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Theorem eulerthlema 12230

Description: Lemma for eulerth 12233. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Sep-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
eulerth.1	$/\$ $/\$
eulerth.2	..^
eulerth.4

**Assertion**
Ref	Expression
eulerthlema

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

(

)

Proof of Theorem eulerthlema Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerth.1	. . . . . 6 $/\$ $/\$
2	1	simp1d 1009	. . . . 5
3	2	phicld 12218	. . . 4
4		elnnuz 9564	. . . 4
5	3, 4	sylib 122	. . 3
6		eluzfz2 10032	. . 3
7	5, 6	syl 14	. 2
8		oveq2 5883	. . . . . . 7
9		oveq2 5883	. . . . . . . 8
10	9	prodeq1d 11572	. . . . . . 7
11	8, 10	oveq12d 5893	. . . . . 6
12	11	oveq1d 5890	. . . . 5
13	9	prodeq1d 11572	. . . . . 6
14	13	oveq1d 5890	. . . . 5
15	12, 14	eqeq12d 2192	. . . 4
16	15	imbi2d 230	. . 3
17		oveq2 5883	. . . . . . 7
18		oveq2 5883	. . . . . . . 8
19	18	prodeq1d 11572	. . . . . . 7
20	17, 19	oveq12d 5893	. . . . . 6
21	20	oveq1d 5890	. . . . 5
22	18	prodeq1d 11572	. . . . . 6
23	22	oveq1d 5890	. . . . 5
24	21, 23	eqeq12d 2192	. . . 4
25	24	imbi2d 230	. . 3
26		oveq2 5883	. . . . . . 7
27		oveq2 5883	. . . . . . . 8
28	27	prodeq1d 11572	. . . . . . 7
29	26, 28	oveq12d 5893	. . . . . 6
30	29	oveq1d 5890	. . . . 5
31	27	prodeq1d 11572	. . . . . 6
32	31	oveq1d 5890	. . . . 5
33	30, 32	eqeq12d 2192	. . . 4
34	33	imbi2d 230	. . 3
35		oveq2 5883	. . . . . . 7
36		oveq2 5883	. . . . . . . 8
37	36	prodeq1d 11572	. . . . . . 7
38	35, 37	oveq12d 5893	. . . . . 6
39	38	oveq1d 5890	. . . . 5
40	36	prodeq1d 11572	. . . . . 6
41	40	oveq1d 5890	. . . . 5
42	39, 41	eqeq12d 2192	. . . 4
43	42	imbi2d 230	. . 3
44	1	simp2d 1010	. . . . . . . 8
45		eulerth.2	. . . . . . . . . . . 12 ..^
46		ssrab2 3241	. . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
47	45, 46	eqsstri 3188	. . . . . . . . . . 11 ..^
48		fzo0ssnn0 10215	. . . . . . . . . . 11 ..^
49	47, 48	sstri 3165	. . . . . . . . . 10
50		nn0ssz 9271	. . . . . . . . . 10
51	49, 50	sstri 3165	. . . . . . . . 9
52		eulerth.4	. . . . . . . . . . 11
53		f1of 5462	. . . . . . . . . . 11
54	52, 53	syl 14	. . . . . . . . . 10
55		1nn 8930	. . . . . . . . . . . 12
56	55	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
57	3	nnge1d 8962	. . . . . . . . . . 11
58		elfz1b 10090	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
59	56, 3, 57, 58	syl3anbrc 1181	. . . . . . . . . 10
60	54, 59	ffvelcdmd 5653	. . . . . . . . 9
61	51, 60	sselid 3154	. . . . . . . 8
62	44, 61	zmulcld 9381	. . . . . . 7
63		zq 9626	. . . . . . 7
64	62, 63	syl 14	. . . . . 6
65		nnq 9633	. . . . . . 7
66	2, 65	syl 14	. . . . . 6
67	2	nngt0d 8963	. . . . . 6
68		modqabs2 10358	. . . . . 6 $/\$ $/\$
69	64, 66, 67, 68	syl3anc 1238	. . . . 5
70		1z 9279	. . . . . . 7
71	62, 2	zmodcld 10345	. . . . . . . 8
72	71	nn0cnd 9231	. . . . . . 7
73		fveq2 5516	. . . . . . . . . 10
74	73	oveq2d 5891	. . . . . . . . 9
75	74	oveq1d 5890	. . . . . . . 8
76	75	fprod1 11602	. . . . . . 7 $/\$
77	70, 72, 76	sylancr 414	. . . . . 6
78	77	oveq1d 5890	. . . . 5
79	44	zcnd 9376	. . . . . . . 8
80	79	exp1d 10649	. . . . . . 7
81		nn0sscn 9181	. . . . . . . . . 10
82	49, 81	sstri 3165	. . . . . . . . 9
83	82, 60	sselid 3154	. . . . . . . 8
84	73	fprod1 11602	. . . . . . . 8 $/\$
85	70, 83, 84	sylancr 414	. . . . . . 7
86	80, 85	oveq12d 5893	. . . . . 6
87	86	oveq1d 5890	. . . . 5
88	69, 78, 87	3eqtr4rd 2221	. . . 4
89	88	a1i 9	. . 3
90	44	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
91		elfzo1 10190	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ $/\$ $/\$
92	91	simp1bi 1012	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^
93	92	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
94	93	nnnn0d 9229	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
95		zexpcl 10535	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
96	90, 94, 95	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
97	70	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
98	93	nnzd 9374	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
99	97, 98	fzfigd 10431	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
100	54	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
101		elfzelz 10025	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
102	101	zred 9375	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
103	102	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
104	3	nnzd 9374	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
105	104	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
106	105	zred 9375	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
107	93	nnred 8932	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ ..^
108	107	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
109		elfzle2 10028	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
110	109	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
111		elfzolt2 10156	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
112	111	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
113	103, 108, 106, 110, 112	lelttrd 8082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
114	103, 106, 113	ltled 8076	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
115		elfzuz 10021	. . . . . . . . . . . . . . . 16
116		elfz5 10017	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
117	115, 105, 116	syl2an2 594	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
118	114, 117	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
119	100, 118	ffvelcdmd 5653	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
120	51, 119	sselid 3154	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
121	99, 120	fprodzcl 11617	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
122	96, 121	zmulcld 9381	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
123		zq 9626	. . . . . . . . . 10
124	122, 123	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
125	124	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
126	90	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
127	126, 120	zmulcld 9381	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
128	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
129	127, 128	zmodcld 10345	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
130	129	nn0zd 9373	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
131	99, 130	fprodzcl 11617	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
132		zq 9626	. . . . . . . . . 10
133	131, 132	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
134	133	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
135	44	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^ $/\$
136	54	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
137		fzofzp1 10227	. . . . . . . . . . . 12 ..^
138	137	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
139	136, 138	ffvelcdmd 5653	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^ $/\$
140	51, 139	sselid 3154	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^ $/\$
141	135, 140	zmulcld 9381	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
142	66	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
143	67	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
144		simpr 110	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
145	125, 134, 141, 142, 143, 144	modqmul1 10377	. . . . . . 7 $/\$ ..^ $/\$
146	145	ex 115	. . . . . 6 $/\$ ..^
147	96	zcnd 9376	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
148	121	zcnd 9376	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
149	79	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
150	54	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
151	137	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
152	150, 151	ffvelcdmd 5653	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
153	82, 152	sselid 3154	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
154	147, 148, 149, 153	mul4d 8112	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
155	149, 94	expp1d 10655	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
156		elfzouz 10151	. . . . . . . . . . . 12 ..^
157	156	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
158	150	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
159		elfzelz 10025	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
160	159	zred 9375	. . . . . . . . . . . . . . . 16
161	160	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
162		peano2re 8093	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
163	107, 162	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^
164	163	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
165	104	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
166	165	zred 9375	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
167		elfzle2 10028	. . . . . . . . . . . . . . . 16
168	167	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
169	137	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
170		elfzle2 10028	. . . . . . . . . . . . . . . 16
171	169, 170	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
172	161, 164, 166, 168, 171	letrd 8081	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
173		elfzuz 10021	. . . . . . . . . . . . . . 15
174	173, 165, 116	syl2an2 594	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
175	172, 174	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
176	158, 175	ffvelcdmd 5653	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
177	82, 176	sselid 3154	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
178		fveq2 5516	. . . . . . . . . . 11
179	157, 177, 178	fprodp1 11608	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
180	155, 179	oveq12d 5893	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
181	154, 180	eqtr4d 2213	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
182	181	oveq1d 5890	. . . . . . 7 $/\$ ..^
183	51, 152	sselid 3154	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
184	90, 183	zmulcld 9381	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
185	2	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
186	184, 185	zmodcld 10345	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
187	186	nn0zd 9373	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
188		zq 9626	. . . . . . . . . 10
189	187, 188	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
190		zq 9626	. . . . . . . . . 10
191	184, 190	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
192	66	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
193	67	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
194		modqabs2 10358	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
195	191, 192, 193, 194	syl3anc 1238	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
196	189, 191, 131, 192, 193, 195	modqmul1 10377	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
197	90	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
198	51, 176	sselid 3154	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
199	197, 198	zmulcld 9381	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
200	185	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
201	199, 200	zmodcld 10345	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
202	201	nn0cnd 9231	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
203	178	oveq2d 5891	. . . . . . . . . . . 12
204	203	oveq1d 5890	. . . . . . . . . . 11
205	157, 202, 204	fprodp1 11608	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
206	186	nn0cnd 9231	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
207	131	zcnd 9376	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
208	206, 207	mulcomd 7979	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
209	205, 208	eqtr4d 2213	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
210	209	oveq1d 5890	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
211	149, 153	mulcld 7978	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
212	207, 211	mulcomd 7979	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
213	212	oveq1d 5890	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
214	196, 210, 213	3eqtr4rd 2221	. . . . . . 7 $/\$ ..^
215	182, 214	eqeq12d 2192	. . . . . 6 $/\$ ..^
216	146, 215	sylibd 149	. . . . 5 $/\$ ..^
217	216	expcom 116	. . . 4 ..^
218	217	a2d 26	. . 3 ..^
219	16, 25, 34, 43, 89, 218	fzind2 10239	. 2
220	7, 219	mpcom 36	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 978

wceq 1353

wcel 2148

crab 2459 class class class wbr 4004

wf 5213

wf1o 5216

cfv 5217 (class class class)co 5875

cc 7809

cr 7810

cc0 7811

c1 7812

caddc 7814

cmul 7816

clt 7992

cle 7993

cn 8919

cn0 9176

cz 9253

cuz 9528

cq 9619

cfz 10008 ..^cfzo 10142

cmo 10322

cexp 10519

cprod 11558

cgcd 11943

cphi 12209

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4119 ax-sep 4122 ax-nul 4130 ax-pow 4175 ax-pr 4210 ax-un 4434 ax-setind 4537 ax-iinf 4588 ax-cnex 7902 ax-resscn 7903 ax-1cn 7904 ax-1re 7905 ax-icn 7906 ax-addcl 7907 ax-addrcl 7908 ax-mulcl 7909 ax-mulrcl 7910 ax-addcom 7911 ax-mulcom 7912 ax-addass 7913 ax-mulass 7914 ax-distr 7915 ax-i2m1 7916 ax-0lt1 7917 ax-1rid 7918 ax-0id 7919 ax-rnegex 7920 ax-precex 7921 ax-cnre 7922 ax-pre-ltirr 7923 ax-pre-ltwlin 7924 ax-pre-lttrn 7925 ax-pre-apti 7926 ax-pre-ltadd 7927 ax-pre-mulgt0 7928 ax-pre-mulext 7929 ax-arch 7930 ax-caucvg 7931

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2740 df-sbc 2964 df-csb 3059 df-dif 3132 df-un 3134 df-in 3136 df-ss 3143 df-nul 3424 df-if 3536 df-pw 3578 df-sn 3599 df-pr 3600 df-op 3602 df-uni 3811 df-int 3846 df-iun 3889 df-br 4005 df-opab 4066 df-mpt 4067 df-tr 4103 df-id 4294 df-po 4297 df-iso 4298 df-iord 4367 df-on 4369 df-ilim 4370 df-suc 4372 df-iom 4591 df-xp 4633 df-rel 4634 df-cnv 4635 df-co 4636 df-dm 4637 df-rn 4638 df-res 4639 df-ima 4640 df-iota 5179 df-fun 5219 df-fn 5220 df-f 5221 df-f1 5222 df-fo 5223 df-f1o 5224 df-fv 5225 df-isom 5226 df-riota 5831 df-ov 5878 df-oprab 5879 df-mpo 5880 df-1st 6141 df-2nd 6142 df-recs 6306 df-irdg 6371 df-frec 6392 df-1o 6417 df-oadd 6421 df-er 6535 df-en 6741 df-dom 6742 df-fin 6743 df-sup 6983 df-pnf 7994 df-mnf 7995 df-xr 7996 df-ltxr 7997 df-le 7998 df-sub 8130 df-neg 8131 df-reap 8532 df-ap 8539 df-div 8630 df-inn 8920 df-2 8978 df-3 8979 df-4 8980 df-n0 9177 df-z 9254 df-uz 9529 df-q 9620 df-rp 9654 df-fz 10009 df-fzo 10143 df-fl 10270 df-mod 10323 df-seqfrec 10446 df-exp 10520 df-ihash 10756 df-cj 10851 df-re 10852 df-im 10853 df-rsqrt 11007 df-abs 11008 df-clim 11287 df-proddc 11559 df-dvds 11795 df-gcd 11944 df-phi 12211

This theorem is referenced by: eulerthlemth 12232

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