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Theorem eulerthlema 12991

Description: Lemma for eulerth 12994. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Sep-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
eulerth.1	$/\$ $/\$
eulerth.2	..^
eulerth.4

**Assertion**
Ref	Expression
eulerthlema

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

(

)

Proof of Theorem eulerthlema Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerth.1	. . . . . 6 $/\$ $/\$
2	1	simp1d 1040	. . . . 5
3	2	phicld 12979	. . . 4
4		elnnuz 9942	. . . 4
5	3, 4	sylib 122	. . 3
6		eluzfz2 10419	. . 3
7	5, 6	syl 14	. 2
8		oveq2 6087	. . . . . . 7
9		oveq2 6087	. . . . . . . 8
10	9	prodeq1d 12314	. . . . . . 7
11	8, 10	oveq12d 6097	. . . . . 6
12	11	oveq1d 6094	. . . . 5
13	9	prodeq1d 12314	. . . . . 6
14	13	oveq1d 6094	. . . . 5
15	12, 14	eqeq12d 2253	. . . 4
16	15	imbi2d 230	. . 3
17		oveq2 6087	. . . . . . 7
18		oveq2 6087	. . . . . . . 8
19	18	prodeq1d 12314	. . . . . . 7
20	17, 19	oveq12d 6097	. . . . . 6
21	20	oveq1d 6094	. . . . 5
22	18	prodeq1d 12314	. . . . . 6
23	22	oveq1d 6094	. . . . 5
24	21, 23	eqeq12d 2253	. . . 4
25	24	imbi2d 230	. . 3
26		oveq2 6087	. . . . . . 7
27		oveq2 6087	. . . . . . . 8
28	27	prodeq1d 12314	. . . . . . 7
29	26, 28	oveq12d 6097	. . . . . 6
30	29	oveq1d 6094	. . . . 5
31	27	prodeq1d 12314	. . . . . 6
32	31	oveq1d 6094	. . . . 5
33	30, 32	eqeq12d 2253	. . . 4
34	33	imbi2d 230	. . 3
35		oveq2 6087	. . . . . . 7
36		oveq2 6087	. . . . . . . 8
37	36	prodeq1d 12314	. . . . . . 7
38	35, 37	oveq12d 6097	. . . . . 6
39	38	oveq1d 6094	. . . . 5
40	36	prodeq1d 12314	. . . . . 6
41	40	oveq1d 6094	. . . . 5
42	39, 41	eqeq12d 2253	. . . 4
43	42	imbi2d 230	. . 3
44	1	simp2d 1041	. . . . . . . 8
45		eulerth.2	. . . . . . . . . . . 12 ..^
46		ssrab2 3333	. . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
47	45, 46	eqsstri 3280	. . . . . . . . . . 11 ..^
48		fzo0ssnn0 10616	. . . . . . . . . . 11 ..^
49	47, 48	sstri 3257	. . . . . . . . . 10
50		nn0ssz 9645	. . . . . . . . . 10
51	49, 50	sstri 3257	. . . . . . . . 9
52		eulerth.4	. . . . . . . . . . 11
53		f1of 5637	. . . . . . . . . . 11
54	52, 53	syl 14	. . . . . . . . . 10
55		1nn 9298	. . . . . . . . . . . 12
56	55	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
57	3	nnge1d 9330	. . . . . . . . . . 11
58		elfz1b 10480	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
59	56, 3, 57, 58	syl3anbrc 1212	. . . . . . . . . 10
60	54, 59	ffvelcdmd 5838	. . . . . . . . 9
61	51, 60	sselid 3246	. . . . . . . 8
62	44, 61	zmulcld 9757	. . . . . . 7
63		zq 10009	. . . . . . 7
64	62, 63	syl 14	. . . . . 6
65		nnq 10016	. . . . . . 7
66	2, 65	syl 14	. . . . . 6
67	2	nngt0d 9331	. . . . . 6
68		modqabs2 10778	. . . . . 6 $/\$ $/\$
69	64, 66, 67, 68	syl3anc 1278	. . . . 5
70		1z 9653	. . . . . . 7
71	62, 2	zmodcld 10765	. . . . . . . 8
72	71	nn0cnd 9605	. . . . . . 7
73		fveq2 5693	. . . . . . . . . 10
74	73	oveq2d 6095	. . . . . . . . 9
75	74	oveq1d 6094	. . . . . . . 8
76	75	fprod1 12344	. . . . . . 7 $/\$
77	70, 72, 76	sylancr 418	. . . . . 6
78	77	oveq1d 6094	. . . . 5
79	44	zcnd 9752	. . . . . . . 8
80	79	exp1d 11089	. . . . . . 7
81		nn0sscn 9551	. . . . . . . . . 10
82	49, 81	sstri 3257	. . . . . . . . 9
83	82, 60	sselid 3246	. . . . . . . 8
84	73	fprod1 12344	. . . . . . . 8 $/\$
85	70, 83, 84	sylancr 418	. . . . . . 7
86	80, 85	oveq12d 6097	. . . . . 6
87	86	oveq1d 6094	. . . . 5
88	69, 78, 87	3eqtr4rd 2282	. . . 4
89	88	a1i 9	. . 3
90	44	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
91		elfzo1 10586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ $/\$ $/\$
92	91	simp1bi 1043	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^
93	92	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
94	93	nnnn0d 9603	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
95		zexpcl 10974	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
96	90, 94, 95	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
97	70	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
98	93	nnzd 9750	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
99	97, 98	fzfigd 10851	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
100	54	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
101		elfzelz 10411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
102	101	zred 9751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
103	102	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
104	3	nnzd 9750	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
105	104	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
106	105	zred 9751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
107	93	nnred 9300	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ ..^
108	107	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
109		elfzle2 10415	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
110	109	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
111		elfzolt2 10547	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
112	111	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
113	103, 108, 106, 110, 112	lelttrd 8445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
114	103, 106, 113	ltled 8439	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
115		elfzuz 10407	. . . . . . . . . . . . . . . 16
116		elfz5 10403	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
117	115, 105, 116	syl2an2 602	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
118	114, 117	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
119	100, 118	ffvelcdmd 5838	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
120	51, 119	sselid 3246	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
121	99, 120	fprodzcl 12359	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
122	96, 121	zmulcld 9757	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
123		zq 10009	. . . . . . . . . 10
124	122, 123	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
125	124	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
126	90	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
127	126, 120	zmulcld 9757	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
128	2	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
129	127, 128	zmodcld 10765	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
130	129	nn0zd 9749	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
131	99, 130	fprodzcl 12359	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
132		zq 10009	. . . . . . . . . 10
133	131, 132	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
134	133	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
135	44	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^ $/\$
136	54	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
137		fzofzp1 10628	. . . . . . . . . . . 12 ..^
138	137	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
139	136, 138	ffvelcdmd 5838	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^ $/\$
140	51, 139	sselid 3246	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^ $/\$
141	135, 140	zmulcld 9757	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
142	66	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
143	67	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
144		simpr 110	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
145	125, 134, 141, 142, 143, 144	modqmul1 10797	. . . . . . 7 $/\$ ..^ $/\$
146	145	ex 115	. . . . . 6 $/\$ ..^
147	96	zcnd 9752	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
148	121	zcnd 9752	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
149	79	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
150	54	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
151	137	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
152	150, 151	ffvelcdmd 5838	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
153	82, 152	sselid 3246	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
154	147, 148, 149, 153	mul4d 8475	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
155	149, 94	expp1d 11095	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
156		elfzouz 10541	. . . . . . . . . . . 12 ..^
157	156	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
158	150	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
159		elfzelz 10411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
160	159	zred 9751	. . . . . . . . . . . . . . . 16
161	160	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
162		peano2re 8456	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
163	107, 162	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^
164	163	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
165	104	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
166	165	zred 9751	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
167		elfzle2 10415	. . . . . . . . . . . . . . . 16
168	167	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
169	137	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
170		elfzle2 10415	. . . . . . . . . . . . . . . 16
171	169, 170	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
172	161, 164, 166, 168, 171	letrd 8444	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
173		elfzuz 10407	. . . . . . . . . . . . . . 15
174	173, 165, 116	syl2an2 602	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
175	172, 174	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
176	158, 175	ffvelcdmd 5838	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
177	82, 176	sselid 3246	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
178		fveq2 5693	. . . . . . . . . . 11
179	157, 177, 178	fprodp1 12350	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
180	155, 179	oveq12d 6097	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
181	154, 180	eqtr4d 2274	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
182	181	oveq1d 6094	. . . . . . 7 $/\$ ..^
183	51, 152	sselid 3246	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
184	90, 183	zmulcld 9757	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
185	2	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
186	184, 185	zmodcld 10765	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
187	186	nn0zd 9749	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
188		zq 10009	. . . . . . . . . 10
189	187, 188	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
190		zq 10009	. . . . . . . . . 10
191	184, 190	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
192	66	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
193	67	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
194		modqabs2 10778	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
195	191, 192, 193, 194	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
196	189, 191, 131, 192, 193, 195	modqmul1 10797	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
197	90	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
198	51, 176	sselid 3246	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
199	197, 198	zmulcld 9757	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
200	185	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
201	199, 200	zmodcld 10765	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
202	201	nn0cnd 9605	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
203	178	oveq2d 6095	. . . . . . . . . . . 12
204	203	oveq1d 6094	. . . . . . . . . . 11
205	157, 202, 204	fprodp1 12350	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
206	186	nn0cnd 9605	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
207	131	zcnd 9752	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
208	206, 207	mulcomd 8341	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
209	205, 208	eqtr4d 2274	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
210	209	oveq1d 6094	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
211	149, 153	mulcld 8340	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
212	207, 211	mulcomd 8341	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
213	212	oveq1d 6094	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
214	196, 210, 213	3eqtr4rd 2282	. . . . . . 7 $/\$ ..^
215	182, 214	eqeq12d 2253	. . . . . 6 $/\$ ..^
216	146, 215	sylibd 149	. . . . 5 $/\$ ..^
217	216	expcom 116	. . . 4 ..^
218	217	a2d 26	. . 3 ..^
219	16, 25, 34, 43, 89, 218	fzind2 10641	. 2
220	7, 219	mpcom 36	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 1009

wceq 1402

wcel 2209

crab 2532 class class class wbr 4128

wf 5371

wf1o 5374

cfv 5375 (class class class)co 6079

cc 8171

cr 8172

cc0 8173

c1 8174

caddc 8176

cmul 8178

clt 8354

cle 8355

cn 9287

cn0 9546

cz 9627

cuz 9904

cq 10002

cfz 10394 ..^cfzo 10532

cmo 10742

cexp 10958

cprod 12300

cgcd 12713

cphi 12970

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4244 ax-sep 4247 ax-nul 4257 ax-pow 4309 ax-pr 4344 ax-un 4576 ax-setind 4682 ax-iinf 4733 ax-cnex 8264 ax-resscn 8265 ax-1cn 8266 ax-1re 8267 ax-icn 8268 ax-addcl 8269 ax-addrcl 8270 ax-mulcl 8271 ax-mulrcl 8272 ax-addcom 8273 ax-mulcom 8274 ax-addass 8275 ax-mulass 8276 ax-distr 8277 ax-i2m1 8278 ax-0lt1 8279 ax-1rid 8280 ax-0id 8281 ax-rnegex 8282 ax-precex 8283 ax-cnre 8284 ax-pre-ltirr 8285 ax-pre-ltwlin 8286 ax-pre-lttrn 8287 ax-pre-apti 8288 ax-pre-ltadd 8289 ax-pre-mulgt0 8290 ax-pre-mulext 8291 ax-arch 8292 ax-caucvg 8293

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3639 df-pw 3690 df-sn 3714 df-pr 3715 df-op 3717 df-uni 3934 df-int 3969 df-iun 4012 df-br 4129 df-opab 4191 df-mpt 4192 df-tr 4228 df-id 4436 df-po 4439 df-iso 4440 df-iord 4509 df-on 4511 df-ilim 4512 df-suc 4514 df-iom 4736 df-xp 4778 df-rel 4779 df-cnv 4780 df-co 4781 df-dm 4782 df-rn 4783 df-res 4784 df-ima 4785 df-iota 5335 df-fun 5377 df-fn 5378 df-f 5379 df-f1 5380 df-fo 5381 df-f1o 5382 df-fv 5383 df-isom 5384 df-riota 6032 df-ov 6082 df-oprab 6083 df-mpo 6084 df-1st 6368 df-2nd 6369 df-recs 6570 df-irdg 6635 df-frec 6656 df-1o 6681 df-oadd 6685 df-er 6801 df-en 7017 df-dom 7018 df-fin 7019 df-sup 7318 df-pnf 8356 df-mnf 8357 df-xr 8358 df-ltxr 8359 df-le 8360 df-sub 8493 df-neg 8494 df-reap 8897 df-ap 8904 df-div 8997 df-inn 9288 df-2 9346 df-3 9347 df-4 9348 df-n0 9547 df-z 9628 df-uz 9905 df-q 10003 df-rp 10038 df-fz 10395 df-fzo 10533 df-fl 10688 df-mod 10743 df-seqfrec 10868 df-exp 10959 df-ihash 11198 df-cj 11590 df-re 11591 df-im 11592 df-rsqrt 11747 df-abs 11748 df-clim 12028 df-proddc 12301 df-dvds 12538 df-gcd 12714 df-phi 12972

This theorem is referenced by: eulerthlemth 12993

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