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Theorem eulerthlema 12596

Description: Lemma for eulerth 12599. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Sep-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
eulerth.1	$/\$ $/\$
eulerth.2	..^
eulerth.4

**Assertion**
Ref	Expression
eulerthlema

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

(

)

Proof of Theorem eulerthlema Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerth.1	. . . . . 6 $/\$ $/\$
2	1	simp1d 1012	. . . . 5
3	2	phicld 12584	. . . 4
4		elnnuz 9692	. . . 4
5	3, 4	sylib 122	. . 3
6		eluzfz2 10161	. . 3
7	5, 6	syl 14	. 2
8		oveq2 5959	. . . . . . 7
9		oveq2 5959	. . . . . . . 8
10	9	prodeq1d 11919	. . . . . . 7
11	8, 10	oveq12d 5969	. . . . . 6
12	11	oveq1d 5966	. . . . 5
13	9	prodeq1d 11919	. . . . . 6
14	13	oveq1d 5966	. . . . 5
15	12, 14	eqeq12d 2221	. . . 4
16	15	imbi2d 230	. . 3
17		oveq2 5959	. . . . . . 7
18		oveq2 5959	. . . . . . . 8
19	18	prodeq1d 11919	. . . . . . 7
20	17, 19	oveq12d 5969	. . . . . 6
21	20	oveq1d 5966	. . . . 5
22	18	prodeq1d 11919	. . . . . 6
23	22	oveq1d 5966	. . . . 5
24	21, 23	eqeq12d 2221	. . . 4
25	24	imbi2d 230	. . 3
26		oveq2 5959	. . . . . . 7
27		oveq2 5959	. . . . . . . 8
28	27	prodeq1d 11919	. . . . . . 7
29	26, 28	oveq12d 5969	. . . . . 6
30	29	oveq1d 5966	. . . . 5
31	27	prodeq1d 11919	. . . . . 6
32	31	oveq1d 5966	. . . . 5
33	30, 32	eqeq12d 2221	. . . 4
34	33	imbi2d 230	. . 3
35		oveq2 5959	. . . . . . 7
36		oveq2 5959	. . . . . . . 8
37	36	prodeq1d 11919	. . . . . . 7
38	35, 37	oveq12d 5969	. . . . . 6
39	38	oveq1d 5966	. . . . 5
40	36	prodeq1d 11919	. . . . . 6
41	40	oveq1d 5966	. . . . 5
42	39, 41	eqeq12d 2221	. . . 4
43	42	imbi2d 230	. . 3
44	1	simp2d 1013	. . . . . . . 8
45		eulerth.2	. . . . . . . . . . . 12 ..^
46		ssrab2 3279	. . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
47	45, 46	eqsstri 3226	. . . . . . . . . . 11 ..^
48		fzo0ssnn0 10351	. . . . . . . . . . 11 ..^
49	47, 48	sstri 3203	. . . . . . . . . 10
50		nn0ssz 9397	. . . . . . . . . 10
51	49, 50	sstri 3203	. . . . . . . . 9
52		eulerth.4	. . . . . . . . . . 11
53		f1of 5529	. . . . . . . . . . 11
54	52, 53	syl 14	. . . . . . . . . 10
55		1nn 9054	. . . . . . . . . . . 12
56	55	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
57	3	nnge1d 9086	. . . . . . . . . . 11
58		elfz1b 10219	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
59	56, 3, 57, 58	syl3anbrc 1184	. . . . . . . . . 10
60	54, 59	ffvelcdmd 5723	. . . . . . . . 9
61	51, 60	sselid 3192	. . . . . . . 8
62	44, 61	zmulcld 9508	. . . . . . 7
63		zq 9754	. . . . . . 7
64	62, 63	syl 14	. . . . . 6
65		nnq 9761	. . . . . . 7
66	2, 65	syl 14	. . . . . 6
67	2	nngt0d 9087	. . . . . 6
68		modqabs2 10510	. . . . . 6 $/\$ $/\$
69	64, 66, 67, 68	syl3anc 1250	. . . . 5
70		1z 9405	. . . . . . 7
71	62, 2	zmodcld 10497	. . . . . . . 8
72	71	nn0cnd 9357	. . . . . . 7
73		fveq2 5583	. . . . . . . . . 10
74	73	oveq2d 5967	. . . . . . . . 9
75	74	oveq1d 5966	. . . . . . . 8
76	75	fprod1 11949	. . . . . . 7 $/\$
77	70, 72, 76	sylancr 414	. . . . . 6
78	77	oveq1d 5966	. . . . 5
79	44	zcnd 9503	. . . . . . . 8
80	79	exp1d 10820	. . . . . . 7
81		nn0sscn 9307	. . . . . . . . . 10
82	49, 81	sstri 3203	. . . . . . . . 9
83	82, 60	sselid 3192	. . . . . . . 8
84	73	fprod1 11949	. . . . . . . 8 $/\$
85	70, 83, 84	sylancr 414	. . . . . . 7
86	80, 85	oveq12d 5969	. . . . . 6
87	86	oveq1d 5966	. . . . 5
88	69, 78, 87	3eqtr4rd 2250	. . . 4
89	88	a1i 9	. . 3
90	44	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
91		elfzo1 10321	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ $/\$ $/\$
92	91	simp1bi 1015	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^
93	92	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
94	93	nnnn0d 9355	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
95		zexpcl 10706	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
96	90, 94, 95	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
97	70	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
98	93	nnzd 9501	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
99	97, 98	fzfigd 10583	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
100	54	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
101		elfzelz 10154	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
102	101	zred 9502	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
103	102	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
104	3	nnzd 9501	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
105	104	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
106	105	zred 9502	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
107	93	nnred 9056	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ ..^
108	107	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
109		elfzle2 10157	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
110	109	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
111		elfzolt2 10286	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
112	111	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
113	103, 108, 106, 110, 112	lelttrd 8204	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
114	103, 106, 113	ltled 8198	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
115		elfzuz 10150	. . . . . . . . . . . . . . . 16
116		elfz5 10146	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
117	115, 105, 116	syl2an2 594	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
118	114, 117	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
119	100, 118	ffvelcdmd 5723	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
120	51, 119	sselid 3192	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
121	99, 120	fprodzcl 11964	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
122	96, 121	zmulcld 9508	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
123		zq 9754	. . . . . . . . . 10
124	122, 123	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
125	124	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
126	90	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
127	126, 120	zmulcld 9508	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
128	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
129	127, 128	zmodcld 10497	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
130	129	nn0zd 9500	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
131	99, 130	fprodzcl 11964	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
132		zq 9754	. . . . . . . . . 10
133	131, 132	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
134	133	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
135	44	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^ $/\$
136	54	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
137		fzofzp1 10363	. . . . . . . . . . . 12 ..^
138	137	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
139	136, 138	ffvelcdmd 5723	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^ $/\$
140	51, 139	sselid 3192	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^ $/\$
141	135, 140	zmulcld 9508	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
142	66	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
143	67	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
144		simpr 110	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
145	125, 134, 141, 142, 143, 144	modqmul1 10529	. . . . . . 7 $/\$ ..^ $/\$
146	145	ex 115	. . . . . 6 $/\$ ..^
147	96	zcnd 9503	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
148	121	zcnd 9503	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
149	79	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
150	54	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
151	137	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
152	150, 151	ffvelcdmd 5723	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
153	82, 152	sselid 3192	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
154	147, 148, 149, 153	mul4d 8234	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
155	149, 94	expp1d 10826	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
156		elfzouz 10280	. . . . . . . . . . . 12 ..^
157	156	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
158	150	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
159		elfzelz 10154	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
160	159	zred 9502	. . . . . . . . . . . . . . . 16
161	160	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
162		peano2re 8215	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
163	107, 162	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^
164	163	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
165	104	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
166	165	zred 9502	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
167		elfzle2 10157	. . . . . . . . . . . . . . . 16
168	167	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
169	137	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
170		elfzle2 10157	. . . . . . . . . . . . . . . 16
171	169, 170	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
172	161, 164, 166, 168, 171	letrd 8203	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
173		elfzuz 10150	. . . . . . . . . . . . . . 15
174	173, 165, 116	syl2an2 594	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
175	172, 174	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
176	158, 175	ffvelcdmd 5723	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
177	82, 176	sselid 3192	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
178		fveq2 5583	. . . . . . . . . . 11
179	157, 177, 178	fprodp1 11955	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
180	155, 179	oveq12d 5969	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
181	154, 180	eqtr4d 2242	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
182	181	oveq1d 5966	. . . . . . 7 $/\$ ..^
183	51, 152	sselid 3192	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
184	90, 183	zmulcld 9508	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
185	2	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
186	184, 185	zmodcld 10497	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
187	186	nn0zd 9500	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
188		zq 9754	. . . . . . . . . 10
189	187, 188	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
190		zq 9754	. . . . . . . . . 10
191	184, 190	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
192	66	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
193	67	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
194		modqabs2 10510	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
195	191, 192, 193, 194	syl3anc 1250	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
196	189, 191, 131, 192, 193, 195	modqmul1 10529	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
197	90	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
198	51, 176	sselid 3192	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
199	197, 198	zmulcld 9508	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
200	185	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
201	199, 200	zmodcld 10497	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
202	201	nn0cnd 9357	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
203	178	oveq2d 5967	. . . . . . . . . . . 12
204	203	oveq1d 5966	. . . . . . . . . . 11
205	157, 202, 204	fprodp1 11955	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
206	186	nn0cnd 9357	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
207	131	zcnd 9503	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
208	206, 207	mulcomd 8101	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
209	205, 208	eqtr4d 2242	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
210	209	oveq1d 5966	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
211	149, 153	mulcld 8100	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
212	207, 211	mulcomd 8101	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
213	212	oveq1d 5966	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
214	196, 210, 213	3eqtr4rd 2250	. . . . . . 7 $/\$ ..^
215	182, 214	eqeq12d 2221	. . . . . 6 $/\$ ..^
216	146, 215	sylibd 149	. . . . 5 $/\$ ..^
217	216	expcom 116	. . . 4 ..^
218	217	a2d 26	. . 3 ..^
219	16, 25, 34, 43, 89, 218	fzind2 10375	. 2
220	7, 219	mpcom 36	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 981

wceq 1373

wcel 2177

crab 2489 class class class wbr 4047

wf 5272

wf1o 5275

cfv 5276 (class class class)co 5951

cc 7930

cr 7931

cc0 7932

c1 7933

caddc 7935

cmul 7937

clt 8114

cle 8115

cn 9043

cn0 9302

cz 9379

cuz 9655

cq 9747

cfz 10137 ..^cfzo 10271

cmo 10474

cexp 10690

cprod 11905

cgcd 12318

cphi 12575

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 711 ax-5 1471 ax-7 1472 ax-gen 1473 ax-ie1 1517 ax-ie2 1518 ax-8 1528 ax-10 1529 ax-11 1530 ax-i12 1531 ax-bndl 1533 ax-4 1534 ax-17 1550 ax-i9 1554 ax-ial 1558 ax-i5r 1559 ax-13 2179 ax-14 2180 ax-ext 2188 ax-coll 4163 ax-sep 4166 ax-nul 4174 ax-pow 4222 ax-pr 4257 ax-un 4484 ax-setind 4589 ax-iinf 4640 ax-cnex 8023 ax-resscn 8024 ax-1cn 8025 ax-1re 8026 ax-icn 8027 ax-addcl 8028 ax-addrcl 8029 ax-mulcl 8030 ax-mulrcl 8031 ax-addcom 8032 ax-mulcom 8033 ax-addass 8034 ax-mulass 8035 ax-distr 8036 ax-i2m1 8037 ax-0lt1 8038 ax-1rid 8039 ax-0id 8040 ax-rnegex 8041 ax-precex 8042 ax-cnre 8043 ax-pre-ltirr 8044 ax-pre-ltwlin 8045 ax-pre-lttrn 8046 ax-pre-apti 8047 ax-pre-ltadd 8048 ax-pre-mulgt0 8049 ax-pre-mulext 8050 ax-arch 8051 ax-caucvg 8052

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 837 df-3or 982 df-3an 983 df-tru 1376 df-fal 1379 df-nf 1485 df-sb 1787 df-eu 2058 df-mo 2059 df-clab 2193 df-cleq 2199 df-clel 2202 df-nfc 2338 df-ne 2378 df-nel 2473 df-ral 2490 df-rex 2491 df-reu 2492 df-rmo 2493 df-rab 2494 df-v 2775 df-sbc 3000 df-csb 3095 df-dif 3169 df-un 3171 df-in 3173 df-ss 3180 df-nul 3462 df-if 3573 df-pw 3619 df-sn 3640 df-pr 3641 df-op 3643 df-uni 3853 df-int 3888 df-iun 3931 df-br 4048 df-opab 4110 df-mpt 4111 df-tr 4147 df-id 4344 df-po 4347 df-iso 4348 df-iord 4417 df-on 4419 df-ilim 4420 df-suc 4422 df-iom 4643 df-xp 4685 df-rel 4686 df-cnv 4687 df-co 4688 df-dm 4689 df-rn 4690 df-res 4691 df-ima 4692 df-iota 5237 df-fun 5278 df-fn 5279 df-f 5280 df-f1 5281 df-fo 5282 df-f1o 5283 df-fv 5284 df-isom 5285 df-riota 5906 df-ov 5954 df-oprab 5955 df-mpo 5956 df-1st 6233 df-2nd 6234 df-recs 6398 df-irdg 6463 df-frec 6484 df-1o 6509 df-oadd 6513 df-er 6627 df-en 6835 df-dom 6836 df-fin 6837 df-sup 7093 df-pnf 8116 df-mnf 8117 df-xr 8118 df-ltxr 8119 df-le 8120 df-sub 8252 df-neg 8253 df-reap 8655 df-ap 8662 df-div 8753 df-inn 9044 df-2 9102 df-3 9103 df-4 9104 df-n0 9303 df-z 9380 df-uz 9656 df-q 9748 df-rp 9783 df-fz 10138 df-fzo 10272 df-fl 10420 df-mod 10475 df-seqfrec 10600 df-exp 10691 df-ihash 10928 df-cj 11197 df-re 11198 df-im 11199 df-rsqrt 11353 df-abs 11354 df-clim 11634 df-proddc 11906 df-dvds 12143 df-gcd 12319 df-phi 12577

This theorem is referenced by: eulerthlemth 12598

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