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Theorem eulerthlema 12213

Description: Lemma for eulerth 12216. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Sep-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
eulerth.1	$/\$ $/\$
eulerth.2	..^
eulerth.4

**Assertion**
Ref	Expression
eulerthlema

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

(

)

Proof of Theorem eulerthlema Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerth.1	. . . . . 6 $/\$ $/\$
2	1	simp1d 1009	. . . . 5
3	2	phicld 12201	. . . 4
4		elnnuz 9553	. . . 4
5	3, 4	sylib 122	. . 3
6		eluzfz2 10018	. . 3
7	5, 6	syl 14	. 2
8		oveq2 5877	. . . . . . 7
9		oveq2 5877	. . . . . . . 8
10	9	prodeq1d 11556	. . . . . . 7
11	8, 10	oveq12d 5887	. . . . . 6
12	11	oveq1d 5884	. . . . 5
13	9	prodeq1d 11556	. . . . . 6
14	13	oveq1d 5884	. . . . 5
15	12, 14	eqeq12d 2192	. . . 4
16	15	imbi2d 230	. . 3
17		oveq2 5877	. . . . . . 7
18		oveq2 5877	. . . . . . . 8
19	18	prodeq1d 11556	. . . . . . 7
20	17, 19	oveq12d 5887	. . . . . 6
21	20	oveq1d 5884	. . . . 5
22	18	prodeq1d 11556	. . . . . 6
23	22	oveq1d 5884	. . . . 5
24	21, 23	eqeq12d 2192	. . . 4
25	24	imbi2d 230	. . 3
26		oveq2 5877	. . . . . . 7
27		oveq2 5877	. . . . . . . 8
28	27	prodeq1d 11556	. . . . . . 7
29	26, 28	oveq12d 5887	. . . . . 6
30	29	oveq1d 5884	. . . . 5
31	27	prodeq1d 11556	. . . . . 6
32	31	oveq1d 5884	. . . . 5
33	30, 32	eqeq12d 2192	. . . 4
34	33	imbi2d 230	. . 3
35		oveq2 5877	. . . . . . 7
36		oveq2 5877	. . . . . . . 8
37	36	prodeq1d 11556	. . . . . . 7
38	35, 37	oveq12d 5887	. . . . . 6
39	38	oveq1d 5884	. . . . 5
40	36	prodeq1d 11556	. . . . . 6
41	40	oveq1d 5884	. . . . 5
42	39, 41	eqeq12d 2192	. . . 4
43	42	imbi2d 230	. . 3
44	1	simp2d 1010	. . . . . . . 8
45		eulerth.2	. . . . . . . . . . . 12 ..^
46		ssrab2 3240	. . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
47	45, 46	eqsstri 3187	. . . . . . . . . . 11 ..^
48		fzo0ssnn0 10201	. . . . . . . . . . 11 ..^
49	47, 48	sstri 3164	. . . . . . . . . 10
50		nn0ssz 9260	. . . . . . . . . 10
51	49, 50	sstri 3164	. . . . . . . . 9
52		eulerth.4	. . . . . . . . . . 11
53		f1of 5457	. . . . . . . . . . 11
54	52, 53	syl 14	. . . . . . . . . 10
55		1nn 8919	. . . . . . . . . . . 12
56	55	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
57	3	nnge1d 8951	. . . . . . . . . . 11
58		elfz1b 10076	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
59	56, 3, 57, 58	syl3anbrc 1181	. . . . . . . . . 10
60	54, 59	ffvelcdmd 5648	. . . . . . . . 9
61	51, 60	sselid 3153	. . . . . . . 8
62	44, 61	zmulcld 9370	. . . . . . 7
63		zq 9615	. . . . . . 7
64	62, 63	syl 14	. . . . . 6
65		nnq 9622	. . . . . . 7
66	2, 65	syl 14	. . . . . 6
67	2	nngt0d 8952	. . . . . 6
68		modqabs2 10344	. . . . . 6 $/\$ $/\$
69	64, 66, 67, 68	syl3anc 1238	. . . . 5
70		1z 9268	. . . . . . 7
71	62, 2	zmodcld 10331	. . . . . . . 8
72	71	nn0cnd 9220	. . . . . . 7
73		fveq2 5511	. . . . . . . . . 10
74	73	oveq2d 5885	. . . . . . . . 9
75	74	oveq1d 5884	. . . . . . . 8
76	75	fprod1 11586	. . . . . . 7 $/\$
77	70, 72, 76	sylancr 414	. . . . . 6
78	77	oveq1d 5884	. . . . 5
79	44	zcnd 9365	. . . . . . . 8
80	79	exp1d 10634	. . . . . . 7
81		nn0sscn 9170	. . . . . . . . . 10
82	49, 81	sstri 3164	. . . . . . . . 9
83	82, 60	sselid 3153	. . . . . . . 8
84	73	fprod1 11586	. . . . . . . 8 $/\$
85	70, 83, 84	sylancr 414	. . . . . . 7
86	80, 85	oveq12d 5887	. . . . . 6
87	86	oveq1d 5884	. . . . 5
88	69, 78, 87	3eqtr4rd 2221	. . . 4
89	88	a1i 9	. . 3
90	44	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
91		elfzo1 10176	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ $/\$ $/\$
92	91	simp1bi 1012	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^
93	92	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
94	93	nnnn0d 9218	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
95		zexpcl 10521	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
96	90, 94, 95	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
97	70	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
98	93	nnzd 9363	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
99	97, 98	fzfigd 10417	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
100	54	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
101		elfzelz 10011	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
102	101	zred 9364	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
103	102	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
104	3	nnzd 9363	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
105	104	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
106	105	zred 9364	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
107	93	nnred 8921	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ ..^
108	107	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
109		elfzle2 10014	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
110	109	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
111		elfzolt2 10142	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
112	111	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
113	103, 108, 106, 110, 112	lelttrd 8072	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
114	103, 106, 113	ltled 8066	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
115		elfzuz 10007	. . . . . . . . . . . . . . . 16
116		elfz5 10003	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
117	115, 105, 116	syl2an2 594	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
118	114, 117	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
119	100, 118	ffvelcdmd 5648	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
120	51, 119	sselid 3153	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
121	99, 120	fprodzcl 11601	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
122	96, 121	zmulcld 9370	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
123		zq 9615	. . . . . . . . . 10
124	122, 123	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
125	124	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
126	90	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
127	126, 120	zmulcld 9370	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
128	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
129	127, 128	zmodcld 10331	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
130	129	nn0zd 9362	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
131	99, 130	fprodzcl 11601	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
132		zq 9615	. . . . . . . . . 10
133	131, 132	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
134	133	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
135	44	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^ $/\$
136	54	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
137		fzofzp1 10213	. . . . . . . . . . . 12 ..^
138	137	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
139	136, 138	ffvelcdmd 5648	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^ $/\$
140	51, 139	sselid 3153	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^ $/\$
141	135, 140	zmulcld 9370	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
142	66	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
143	67	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
144		simpr 110	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
145	125, 134, 141, 142, 143, 144	modqmul1 10363	. . . . . . 7 $/\$ ..^ $/\$
146	145	ex 115	. . . . . 6 $/\$ ..^
147	96	zcnd 9365	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
148	121	zcnd 9365	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
149	79	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
150	54	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
151	137	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
152	150, 151	ffvelcdmd 5648	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
153	82, 152	sselid 3153	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
154	147, 148, 149, 153	mul4d 8102	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
155	149, 94	expp1d 10640	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
156		elfzouz 10137	. . . . . . . . . . . 12 ..^
157	156	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
158	150	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
159		elfzelz 10011	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
160	159	zred 9364	. . . . . . . . . . . . . . . 16
161	160	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
162		peano2re 8083	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
163	107, 162	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^
164	163	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
165	104	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
166	165	zred 9364	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
167		elfzle2 10014	. . . . . . . . . . . . . . . 16
168	167	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
169	137	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
170		elfzle2 10014	. . . . . . . . . . . . . . . 16
171	169, 170	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
172	161, 164, 166, 168, 171	letrd 8071	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
173		elfzuz 10007	. . . . . . . . . . . . . . 15
174	173, 165, 116	syl2an2 594	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
175	172, 174	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
176	158, 175	ffvelcdmd 5648	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
177	82, 176	sselid 3153	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
178		fveq2 5511	. . . . . . . . . . 11
179	157, 177, 178	fprodp1 11592	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
180	155, 179	oveq12d 5887	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
181	154, 180	eqtr4d 2213	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
182	181	oveq1d 5884	. . . . . . 7 $/\$ ..^
183	51, 152	sselid 3153	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
184	90, 183	zmulcld 9370	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
185	2	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
186	184, 185	zmodcld 10331	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
187	186	nn0zd 9362	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
188		zq 9615	. . . . . . . . . 10
189	187, 188	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
190		zq 9615	. . . . . . . . . 10
191	184, 190	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
192	66	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
193	67	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
194		modqabs2 10344	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
195	191, 192, 193, 194	syl3anc 1238	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
196	189, 191, 131, 192, 193, 195	modqmul1 10363	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
197	90	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
198	51, 176	sselid 3153	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
199	197, 198	zmulcld 9370	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
200	185	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
201	199, 200	zmodcld 10331	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
202	201	nn0cnd 9220	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
203	178	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . . 12
204	203	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . 11
205	157, 202, 204	fprodp1 11592	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
206	186	nn0cnd 9220	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
207	131	zcnd 9365	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
208	206, 207	mulcomd 7969	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
209	205, 208	eqtr4d 2213	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
210	209	oveq1d 5884	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
211	149, 153	mulcld 7968	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
212	207, 211	mulcomd 7969	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
213	212	oveq1d 5884	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
214	196, 210, 213	3eqtr4rd 2221	. . . . . . 7 $/\$ ..^
215	182, 214	eqeq12d 2192	. . . . . 6 $/\$ ..^
216	146, 215	sylibd 149	. . . . 5 $/\$ ..^
217	216	expcom 116	. . . 4 ..^
218	217	a2d 26	. . 3 ..^
219	16, 25, 34, 43, 89, 218	fzind2 10225	. 2
220	7, 219	mpcom 36	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 978

wceq 1353

wcel 2148

crab 2459 class class class wbr 4000

wf 5208

wf1o 5211

cfv 5212 (class class class)co 5869

cc 7800

cr 7801

cc0 7802

c1 7803

caddc 7805

cmul 7807

clt 7982

cle 7983

cn 8908

cn0 9165

cz 9242

cuz 9517

cq 9608

cfz 9995 ..^cfzo 10128

cmo 10308

cexp 10505

cprod 11542

cgcd 11926

cphi 12192

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4115 ax-sep 4118 ax-nul 4126 ax-pow 4171 ax-pr 4206 ax-un 4430 ax-setind 4533 ax-iinf 4584 ax-cnex 7893 ax-resscn 7894 ax-1cn 7895 ax-1re 7896 ax-icn 7897 ax-addcl 7898 ax-addrcl 7899 ax-mulcl 7900 ax-mulrcl 7901 ax-addcom 7902 ax-mulcom 7903 ax-addass 7904 ax-mulass 7905 ax-distr 7906 ax-i2m1 7907 ax-0lt1 7908 ax-1rid 7909 ax-0id 7910 ax-rnegex 7911 ax-precex 7912 ax-cnre 7913 ax-pre-ltirr 7914 ax-pre-ltwlin 7915 ax-pre-lttrn 7916 ax-pre-apti 7917 ax-pre-ltadd 7918 ax-pre-mulgt0 7919 ax-pre-mulext 7920 ax-arch 7921 ax-caucvg 7922

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-if 3535 df-pw 3576 df-sn 3597 df-pr 3598 df-op 3600 df-uni 3808 df-int 3843 df-iun 3886 df-br 4001 df-opab 4062 df-mpt 4063 df-tr 4099 df-id 4290 df-po 4293 df-iso 4294 df-iord 4363 df-on 4365 df-ilim 4366 df-suc 4368 df-iom 4587 df-xp 4629 df-rel 4630 df-cnv 4631 df-co 4632 df-dm 4633 df-rn 4634 df-res 4635 df-ima 4636 df-iota 5174 df-fun 5214 df-fn 5215 df-f 5216 df-f1 5217 df-fo 5218 df-f1o 5219 df-fv 5220 df-isom 5221 df-riota 5825 df-ov 5872 df-oprab 5873 df-mpo 5874 df-1st 6135 df-2nd 6136 df-recs 6300 df-irdg 6365 df-frec 6386 df-1o 6411 df-oadd 6415 df-er 6529 df-en 6735 df-dom 6736 df-fin 6737 df-sup 6977 df-pnf 7984 df-mnf 7985 df-xr 7986 df-ltxr 7987 df-le 7988 df-sub 8120 df-neg 8121 df-reap 8522 df-ap 8529 df-div 8619 df-inn 8909 df-2 8967 df-3 8968 df-4 8969 df-n0 9166 df-z 9243 df-uz 9518 df-q 9609 df-rp 9641 df-fz 9996 df-fzo 10129 df-fl 10256 df-mod 10309 df-seqfrec 10432 df-exp 10506 df-ihash 10740 df-cj 10835 df-re 10836 df-im 10837 df-rsqrt 10991 df-abs 10992 df-clim 11271 df-proddc 11543 df-dvds 11779 df-gcd 11927 df-phi 12194

This theorem is referenced by: eulerthlemth 12215

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