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Theorem eulerthlema 13010

Description: Lemma for eulerth 13013. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Sep-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
eulerth.1	$/\$ $/\$
eulerth.2	..^
eulerth.4

**Assertion**
Ref	Expression
eulerthlema

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

(

)

Proof of Theorem eulerthlema Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerth.1	. . . . . 6 $/\$ $/\$
2	1	simp1d 1040	. . . . 5
3	2	phicld 12998	. . . 4
4		elnnuz 9961	. . . 4
5	3, 4	sylib 122	. . 3
6		eluzfz2 10438	. . 3
7	5, 6	syl 14	. 2
8		oveq2 6093	. . . . . . 7
9		oveq2 6093	. . . . . . . 8
10	9	prodeq1d 12333	. . . . . . 7
11	8, 10	oveq12d 6103	. . . . . 6
12	11	oveq1d 6100	. . . . 5
13	9	prodeq1d 12333	. . . . . 6
14	13	oveq1d 6100	. . . . 5
15	12, 14	eqeq12d 2253	. . . 4
16	15	imbi2d 230	. . 3
17		oveq2 6093	. . . . . . 7
18		oveq2 6093	. . . . . . . 8
19	18	prodeq1d 12333	. . . . . . 7
20	17, 19	oveq12d 6103	. . . . . 6
21	20	oveq1d 6100	. . . . 5
22	18	prodeq1d 12333	. . . . . 6
23	22	oveq1d 6100	. . . . 5
24	21, 23	eqeq12d 2253	. . . 4
25	24	imbi2d 230	. . 3
26		oveq2 6093	. . . . . . 7
27		oveq2 6093	. . . . . . . 8
28	27	prodeq1d 12333	. . . . . . 7
29	26, 28	oveq12d 6103	. . . . . 6
30	29	oveq1d 6100	. . . . 5
31	27	prodeq1d 12333	. . . . . 6
32	31	oveq1d 6100	. . . . 5
33	30, 32	eqeq12d 2253	. . . 4
34	33	imbi2d 230	. . 3
35		oveq2 6093	. . . . . . 7
36		oveq2 6093	. . . . . . . 8
37	36	prodeq1d 12333	. . . . . . 7
38	35, 37	oveq12d 6103	. . . . . 6
39	38	oveq1d 6100	. . . . 5
40	36	prodeq1d 12333	. . . . . 6
41	40	oveq1d 6100	. . . . 5
42	39, 41	eqeq12d 2253	. . . 4
43	42	imbi2d 230	. . 3
44	1	simp2d 1041	. . . . . . . 8
45		eulerth.2	. . . . . . . . . . . 12 ..^
46		ssrab2 3333	. . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
47	45, 46	eqsstri 3280	. . . . . . . . . . 11 ..^
48		fzo0ssnn0 10635	. . . . . . . . . . 11 ..^
49	47, 48	sstri 3257	. . . . . . . . . 10
50		nn0ssz 9664	. . . . . . . . . 10
51	49, 50	sstri 3257	. . . . . . . . 9
52		eulerth.4	. . . . . . . . . . 11
53		f1of 5639	. . . . . . . . . . 11
54	52, 53	syl 14	. . . . . . . . . 10
55		1nn 9316	. . . . . . . . . . . 12
56	55	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
57	3	nnge1d 9348	. . . . . . . . . . 11
58		elfz1b 10499	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
59	56, 3, 57, 58	syl3anbrc 1212	. . . . . . . . . 10
60	54, 59	ffvelcdmd 5844	. . . . . . . . 9
61	51, 60	sselid 3246	. . . . . . . 8
62	44, 61	zmulcld 9776	. . . . . . 7
63		zq 10028	. . . . . . 7
64	62, 63	syl 14	. . . . . 6
65		nnq 10035	. . . . . . 7
66	2, 65	syl 14	. . . . . 6
67	2	nngt0d 9349	. . . . . 6
68		modqabs2 10797	. . . . . 6 $/\$ $/\$
69	64, 66, 67, 68	syl3anc 1278	. . . . 5
70		1z 9672	. . . . . . 7
71	62, 2	zmodcld 10784	. . . . . . . 8
72	71	nn0cnd 9624	. . . . . . 7
73		fveq2 5695	. . . . . . . . . 10
74	73	oveq2d 6101	. . . . . . . . 9
75	74	oveq1d 6100	. . . . . . . 8
76	75	fprod1 12363	. . . . . . 7 $/\$
77	70, 72, 76	sylancr 418	. . . . . 6
78	77	oveq1d 6100	. . . . 5
79	44	zcnd 9771	. . . . . . . 8
80	79	exp1d 11108	. . . . . . 7
81		nn0sscn 9570	. . . . . . . . . 10
82	49, 81	sstri 3257	. . . . . . . . 9
83	82, 60	sselid 3246	. . . . . . . 8
84	73	fprod1 12363	. . . . . . . 8 $/\$
85	70, 83, 84	sylancr 418	. . . . . . 7
86	80, 85	oveq12d 6103	. . . . . 6
87	86	oveq1d 6100	. . . . 5
88	69, 78, 87	3eqtr4rd 2282	. . . 4
89	88	a1i 9	. . 3
90	44	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
91		elfzo1 10605	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ $/\$ $/\$
92	91	simp1bi 1043	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^
93	92	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
94	93	nnnn0d 9622	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
95		zexpcl 10993	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
96	90, 94, 95	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
97	70	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
98	93	nnzd 9769	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
99	97, 98	fzfigd 10870	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
100	54	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
101		elfzelz 10430	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
102	101	zred 9770	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
103	102	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
104	3	nnzd 9769	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
105	104	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
106	105	zred 9770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
107	93	nnred 9318	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ ..^
108	107	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
109		elfzle2 10434	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
110	109	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
111		elfzolt2 10566	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
112	111	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
113	103, 108, 106, 110, 112	lelttrd 8451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
114	103, 106, 113	ltled 8445	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
115		elfzuz 10426	. . . . . . . . . . . . . . . 16
116		elfz5 10422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
117	115, 105, 116	syl2an2 602	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
118	114, 117	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
119	100, 118	ffvelcdmd 5844	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
120	51, 119	sselid 3246	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
121	99, 120	fprodzcl 12378	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
122	96, 121	zmulcld 9776	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
123		zq 10028	. . . . . . . . . 10
124	122, 123	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
125	124	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
126	90	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
127	126, 120	zmulcld 9776	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
128	2	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
129	127, 128	zmodcld 10784	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
130	129	nn0zd 9768	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
131	99, 130	fprodzcl 12378	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
132		zq 10028	. . . . . . . . . 10
133	131, 132	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
134	133	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
135	44	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^ $/\$
136	54	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
137		fzofzp1 10647	. . . . . . . . . . . 12 ..^
138	137	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
139	136, 138	ffvelcdmd 5844	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^ $/\$
140	51, 139	sselid 3246	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^ $/\$
141	135, 140	zmulcld 9776	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
142	66	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
143	67	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
144		simpr 110	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
145	125, 134, 141, 142, 143, 144	modqmul1 10816	. . . . . . 7 $/\$ ..^ $/\$
146	145	ex 115	. . . . . 6 $/\$ ..^
147	96	zcnd 9771	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
148	121	zcnd 9771	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
149	79	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
150	54	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
151	137	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
152	150, 151	ffvelcdmd 5844	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
153	82, 152	sselid 3246	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
154	147, 148, 149, 153	mul4d 8481	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
155	149, 94	expp1d 11114	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
156		elfzouz 10560	. . . . . . . . . . . 12 ..^
157	156	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
158	150	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
159		elfzelz 10430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
160	159	zred 9770	. . . . . . . . . . . . . . . 16
161	160	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
162		peano2re 8462	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
163	107, 162	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^
164	163	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
165	104	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
166	165	zred 9770	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
167		elfzle2 10434	. . . . . . . . . . . . . . . 16
168	167	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
169	137	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
170		elfzle2 10434	. . . . . . . . . . . . . . . 16
171	169, 170	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
172	161, 164, 166, 168, 171	letrd 8450	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
173		elfzuz 10426	. . . . . . . . . . . . . . 15
174	173, 165, 116	syl2an2 602	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
175	172, 174	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
176	158, 175	ffvelcdmd 5844	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
177	82, 176	sselid 3246	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
178		fveq2 5695	. . . . . . . . . . 11
179	157, 177, 178	fprodp1 12369	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
180	155, 179	oveq12d 6103	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
181	154, 180	eqtr4d 2274	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
182	181	oveq1d 6100	. . . . . . 7 $/\$ ..^
183	51, 152	sselid 3246	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
184	90, 183	zmulcld 9776	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
185	2	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
186	184, 185	zmodcld 10784	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
187	186	nn0zd 9768	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
188		zq 10028	. . . . . . . . . 10
189	187, 188	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
190		zq 10028	. . . . . . . . . 10
191	184, 190	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
192	66	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
193	67	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
194		modqabs2 10797	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
195	191, 192, 193, 194	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
196	189, 191, 131, 192, 193, 195	modqmul1 10816	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
197	90	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
198	51, 176	sselid 3246	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
199	197, 198	zmulcld 9776	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
200	185	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
201	199, 200	zmodcld 10784	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
202	201	nn0cnd 9624	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
203	178	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . 12
204	203	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . 11
205	157, 202, 204	fprodp1 12369	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
206	186	nn0cnd 9624	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
207	131	zcnd 9771	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
208	206, 207	mulcomd 8347	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
209	205, 208	eqtr4d 2274	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
210	209	oveq1d 6100	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
211	149, 153	mulcld 8346	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
212	207, 211	mulcomd 8347	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
213	212	oveq1d 6100	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
214	196, 210, 213	3eqtr4rd 2282	. . . . . . 7 $/\$ ..^
215	182, 214	eqeq12d 2253	. . . . . 6 $/\$ ..^
216	146, 215	sylibd 149	. . . . 5 $/\$ ..^
217	216	expcom 116	. . . 4 ..^
218	217	a2d 26	. . 3 ..^
219	16, 25, 34, 43, 89, 218	fzind2 10660	. 2
220	7, 219	mpcom 36	1

Colors of variables: wff set class

This proof depends on syntax axioms:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 1009

wceq 1402

wcel 2209

crab 2532 class class class wbr 4130

wf 5373

wf1o 5376

cfv 5377 (class class class)co 6085

cc 8177

cr 8178

cc0 8179

c1 8180

caddc 8182

cmul 8184

clt 8360

cle 8361

cn 9305

cn0 9565

cz 9646

cuz 9923

cq 10021

cfz 10413 ..^cfzo 10551

cmo 10761

cexp 10977

cprod 12319

cgcd 12732

cphi 12989

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4246 ax-sep 4249 ax-nul 4259 ax-pow 4311 ax-pr 4346 ax-un 4578 ax-setind 4684 ax-iinf 4735 ax-cnex 8270 ax-resscn 8271 ax-1cn 8272 ax-1re 8273 ax-icn 8274 ax-addcl 8275 ax-addrcl 8276 ax-mulcl 8277 ax-mulrcl 8278 ax-addcom 8279 ax-mulcom 8280 ax-addass 8281 ax-mulass 8282 ax-distr 8283 ax-i2m1 8284 ax-0lt1 8285 ax-1rid 8286 ax-0id 8287 ax-rnegex 8288 ax-precex 8289 ax-cnre 8290 ax-pre-ltirr 8291 ax-pre-ltwlin 8292 ax-pre-lttrn 8293 ax-pre-apti 8294 ax-pre-ltadd 8295 ax-pre-mulgt0 8296 ax-pre-mulext 8297 ax-arch 8298 ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions: df-bi 117 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3639 df-pw 3690 df-sn 3715 df-pr 3716 df-op 3718 df-uni 3936 df-int 3971 df-iun 4014 df-br 4131 df-opab 4193 df-mpt 4194 df-tr 4230 df-id 4438 df-po 4441 df-iso 4442 df-iord 4511 df-on 4513 df-ilim 4514 df-suc 4516 df-iom 4738 df-xp 4780 df-rel 4781 df-cnv 4782 df-co 4783 df-dm 4784 df-rn 4785 df-res 4786 df-ima 4787 df-iota 5337 df-fun 5379 df-fn 5380 df-f 5381 df-f1 5382 df-fo 5383 df-f1o 5384 df-fv 5385 df-isom 5386 df-riota 6038 df-ov 6088 df-oprab 6089 df-mpo 6090 df-1st 6374 df-2nd 6375 df-recs 6576 df-irdg 6641 df-frec 6662 df-1o 6687 df-oadd 6691 df-er 6807 df-en 7023 df-dom 7024 df-fin 7025 df-sup 7324 df-pnf 8362 df-mnf 8363 df-xr 8364 df-ltxr 8365 df-le 8366 df-sub 8499 df-neg 8500 df-reap 8904 df-ap 8911 df-div 9004 df-inn 9306 df-2 9364 df-3 9365 df-4 9366 df-n0 9566 df-z 9647 df-uz 9924 df-q 10022 df-rp 10057 df-fz 10414 df-fzo 10552 df-fl 10707 df-mod 10762 df-seqfrec 10887 df-exp 10978 df-ihash 11217 df-cj 11609 df-re 11610 df-im 11611 df-rsqrt 11766 df-abs 11767 df-clim 12047 df-proddc 12320 df-dvds 12557 df-gcd 12733 df-phi 12991

This theorem is used by: eulerthlemth 13012

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