Theorem fprodabs 12383

Description: The absolute value of a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 25-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodabs.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
fprodabs.2	|- ( ph -> N e. Z )
fprodabs.3	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fprodabs	|- ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... N ) A ) = prod_ k e. ( M ... N ) ( abs ` A ) )

Distinct variable groups:   k, M   k, N   k, Z   ph, k

Allowed substitution hint:   A( k)

Proof of Theorem fprodabs

Dummy variables a n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodabs.2	. . 3 |- ( ph -> N e. Z )
2		fprodabs.1	. . 3 |- Z = ( ZZ>= ` M )
3	1, 2	eleqtrdi 2331	. 2 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
4		oveq2 6093	. . . . . . 7 |- ( a = M -> ( M ... a ) = ( M ... M ) )
5	4	prodeq1d 12331	. . . . . 6 |- ( a = M -> prod_ k e. ( M ... a ) A = prod_ k e. ( M ... M ) A )
6	5	fveq2d 5699	. . . . 5 |- ( a = M -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... a ) A ) = ( abs ` prod_ k e. ( M ... M ) A ) )
7	4	prodeq1d 12331	. . . . 5 |- ( a = M -> prod_ k e. ( M ... a ) ( abs ` A ) = prod_ k e. ( M ... M ) ( abs ` A ) )
8	6, 7	eqeq12d 2253	. . . 4 |- ( a = M -> ( ( abs ` prod_ k e. ( M ... a ) A ) = prod_ k e. ( M ... a ) ( abs ` A ) <-> ( abs ` prod_ k e. ( M ... M ) A ) = prod_ k e. ( M ... M ) ( abs ` A ) ) )
9	8	imbi2d 230	. . 3 |- ( a = M -> ( ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... a ) A ) = prod_ k e. ( M ... a ) ( abs ` A ) ) <-> ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... M ) A ) = prod_ k e. ( M ... M ) ( abs ` A ) ) ) )
10		oveq2 6093	. . . . . . 7 |- ( a = n -> ( M ... a ) = ( M ... n ) )
11	10	prodeq1d 12331	. . . . . 6 |- ( a = n -> prod_ k e. ( M ... a ) A = prod_ k e. ( M ... n ) A )
12	11	fveq2d 5699	. . . . 5 |- ( a = n -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... a ) A ) = ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) )
13	10	prodeq1d 12331	. . . . 5 |- ( a = n -> prod_ k e. ( M ... a ) ( abs ` A ) = prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) )
14	12, 13	eqeq12d 2253	. . . 4 |- ( a = n -> ( ( abs ` prod_ k e. ( M ... a ) A ) = prod_ k e. ( M ... a ) ( abs ` A ) <-> ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) = prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) ) )
15	14	imbi2d 230	. . 3 |- ( a = n -> ( ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... a ) A ) = prod_ k e. ( M ... a ) ( abs ` A ) ) <-> ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) = prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) ) ) )
16		oveq2 6093	. . . . . . 7 |- ( a = ( n + 1 ) -> ( M ... a ) = ( M ... ( n + 1 ) ) )
17	16	prodeq1d 12331	. . . . . 6 |- ( a = ( n + 1 ) -> prod_ k e. ( M ... a ) A = prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) A )
18	17	fveq2d 5699	. . . . 5 |- ( a = ( n + 1 ) -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... a ) A ) = ( abs ` prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) A ) )
19	16	prodeq1d 12331	. . . . 5 |- ( a = ( n + 1 ) -> prod_ k e. ( M ... a ) ( abs ` A ) = prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( abs ` A ) )
20	18, 19	eqeq12d 2253	. . . 4 |- ( a = ( n + 1 ) -> ( ( abs ` prod_ k e. ( M ... a ) A ) = prod_ k e. ( M ... a ) ( abs ` A ) <-> ( abs ` prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) A ) = prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( abs ` A ) ) )
21	20	imbi2d 230	. . 3 |- ( a = ( n + 1 ) -> ( ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... a ) A ) = prod_ k e. ( M ... a ) ( abs ` A ) ) <-> ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) A ) = prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( abs ` A ) ) ) )
22		oveq2 6093	. . . . . . 7 |- ( a = N -> ( M ... a ) = ( M ... N ) )
23	22	prodeq1d 12331	. . . . . 6 |- ( a = N -> prod_ k e. ( M ... a ) A = prod_ k e. ( M ... N ) A )
24	23	fveq2d 5699	. . . . 5 |- ( a = N -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... a ) A ) = ( abs ` prod_ k e. ( M ... N ) A ) )
25	22	prodeq1d 12331	. . . . 5 |- ( a = N -> prod_ k e. ( M ... a ) ( abs ` A ) = prod_ k e. ( M ... N ) ( abs ` A ) )
26	24, 25	eqeq12d 2253	. . . 4 |- ( a = N -> ( ( abs ` prod_ k e. ( M ... a ) A ) = prod_ k e. ( M ... a ) ( abs ` A ) <-> ( abs ` prod_ k e. ( M ... N ) A ) = prod_ k e. ( M ... N ) ( abs ` A ) ) )
27	26	imbi2d 230	. . 3 |- ( a = N -> ( ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... a ) A ) = prod_ k e. ( M ... a ) ( abs ` A ) ) <-> ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... N ) A ) = prod_ k e. ( M ... N ) ( abs ` A ) ) ) )
28		csbfv2g 5737	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> [_ M / k ]_ ( abs ` A ) = ( abs ` [_ M / k ]_ A ) )
29	28	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> [_ M / k ]_ ( abs ` A ) = ( abs ` [_ M / k ]_ A ) )
30		fzsn 10472	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> ( M ... M ) = { M } )
31	30	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> ( M ... M ) = { M } )
32	31	prodeq1d 12331	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> prod_ k e. ( M ... M ) ( abs ` A ) = prod_ k e. { M } ( abs ` A ) )
33		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> M e. ZZ )
34		uzid 9936	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
35	34, 2	eleqtrrdi 2332	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> M e. Z )
36		fprodabs.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> A e. CC )
37	36	ralrimiva 2623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. k e. Z A e. CC )
38		nfcsb1v 3180	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k [_ M / k ]_ A
39	38	nfel1 2403	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k [_ M / k ]_ A e. CC
40		csbeq1a 3156	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = M -> A = [_ M / k ]_ A )
41	40	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = M -> ( A e. CC <-> [_ M / k ]_ A e. CC ) )
42	39, 41	rspc 2923	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. Z -> ( A. k e. Z A e. CC -> [_ M / k ]_ A e. CC ) )
43	37, 42	mpan9 281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ M e. Z ) -> [_ M / k ]_ A e. CC )
44	35, 43	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> [_ M / k ]_ A e. CC )
45	44	abscld 11947	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> ( abs ` [_ M / k ]_ A ) e. RR )
46	45	recnd 8354	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> ( abs ` [_ M / k ]_ A ) e. CC )
47	29, 46	eqeltrd 2315	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> [_ M / k ]_ ( abs ` A ) e. CC )
48		prodsns 12370	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ [_ M / k ]_ ( abs ` A ) e. CC ) -> prod_ k e. { M } ( abs ` A ) = [_ M / k ]_ ( abs ` A ) )
49	33, 47, 48	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> prod_ k e. { M } ( abs ` A ) = [_ M / k ]_ ( abs ` A ) )
50	32, 49	eqtrd 2271	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> prod_ k e. ( M ... M ) ( abs ` A ) = [_ M / k ]_ ( abs ` A ) )
51	30	prodeq1d 12331	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> prod_ k e. ( M ... M ) A = prod_ k e. { M } A )
52	51	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> prod_ k e. ( M ... M ) A = prod_ k e. { M } A )
53		prodsns 12370	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ [_ M / k ]_ A e. CC ) -> prod_ k e. { M } A = [_ M / k ]_ A )
54	33, 44, 53	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> prod_ k e. { M } A = [_ M / k ]_ A )
55	52, 54	eqtrd 2271	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> prod_ k e. ( M ... M ) A = [_ M / k ]_ A )
56	55	fveq2d 5699	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... M ) A ) = ( abs ` [_ M / k ]_ A ) )
57	29, 50, 56	3eqtr4rd 2282	. . . 4 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... M ) A ) = prod_ k e. ( M ... M ) ( abs ` A ) )
58	57	expcom 116	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... M ) A ) = prod_ k e. ( M ... M ) ( abs ` A ) ) )
59		simp3 1030	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) = prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) ) -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) = prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) )
60		peano2uz 9983	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
61		csbfv2g 5737	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> [_ ( n + 1 ) / k ]_ ( abs ` A ) = ( abs ` [_ ( n + 1 ) / k ]_ A ) )
62	60, 61	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> [_ ( n + 1 ) / k ]_ ( abs ` A ) = ( abs ` [_ ( n + 1 ) / k ]_ A ) )
63	62	eqcomd 2244	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( abs ` [_ ( n + 1 ) / k ]_ A ) = [_ ( n + 1 ) / k ]_ ( abs ` A ) )
64	63	3ad2ant2 1050	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) = prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) ) -> ( abs ` [_ ( n + 1 ) / k ]_ A ) = [_ ( n + 1 ) / k ]_ ( abs ` A ) )
65	59, 64	oveq12d 6103	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) = prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) ) -> ( ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) x. ( abs ` [_ ( n + 1 ) / k ]_ A ) ) = ( prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) x. [_ ( n + 1 ) / k ]_ ( abs ` A ) ) )
66		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
67		elfzuz 10424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( M ... ( n + 1 ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
68	67, 2	eleqtrrdi 2332	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( M ... ( n + 1 ) ) -> k e. Z )
69	68, 36	sylan2 286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) ) -> A e. CC )
70	69	adantlr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) ) -> A e. CC )
71	66, 70	fprodp1s 12369	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) A = ( prod_ k e. ( M ... n ) A x. [_ ( n + 1 ) / k ]_ A ) )
72	71	fveq2d 5699	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) A ) = ( abs ` ( prod_ k e. ( M ... n ) A x. [_ ( n + 1 ) / k ]_ A ) ) )
73		eluzel2 9926	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
74	73	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. ZZ )
75		eluzelz 9931	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> n e. ZZ )
76	75	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> n e. ZZ )
77	74, 76	fzfigd 10868	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( M ... n ) e. Fin )
78		elfzuz 10424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( M ... n ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
79	78, 2	eleqtrrdi 2332	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( M ... n ) -> k e. Z )
80	79, 36	sylan2 286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... n ) ) -> A e. CC )
81	80	adantlr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ k e. ( M ... n ) ) -> A e. CC )
82	77, 81	fprodcl 12374	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> prod_ k e. ( M ... n ) A e. CC )
83	60, 2	eleqtrrdi 2332	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( n + 1 ) e. Z )
84		nfcsb1v 3180	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k [_ ( n + 1 ) / k ]_ A
85	84	nfel1 2403	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k [_ ( n + 1 ) / k ]_ A e. CC
86		csbeq1a 3156	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( n + 1 ) -> A = [_ ( n + 1 ) / k ]_ A )
87	86	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( A e. CC <-> [_ ( n + 1 ) / k ]_ A e. CC ) )
88	85, 87	rspc 2923	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n + 1 ) e. Z -> ( A. k e. Z A e. CC -> [_ ( n + 1 ) / k ]_ A e. CC ) )
89	37, 88	mpan9 281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n + 1 ) e. Z ) -> [_ ( n + 1 ) / k ]_ A e. CC )
90	83, 89	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> [_ ( n + 1 ) / k ]_ A e. CC )
91	82, 90	absmuld 11960	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( abs ` ( prod_ k e. ( M ... n ) A x. [_ ( n + 1 ) / k ]_ A ) ) = ( ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) x. ( abs ` [_ ( n + 1 ) / k ]_ A ) ) )
92	72, 91	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) A ) = ( ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) x. ( abs ` [_ ( n + 1 ) / k ]_ A ) ) )
93	92	3adant3 1048	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) = prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) ) -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) A ) = ( ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) x. ( abs ` [_ ( n + 1 ) / k ]_ A ) ) )
94	70	abscld 11947	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) ) -> ( abs ` A ) e. RR )
95	94	recnd 8354	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) ) -> ( abs ` A ) e. CC )
96	66, 95	fprodp1s 12369	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( abs ` A ) = ( prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) x. [_ ( n + 1 ) / k ]_ ( abs ` A ) ) )
97	96	3adant3 1048	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) = prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) ) -> prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( abs ` A ) = ( prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) x. [_ ( n + 1 ) / k ]_ ( abs ` A ) ) )
98	65, 93, 97	3eqtr4d 2281	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) = prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) ) -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) A ) = prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( abs ` A ) )
99	98	3exp 1233	. . . . 5 |- ( ph -> ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) = prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) A ) = prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( abs ` A ) ) ) )
100	99	com12 30	. . . 4 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) = prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) A ) = prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( abs ` A ) ) ) )
101	100	a2d 26	. . 3 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) = prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) ) -> ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) A ) = prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( abs ` A ) ) ) )
102	9, 15, 21, 27, 58, 101	uzind4 9988	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... N ) A ) = prod_ k e. ( M ... N ) ( abs ` A ) ) )
103	3, 102	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... N ) A ) = prod_ k e. ( M ... N ) ( abs ` A ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   [_csb 3147   {csn 3709   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   CCcc 8177   1c1 8180   + caddc 8182   x. cmul 8184   ZZcz 9644   ZZ>=cuz 9921   ...cfz 10411   abscabs 11763   prod_cprod 12317

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-ihash 11215  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-clim 12045  df-proddc 12318

This theorem is used by: (None)