Theorem fprodabs 11781

Description: The absolute value of a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 25-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodabs.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
fprodabs.2	|- ( ph -> N e. Z )
fprodabs.3	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fprodabs	|- ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... N ) A ) = prod_ k e. ( M ... N ) ( abs ` A ) )

Distinct variable groups:   k, M   k, N   k, Z   ph, k

Allowed substitution hint:   A( k)

Proof of Theorem fprodabs

Dummy variables a n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodabs.2	. . 3 |- ( ph -> N e. Z )
2		fprodabs.1	. . 3 |- Z = ( ZZ>= ` M )
3	1, 2	eleqtrdi 2289	. 2 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
4		oveq2 5930	. . . . . . 7 |- ( a = M -> ( M ... a ) = ( M ... M ) )
5	4	prodeq1d 11729	. . . . . 6 |- ( a = M -> prod_ k e. ( M ... a ) A = prod_ k e. ( M ... M ) A )
6	5	fveq2d 5562	. . . . 5 |- ( a = M -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... a ) A ) = ( abs ` prod_ k e. ( M ... M ) A ) )
7	4	prodeq1d 11729	. . . . 5 |- ( a = M -> prod_ k e. ( M ... a ) ( abs ` A ) = prod_ k e. ( M ... M ) ( abs ` A ) )
8	6, 7	eqeq12d 2211	. . . 4 |- ( a = M -> ( ( abs ` prod_ k e. ( M ... a ) A ) = prod_ k e. ( M ... a ) ( abs ` A ) <-> ( abs ` prod_ k e. ( M ... M ) A ) = prod_ k e. ( M ... M ) ( abs ` A ) ) )
9	8	imbi2d 230	. . 3 |- ( a = M -> ( ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... a ) A ) = prod_ k e. ( M ... a ) ( abs ` A ) ) <-> ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... M ) A ) = prod_ k e. ( M ... M ) ( abs ` A ) ) ) )
10		oveq2 5930	. . . . . . 7 |- ( a = n -> ( M ... a ) = ( M ... n ) )
11	10	prodeq1d 11729	. . . . . 6 |- ( a = n -> prod_ k e. ( M ... a ) A = prod_ k e. ( M ... n ) A )
12	11	fveq2d 5562	. . . . 5 |- ( a = n -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... a ) A ) = ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) )
13	10	prodeq1d 11729	. . . . 5 |- ( a = n -> prod_ k e. ( M ... a ) ( abs ` A ) = prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) )
14	12, 13	eqeq12d 2211	. . . 4 |- ( a = n -> ( ( abs ` prod_ k e. ( M ... a ) A ) = prod_ k e. ( M ... a ) ( abs ` A ) <-> ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) = prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) ) )
15	14	imbi2d 230	. . 3 |- ( a = n -> ( ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... a ) A ) = prod_ k e. ( M ... a ) ( abs ` A ) ) <-> ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) = prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) ) ) )
16		oveq2 5930	. . . . . . 7 |- ( a = ( n + 1 ) -> ( M ... a ) = ( M ... ( n + 1 ) ) )
17	16	prodeq1d 11729	. . . . . 6 |- ( a = ( n + 1 ) -> prod_ k e. ( M ... a ) A = prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) A )
18	17	fveq2d 5562	. . . . 5 |- ( a = ( n + 1 ) -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... a ) A ) = ( abs ` prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) A ) )
19	16	prodeq1d 11729	. . . . 5 |- ( a = ( n + 1 ) -> prod_ k e. ( M ... a ) ( abs ` A ) = prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( abs ` A ) )
20	18, 19	eqeq12d 2211	. . . 4 |- ( a = ( n + 1 ) -> ( ( abs ` prod_ k e. ( M ... a ) A ) = prod_ k e. ( M ... a ) ( abs ` A ) <-> ( abs ` prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) A ) = prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( abs ` A ) ) )
21	20	imbi2d 230	. . 3 |- ( a = ( n + 1 ) -> ( ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... a ) A ) = prod_ k e. ( M ... a ) ( abs ` A ) ) <-> ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) A ) = prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( abs ` A ) ) ) )
22		oveq2 5930	. . . . . . 7 |- ( a = N -> ( M ... a ) = ( M ... N ) )
23	22	prodeq1d 11729	. . . . . 6 |- ( a = N -> prod_ k e. ( M ... a ) A = prod_ k e. ( M ... N ) A )
24	23	fveq2d 5562	. . . . 5 |- ( a = N -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... a ) A ) = ( abs ` prod_ k e. ( M ... N ) A ) )
25	22	prodeq1d 11729	. . . . 5 |- ( a = N -> prod_ k e. ( M ... a ) ( abs ` A ) = prod_ k e. ( M ... N ) ( abs ` A ) )
26	24, 25	eqeq12d 2211	. . . 4 |- ( a = N -> ( ( abs ` prod_ k e. ( M ... a ) A ) = prod_ k e. ( M ... a ) ( abs ` A ) <-> ( abs ` prod_ k e. ( M ... N ) A ) = prod_ k e. ( M ... N ) ( abs ` A ) ) )
27	26	imbi2d 230	. . 3 |- ( a = N -> ( ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... a ) A ) = prod_ k e. ( M ... a ) ( abs ` A ) ) <-> ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... N ) A ) = prod_ k e. ( M ... N ) ( abs ` A ) ) ) )
28		csbfv2g 5597	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> [_ M / k ]_ ( abs ` A ) = ( abs ` [_ M / k ]_ A ) )
29	28	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> [_ M / k ]_ ( abs ` A ) = ( abs ` [_ M / k ]_ A ) )
30		fzsn 10141	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> ( M ... M ) = { M } )
31	30	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> ( M ... M ) = { M } )
32	31	prodeq1d 11729	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> prod_ k e. ( M ... M ) ( abs ` A ) = prod_ k e. { M } ( abs ` A ) )
33		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> M e. ZZ )
34		uzid 9615	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
35	34, 2	eleqtrrdi 2290	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> M e. Z )
36		fprodabs.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> A e. CC )
37	36	ralrimiva 2570	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. k e. Z A e. CC )
38		nfcsb1v 3117	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k [_ M / k ]_ A
39	38	nfel1 2350	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k [_ M / k ]_ A e. CC
40		csbeq1a 3093	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = M -> A = [_ M / k ]_ A )
41	40	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = M -> ( A e. CC <-> [_ M / k ]_ A e. CC ) )
42	39, 41	rspc 2862	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. Z -> ( A. k e. Z A e. CC -> [_ M / k ]_ A e. CC ) )
43	37, 42	mpan9 281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ M e. Z ) -> [_ M / k ]_ A e. CC )
44	35, 43	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> [_ M / k ]_ A e. CC )
45	44	abscld 11346	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> ( abs ` [_ M / k ]_ A ) e. RR )
46	45	recnd 8055	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> ( abs ` [_ M / k ]_ A ) e. CC )
47	29, 46	eqeltrd 2273	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> [_ M / k ]_ ( abs ` A ) e. CC )
48		prodsns 11768	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ [_ M / k ]_ ( abs ` A ) e. CC ) -> prod_ k e. { M } ( abs ` A ) = [_ M / k ]_ ( abs ` A ) )
49	33, 47, 48	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> prod_ k e. { M } ( abs ` A ) = [_ M / k ]_ ( abs ` A ) )
50	32, 49	eqtrd 2229	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> prod_ k e. ( M ... M ) ( abs ` A ) = [_ M / k ]_ ( abs ` A ) )
51	30	prodeq1d 11729	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> prod_ k e. ( M ... M ) A = prod_ k e. { M } A )
52	51	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> prod_ k e. ( M ... M ) A = prod_ k e. { M } A )
53		prodsns 11768	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ [_ M / k ]_ A e. CC ) -> prod_ k e. { M } A = [_ M / k ]_ A )
54	33, 44, 53	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> prod_ k e. { M } A = [_ M / k ]_ A )
55	52, 54	eqtrd 2229	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> prod_ k e. ( M ... M ) A = [_ M / k ]_ A )
56	55	fveq2d 5562	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... M ) A ) = ( abs ` [_ M / k ]_ A ) )
57	29, 50, 56	3eqtr4rd 2240	. . . 4 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... M ) A ) = prod_ k e. ( M ... M ) ( abs ` A ) )
58	57	expcom 116	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... M ) A ) = prod_ k e. ( M ... M ) ( abs ` A ) ) )
59		simp3 1001	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) = prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) ) -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) = prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) )
60		peano2uz 9657	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
61		csbfv2g 5597	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> [_ ( n + 1 ) / k ]_ ( abs ` A ) = ( abs ` [_ ( n + 1 ) / k ]_ A ) )
62	60, 61	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> [_ ( n + 1 ) / k ]_ ( abs ` A ) = ( abs ` [_ ( n + 1 ) / k ]_ A ) )
63	62	eqcomd 2202	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( abs ` [_ ( n + 1 ) / k ]_ A ) = [_ ( n + 1 ) / k ]_ ( abs ` A ) )
64	63	3ad2ant2 1021	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) = prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) ) -> ( abs ` [_ ( n + 1 ) / k ]_ A ) = [_ ( n + 1 ) / k ]_ ( abs ` A ) )
65	59, 64	oveq12d 5940	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) = prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) ) -> ( ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) x. ( abs ` [_ ( n + 1 ) / k ]_ A ) ) = ( prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) x. [_ ( n + 1 ) / k ]_ ( abs ` A ) ) )
66		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
67		elfzuz 10096	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( M ... ( n + 1 ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
68	67, 2	eleqtrrdi 2290	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( M ... ( n + 1 ) ) -> k e. Z )
69	68, 36	sylan2 286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) ) -> A e. CC )
70	69	adantlr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) ) -> A e. CC )
71	66, 70	fprodp1s 11767	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) A = ( prod_ k e. ( M ... n ) A x. [_ ( n + 1 ) / k ]_ A ) )
72	71	fveq2d 5562	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) A ) = ( abs ` ( prod_ k e. ( M ... n ) A x. [_ ( n + 1 ) / k ]_ A ) ) )
73		eluzel2 9606	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
74	73	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. ZZ )
75		eluzelz 9610	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> n e. ZZ )
76	75	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> n e. ZZ )
77	74, 76	fzfigd 10523	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( M ... n ) e. Fin )
78		elfzuz 10096	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( M ... n ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
79	78, 2	eleqtrrdi 2290	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( M ... n ) -> k e. Z )
80	79, 36	sylan2 286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... n ) ) -> A e. CC )
81	80	adantlr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ k e. ( M ... n ) ) -> A e. CC )
82	77, 81	fprodcl 11772	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> prod_ k e. ( M ... n ) A e. CC )
83	60, 2	eleqtrrdi 2290	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( n + 1 ) e. Z )
84		nfcsb1v 3117	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k [_ ( n + 1 ) / k ]_ A
85	84	nfel1 2350	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k [_ ( n + 1 ) / k ]_ A e. CC
86		csbeq1a 3093	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( n + 1 ) -> A = [_ ( n + 1 ) / k ]_ A )
87	86	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( A e. CC <-> [_ ( n + 1 ) / k ]_ A e. CC ) )
88	85, 87	rspc 2862	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n + 1 ) e. Z -> ( A. k e. Z A e. CC -> [_ ( n + 1 ) / k ]_ A e. CC ) )
89	37, 88	mpan9 281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n + 1 ) e. Z ) -> [_ ( n + 1 ) / k ]_ A e. CC )
90	83, 89	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> [_ ( n + 1 ) / k ]_ A e. CC )
91	82, 90	absmuld 11359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( abs ` ( prod_ k e. ( M ... n ) A x. [_ ( n + 1 ) / k ]_ A ) ) = ( ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) x. ( abs ` [_ ( n + 1 ) / k ]_ A ) ) )
92	72, 91	eqtrd 2229	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) A ) = ( ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) x. ( abs ` [_ ( n + 1 ) / k ]_ A ) ) )
93	92	3adant3 1019	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) = prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) ) -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) A ) = ( ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) x. ( abs ` [_ ( n + 1 ) / k ]_ A ) ) )
94	70	abscld 11346	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) ) -> ( abs ` A ) e. RR )
95	94	recnd 8055	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) ) -> ( abs ` A ) e. CC )
96	66, 95	fprodp1s 11767	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( abs ` A ) = ( prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) x. [_ ( n + 1 ) / k ]_ ( abs ` A ) ) )
97	96	3adant3 1019	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) = prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) ) -> prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( abs ` A ) = ( prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) x. [_ ( n + 1 ) / k ]_ ( abs ` A ) ) )
98	65, 93, 97	3eqtr4d 2239	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) = prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) ) -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) A ) = prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( abs ` A ) )
99	98	3exp 1204	. . . . 5 |- ( ph -> ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) = prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) A ) = prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( abs ` A ) ) ) )
100	99	com12 30	. . . 4 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) = prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) A ) = prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( abs ` A ) ) ) )
101	100	a2d 26	. . 3 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) = prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) ) -> ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) A ) = prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( abs ` A ) ) ) )
102	9, 15, 21, 27, 58, 101	uzind4 9662	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... N ) A ) = prod_ k e. ( M ... N ) ( abs ` A ) ) )
103	3, 102	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... N ) A ) = prod_ k e. ( M ... N ) ( abs ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   [_csb 3084   {csn 3622   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   CCcc 7877   1c1 7880   + caddc 7882   x. cmul 7884   ZZcz 9326   ZZ>=cuz 9601   ...cfz 10083   abscabs 11162   prod_cprod 11715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-ihash 10868  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-proddc 11716

This theorem is referenced by: (None)