  ->  x  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) )
10485, 103ffvelcdmd 5652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... k ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
10554, 104sselid 3153 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... k ) )  ->  ( F `  x )  e.  ZZ )
10684, 105fprodzcl 11616 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  prod_ x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x
)  e.  ZZ )
107 rpmul 12097 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  prod_ x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x )  e.  ZZ  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x
) )  =  1  /\  ( N  gcd  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  =  1 )  ->  ( N  gcd  ( prod_ x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x
)  x.  ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) )  =  1 ) )
10871, 106, 70, 107syl3anc 1238 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  ( ( ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... k
) ( F `  x ) )  =  1  /\  ( N  gcd  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  =  1 )  ->  ( N  gcd  ( prod_ x  e.  ( 1 ... k
) ( F `  x )  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  1 ) )
109108adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  ( N  gcd  prod_
x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x ) )  =  1 )  ->  ( ( ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... k
) ( F `  x ) )  =  1  /\  ( N  gcd  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  =  1 )  ->  ( N  gcd  ( prod_ x  e.  ( 1 ... k
) ( F `  x )  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  1 ) )
11065, 80, 109mp2and 433 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  ( N  gcd  prod_
x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x ) )  =  1 )  ->  ( N  gcd  ( prod_ x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x
)  x.  ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) )  =  1 )
111 elfzouz 10150 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
112111adantl 277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
11338ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  F :
( 1 ... ( phi `  N ) ) --> S )
114 elfzelz 10024 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) )  ->  x  e.  ZZ )
115114zred 9374 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) )  ->  x  e.  RR )
116115adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  x  e.  RR )
11782ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
118117peano2zd 9377 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ZZ )
119118zred 9374 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
12089ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  ( phi `  N )  e.  RR )
121 elfzle2 10027 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) )  ->  x  <_  ( k  +  1 ) )
122121adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  x  <_  ( k  +  1 ) )
123 elfzle2 10027 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... ( phi `  N
) )  ->  (
k  +  1 )  <_  ( phi `  N ) )
12467, 123syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) )  ->  ( k  +  1 )  <_ 
( phi `  N
) )
125124ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  +  1 )  <_ 
( phi `  N
) )
126116, 119, 120, 122, 125letrd 8080 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  x  <_  ( phi `  N ) )
127 elfzuz 10020 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
12842ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  ( phi `  N )  e.  ZZ )
129127, 128, 101syl2an2 594 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  ( x  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  <-> 
x  <_  ( phi `  N ) ) )
130126, 129mpbird 167 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  x  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) )
131113, 130ffvelcdmd 5652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
13235, 131sselid 3153 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
133 fveq2 5515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
134112, 132, 133fprodp1 11607 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  prod_ x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  x
)  =  ( prod_
x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x )  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
135134oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  ( N  gcd  prod_
x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  x ) )  =  ( N  gcd  ( prod_ x  e.  ( 1 ... k
) ( F `  x )  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
136135eqeq1d 2186 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  ( ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  x
) )  =  1  <-> 
( N  gcd  ( prod_ x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x )  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  1 ) )
137136adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  ( N  gcd  prod_
x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x ) )  =  1 )  ->  ( ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  x
) )  =  1  <-> 
( N  gcd  ( prod_ x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x )  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  1 ) )
138110, 137mpbird 167 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  ( N  gcd  prod_
x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x ) )  =  1 )  ->  ( N  gcd  prod_
x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  x ) )  =  1 )
139138ex 115 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  ( ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x
) )  =  1  ->  ( N  gcd  prod_
x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  x ) )  =  1 ) )
140139expcom 116 . . . 4  |-  ( k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) )  ->  ( ph  ->  ( ( N  gcd  prod_
x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x ) )  =  1  -> 
( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `
 x ) )  =  1 ) ) )
141140a2d 26 . . 3  |-  ( k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) )  ->  ( ( ph  ->  ( N  gcd  prod_
x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x ) )  =  1 )  ->  ( ph  ->  ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( F `  x ) )  =  1 ) ) )
14212, 17, 22, 27, 64, 141fzind2 10238 . 2  |-  ( ( phi `  N )  e.  ( 1 ... ( phi `  N
) )  ->  ( ph  ->  ( N  gcd  prod_
x  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ( F `  x ) )  =  1 ) )
1437, 142mpcom 36 1  |-  ( ph  ->  ( N  gcd  prod_ x  e.  ( 1 ... ( phi `  N
) ) ( F `
 x ) )  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   {crab 2459   class class class wbr 4003   -->wf 5212   -1-1-onto->wf1o 5215   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   CCcc 7808   RRcr 7809   0cc0 7810   1c1 7811    + caddc 7813    x. cmul 7815    < clt 7991    <_ cle 7992   NNcn 8918   NN0cn0 9175   ZZcz 9252   ZZ>=cuz 9527   ...cfz 10007  ..^cfzo 10141   prod_cprod 11557    gcd cgcd 11942   phicphi 12208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-frec 6391  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-er 6534  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-sup 6982  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-fz 10008  df-fzo 10142  df-fl 10269  df-mod 10322  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-ihash 10755  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-clim 11286  df-proddc 11558  df-dvds 11794  df-gcd 11943  df-phi 12210
This theorem is referenced by:  eulerthlemth  12231
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