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Theorem eulerthlema 12760

Description: Lemma for eulerth 12763. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Sep-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
eulerth.1	$/\$ $/\$
eulerth.2	..^
eulerth.4

**Assertion**
Ref	Expression
eulerthlema

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

(

)

Proof of Theorem eulerthlema Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerth.1	. . . . . 6 $/\$ $/\$
2	1	simp1d 1033	. . . . 5
3	2	phicld 12748	. . . 4
4		elnnuz 9767	. . . 4
5	3, 4	sylib 122	. . 3
6		eluzfz2 10236	. . 3
7	5, 6	syl 14	. 2
8		oveq2 6015	. . . . . . 7
9		oveq2 6015	. . . . . . . 8
10	9	prodeq1d 12083	. . . . . . 7
11	8, 10	oveq12d 6025	. . . . . 6
12	11	oveq1d 6022	. . . . 5
13	9	prodeq1d 12083	. . . . . 6
14	13	oveq1d 6022	. . . . 5
15	12, 14	eqeq12d 2244	. . . 4
16	15	imbi2d 230	. . 3
17		oveq2 6015	. . . . . . 7
18		oveq2 6015	. . . . . . . 8
19	18	prodeq1d 12083	. . . . . . 7
20	17, 19	oveq12d 6025	. . . . . 6
21	20	oveq1d 6022	. . . . 5
22	18	prodeq1d 12083	. . . . . 6
23	22	oveq1d 6022	. . . . 5
24	21, 23	eqeq12d 2244	. . . 4
25	24	imbi2d 230	. . 3
26		oveq2 6015	. . . . . . 7
27		oveq2 6015	. . . . . . . 8
28	27	prodeq1d 12083	. . . . . . 7
29	26, 28	oveq12d 6025	. . . . . 6
30	29	oveq1d 6022	. . . . 5
31	27	prodeq1d 12083	. . . . . 6
32	31	oveq1d 6022	. . . . 5
33	30, 32	eqeq12d 2244	. . . 4
34	33	imbi2d 230	. . 3
35		oveq2 6015	. . . . . . 7
36		oveq2 6015	. . . . . . . 8
37	36	prodeq1d 12083	. . . . . . 7
38	35, 37	oveq12d 6025	. . . . . 6
39	38	oveq1d 6022	. . . . 5
40	36	prodeq1d 12083	. . . . . 6
41	40	oveq1d 6022	. . . . 5
42	39, 41	eqeq12d 2244	. . . 4
43	42	imbi2d 230	. . 3
44	1	simp2d 1034	. . . . . . . 8
45		eulerth.2	. . . . . . . . . . . 12 ..^
46		ssrab2 3309	. . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
47	45, 46	eqsstri 3256	. . . . . . . . . . 11 ..^
48		fzo0ssnn0 10429	. . . . . . . . . . 11 ..^
49	47, 48	sstri 3233	. . . . . . . . . 10
50		nn0ssz 9472	. . . . . . . . . 10
51	49, 50	sstri 3233	. . . . . . . . 9
52		eulerth.4	. . . . . . . . . . 11
53		f1of 5574	. . . . . . . . . . 11
54	52, 53	syl 14	. . . . . . . . . 10
55		1nn 9129	. . . . . . . . . . . 12
56	55	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
57	3	nnge1d 9161	. . . . . . . . . . 11
58		elfz1b 10294	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
59	56, 3, 57, 58	syl3anbrc 1205	. . . . . . . . . 10
60	54, 59	ffvelcdmd 5773	. . . . . . . . 9
61	51, 60	sselid 3222	. . . . . . . 8
62	44, 61	zmulcld 9583	. . . . . . 7
63		zq 9829	. . . . . . 7
64	62, 63	syl 14	. . . . . 6
65		nnq 9836	. . . . . . 7
66	2, 65	syl 14	. . . . . 6
67	2	nngt0d 9162	. . . . . 6
68		modqabs2 10588	. . . . . 6 $/\$ $/\$
69	64, 66, 67, 68	syl3anc 1271	. . . . 5
70		1z 9480	. . . . . . 7
71	62, 2	zmodcld 10575	. . . . . . . 8
72	71	nn0cnd 9432	. . . . . . 7
73		fveq2 5629	. . . . . . . . . 10
74	73	oveq2d 6023	. . . . . . . . 9
75	74	oveq1d 6022	. . . . . . . 8
76	75	fprod1 12113	. . . . . . 7 $/\$
77	70, 72, 76	sylancr 414	. . . . . 6
78	77	oveq1d 6022	. . . . 5
79	44	zcnd 9578	. . . . . . . 8
80	79	exp1d 10898	. . . . . . 7
81		nn0sscn 9382	. . . . . . . . . 10
82	49, 81	sstri 3233	. . . . . . . . 9
83	82, 60	sselid 3222	. . . . . . . 8
84	73	fprod1 12113	. . . . . . . 8 $/\$
85	70, 83, 84	sylancr 414	. . . . . . 7
86	80, 85	oveq12d 6025	. . . . . 6
87	86	oveq1d 6022	. . . . 5
88	69, 78, 87	3eqtr4rd 2273	. . . 4
89	88	a1i 9	. . 3
90	44	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
91		elfzo1 10399	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ $/\$ $/\$
92	91	simp1bi 1036	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^
93	92	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
94	93	nnnn0d 9430	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
95		zexpcl 10784	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
96	90, 94, 95	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
97	70	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
98	93	nnzd 9576	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
99	97, 98	fzfigd 10661	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
100	54	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
101		elfzelz 10229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
102	101	zred 9577	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
103	102	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
104	3	nnzd 9576	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
105	104	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
106	105	zred 9577	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
107	93	nnred 9131	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ ..^
108	107	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
109		elfzle2 10232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
110	109	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
111		elfzolt2 10361	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
112	111	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
113	103, 108, 106, 110, 112	lelttrd 8279	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
114	103, 106, 113	ltled 8273	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
115		elfzuz 10225	. . . . . . . . . . . . . . . 16
116		elfz5 10221	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
117	115, 105, 116	syl2an2 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
118	114, 117	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
119	100, 118	ffvelcdmd 5773	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
120	51, 119	sselid 3222	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
121	99, 120	fprodzcl 12128	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
122	96, 121	zmulcld 9583	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
123		zq 9829	. . . . . . . . . 10
124	122, 123	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
125	124	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
126	90	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
127	126, 120	zmulcld 9583	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
128	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
129	127, 128	zmodcld 10575	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
130	129	nn0zd 9575	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
131	99, 130	fprodzcl 12128	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
132		zq 9829	. . . . . . . . . 10
133	131, 132	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
134	133	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
135	44	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^ $/\$
136	54	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
137		fzofzp1 10441	. . . . . . . . . . . 12 ..^
138	137	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
139	136, 138	ffvelcdmd 5773	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^ $/\$
140	51, 139	sselid 3222	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^ $/\$
141	135, 140	zmulcld 9583	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
142	66	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
143	67	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
144		simpr 110	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
145	125, 134, 141, 142, 143, 144	modqmul1 10607	. . . . . . 7 $/\$ ..^ $/\$
146	145	ex 115	. . . . . 6 $/\$ ..^
147	96	zcnd 9578	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
148	121	zcnd 9578	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
149	79	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
150	54	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
151	137	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
152	150, 151	ffvelcdmd 5773	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
153	82, 152	sselid 3222	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
154	147, 148, 149, 153	mul4d 8309	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
155	149, 94	expp1d 10904	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
156		elfzouz 10355	. . . . . . . . . . . 12 ..^
157	156	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
158	150	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
159		elfzelz 10229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
160	159	zred 9577	. . . . . . . . . . . . . . . 16
161	160	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
162		peano2re 8290	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
163	107, 162	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^
164	163	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
165	104	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
166	165	zred 9577	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
167		elfzle2 10232	. . . . . . . . . . . . . . . 16
168	167	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
169	137	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
170		elfzle2 10232	. . . . . . . . . . . . . . . 16
171	169, 170	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
172	161, 164, 166, 168, 171	letrd 8278	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
173		elfzuz 10225	. . . . . . . . . . . . . . 15
174	173, 165, 116	syl2an2 596	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
175	172, 174	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
176	158, 175	ffvelcdmd 5773	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
177	82, 176	sselid 3222	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
178		fveq2 5629	. . . . . . . . . . 11
179	157, 177, 178	fprodp1 12119	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
180	155, 179	oveq12d 6025	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
181	154, 180	eqtr4d 2265	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
182	181	oveq1d 6022	. . . . . . 7 $/\$ ..^
183	51, 152	sselid 3222	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
184	90, 183	zmulcld 9583	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
185	2	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
186	184, 185	zmodcld 10575	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
187	186	nn0zd 9575	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
188		zq 9829	. . . . . . . . . 10
189	187, 188	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
190		zq 9829	. . . . . . . . . 10
191	184, 190	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
192	66	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
193	67	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
194		modqabs2 10588	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
195	191, 192, 193, 194	syl3anc 1271	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
196	189, 191, 131, 192, 193, 195	modqmul1 10607	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
197	90	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
198	51, 176	sselid 3222	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
199	197, 198	zmulcld 9583	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
200	185	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
201	199, 200	zmodcld 10575	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
202	201	nn0cnd 9432	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
203	178	oveq2d 6023	. . . . . . . . . . . 12
204	203	oveq1d 6022	. . . . . . . . . . 11
205	157, 202, 204	fprodp1 12119	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
206	186	nn0cnd 9432	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
207	131	zcnd 9578	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
208	206, 207	mulcomd 8176	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
209	205, 208	eqtr4d 2265	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
210	209	oveq1d 6022	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
211	149, 153	mulcld 8175	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
212	207, 211	mulcomd 8176	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
213	212	oveq1d 6022	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
214	196, 210, 213	3eqtr4rd 2273	. . . . . . 7 $/\$ ..^
215	182, 214	eqeq12d 2244	. . . . . 6 $/\$ ..^
216	146, 215	sylibd 149	. . . . 5 $/\$ ..^
217	216	expcom 116	. . . 4 ..^
218	217	a2d 26	. . 3 ..^
219	16, 25, 34, 43, 89, 218	fzind2 10453	. 2
220	7, 219	mpcom 36	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 1002

wceq 1395

wcel 2200

crab 2512 class class class wbr 4083

wf 5314

wf1o 5317

cfv 5318 (class class class)co 6007

cc 8005

cr 8006

cc0 8007

c1 8008

caddc 8010

cmul 8012

clt 8189

cle 8190

cn 9118

cn0 9377

cz 9454

cuz 9730

cq 9822

cfz 10212 ..^cfzo 10346

cmo 10552

cexp 10768

cprod 12069

cgcd 12482

cphi 12739

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4199 ax-sep 4202 ax-nul 4210 ax-pow 4258 ax-pr 4293 ax-un 4524 ax-setind 4629 ax-iinf 4680 ax-cnex 8098 ax-resscn 8099 ax-1cn 8100 ax-1re 8101 ax-icn 8102 ax-addcl 8103 ax-addrcl 8104 ax-mulcl 8105 ax-mulrcl 8106 ax-addcom 8107 ax-mulcom 8108 ax-addass 8109 ax-mulass 8110 ax-distr 8111 ax-i2m1 8112 ax-0lt1 8113 ax-1rid 8114 ax-0id 8115 ax-rnegex 8116 ax-precex 8117 ax-cnre 8118 ax-pre-ltirr 8119 ax-pre-ltwlin 8120 ax-pre-lttrn 8121 ax-pre-apti 8122 ax-pre-ltadd 8123 ax-pre-mulgt0 8124 ax-pre-mulext 8125 ax-arch 8126 ax-caucvg 8127

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2801 df-sbc 3029 df-csb 3125 df-dif 3199 df-un 3201 df-in 3203 df-ss 3210 df-nul 3492 df-if 3603 df-pw 3651 df-sn 3672 df-pr 3673 df-op 3675 df-uni 3889 df-int 3924 df-iun 3967 df-br 4084 df-opab 4146 df-mpt 4147 df-tr 4183 df-id 4384 df-po 4387 df-iso 4388 df-iord 4457 df-on 4459 df-ilim 4460 df-suc 4462 df-iom 4683 df-xp 4725 df-rel 4726 df-cnv 4727 df-co 4728 df-dm 4729 df-rn 4730 df-res 4731 df-ima 4732 df-iota 5278 df-fun 5320 df-fn 5321 df-f 5322 df-f1 5323 df-fo 5324 df-f1o 5325 df-fv 5326 df-isom 5327 df-riota 5960 df-ov 6010 df-oprab 6011 df-mpo 6012 df-1st 6292 df-2nd 6293 df-recs 6457 df-irdg 6522 df-frec 6543 df-1o 6568 df-oadd 6572 df-er 6688 df-en 6896 df-dom 6897 df-fin 6898 df-sup 7159 df-pnf 8191 df-mnf 8192 df-xr 8193 df-ltxr 8194 df-le 8195 df-sub 8327 df-neg 8328 df-reap 8730 df-ap 8737 df-div 8828 df-inn 9119 df-2 9177 df-3 9178 df-4 9179 df-n0 9378 df-z 9455 df-uz 9731 df-q 9823 df-rp 9858 df-fz 10213 df-fzo 10347 df-fl 10498 df-mod 10553 df-seqfrec 10678 df-exp 10769 df-ihash 11006 df-cj 11361 df-re 11362 df-im 11363 df-rsqrt 11517 df-abs 11518 df-clim 11798 df-proddc 12070 df-dvds 12307 df-gcd 12483 df-phi 12741

This theorem is referenced by: eulerthlemth 12762

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