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Theorem eulerthlema 13038

Description: Lemma for eulerth 13041. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Sep-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
eulerth.1	$/\$ $/\$
eulerth.2	..^
eulerth.4

**Assertion**
Ref	Expression
eulerthlema

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

(

)

Proof of Theorem eulerthlema Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerth.1	. . . . . 6 $/\$ $/\$
2	1	simp1d 1040	. . . . 5
3	2	phicld 13026	. . . 4
4		elnnuz 9976	. . . 4
5	3, 4	sylib 122	. . 3
6		eluzfz2 10454	. . 3
7	5, 6	syl 14	. 2
8		oveq2 6096	. . . . . . 7
9		oveq2 6096	. . . . . . . 8
10	9	prodeq1d 12357	. . . . . . 7
11	8, 10	oveq12d 6106	. . . . . 6
12	11	oveq1d 6103	. . . . 5
13	9	prodeq1d 12357	. . . . . 6
14	13	oveq1d 6103	. . . . 5
15	12, 14	eqeq12d 2253	. . . 4
16	15	imbi2d 230	. . 3
17		oveq2 6096	. . . . . . 7
18		oveq2 6096	. . . . . . . 8
19	18	prodeq1d 12357	. . . . . . 7
20	17, 19	oveq12d 6106	. . . . . 6
21	20	oveq1d 6103	. . . . 5
22	18	prodeq1d 12357	. . . . . 6
23	22	oveq1d 6103	. . . . 5
24	21, 23	eqeq12d 2253	. . . 4
25	24	imbi2d 230	. . 3
26		oveq2 6096	. . . . . . 7
27		oveq2 6096	. . . . . . . 8
28	27	prodeq1d 12357	. . . . . . 7
29	26, 28	oveq12d 6106	. . . . . 6
30	29	oveq1d 6103	. . . . 5
31	27	prodeq1d 12357	. . . . . 6
32	31	oveq1d 6103	. . . . 5
33	30, 32	eqeq12d 2253	. . . 4
34	33	imbi2d 230	. . 3
35		oveq2 6096	. . . . . . 7
36		oveq2 6096	. . . . . . . 8
37	36	prodeq1d 12357	. . . . . . 7
38	35, 37	oveq12d 6106	. . . . . 6
39	38	oveq1d 6103	. . . . 5
40	36	prodeq1d 12357	. . . . . 6
41	40	oveq1d 6103	. . . . 5
42	39, 41	eqeq12d 2253	. . . 4
43	42	imbi2d 230	. . 3
44	1	simp2d 1041	. . . . . . . 8
45		eulerth.2	. . . . . . . . . . . 12 ..^
46		ssrab2 3333	. . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
47	45, 46	eqsstri 3280	. . . . . . . . . . 11 ..^
48		fzo0ssnn0 10651	. . . . . . . . . . 11 ..^
49	47, 48	sstri 3257	. . . . . . . . . 10
50		nn0ssz 9674	. . . . . . . . . 10
51	49, 50	sstri 3257	. . . . . . . . 9
52		eulerth.4	. . . . . . . . . . 11
53		f1of 5642	. . . . . . . . . . 11
54	52, 53	syl 14	. . . . . . . . . 10
55		1nn 9325	. . . . . . . . . . . 12
56	55	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
57	3	nnge1d 9357	. . . . . . . . . . 11
58		elfz1b 10515	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
59	56, 3, 57, 58	syl3anbrc 1212	. . . . . . . . . 10
60	54, 59	ffvelcdmd 5847	. . . . . . . . 9
61	51, 60	sselid 3246	. . . . . . . 8
62	44, 61	zmulcld 9786	. . . . . . 7
63		zq 10043	. . . . . . 7
64	62, 63	syl 14	. . . . . 6
65		nnq 10050	. . . . . . 7
66	2, 65	syl 14	. . . . . 6
67	2	nngt0d 9358	. . . . . 6
68		modqabs2 10817	. . . . . 6 $/\$ $/\$
69	64, 66, 67, 68	syl3anc 1278	. . . . 5
70		1z 9682	. . . . . . 7
71	62, 2	zmodcld 10804	. . . . . . . 8
72	71	nn0cnd 9634	. . . . . . 7
73		fveq2 5698	. . . . . . . . . 10
74	73	oveq2d 6104	. . . . . . . . 9
75	74	oveq1d 6103	. . . . . . . 8
76	75	fprod1 12387	. . . . . . 7 $/\$
77	70, 72, 76	sylancr 418	. . . . . 6
78	77	oveq1d 6103	. . . . 5
79	44	zcnd 9781	. . . . . . . 8
80	79	exp1d 11128	. . . . . . 7
81		nn0sscn 9580	. . . . . . . . . 10
82	49, 81	sstri 3257	. . . . . . . . 9
83	82, 60	sselid 3246	. . . . . . . 8
84	73	fprod1 12387	. . . . . . . 8 $/\$
85	70, 83, 84	sylancr 418	. . . . . . 7
86	80, 85	oveq12d 6106	. . . . . 6
87	86	oveq1d 6103	. . . . 5
88	69, 78, 87	3eqtr4rd 2282	. . . 4
89	88	a1i 9	. . 3
90	44	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
91		elfzo1 10621	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ $/\$ $/\$
92	91	simp1bi 1043	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^
93	92	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
94	93	nnnn0d 9632	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
95		zexpcl 11013	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
96	90, 94, 95	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
97	70	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
98	93	nnzd 9779	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
99	97, 98	fzfigd 10890	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
100	54	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
101		elfzelz 10446	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
102	101	zred 9780	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
103	102	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
104	3	nnzd 9779	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
105	104	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
106	105	zred 9780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
107	93	nnred 9327	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ ..^
108	107	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
109		elfzle2 10450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
110	109	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
111		elfzolt2 10582	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
112	111	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
113	103, 108, 106, 110, 112	lelttrd 8459	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
114	103, 106, 113	ltled 8453	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
115		elfzuz 10442	. . . . . . . . . . . . . . . 16
116		elfz5 10438	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
117	115, 105, 116	syl2an2 602	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
118	114, 117	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
119	100, 118	ffvelcdmd 5847	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
120	51, 119	sselid 3246	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
121	99, 120	fprodzcl 12402	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
122	96, 121	zmulcld 9786	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
123		zq 10043	. . . . . . . . . 10
124	122, 123	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
125	124	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
126	90	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
127	126, 120	zmulcld 9786	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
128	2	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
129	127, 128	zmodcld 10804	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
130	129	nn0zd 9778	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
131	99, 130	fprodzcl 12402	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
132		zq 10043	. . . . . . . . . 10
133	131, 132	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
134	133	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
135	44	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^ $/\$
136	54	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
137		fzofzp1 10663	. . . . . . . . . . . 12 ..^
138	137	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
139	136, 138	ffvelcdmd 5847	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^ $/\$
140	51, 139	sselid 3246	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^ $/\$
141	135, 140	zmulcld 9786	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
142	66	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
143	67	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
144		simpr 110	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
145	125, 134, 141, 142, 143, 144	modqmul1 10836	. . . . . . 7 $/\$ ..^ $/\$
146	145	ex 115	. . . . . 6 $/\$ ..^
147	96	zcnd 9781	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
148	121	zcnd 9781	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
149	79	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
150	54	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
151	137	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
152	150, 151	ffvelcdmd 5847	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
153	82, 152	sselid 3246	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
154	147, 148, 149, 153	mul4d 8489	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
155	149, 94	expp1d 11134	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
156		elfzouz 10576	. . . . . . . . . . . 12 ..^
157	156	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
158	150	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
159		elfzelz 10446	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
160	159	zred 9780	. . . . . . . . . . . . . . . 16
161	160	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
162		peano2re 8470	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
163	107, 162	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^
164	163	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
165	104	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
166	165	zred 9780	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
167		elfzle2 10450	. . . . . . . . . . . . . . . 16
168	167	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
169	137	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
170		elfzle2 10450	. . . . . . . . . . . . . . . 16
171	169, 170	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
172	161, 164, 166, 168, 171	letrd 8458	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
173		elfzuz 10442	. . . . . . . . . . . . . . 15
174	173, 165, 116	syl2an2 602	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
175	172, 174	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
176	158, 175	ffvelcdmd 5847	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
177	82, 176	sselid 3246	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
178		fveq2 5698	. . . . . . . . . . 11
179	157, 177, 178	fprodp1 12393	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
180	155, 179	oveq12d 6106	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
181	154, 180	eqtr4d 2274	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
182	181	oveq1d 6103	. . . . . . 7 $/\$ ..^
183	51, 152	sselid 3246	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
184	90, 183	zmulcld 9786	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
185	2	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
186	184, 185	zmodcld 10804	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
187	186	nn0zd 9778	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
188		zq 10043	. . . . . . . . . 10
189	187, 188	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
190		zq 10043	. . . . . . . . . 10
191	184, 190	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
192	66	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
193	67	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
194		modqabs2 10817	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
195	191, 192, 193, 194	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
196	189, 191, 131, 192, 193, 195	modqmul1 10836	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
197	90	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
198	51, 176	sselid 3246	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
199	197, 198	zmulcld 9786	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
200	185	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
201	199, 200	zmodcld 10804	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
202	201	nn0cnd 9634	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
203	178	oveq2d 6104	. . . . . . . . . . . 12
204	203	oveq1d 6103	. . . . . . . . . . 11
205	157, 202, 204	fprodp1 12393	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
206	186	nn0cnd 9634	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
207	131	zcnd 9781	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
208	206, 207	mulcomd 8354	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
209	205, 208	eqtr4d 2274	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
210	209	oveq1d 6103	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
211	149, 153	mulcld 8353	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
212	207, 211	mulcomd 8354	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
213	212	oveq1d 6103	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
214	196, 210, 213	3eqtr4rd 2282	. . . . . . 7 $/\$ ..^
215	182, 214	eqeq12d 2253	. . . . . 6 $/\$ ..^
216	146, 215	sylibd 149	. . . . 5 $/\$ ..^
217	216	expcom 116	. . . 4 ..^
218	217	a2d 26	. . 3 ..^
219	16, 25, 34, 43, 89, 218	fzind2 10676	. 2
220	7, 219	mpcom 36	1

Colors of variables: wff set class

This proof depends on syntax axioms:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 1009

wceq 1402

wcel 2209

crab 2532 class class class wbr 4131

wf 5376

wf1o 5379

cfv 5380 (class class class)co 6088

cc 8184

cr 8185

cc0 8186

c1 8187

caddc 8189

cmul 8191

clt 8367

cle 8368

cn 9314

cn0 9575

cz 9656

cuz 9938

cq 10036

cfz 10429 ..^cfzo 10567

cmo 10781

cexp 10997

cprod 12343

cgcd 12756

cphi 13017

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4248 ax-sep 4251 ax-nul 4261 ax-pow 4313 ax-pr 4348 ax-un 4580 ax-setind 4686 ax-iinf 4737 ax-cnex 8277 ax-resscn 8278 ax-1cn 8279 ax-1re 8280 ax-icn 8281 ax-addcl 8282 ax-addrcl 8283 ax-mulcl 8284 ax-mulrcl 8285 ax-addcom 8286 ax-mulcom 8287 ax-addass 8288 ax-mulass 8289 ax-distr 8290 ax-i2m1 8291 ax-0lt1 8292 ax-1rid 8293 ax-0id 8294 ax-rnegex 8295 ax-precex 8296 ax-cnre 8297 ax-pre-ltirr 8298 ax-pre-ltwlin 8299 ax-pre-lttrn 8300 ax-pre-apti 8301 ax-pre-ltadd 8302 ax-pre-mulgt0 8303 ax-pre-mulext 8304 ax-arch 8305 ax-caucvg 8306

This proof depends on definitions: df-bi 117 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3639 df-pw 3690 df-sn 3715 df-pr 3716 df-op 3718 df-uni 3936 df-int 3971 df-iun 4014 df-br 4132 df-opab 4194 df-mpt 4195 df-tr 4232 df-id 4440 df-po 4443 df-iso 4444 df-iord 4513 df-on 4515 df-ilim 4516 df-suc 4518 df-iom 4740 df-xp 4782 df-rel 4783 df-cnv 4784 df-co 4785 df-dm 4786 df-rn 4787 df-res 4788 df-ima 4789 df-iota 5340 df-fun 5382 df-fn 5383 df-f 5384 df-f1 5385 df-fo 5386 df-f1o 5387 df-fv 5388 df-isom 5389 df-riota 6041 df-ov 6091 df-oprab 6092 df-mpo 6093 df-1st 6378 df-2nd 6379 df-recs 6580 df-irdg 6645 df-frec 6666 df-1o 6691 df-oadd 6695 df-er 6811 df-en 7028 df-dom 7029 df-fin 7030 df-sup 7331 df-pnf 8369 df-mnf 8370 df-xr 8371 df-ltxr 8372 df-le 8373 df-sub 8507 df-neg 8508 df-reap 8912 df-ap 8919 df-div 9012 df-inn 9315 df-2 9373 df-3 9374 df-4 9375 df-n0 9576 df-z 9657 df-uz 9939 df-q 10037 df-rp 10073 df-fz 10430 df-fzo 10568 df-fl 10723 df-mod 10782 df-seqfrec 10907 df-exp 10998 df-ihash 11238 df-cj 11630 df-re 11631 df-im 11632 df-rsqrt 11787 df-abs 11788 df-clim 12071 df-proddc 12344 df-dvds 12581 df-gcd 12757 df-phi 13019

This theorem is used by: eulerthlemth 13040

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