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Theorem eulerthlema 12863

Description: Lemma for eulerth 12866. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Sep-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
eulerth.1	$/\$ $/\$
eulerth.2	..^
eulerth.4

**Assertion**
Ref	Expression
eulerthlema

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

(

)

Proof of Theorem eulerthlema Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerth.1	. . . . . 6 $/\$ $/\$
2	1	simp1d 1036	. . . . 5
3	2	phicld 12851	. . . 4
4		elnnuz 9836	. . . 4
5	3, 4	sylib 122	. . 3
6		eluzfz2 10310	. . 3
7	5, 6	syl 14	. 2
8		oveq2 6036	. . . . . . 7
9		oveq2 6036	. . . . . . . 8
10	9	prodeq1d 12186	. . . . . . 7
11	8, 10	oveq12d 6046	. . . . . 6
12	11	oveq1d 6043	. . . . 5
13	9	prodeq1d 12186	. . . . . 6
14	13	oveq1d 6043	. . . . 5
15	12, 14	eqeq12d 2246	. . . 4
16	15	imbi2d 230	. . 3
17		oveq2 6036	. . . . . . 7
18		oveq2 6036	. . . . . . . 8
19	18	prodeq1d 12186	. . . . . . 7
20	17, 19	oveq12d 6046	. . . . . 6
21	20	oveq1d 6043	. . . . 5
22	18	prodeq1d 12186	. . . . . 6
23	22	oveq1d 6043	. . . . 5
24	21, 23	eqeq12d 2246	. . . 4
25	24	imbi2d 230	. . 3
26		oveq2 6036	. . . . . . 7
27		oveq2 6036	. . . . . . . 8
28	27	prodeq1d 12186	. . . . . . 7
29	26, 28	oveq12d 6046	. . . . . 6
30	29	oveq1d 6043	. . . . 5
31	27	prodeq1d 12186	. . . . . 6
32	31	oveq1d 6043	. . . . 5
33	30, 32	eqeq12d 2246	. . . 4
34	33	imbi2d 230	. . 3
35		oveq2 6036	. . . . . . 7
36		oveq2 6036	. . . . . . . 8
37	36	prodeq1d 12186	. . . . . . 7
38	35, 37	oveq12d 6046	. . . . . 6
39	38	oveq1d 6043	. . . . 5
40	36	prodeq1d 12186	. . . . . 6
41	40	oveq1d 6043	. . . . 5
42	39, 41	eqeq12d 2246	. . . 4
43	42	imbi2d 230	. . 3
44	1	simp2d 1037	. . . . . . . 8
45		eulerth.2	. . . . . . . . . . . 12 ..^
46		ssrab2 3313	. . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
47	45, 46	eqsstri 3260	. . . . . . . . . . 11 ..^
48		fzo0ssnn0 10504	. . . . . . . . . . 11 ..^
49	47, 48	sstri 3237	. . . . . . . . . 10
50		nn0ssz 9540	. . . . . . . . . 10
51	49, 50	sstri 3237	. . . . . . . . 9
52		eulerth.4	. . . . . . . . . . 11
53		f1of 5592	. . . . . . . . . . 11
54	52, 53	syl 14	. . . . . . . . . 10
55		1nn 9197	. . . . . . . . . . . 12
56	55	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
57	3	nnge1d 9229	. . . . . . . . . . 11
58		elfz1b 10368	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
59	56, 3, 57, 58	syl3anbrc 1208	. . . . . . . . . 10
60	54, 59	ffvelcdmd 5791	. . . . . . . . 9
61	51, 60	sselid 3226	. . . . . . . 8
62	44, 61	zmulcld 9651	. . . . . . 7
63		zq 9903	. . . . . . 7
64	62, 63	syl 14	. . . . . 6
65		nnq 9910	. . . . . . 7
66	2, 65	syl 14	. . . . . 6
67	2	nngt0d 9230	. . . . . 6
68		modqabs2 10664	. . . . . 6 $/\$ $/\$
69	64, 66, 67, 68	syl3anc 1274	. . . . 5
70		1z 9548	. . . . . . 7
71	62, 2	zmodcld 10651	. . . . . . . 8
72	71	nn0cnd 9500	. . . . . . 7
73		fveq2 5648	. . . . . . . . . 10
74	73	oveq2d 6044	. . . . . . . . 9
75	74	oveq1d 6043	. . . . . . . 8
76	75	fprod1 12216	. . . . . . 7 $/\$
77	70, 72, 76	sylancr 414	. . . . . 6
78	77	oveq1d 6043	. . . . 5
79	44	zcnd 9646	. . . . . . . 8
80	79	exp1d 10974	. . . . . . 7
81		nn0sscn 9450	. . . . . . . . . 10
82	49, 81	sstri 3237	. . . . . . . . 9
83	82, 60	sselid 3226	. . . . . . . 8
84	73	fprod1 12216	. . . . . . . 8 $/\$
85	70, 83, 84	sylancr 414	. . . . . . 7
86	80, 85	oveq12d 6046	. . . . . 6
87	86	oveq1d 6043	. . . . 5
88	69, 78, 87	3eqtr4rd 2275	. . . 4
89	88	a1i 9	. . 3
90	44	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
91		elfzo1 10474	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ $/\$ $/\$
92	91	simp1bi 1039	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^
93	92	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
94	93	nnnn0d 9498	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
95		zexpcl 10860	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
96	90, 94, 95	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
97	70	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
98	93	nnzd 9644	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
99	97, 98	fzfigd 10737	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
100	54	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
101		elfzelz 10303	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
102	101	zred 9645	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
103	102	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
104	3	nnzd 9644	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
105	104	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
106	105	zred 9645	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
107	93	nnred 9199	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ ..^
108	107	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
109		elfzle2 10306	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
110	109	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
111		elfzolt2 10435	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
112	111	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
113	103, 108, 106, 110, 112	lelttrd 8347	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
114	103, 106, 113	ltled 8341	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
115		elfzuz 10299	. . . . . . . . . . . . . . . 16
116		elfz5 10295	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
117	115, 105, 116	syl2an2 598	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
118	114, 117	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
119	100, 118	ffvelcdmd 5791	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
120	51, 119	sselid 3226	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
121	99, 120	fprodzcl 12231	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
122	96, 121	zmulcld 9651	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
123		zq 9903	. . . . . . . . . 10
124	122, 123	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
125	124	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
126	90	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
127	126, 120	zmulcld 9651	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
128	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
129	127, 128	zmodcld 10651	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
130	129	nn0zd 9643	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
131	99, 130	fprodzcl 12231	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
132		zq 9903	. . . . . . . . . 10
133	131, 132	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
134	133	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
135	44	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^ $/\$
136	54	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
137		fzofzp1 10516	. . . . . . . . . . . 12 ..^
138	137	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
139	136, 138	ffvelcdmd 5791	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^ $/\$
140	51, 139	sselid 3226	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^ $/\$
141	135, 140	zmulcld 9651	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
142	66	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
143	67	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
144		simpr 110	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
145	125, 134, 141, 142, 143, 144	modqmul1 10683	. . . . . . 7 $/\$ ..^ $/\$
146	145	ex 115	. . . . . 6 $/\$ ..^
147	96	zcnd 9646	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
148	121	zcnd 9646	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
149	79	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
150	54	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
151	137	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
152	150, 151	ffvelcdmd 5791	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
153	82, 152	sselid 3226	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
154	147, 148, 149, 153	mul4d 8377	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
155	149, 94	expp1d 10980	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
156		elfzouz 10429	. . . . . . . . . . . 12 ..^
157	156	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
158	150	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
159		elfzelz 10303	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
160	159	zred 9645	. . . . . . . . . . . . . . . 16
161	160	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
162		peano2re 8358	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
163	107, 162	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^
164	163	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
165	104	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
166	165	zred 9645	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
167		elfzle2 10306	. . . . . . . . . . . . . . . 16
168	167	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
169	137	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
170		elfzle2 10306	. . . . . . . . . . . . . . . 16
171	169, 170	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
172	161, 164, 166, 168, 171	letrd 8346	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
173		elfzuz 10299	. . . . . . . . . . . . . . 15
174	173, 165, 116	syl2an2 598	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
175	172, 174	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
176	158, 175	ffvelcdmd 5791	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
177	82, 176	sselid 3226	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
178		fveq2 5648	. . . . . . . . . . 11
179	157, 177, 178	fprodp1 12222	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
180	155, 179	oveq12d 6046	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
181	154, 180	eqtr4d 2267	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
182	181	oveq1d 6043	. . . . . . 7 $/\$ ..^
183	51, 152	sselid 3226	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
184	90, 183	zmulcld 9651	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
185	2	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
186	184, 185	zmodcld 10651	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
187	186	nn0zd 9643	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
188		zq 9903	. . . . . . . . . 10
189	187, 188	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
190		zq 9903	. . . . . . . . . 10
191	184, 190	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
192	66	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
193	67	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
194		modqabs2 10664	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
195	191, 192, 193, 194	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
196	189, 191, 131, 192, 193, 195	modqmul1 10683	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
197	90	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
198	51, 176	sselid 3226	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
199	197, 198	zmulcld 9651	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
200	185	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
201	199, 200	zmodcld 10651	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
202	201	nn0cnd 9500	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
203	178	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . . 12
204	203	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . 11
205	157, 202, 204	fprodp1 12222	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
206	186	nn0cnd 9500	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
207	131	zcnd 9646	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
208	206, 207	mulcomd 8244	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
209	205, 208	eqtr4d 2267	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
210	209	oveq1d 6043	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
211	149, 153	mulcld 8243	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
212	207, 211	mulcomd 8244	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
213	212	oveq1d 6043	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
214	196, 210, 213	3eqtr4rd 2275	. . . . . . 7 $/\$ ..^
215	182, 214	eqeq12d 2246	. . . . . 6 $/\$ ..^
216	146, 215	sylibd 149	. . . . 5 $/\$ ..^
217	216	expcom 116	. . . 4 ..^
218	217	a2d 26	. . 3 ..^
219	16, 25, 34, 43, 89, 218	fzind2 10529	. 2
220	7, 219	mpcom 36	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 1005

wceq 1398

wcel 2202

crab 2515 class class class wbr 4093

wf 5329

wf1o 5332

cfv 5333 (class class class)co 6028

cc 8073

cr 8074

cc0 8075

c1 8076

caddc 8078

cmul 8080

clt 8257

cle 8258

cn 9186

cn0 9445

cz 9522

cuz 9798

cq 9896

cfz 10286 ..^cfzo 10420

cmo 10628

cexp 10844

cprod 12172

cgcd 12585

cphi 12842

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-coll 4209 ax-sep 4212 ax-nul 4220 ax-pow 4270 ax-pr 4305 ax-un 4536 ax-setind 4641 ax-iinf 4692 ax-cnex 8166 ax-resscn 8167 ax-1cn 8168 ax-1re 8169 ax-icn 8170 ax-addcl 8171 ax-addrcl 8172 ax-mulcl 8173 ax-mulrcl 8174 ax-addcom 8175 ax-mulcom 8176 ax-addass 8177 ax-mulass 8178 ax-distr 8179 ax-i2m1 8180 ax-0lt1 8181 ax-1rid 8182 ax-0id 8183 ax-rnegex 8184 ax-precex 8185 ax-cnre 8186 ax-pre-ltirr 8187 ax-pre-ltwlin 8188 ax-pre-lttrn 8189 ax-pre-apti 8190 ax-pre-ltadd 8191 ax-pre-mulgt0 8192 ax-pre-mulext 8193 ax-arch 8194 ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2364 df-ne 2404 df-nel 2499 df-ral 2516 df-rex 2517 df-reu 2518 df-rmo 2519 df-rab 2520 df-v 2805 df-sbc 3033 df-csb 3129 df-dif 3203 df-un 3205 df-in 3207 df-ss 3214 df-nul 3497 df-if 3608 df-pw 3658 df-sn 3679 df-pr 3680 df-op 3682 df-uni 3899 df-int 3934 df-iun 3977 df-br 4094 df-opab 4156 df-mpt 4157 df-tr 4193 df-id 4396 df-po 4399 df-iso 4400 df-iord 4469 df-on 4471 df-ilim 4472 df-suc 4474 df-iom 4695 df-xp 4737 df-rel 4738 df-cnv 4739 df-co 4740 df-dm 4741 df-rn 4742 df-res 4743 df-ima 4744 df-iota 5293 df-fun 5335 df-fn 5336 df-f 5337 df-f1 5338 df-fo 5339 df-f1o 5340 df-fv 5341 df-isom 5342 df-riota 5981 df-ov 6031 df-oprab 6032 df-mpo 6033 df-1st 6312 df-2nd 6313 df-recs 6514 df-irdg 6579 df-frec 6600 df-1o 6625 df-oadd 6629 df-er 6745 df-en 6953 df-dom 6954 df-fin 6955 df-sup 7226 df-pnf 8259 df-mnf 8260 df-xr 8261 df-ltxr 8262 df-le 8263 df-sub 8395 df-neg 8396 df-reap 8798 df-ap 8805 df-div 8896 df-inn 9187 df-2 9245 df-3 9246 df-4 9247 df-n0 9446 df-z 9523 df-uz 9799 df-q 9897 df-rp 9932 df-fz 10287 df-fzo 10421 df-fl 10574 df-mod 10629 df-seqfrec 10754 df-exp 10845 df-ihash 11082 df-cj 11463 df-re 11464 df-im 11465 df-rsqrt 11619 df-abs 11620 df-clim 11900 df-proddc 12173 df-dvds 12410 df-gcd 12586 df-phi 12844

This theorem is referenced by: eulerthlemth 12865

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