Theorem fprodabs 12122

Description: The absolute value of a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 25-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodabs.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
fprodabs.2	|- ( ph -> N e. Z )
fprodabs.3	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fprodabs	|- ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... N ) A ) = prod_ k e. ( M ... N ) ( abs ` A ) )

Distinct variable groups:   k, M   k, N   k, Z   ph, k

Allowed substitution hint:   A( k)

Proof of Theorem fprodabs

Dummy variables a n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodabs.2	. . 3 |- ( ph -> N e. Z )
2		fprodabs.1	. . 3 |- Z = ( ZZ>= ` M )
3	1, 2	eleqtrdi 2322	. 2 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
4		oveq2 6008	. . . . . . 7 |- ( a = M -> ( M ... a ) = ( M ... M ) )
5	4	prodeq1d 12070	. . . . . 6 |- ( a = M -> prod_ k e. ( M ... a ) A = prod_ k e. ( M ... M ) A )
6	5	fveq2d 5630	. . . . 5 |- ( a = M -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... a ) A ) = ( abs ` prod_ k e. ( M ... M ) A ) )
7	4	prodeq1d 12070	. . . . 5 |- ( a = M -> prod_ k e. ( M ... a ) ( abs ` A ) = prod_ k e. ( M ... M ) ( abs ` A ) )
8	6, 7	eqeq12d 2244	. . . 4 |- ( a = M -> ( ( abs ` prod_ k e. ( M ... a ) A ) = prod_ k e. ( M ... a ) ( abs ` A ) <-> ( abs ` prod_ k e. ( M ... M ) A ) = prod_ k e. ( M ... M ) ( abs ` A ) ) )
9	8	imbi2d 230	. . 3 |- ( a = M -> ( ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... a ) A ) = prod_ k e. ( M ... a ) ( abs ` A ) ) <-> ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... M ) A ) = prod_ k e. ( M ... M ) ( abs ` A ) ) ) )
10		oveq2 6008	. . . . . . 7 |- ( a = n -> ( M ... a ) = ( M ... n ) )
11	10	prodeq1d 12070	. . . . . 6 |- ( a = n -> prod_ k e. ( M ... a ) A = prod_ k e. ( M ... n ) A )
12	11	fveq2d 5630	. . . . 5 |- ( a = n -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... a ) A ) = ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) )
13	10	prodeq1d 12070	. . . . 5 |- ( a = n -> prod_ k e. ( M ... a ) ( abs ` A ) = prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) )
14	12, 13	eqeq12d 2244	. . . 4 |- ( a = n -> ( ( abs ` prod_ k e. ( M ... a ) A ) = prod_ k e. ( M ... a ) ( abs ` A ) <-> ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) = prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) ) )
15	14	imbi2d 230	. . 3 |- ( a = n -> ( ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... a ) A ) = prod_ k e. ( M ... a ) ( abs ` A ) ) <-> ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) = prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) ) ) )
16		oveq2 6008	. . . . . . 7 |- ( a = ( n + 1 ) -> ( M ... a ) = ( M ... ( n + 1 ) ) )
17	16	prodeq1d 12070	. . . . . 6 |- ( a = ( n + 1 ) -> prod_ k e. ( M ... a ) A = prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) A )
18	17	fveq2d 5630	. . . . 5 |- ( a = ( n + 1 ) -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... a ) A ) = ( abs ` prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) A ) )
19	16	prodeq1d 12070	. . . . 5 |- ( a = ( n + 1 ) -> prod_ k e. ( M ... a ) ( abs ` A ) = prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( abs ` A ) )
20	18, 19	eqeq12d 2244	. . . 4 |- ( a = ( n + 1 ) -> ( ( abs ` prod_ k e. ( M ... a ) A ) = prod_ k e. ( M ... a ) ( abs ` A ) <-> ( abs ` prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) A ) = prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( abs ` A ) ) )
21	20	imbi2d 230	. . 3 |- ( a = ( n + 1 ) -> ( ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... a ) A ) = prod_ k e. ( M ... a ) ( abs ` A ) ) <-> ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) A ) = prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( abs ` A ) ) ) )
22		oveq2 6008	. . . . . . 7 |- ( a = N -> ( M ... a ) = ( M ... N ) )
23	22	prodeq1d 12070	. . . . . 6 |- ( a = N -> prod_ k e. ( M ... a ) A = prod_ k e. ( M ... N ) A )
24	23	fveq2d 5630	. . . . 5 |- ( a = N -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... a ) A ) = ( abs ` prod_ k e. ( M ... N ) A ) )
25	22	prodeq1d 12070	. . . . 5 |- ( a = N -> prod_ k e. ( M ... a ) ( abs ` A ) = prod_ k e. ( M ... N ) ( abs ` A ) )
26	24, 25	eqeq12d 2244	. . . 4 |- ( a = N -> ( ( abs ` prod_ k e. ( M ... a ) A ) = prod_ k e. ( M ... a ) ( abs ` A ) <-> ( abs ` prod_ k e. ( M ... N ) A ) = prod_ k e. ( M ... N ) ( abs ` A ) ) )
27	26	imbi2d 230	. . 3 |- ( a = N -> ( ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... a ) A ) = prod_ k e. ( M ... a ) ( abs ` A ) ) <-> ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... N ) A ) = prod_ k e. ( M ... N ) ( abs ` A ) ) ) )
28		csbfv2g 5667	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> [_ M / k ]_ ( abs ` A ) = ( abs ` [_ M / k ]_ A ) )
29	28	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> [_ M / k ]_ ( abs ` A ) = ( abs ` [_ M / k ]_ A ) )
30		fzsn 10258	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> ( M ... M ) = { M } )
31	30	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> ( M ... M ) = { M } )
32	31	prodeq1d 12070	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> prod_ k e. ( M ... M ) ( abs ` A ) = prod_ k e. { M } ( abs ` A ) )
33		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> M e. ZZ )
34		uzid 9732	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
35	34, 2	eleqtrrdi 2323	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> M e. Z )
36		fprodabs.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> A e. CC )
37	36	ralrimiva 2603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. k e. Z A e. CC )
38		nfcsb1v 3157	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k [_ M / k ]_ A
39	38	nfel1 2383	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k [_ M / k ]_ A e. CC
40		csbeq1a 3133	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = M -> A = [_ M / k ]_ A )
41	40	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = M -> ( A e. CC <-> [_ M / k ]_ A e. CC ) )
42	39, 41	rspc 2901	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. Z -> ( A. k e. Z A e. CC -> [_ M / k ]_ A e. CC ) )
43	37, 42	mpan9 281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ M e. Z ) -> [_ M / k ]_ A e. CC )
44	35, 43	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> [_ M / k ]_ A e. CC )
45	44	abscld 11687	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> ( abs ` [_ M / k ]_ A ) e. RR )
46	45	recnd 8171	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> ( abs ` [_ M / k ]_ A ) e. CC )
47	29, 46	eqeltrd 2306	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> [_ M / k ]_ ( abs ` A ) e. CC )
48		prodsns 12109	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ [_ M / k ]_ ( abs ` A ) e. CC ) -> prod_ k e. { M } ( abs ` A ) = [_ M / k ]_ ( abs ` A ) )
49	33, 47, 48	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> prod_ k e. { M } ( abs ` A ) = [_ M / k ]_ ( abs ` A ) )
50	32, 49	eqtrd 2262	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> prod_ k e. ( M ... M ) ( abs ` A ) = [_ M / k ]_ ( abs ` A ) )
51	30	prodeq1d 12070	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> prod_ k e. ( M ... M ) A = prod_ k e. { M } A )
52	51	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> prod_ k e. ( M ... M ) A = prod_ k e. { M } A )
53		prodsns 12109	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ [_ M / k ]_ A e. CC ) -> prod_ k e. { M } A = [_ M / k ]_ A )
54	33, 44, 53	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> prod_ k e. { M } A = [_ M / k ]_ A )
55	52, 54	eqtrd 2262	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> prod_ k e. ( M ... M ) A = [_ M / k ]_ A )
56	55	fveq2d 5630	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... M ) A ) = ( abs ` [_ M / k ]_ A ) )
57	29, 50, 56	3eqtr4rd 2273	. . . 4 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... M ) A ) = prod_ k e. ( M ... M ) ( abs ` A ) )
58	57	expcom 116	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... M ) A ) = prod_ k e. ( M ... M ) ( abs ` A ) ) )
59		simp3 1023	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) = prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) ) -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) = prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) )
60		peano2uz 9774	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
61		csbfv2g 5667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> [_ ( n + 1 ) / k ]_ ( abs ` A ) = ( abs ` [_ ( n + 1 ) / k ]_ A ) )
62	60, 61	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> [_ ( n + 1 ) / k ]_ ( abs ` A ) = ( abs ` [_ ( n + 1 ) / k ]_ A ) )
63	62	eqcomd 2235	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( abs ` [_ ( n + 1 ) / k ]_ A ) = [_ ( n + 1 ) / k ]_ ( abs ` A ) )
64	63	3ad2ant2 1043	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) = prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) ) -> ( abs ` [_ ( n + 1 ) / k ]_ A ) = [_ ( n + 1 ) / k ]_ ( abs ` A ) )
65	59, 64	oveq12d 6018	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) = prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) ) -> ( ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) x. ( abs ` [_ ( n + 1 ) / k ]_ A ) ) = ( prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) x. [_ ( n + 1 ) / k ]_ ( abs ` A ) ) )
66		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
67		elfzuz 10213	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( M ... ( n + 1 ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
68	67, 2	eleqtrrdi 2323	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( M ... ( n + 1 ) ) -> k e. Z )
69	68, 36	sylan2 286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) ) -> A e. CC )
70	69	adantlr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) ) -> A e. CC )
71	66, 70	fprodp1s 12108	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) A = ( prod_ k e. ( M ... n ) A x. [_ ( n + 1 ) / k ]_ A ) )
72	71	fveq2d 5630	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) A ) = ( abs ` ( prod_ k e. ( M ... n ) A x. [_ ( n + 1 ) / k ]_ A ) ) )
73		eluzel2 9723	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
74	73	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. ZZ )
75		eluzelz 9727	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> n e. ZZ )
76	75	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> n e. ZZ )
77	74, 76	fzfigd 10648	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( M ... n ) e. Fin )
78		elfzuz 10213	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( M ... n ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
79	78, 2	eleqtrrdi 2323	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( M ... n ) -> k e. Z )
80	79, 36	sylan2 286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... n ) ) -> A e. CC )
81	80	adantlr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ k e. ( M ... n ) ) -> A e. CC )
82	77, 81	fprodcl 12113	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> prod_ k e. ( M ... n ) A e. CC )
83	60, 2	eleqtrrdi 2323	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( n + 1 ) e. Z )
84		nfcsb1v 3157	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k [_ ( n + 1 ) / k ]_ A
85	84	nfel1 2383	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k [_ ( n + 1 ) / k ]_ A e. CC
86		csbeq1a 3133	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( n + 1 ) -> A = [_ ( n + 1 ) / k ]_ A )
87	86	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( A e. CC <-> [_ ( n + 1 ) / k ]_ A e. CC ) )
88	85, 87	rspc 2901	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n + 1 ) e. Z -> ( A. k e. Z A e. CC -> [_ ( n + 1 ) / k ]_ A e. CC ) )
89	37, 88	mpan9 281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n + 1 ) e. Z ) -> [_ ( n + 1 ) / k ]_ A e. CC )
90	83, 89	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> [_ ( n + 1 ) / k ]_ A e. CC )
91	82, 90	absmuld 11700	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( abs ` ( prod_ k e. ( M ... n ) A x. [_ ( n + 1 ) / k ]_ A ) ) = ( ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) x. ( abs ` [_ ( n + 1 ) / k ]_ A ) ) )
92	72, 91	eqtrd 2262	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) A ) = ( ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) x. ( abs ` [_ ( n + 1 ) / k ]_ A ) ) )
93	92	3adant3 1041	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) = prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) ) -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) A ) = ( ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) x. ( abs ` [_ ( n + 1 ) / k ]_ A ) ) )
94	70	abscld 11687	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) ) -> ( abs ` A ) e. RR )
95	94	recnd 8171	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) ) -> ( abs ` A ) e. CC )
96	66, 95	fprodp1s 12108	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( abs ` A ) = ( prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) x. [_ ( n + 1 ) / k ]_ ( abs ` A ) ) )
97	96	3adant3 1041	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) = prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) ) -> prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( abs ` A ) = ( prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) x. [_ ( n + 1 ) / k ]_ ( abs ` A ) ) )
98	65, 93, 97	3eqtr4d 2272	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) = prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) ) -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) A ) = prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( abs ` A ) )
99	98	3exp 1226	. . . . 5 |- ( ph -> ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) = prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) A ) = prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( abs ` A ) ) ) )
100	99	com12 30	. . . 4 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) = prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) A ) = prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( abs ` A ) ) ) )
101	100	a2d 26	. . 3 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) = prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) ) -> ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) A ) = prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( abs ` A ) ) ) )
102	9, 15, 21, 27, 58, 101	uzind4 9779	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... N ) A ) = prod_ k e. ( M ... N ) ( abs ` A ) ) )
103	3, 102	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... N ) A ) = prod_ k e. ( M ... N ) ( abs ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   [_csb 3124   {csn 3666   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   CCcc 7993   1c1 7996   + caddc 7998   x. cmul 8000   ZZcz 9442   ZZ>=cuz 9718   ...cfz 10200   abscabs 11503   prod_cprod 12056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113  ax-arch 8114  ax-caucvg 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-isom 5326  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-irdg 6514  df-frec 6535  df-1o 6560  df-oadd 6564  df-er 6678  df-en 6886  df-dom 6887  df-fin 6888  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-q 9811  df-rp 9846  df-fz 10201  df-fzo 10335  df-seqfrec 10665  df-exp 10756  df-ihash 10993  df-cj 11348  df-re 11349  df-im 11350  df-rsqrt 11504  df-abs 11505  df-clim 11785  df-proddc 12057

This theorem is referenced by: (None)