Theorem fprodabs 11579

Description: The absolute value of a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 25-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodabs.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
fprodabs.2	|- ( ph -> N e. Z )
fprodabs.3	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fprodabs	|- ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... N ) A ) = prod_ k e. ( M ... N ) ( abs ` A ) )

Distinct variable groups:   k, M   k, N   k, Z   ph, k

Allowed substitution hint:   A( k)

Proof of Theorem fprodabs

Dummy variables a n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodabs.2	. . 3 |- ( ph -> N e. Z )
2		fprodabs.1	. . 3 |- Z = ( ZZ>= ` M )
3	1, 2	eleqtrdi 2263	. 2 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
4		oveq2 5861	. . . . . . 7 |- ( a = M -> ( M ... a ) = ( M ... M ) )
5	4	prodeq1d 11527	. . . . . 6 |- ( a = M -> prod_ k e. ( M ... a ) A = prod_ k e. ( M ... M ) A )
6	5	fveq2d 5500	. . . . 5 |- ( a = M -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... a ) A ) = ( abs ` prod_ k e. ( M ... M ) A ) )
7	4	prodeq1d 11527	. . . . 5 |- ( a = M -> prod_ k e. ( M ... a ) ( abs ` A ) = prod_ k e. ( M ... M ) ( abs ` A ) )
8	6, 7	eqeq12d 2185	. . . 4 |- ( a = M -> ( ( abs ` prod_ k e. ( M ... a ) A ) = prod_ k e. ( M ... a ) ( abs ` A ) <-> ( abs ` prod_ k e. ( M ... M ) A ) = prod_ k e. ( M ... M ) ( abs ` A ) ) )
9	8	imbi2d 229	. . 3 |- ( a = M -> ( ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... a ) A ) = prod_ k e. ( M ... a ) ( abs ` A ) ) <-> ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... M ) A ) = prod_ k e. ( M ... M ) ( abs ` A ) ) ) )
10		oveq2 5861	. . . . . . 7 |- ( a = n -> ( M ... a ) = ( M ... n ) )
11	10	prodeq1d 11527	. . . . . 6 |- ( a = n -> prod_ k e. ( M ... a ) A = prod_ k e. ( M ... n ) A )
12	11	fveq2d 5500	. . . . 5 |- ( a = n -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... a ) A ) = ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) )
13	10	prodeq1d 11527	. . . . 5 |- ( a = n -> prod_ k e. ( M ... a ) ( abs ` A ) = prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) )
14	12, 13	eqeq12d 2185	. . . 4 |- ( a = n -> ( ( abs ` prod_ k e. ( M ... a ) A ) = prod_ k e. ( M ... a ) ( abs ` A ) <-> ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) = prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) ) )
15	14	imbi2d 229	. . 3 |- ( a = n -> ( ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... a ) A ) = prod_ k e. ( M ... a ) ( abs ` A ) ) <-> ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) = prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) ) ) )
16		oveq2 5861	. . . . . . 7 |- ( a = ( n + 1 ) -> ( M ... a ) = ( M ... ( n + 1 ) ) )
17	16	prodeq1d 11527	. . . . . 6 |- ( a = ( n + 1 ) -> prod_ k e. ( M ... a ) A = prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) A )
18	17	fveq2d 5500	. . . . 5 |- ( a = ( n + 1 ) -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... a ) A ) = ( abs ` prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) A ) )
19	16	prodeq1d 11527	. . . . 5 |- ( a = ( n + 1 ) -> prod_ k e. ( M ... a ) ( abs ` A ) = prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( abs ` A ) )
20	18, 19	eqeq12d 2185	. . . 4 |- ( a = ( n + 1 ) -> ( ( abs ` prod_ k e. ( M ... a ) A ) = prod_ k e. ( M ... a ) ( abs ` A ) <-> ( abs ` prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) A ) = prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( abs ` A ) ) )
21	20	imbi2d 229	. . 3 |- ( a = ( n + 1 ) -> ( ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... a ) A ) = prod_ k e. ( M ... a ) ( abs ` A ) ) <-> ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) A ) = prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( abs ` A ) ) ) )
22		oveq2 5861	. . . . . . 7 |- ( a = N -> ( M ... a ) = ( M ... N ) )
23	22	prodeq1d 11527	. . . . . 6 |- ( a = N -> prod_ k e. ( M ... a ) A = prod_ k e. ( M ... N ) A )
24	23	fveq2d 5500	. . . . 5 |- ( a = N -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... a ) A ) = ( abs ` prod_ k e. ( M ... N ) A ) )
25	22	prodeq1d 11527	. . . . 5 |- ( a = N -> prod_ k e. ( M ... a ) ( abs ` A ) = prod_ k e. ( M ... N ) ( abs ` A ) )
26	24, 25	eqeq12d 2185	. . . 4 |- ( a = N -> ( ( abs ` prod_ k e. ( M ... a ) A ) = prod_ k e. ( M ... a ) ( abs ` A ) <-> ( abs ` prod_ k e. ( M ... N ) A ) = prod_ k e. ( M ... N ) ( abs ` A ) ) )
27	26	imbi2d 229	. . 3 |- ( a = N -> ( ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... a ) A ) = prod_ k e. ( M ... a ) ( abs ` A ) ) <-> ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... N ) A ) = prod_ k e. ( M ... N ) ( abs ` A ) ) ) )
28		csbfv2g 5533	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> [_ M / k ]_ ( abs ` A ) = ( abs ` [_ M / k ]_ A ) )
29	28	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> [_ M / k ]_ ( abs ` A ) = ( abs ` [_ M / k ]_ A ) )
30		fzsn 10022	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> ( M ... M ) = { M } )
31	30	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> ( M ... M ) = { M } )
32	31	prodeq1d 11527	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> prod_ k e. ( M ... M ) ( abs ` A ) = prod_ k e. { M } ( abs ` A ) )
33		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> M e. ZZ )
34		uzid 9501	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
35	34, 2	eleqtrrdi 2264	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> M e. Z )
36		fprodabs.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> A e. CC )
37	36	ralrimiva 2543	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. k e. Z A e. CC )
38		nfcsb1v 3082	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k [_ M / k ]_ A
39	38	nfel1 2323	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k [_ M / k ]_ A e. CC
40		csbeq1a 3058	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = M -> A = [_ M / k ]_ A )
41	40	eleq1d 2239	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = M -> ( A e. CC <-> [_ M / k ]_ A e. CC ) )
42	39, 41	rspc 2828	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. Z -> ( A. k e. Z A e. CC -> [_ M / k ]_ A e. CC ) )
43	37, 42	mpan9 279	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ M e. Z ) -> [_ M / k ]_ A e. CC )
44	35, 43	sylan2 284	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> [_ M / k ]_ A e. CC )
45	44	abscld 11145	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> ( abs ` [_ M / k ]_ A ) e. RR )
46	45	recnd 7948	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> ( abs ` [_ M / k ]_ A ) e. CC )
47	29, 46	eqeltrd 2247	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> [_ M / k ]_ ( abs ` A ) e. CC )
48		prodsns 11566	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ [_ M / k ]_ ( abs ` A ) e. CC ) -> prod_ k e. { M } ( abs ` A ) = [_ M / k ]_ ( abs ` A ) )
49	33, 47, 48	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> prod_ k e. { M } ( abs ` A ) = [_ M / k ]_ ( abs ` A ) )
50	32, 49	eqtrd 2203	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> prod_ k e. ( M ... M ) ( abs ` A ) = [_ M / k ]_ ( abs ` A ) )
51	30	prodeq1d 11527	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> prod_ k e. ( M ... M ) A = prod_ k e. { M } A )
52	51	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> prod_ k e. ( M ... M ) A = prod_ k e. { M } A )
53		prodsns 11566	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ [_ M / k ]_ A e. CC ) -> prod_ k e. { M } A = [_ M / k ]_ A )
54	33, 44, 53	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> prod_ k e. { M } A = [_ M / k ]_ A )
55	52, 54	eqtrd 2203	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> prod_ k e. ( M ... M ) A = [_ M / k ]_ A )
56	55	fveq2d 5500	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... M ) A ) = ( abs ` [_ M / k ]_ A ) )
57	29, 50, 56	3eqtr4rd 2214	. . . 4 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... M ) A ) = prod_ k e. ( M ... M ) ( abs ` A ) )
58	57	expcom 115	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... M ) A ) = prod_ k e. ( M ... M ) ( abs ` A ) ) )
59		simp3 994	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) = prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) ) -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) = prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) )
60		peano2uz 9542	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
61		csbfv2g 5533	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> [_ ( n + 1 ) / k ]_ ( abs ` A ) = ( abs ` [_ ( n + 1 ) / k ]_ A ) )
62	60, 61	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> [_ ( n + 1 ) / k ]_ ( abs ` A ) = ( abs ` [_ ( n + 1 ) / k ]_ A ) )
63	62	eqcomd 2176	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( abs ` [_ ( n + 1 ) / k ]_ A ) = [_ ( n + 1 ) / k ]_ ( abs ` A ) )
64	63	3ad2ant2 1014	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) = prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) ) -> ( abs ` [_ ( n + 1 ) / k ]_ A ) = [_ ( n + 1 ) / k ]_ ( abs ` A ) )
65	59, 64	oveq12d 5871	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) = prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) ) -> ( ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) x. ( abs ` [_ ( n + 1 ) / k ]_ A ) ) = ( prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) x. [_ ( n + 1 ) / k ]_ ( abs ` A ) ) )
66		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
67		elfzuz 9977	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( M ... ( n + 1 ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
68	67, 2	eleqtrrdi 2264	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( M ... ( n + 1 ) ) -> k e. Z )
69	68, 36	sylan2 284	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) ) -> A e. CC )
70	69	adantlr 474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) ) -> A e. CC )
71	66, 70	fprodp1s 11565	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) A = ( prod_ k e. ( M ... n ) A x. [_ ( n + 1 ) / k ]_ A ) )
72	71	fveq2d 5500	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) A ) = ( abs ` ( prod_ k e. ( M ... n ) A x. [_ ( n + 1 ) / k ]_ A ) ) )
73		eluzel2 9492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
74	73	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. ZZ )
75		eluzelz 9496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> n e. ZZ )
76	75	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> n e. ZZ )
77	74, 76	fzfigd 10387	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( M ... n ) e. Fin )
78		elfzuz 9977	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( M ... n ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
79	78, 2	eleqtrrdi 2264	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( M ... n ) -> k e. Z )
80	79, 36	sylan2 284	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... n ) ) -> A e. CC )
81	80	adantlr 474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ k e. ( M ... n ) ) -> A e. CC )
82	77, 81	fprodcl 11570	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> prod_ k e. ( M ... n ) A e. CC )
83	60, 2	eleqtrrdi 2264	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( n + 1 ) e. Z )
84		nfcsb1v 3082	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k [_ ( n + 1 ) / k ]_ A
85	84	nfel1 2323	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k [_ ( n + 1 ) / k ]_ A e. CC
86		csbeq1a 3058	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( n + 1 ) -> A = [_ ( n + 1 ) / k ]_ A )
87	86	eleq1d 2239	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( A e. CC <-> [_ ( n + 1 ) / k ]_ A e. CC ) )
88	85, 87	rspc 2828	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n + 1 ) e. Z -> ( A. k e. Z A e. CC -> [_ ( n + 1 ) / k ]_ A e. CC ) )
89	37, 88	mpan9 279	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n + 1 ) e. Z ) -> [_ ( n + 1 ) / k ]_ A e. CC )
90	83, 89	sylan2 284	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> [_ ( n + 1 ) / k ]_ A e. CC )
91	82, 90	absmuld 11158	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( abs ` ( prod_ k e. ( M ... n ) A x. [_ ( n + 1 ) / k ]_ A ) ) = ( ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) x. ( abs ` [_ ( n + 1 ) / k ]_ A ) ) )
92	72, 91	eqtrd 2203	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) A ) = ( ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) x. ( abs ` [_ ( n + 1 ) / k ]_ A ) ) )
93	92	3adant3 1012	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) = prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) ) -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) A ) = ( ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) x. ( abs ` [_ ( n + 1 ) / k ]_ A ) ) )
94	70	abscld 11145	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) ) -> ( abs ` A ) e. RR )
95	94	recnd 7948	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) ) -> ( abs ` A ) e. CC )
96	66, 95	fprodp1s 11565	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( abs ` A ) = ( prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) x. [_ ( n + 1 ) / k ]_ ( abs ` A ) ) )
97	96	3adant3 1012	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) = prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) ) -> prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( abs ` A ) = ( prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) x. [_ ( n + 1 ) / k ]_ ( abs ` A ) ) )
98	65, 93, 97	3eqtr4d 2213	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) = prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) ) -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) A ) = prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( abs ` A ) )
99	98	3exp 1197	. . . . 5 |- ( ph -> ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) = prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) A ) = prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( abs ` A ) ) ) )
100	99	com12 30	. . . 4 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) = prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) A ) = prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( abs ` A ) ) ) )
101	100	a2d 26	. . 3 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... n ) A ) = prod_ k e. ( M ... n ) ( abs ` A ) ) -> ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) A ) = prod_ k e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( abs ` A ) ) ) )
102	9, 15, 21, 27, 58, 101	uzind4 9547	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... N ) A ) = prod_ k e. ( M ... N ) ( abs ` A ) ) )
103	3, 102	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( abs ` prod_ k e. ( M ... N ) A ) = prod_ k e. ( M ... N ) ( abs ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   [_csb 3049   {csn 3583   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   CCcc 7772   1c1 7775   + caddc 7777   x. cmul 7779   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   ...cfz 9965   abscabs 10961   prod_cprod 11513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-proddc 11514

This theorem is referenced by: (None)