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Theorem eulerthlema 12923

Description: Lemma for eulerth 12926. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Sep-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
eulerth.1	$/\$ $/\$
eulerth.2	..^
eulerth.4

**Assertion**
Ref	Expression
eulerthlema

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

(

)

Proof of Theorem eulerthlema Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerth.1	. . . . . 6 $/\$ $/\$
2	1	simp1d 1036	. . . . 5
3	2	phicld 12911	. . . 4
4		elnnuz 9890	. . . 4
5	3, 4	sylib 122	. . 3
6		eluzfz2 10365	. . 3
7	5, 6	syl 14	. 2
8		oveq2 6057	. . . . . . 7
9		oveq2 6057	. . . . . . . 8
10	9	prodeq1d 12246	. . . . . . 7
11	8, 10	oveq12d 6067	. . . . . 6
12	11	oveq1d 6064	. . . . 5
13	9	prodeq1d 12246	. . . . . 6
14	13	oveq1d 6064	. . . . 5
15	12, 14	eqeq12d 2247	. . . 4
16	15	imbi2d 230	. . 3
17		oveq2 6057	. . . . . . 7
18		oveq2 6057	. . . . . . . 8
19	18	prodeq1d 12246	. . . . . . 7
20	17, 19	oveq12d 6067	. . . . . 6
21	20	oveq1d 6064	. . . . 5
22	18	prodeq1d 12246	. . . . . 6
23	22	oveq1d 6064	. . . . 5
24	21, 23	eqeq12d 2247	. . . 4
25	24	imbi2d 230	. . 3
26		oveq2 6057	. . . . . . 7
27		oveq2 6057	. . . . . . . 8
28	27	prodeq1d 12246	. . . . . . 7
29	26, 28	oveq12d 6067	. . . . . 6
30	29	oveq1d 6064	. . . . 5
31	27	prodeq1d 12246	. . . . . 6
32	31	oveq1d 6064	. . . . 5
33	30, 32	eqeq12d 2247	. . . 4
34	33	imbi2d 230	. . 3
35		oveq2 6057	. . . . . . 7
36		oveq2 6057	. . . . . . . 8
37	36	prodeq1d 12246	. . . . . . 7
38	35, 37	oveq12d 6067	. . . . . 6
39	38	oveq1d 6064	. . . . 5
40	36	prodeq1d 12246	. . . . . 6
41	40	oveq1d 6064	. . . . 5
42	39, 41	eqeq12d 2247	. . . 4
43	42	imbi2d 230	. . 3
44	1	simp2d 1037	. . . . . . . 8
45		eulerth.2	. . . . . . . . . . . 12 ..^
46		ssrab2 3322	. . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
47	45, 46	eqsstri 3269	. . . . . . . . . . 11 ..^
48		fzo0ssnn0 10559	. . . . . . . . . . 11 ..^
49	47, 48	sstri 3246	. . . . . . . . . 10
50		nn0ssz 9594	. . . . . . . . . 10
51	49, 50	sstri 3246	. . . . . . . . 9
52		eulerth.4	. . . . . . . . . . 11
53		f1of 5613	. . . . . . . . . . 11
54	52, 53	syl 14	. . . . . . . . . 10
55		1nn 9247	. . . . . . . . . . . 12
56	55	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
57	3	nnge1d 9279	. . . . . . . . . . 11
58		elfz1b 10423	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
59	56, 3, 57, 58	syl3anbrc 1208	. . . . . . . . . 10
60	54, 59	ffvelcdmd 5812	. . . . . . . . 9
61	51, 60	sselid 3235	. . . . . . . 8
62	44, 61	zmulcld 9705	. . . . . . 7
63		zq 9957	. . . . . . 7
64	62, 63	syl 14	. . . . . 6
65		nnq 9964	. . . . . . 7
66	2, 65	syl 14	. . . . . 6
67	2	nngt0d 9280	. . . . . 6
68		modqabs2 10719	. . . . . 6 $/\$ $/\$
69	64, 66, 67, 68	syl3anc 1274	. . . . 5
70		1z 9602	. . . . . . 7
71	62, 2	zmodcld 10706	. . . . . . . 8
72	71	nn0cnd 9554	. . . . . . 7
73		fveq2 5669	. . . . . . . . . 10
74	73	oveq2d 6065	. . . . . . . . 9
75	74	oveq1d 6064	. . . . . . . 8
76	75	fprod1 12276	. . . . . . 7 $/\$
77	70, 72, 76	sylancr 414	. . . . . 6
78	77	oveq1d 6064	. . . . 5
79	44	zcnd 9700	. . . . . . . 8
80	79	exp1d 11029	. . . . . . 7
81		nn0sscn 9500	. . . . . . . . . 10
82	49, 81	sstri 3246	. . . . . . . . 9
83	82, 60	sselid 3235	. . . . . . . 8
84	73	fprod1 12276	. . . . . . . 8 $/\$
85	70, 83, 84	sylancr 414	. . . . . . 7
86	80, 85	oveq12d 6067	. . . . . 6
87	86	oveq1d 6064	. . . . 5
88	69, 78, 87	3eqtr4rd 2276	. . . 4
89	88	a1i 9	. . 3
90	44	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
91		elfzo1 10529	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ $/\$ $/\$
92	91	simp1bi 1039	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^
93	92	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
94	93	nnnn0d 9552	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
95		zexpcl 10915	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
96	90, 94, 95	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
97	70	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
98	93	nnzd 9698	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
99	97, 98	fzfigd 10792	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
100	54	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
101		elfzelz 10358	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
102	101	zred 9699	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
103	102	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
104	3	nnzd 9698	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
105	104	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
106	105	zred 9699	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
107	93	nnred 9249	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ ..^
108	107	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
109		elfzle2 10361	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
110	109	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
111		elfzolt2 10490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
112	111	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
113	103, 108, 106, 110, 112	lelttrd 8397	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
114	103, 106, 113	ltled 8391	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
115		elfzuz 10354	. . . . . . . . . . . . . . . 16
116		elfz5 10350	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
117	115, 105, 116	syl2an2 598	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
118	114, 117	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
119	100, 118	ffvelcdmd 5812	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
120	51, 119	sselid 3235	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
121	99, 120	fprodzcl 12291	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
122	96, 121	zmulcld 9705	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
123		zq 9957	. . . . . . . . . 10
124	122, 123	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
125	124	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
126	90	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
127	126, 120	zmulcld 9705	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
128	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
129	127, 128	zmodcld 10706	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
130	129	nn0zd 9697	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
131	99, 130	fprodzcl 12291	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
132		zq 9957	. . . . . . . . . 10
133	131, 132	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
134	133	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
135	44	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^ $/\$
136	54	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
137		fzofzp1 10571	. . . . . . . . . . . 12 ..^
138	137	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
139	136, 138	ffvelcdmd 5812	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^ $/\$
140	51, 139	sselid 3235	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^ $/\$
141	135, 140	zmulcld 9705	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
142	66	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
143	67	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
144		simpr 110	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
145	125, 134, 141, 142, 143, 144	modqmul1 10738	. . . . . . 7 $/\$ ..^ $/\$
146	145	ex 115	. . . . . 6 $/\$ ..^
147	96	zcnd 9700	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
148	121	zcnd 9700	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
149	79	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
150	54	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
151	137	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
152	150, 151	ffvelcdmd 5812	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
153	82, 152	sselid 3235	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
154	147, 148, 149, 153	mul4d 8427	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
155	149, 94	expp1d 11035	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
156		elfzouz 10484	. . . . . . . . . . . 12 ..^
157	156	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
158	150	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
159		elfzelz 10358	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
160	159	zred 9699	. . . . . . . . . . . . . . . 16
161	160	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
162		peano2re 8408	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
163	107, 162	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^
164	163	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
165	104	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
166	165	zred 9699	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
167		elfzle2 10361	. . . . . . . . . . . . . . . 16
168	167	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
169	137	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
170		elfzle2 10361	. . . . . . . . . . . . . . . 16
171	169, 170	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
172	161, 164, 166, 168, 171	letrd 8396	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
173		elfzuz 10354	. . . . . . . . . . . . . . 15
174	173, 165, 116	syl2an2 598	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
175	172, 174	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
176	158, 175	ffvelcdmd 5812	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
177	82, 176	sselid 3235	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
178		fveq2 5669	. . . . . . . . . . 11
179	157, 177, 178	fprodp1 12282	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
180	155, 179	oveq12d 6067	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
181	154, 180	eqtr4d 2268	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
182	181	oveq1d 6064	. . . . . . 7 $/\$ ..^
183	51, 152	sselid 3235	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
184	90, 183	zmulcld 9705	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
185	2	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
186	184, 185	zmodcld 10706	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
187	186	nn0zd 9697	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
188		zq 9957	. . . . . . . . . 10
189	187, 188	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
190		zq 9957	. . . . . . . . . 10
191	184, 190	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
192	66	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
193	67	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
194		modqabs2 10719	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
195	191, 192, 193, 194	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
196	189, 191, 131, 192, 193, 195	modqmul1 10738	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
197	90	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
198	51, 176	sselid 3235	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
199	197, 198	zmulcld 9705	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
200	185	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
201	199, 200	zmodcld 10706	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
202	201	nn0cnd 9554	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
203	178	oveq2d 6065	. . . . . . . . . . . 12
204	203	oveq1d 6064	. . . . . . . . . . 11
205	157, 202, 204	fprodp1 12282	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
206	186	nn0cnd 9554	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
207	131	zcnd 9700	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
208	206, 207	mulcomd 8294	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
209	205, 208	eqtr4d 2268	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
210	209	oveq1d 6064	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
211	149, 153	mulcld 8293	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
212	207, 211	mulcomd 8294	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
213	212	oveq1d 6064	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
214	196, 210, 213	3eqtr4rd 2276	. . . . . . 7 $/\$ ..^
215	182, 214	eqeq12d 2247	. . . . . 6 $/\$ ..^
216	146, 215	sylibd 149	. . . . 5 $/\$ ..^
217	216	expcom 116	. . . 4 ..^
218	217	a2d 26	. . 3 ..^
219	16, 25, 34, 43, 89, 218	fzind2 10584	. 2
220	7, 219	mpcom 36	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 1005

wceq 1398

wcel 2203

crab 2524 class class class wbr 4108

wf 5347

wf1o 5350

cfv 5351 (class class class)co 6049

cc 8124

cr 8125

cc0 8126

c1 8127

caddc 8129

cmul 8131

clt 8307

cle 8308

cn 9236

cn0 9495

cz 9576

cuz 9852

cq 9950

cfz 10341 ..^cfzo 10475

cmo 10683

cexp 10899

cprod 12232

cgcd 12645

cphi 12902

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2205 ax-14 2206 ax-ext 2214 ax-coll 4224 ax-sep 4227 ax-nul 4235 ax-pow 4286 ax-pr 4321 ax-un 4553 ax-setind 4658 ax-iinf 4709 ax-cnex 8217 ax-resscn 8218 ax-1cn 8219 ax-1re 8220 ax-icn 8221 ax-addcl 8222 ax-addrcl 8223 ax-mulcl 8224 ax-mulrcl 8225 ax-addcom 8226 ax-mulcom 8227 ax-addass 8228 ax-mulass 8229 ax-distr 8230 ax-i2m1 8231 ax-0lt1 8232 ax-1rid 8233 ax-0id 8234 ax-rnegex 8235 ax-precex 8236 ax-cnre 8237 ax-pre-ltirr 8238 ax-pre-ltwlin 8239 ax-pre-lttrn 8240 ax-pre-apti 8241 ax-pre-ltadd 8242 ax-pre-mulgt0 8243 ax-pre-mulext 8244 ax-arch 8245 ax-caucvg 8246

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1812 df-eu 2083 df-mo 2084 df-clab 2219 df-cleq 2225 df-clel 2228 df-nfc 2373 df-ne 2413 df-nel 2508 df-ral 2525 df-rex 2526 df-reu 2527 df-rmo 2528 df-rab 2529 df-v 2814 df-sbc 3042 df-csb 3138 df-dif 3212 df-un 3214 df-in 3216 df-ss 3223 df-nul 3508 df-if 3620 df-pw 3670 df-sn 3694 df-pr 3695 df-op 3697 df-uni 3914 df-int 3949 df-iun 3992 df-br 4109 df-opab 4171 df-mpt 4172 df-tr 4208 df-id 4413 df-po 4416 df-iso 4417 df-iord 4486 df-on 4488 df-ilim 4489 df-suc 4491 df-iom 4712 df-xp 4754 df-rel 4755 df-cnv 4756 df-co 4757 df-dm 4758 df-rn 4759 df-res 4760 df-ima 4761 df-iota 5311 df-fun 5353 df-fn 5354 df-f 5355 df-f1 5356 df-fo 5357 df-f1o 5358 df-fv 5359 df-isom 5360 df-riota 6002 df-ov 6052 df-oprab 6053 df-mpo 6054 df-1st 6333 df-2nd 6334 df-recs 6535 df-irdg 6600 df-frec 6621 df-1o 6646 df-oadd 6650 df-er 6766 df-en 6975 df-dom 6976 df-fin 6977 df-sup 7274 df-pnf 8309 df-mnf 8310 df-xr 8311 df-ltxr 8312 df-le 8313 df-sub 8445 df-neg 8446 df-reap 8848 df-ap 8855 df-div 8946 df-inn 9237 df-2 9295 df-3 9296 df-4 9297 df-n0 9496 df-z 9577 df-uz 9853 df-q 9951 df-rp 9986 df-fz 10342 df-fzo 10476 df-fl 10629 df-mod 10684 df-seqfrec 10809 df-exp 10900 df-ihash 11137 df-cj 11523 df-re 11524 df-im 11525 df-rsqrt 11679 df-abs 11680 df-clim 11960 df-proddc 12233 df-dvds 12470 df-gcd 12646 df-phi 12904

This theorem is referenced by: eulerthlemth 12925

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