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Theorem eulerthlema 12093

Description: Lemma for eulerth 12096. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Sep-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
eulerth.1	$/\$ $/\$
eulerth.2	..^
eulerth.4

**Assertion**
Ref	Expression
eulerthlema

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

(

)

Proof of Theorem eulerthlema Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerth.1	. . . . . 6 $/\$ $/\$
2	1	simp1d 994	. . . . 5
3	2	phicld 12081	. . . 4
4		elnnuz 9469	. . . 4
5	3, 4	sylib 121	. . 3
6		eluzfz2 9927	. . 3
7	5, 6	syl 14	. 2
8		oveq2 5829	. . . . . . 7
9		oveq2 5829	. . . . . . . 8
10	9	prodeq1d 11454	. . . . . . 7
11	8, 10	oveq12d 5839	. . . . . 6
12	11	oveq1d 5836	. . . . 5
13	9	prodeq1d 11454	. . . . . 6
14	13	oveq1d 5836	. . . . 5
15	12, 14	eqeq12d 2172	. . . 4
16	15	imbi2d 229	. . 3
17		oveq2 5829	. . . . . . 7
18		oveq2 5829	. . . . . . . 8
19	18	prodeq1d 11454	. . . . . . 7
20	17, 19	oveq12d 5839	. . . . . 6
21	20	oveq1d 5836	. . . . 5
22	18	prodeq1d 11454	. . . . . 6
23	22	oveq1d 5836	. . . . 5
24	21, 23	eqeq12d 2172	. . . 4
25	24	imbi2d 229	. . 3
26		oveq2 5829	. . . . . . 7
27		oveq2 5829	. . . . . . . 8
28	27	prodeq1d 11454	. . . . . . 7
29	26, 28	oveq12d 5839	. . . . . 6
30	29	oveq1d 5836	. . . . 5
31	27	prodeq1d 11454	. . . . . 6
32	31	oveq1d 5836	. . . . 5
33	30, 32	eqeq12d 2172	. . . 4
34	33	imbi2d 229	. . 3
35		oveq2 5829	. . . . . . 7
36		oveq2 5829	. . . . . . . 8
37	36	prodeq1d 11454	. . . . . . 7
38	35, 37	oveq12d 5839	. . . . . 6
39	38	oveq1d 5836	. . . . 5
40	36	prodeq1d 11454	. . . . . 6
41	40	oveq1d 5836	. . . . 5
42	39, 41	eqeq12d 2172	. . . 4
43	42	imbi2d 229	. . 3
44	1	simp2d 995	. . . . . . . 8
45		eulerth.2	. . . . . . . . . . . 12 ..^
46		ssrab2 3213	. . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
47	45, 46	eqsstri 3160	. . . . . . . . . . 11 ..^
48		fzo0ssnn0 10107	. . . . . . . . . . 11 ..^
49	47, 48	sstri 3137	. . . . . . . . . 10
50		nn0ssz 9179	. . . . . . . . . 10
51	49, 50	sstri 3137	. . . . . . . . 9
52		eulerth.4	. . . . . . . . . . 11
53		f1of 5413	. . . . . . . . . . 11
54	52, 53	syl 14	. . . . . . . . . 10
55		1nn 8838	. . . . . . . . . . . 12
56	55	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
57	3	nnge1d 8870	. . . . . . . . . . 11
58		elfz1b 9985	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
59	56, 3, 57, 58	syl3anbrc 1166	. . . . . . . . . 10
60	54, 59	ffvelrnd 5602	. . . . . . . . 9
61	51, 60	sseldi 3126	. . . . . . . 8
62	44, 61	zmulcld 9286	. . . . . . 7
63		zq 9528	. . . . . . 7
64	62, 63	syl 14	. . . . . 6
65		nnq 9535	. . . . . . 7
66	2, 65	syl 14	. . . . . 6
67	2	nngt0d 8871	. . . . . 6
68		modqabs2 10250	. . . . . 6 $/\$ $/\$
69	64, 66, 67, 68	syl3anc 1220	. . . . 5
70		1z 9187	. . . . . . 7
71	62, 2	zmodcld 10237	. . . . . . . 8
72	71	nn0cnd 9139	. . . . . . 7
73		fveq2 5467	. . . . . . . . . 10
74	73	oveq2d 5837	. . . . . . . . 9
75	74	oveq1d 5836	. . . . . . . 8
76	75	fprod1 11484	. . . . . . 7 $/\$
77	70, 72, 76	sylancr 411	. . . . . 6
78	77	oveq1d 5836	. . . . 5
79	44	zcnd 9281	. . . . . . . 8
80	79	exp1d 10539	. . . . . . 7
81		nn0sscn 9089	. . . . . . . . . 10
82	49, 81	sstri 3137	. . . . . . . . 9
83	82, 60	sseldi 3126	. . . . . . . 8
84	73	fprod1 11484	. . . . . . . 8 $/\$
85	70, 83, 84	sylancr 411	. . . . . . 7
86	80, 85	oveq12d 5839	. . . . . 6
87	86	oveq1d 5836	. . . . 5
88	69, 78, 87	3eqtr4rd 2201	. . . 4
89	88	a1i 9	. . 3
90	44	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
91		elfzo1 10082	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ $/\$ $/\$
92	91	simp1bi 997	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^
93	92	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
94	93	nnnn0d 9137	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
95		zexpcl 10427	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
96	90, 94, 95	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
97	70	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
98	93	nnzd 9279	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
99	97, 98	fzfigd 10323	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
100	54	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
101		elfzelz 9921	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
102	101	zred 9280	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
103	102	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
104	3	nnzd 9279	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
105	104	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
106	105	zred 9280	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
107	93	nnred 8840	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ ..^
108	107	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
109		elfzle2 9923	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
110	109	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
111		elfzolt2 10048	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
112	111	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
113	103, 108, 106, 110, 112	lelttrd 7994	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
114	103, 106, 113	ltled 7988	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
115		elfzuz 9917	. . . . . . . . . . . . . . . 16
116		elfz5 9913	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
117	115, 105, 116	syl2an2 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
118	114, 117	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
119	100, 118	ffvelrnd 5602	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
120	51, 119	sseldi 3126	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
121	99, 120	fprodzcl 11499	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
122	96, 121	zmulcld 9286	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
123		zq 9528	. . . . . . . . . 10
124	122, 123	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
125	124	adantr 274	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
126	90	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
127	126, 120	zmulcld 9286	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
128	2	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
129	127, 128	zmodcld 10237	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
130	129	nn0zd 9278	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
131	99, 130	fprodzcl 11499	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
132		zq 9528	. . . . . . . . . 10
133	131, 132	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
134	133	adantr 274	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
135	44	ad2antrr 480	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^ $/\$
136	54	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
137		fzofzp1 10119	. . . . . . . . . . . 12 ..^
138	137	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
139	136, 138	ffvelrnd 5602	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^ $/\$
140	51, 139	sseldi 3126	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^ $/\$
141	135, 140	zmulcld 9286	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
142	66	ad2antrr 480	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
143	67	ad2antrr 480	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
144		simpr 109	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
145	125, 134, 141, 142, 143, 144	modqmul1 10269	. . . . . . 7 $/\$ ..^ $/\$
146	145	ex 114	. . . . . 6 $/\$ ..^
147	96	zcnd 9281	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
148	121	zcnd 9281	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
149	79	adantr 274	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
150	54	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
151	137	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
152	150, 151	ffvelrnd 5602	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
153	82, 152	sseldi 3126	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
154	147, 148, 149, 153	mul4d 8024	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
155	149, 94	expp1d 10545	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
156		elfzouz 10043	. . . . . . . . . . . 12 ..^
157	156	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
158	150	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
159		elfzelz 9921	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
160	159	zred 9280	. . . . . . . . . . . . . . . 16
161	160	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
162		peano2re 8005	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
163	107, 162	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^
164	163	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
165	104	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
166	165	zred 9280	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
167		elfzle2 9923	. . . . . . . . . . . . . . . 16
168	167	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
169	137	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
170		elfzle2 9923	. . . . . . . . . . . . . . . 16
171	169, 170	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
172	161, 164, 166, 168, 171	letrd 7993	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
173		elfzuz 9917	. . . . . . . . . . . . . . 15
174	173, 165, 116	syl2an2 584	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
175	172, 174	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
176	158, 175	ffvelrnd 5602	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
177	82, 176	sseldi 3126	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
178		fveq2 5467	. . . . . . . . . . 11
179	157, 177, 178	fprodp1 11490	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
180	155, 179	oveq12d 5839	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
181	154, 180	eqtr4d 2193	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
182	181	oveq1d 5836	. . . . . . 7 $/\$ ..^
183	51, 152	sseldi 3126	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
184	90, 183	zmulcld 9286	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
185	2	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
186	184, 185	zmodcld 10237	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
187	186	nn0zd 9278	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
188		zq 9528	. . . . . . . . . 10
189	187, 188	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
190		zq 9528	. . . . . . . . . 10
191	184, 190	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
192	66	adantr 274	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
193	67	adantr 274	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
194		modqabs2 10250	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
195	191, 192, 193, 194	syl3anc 1220	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
196	189, 191, 131, 192, 193, 195	modqmul1 10269	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
197	90	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
198	51, 176	sseldi 3126	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
199	197, 198	zmulcld 9286	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
200	185	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
201	199, 200	zmodcld 10237	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
202	201	nn0cnd 9139	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
203	178	oveq2d 5837	. . . . . . . . . . . 12
204	203	oveq1d 5836	. . . . . . . . . . 11
205	157, 202, 204	fprodp1 11490	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
206	186	nn0cnd 9139	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
207	131	zcnd 9281	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
208	206, 207	mulcomd 7893	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
209	205, 208	eqtr4d 2193	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
210	209	oveq1d 5836	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
211	149, 153	mulcld 7892	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
212	207, 211	mulcomd 7893	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
213	212	oveq1d 5836	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
214	196, 210, 213	3eqtr4rd 2201	. . . . . . 7 $/\$ ..^
215	182, 214	eqeq12d 2172	. . . . . 6 $/\$ ..^
216	146, 215	sylibd 148	. . . . 5 $/\$ ..^
217	216	expcom 115	. . . 4 ..^
218	217	a2d 26	. . 3 ..^
219	16, 25, 34, 43, 89, 218	fzind2 10131	. 2
220	7, 219	mpcom 36	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104 $/\$ w3a 963

wceq 1335

wcel 2128

crab 2439 class class class wbr 3965

wf 5165

wf1o 5168

cfv 5169 (class class class)co 5821

cc 7724

cr 7725

cc0 7726

c1 7727

caddc 7729

cmul 7731

clt 7906

cle 7907

cn 8827

cn0 9084

cz 9161

cuz 9433

cq 9521

cfz 9905 ..^cfzo 10034

cmo 10214

cexp 10411

cprod 11440

cgcd 11821

cphi 12073

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1427 ax-7 1428 ax-gen 1429 ax-ie1 1473 ax-ie2 1474 ax-8 1484 ax-10 1485 ax-11 1486 ax-i12 1487 ax-bndl 1489 ax-4 1490 ax-17 1506 ax-i9 1510 ax-ial 1514 ax-i5r 1515 ax-13 2130 ax-14 2131 ax-ext 2139 ax-coll 4079 ax-sep 4082 ax-nul 4090 ax-pow 4135 ax-pr 4169 ax-un 4393 ax-setind 4495 ax-iinf 4546 ax-cnex 7817 ax-resscn 7818 ax-1cn 7819 ax-1re 7820 ax-icn 7821 ax-addcl 7822 ax-addrcl 7823 ax-mulcl 7824 ax-mulrcl 7825 ax-addcom 7826 ax-mulcom 7827 ax-addass 7828 ax-mulass 7829 ax-distr 7830 ax-i2m1 7831 ax-0lt1 7832 ax-1rid 7833 ax-0id 7834 ax-rnegex 7835 ax-precex 7836 ax-cnre 7837 ax-pre-ltirr 7838 ax-pre-ltwlin 7839 ax-pre-lttrn 7840 ax-pre-apti 7841 ax-pre-ltadd 7842 ax-pre-mulgt0 7843 ax-pre-mulext 7844 ax-arch 7845 ax-caucvg 7846

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 821 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1338 df-fal 1341 df-nf 1441 df-sb 1743 df-eu 2009 df-mo 2010 df-clab 2144 df-cleq 2150 df-clel 2153 df-nfc 2288 df-ne 2328 df-nel 2423 df-ral 2440 df-rex 2441 df-reu 2442 df-rmo 2443 df-rab 2444 df-v 2714 df-sbc 2938 df-csb 3032 df-dif 3104 df-un 3106 df-in 3108 df-ss 3115 df-nul 3395 df-if 3506 df-pw 3545 df-sn 3566 df-pr 3567 df-op 3569 df-uni 3773 df-int 3808 df-iun 3851 df-br 3966 df-opab 4026 df-mpt 4027 df-tr 4063 df-id 4253 df-po 4256 df-iso 4257 df-iord 4326 df-on 4328 df-ilim 4329 df-suc 4331 df-iom 4549 df-xp 4591 df-rel 4592 df-cnv 4593 df-co 4594 df-dm 4595 df-rn 4596 df-res 4597 df-ima 4598 df-iota 5134 df-fun 5171 df-fn 5172 df-f 5173 df-f1 5174 df-fo 5175 df-f1o 5176 df-fv 5177 df-isom 5178 df-riota 5777 df-ov 5824 df-oprab 5825 df-mpo 5826 df-1st 6085 df-2nd 6086 df-recs 6249 df-irdg 6314 df-frec 6335 df-1o 6360 df-oadd 6364 df-er 6477 df-en 6683 df-dom 6684 df-fin 6685 df-sup 6924 df-pnf 7908 df-mnf 7909 df-xr 7910 df-ltxr 7911 df-le 7912 df-sub 8042 df-neg 8043 df-reap 8444 df-ap 8451 df-div 8540 df-inn 8828 df-2 8886 df-3 8887 df-4 8888 df-n0 9085 df-z 9162 df-uz 9434 df-q 9522 df-rp 9554 df-fz 9906 df-fzo 10035 df-fl 10162 df-mod 10215 df-seqfrec 10338 df-exp 10412 df-ihash 10643 df-cj 10735 df-re 10736 df-im 10737 df-rsqrt 10891 df-abs 10892 df-clim 11169 df-proddc 11441 df-dvds 11677 df-gcd 11822 df-phi 12074

This theorem is referenced by: eulerthlemth 12095

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