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Theorem eulerthlema 12423

Description: Lemma for eulerth 12426. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Sep-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
eulerth.1	$/\$ $/\$
eulerth.2	..^
eulerth.4

**Assertion**
Ref	Expression
eulerthlema

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

(

)

Proof of Theorem eulerthlema Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerth.1	. . . . . 6 $/\$ $/\$
2	1	simp1d 1011	. . . . 5
3	2	phicld 12411	. . . 4
4		elnnuz 9655	. . . 4
5	3, 4	sylib 122	. . 3
6		eluzfz2 10124	. . 3
7	5, 6	syl 14	. 2
8		oveq2 5933	. . . . . . 7
9		oveq2 5933	. . . . . . . 8
10	9	prodeq1d 11746	. . . . . . 7
11	8, 10	oveq12d 5943	. . . . . 6
12	11	oveq1d 5940	. . . . 5
13	9	prodeq1d 11746	. . . . . 6
14	13	oveq1d 5940	. . . . 5
15	12, 14	eqeq12d 2211	. . . 4
16	15	imbi2d 230	. . 3
17		oveq2 5933	. . . . . . 7
18		oveq2 5933	. . . . . . . 8
19	18	prodeq1d 11746	. . . . . . 7
20	17, 19	oveq12d 5943	. . . . . 6
21	20	oveq1d 5940	. . . . 5
22	18	prodeq1d 11746	. . . . . 6
23	22	oveq1d 5940	. . . . 5
24	21, 23	eqeq12d 2211	. . . 4
25	24	imbi2d 230	. . 3
26		oveq2 5933	. . . . . . 7
27		oveq2 5933	. . . . . . . 8
28	27	prodeq1d 11746	. . . . . . 7
29	26, 28	oveq12d 5943	. . . . . 6
30	29	oveq1d 5940	. . . . 5
31	27	prodeq1d 11746	. . . . . 6
32	31	oveq1d 5940	. . . . 5
33	30, 32	eqeq12d 2211	. . . 4
34	33	imbi2d 230	. . 3
35		oveq2 5933	. . . . . . 7
36		oveq2 5933	. . . . . . . 8
37	36	prodeq1d 11746	. . . . . . 7
38	35, 37	oveq12d 5943	. . . . . 6
39	38	oveq1d 5940	. . . . 5
40	36	prodeq1d 11746	. . . . . 6
41	40	oveq1d 5940	. . . . 5
42	39, 41	eqeq12d 2211	. . . 4
43	42	imbi2d 230	. . 3
44	1	simp2d 1012	. . . . . . . 8
45		eulerth.2	. . . . . . . . . . . 12 ..^
46		ssrab2 3269	. . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
47	45, 46	eqsstri 3216	. . . . . . . . . . 11 ..^
48		fzo0ssnn0 10308	. . . . . . . . . . 11 ..^
49	47, 48	sstri 3193	. . . . . . . . . 10
50		nn0ssz 9361	. . . . . . . . . 10
51	49, 50	sstri 3193	. . . . . . . . 9
52		eulerth.4	. . . . . . . . . . 11
53		f1of 5507	. . . . . . . . . . 11
54	52, 53	syl 14	. . . . . . . . . 10
55		1nn 9018	. . . . . . . . . . . 12
56	55	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
57	3	nnge1d 9050	. . . . . . . . . . 11
58		elfz1b 10182	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
59	56, 3, 57, 58	syl3anbrc 1183	. . . . . . . . . 10
60	54, 59	ffvelcdmd 5701	. . . . . . . . 9
61	51, 60	sselid 3182	. . . . . . . 8
62	44, 61	zmulcld 9471	. . . . . . 7
63		zq 9717	. . . . . . 7
64	62, 63	syl 14	. . . . . 6
65		nnq 9724	. . . . . . 7
66	2, 65	syl 14	. . . . . 6
67	2	nngt0d 9051	. . . . . 6
68		modqabs2 10467	. . . . . 6 $/\$ $/\$
69	64, 66, 67, 68	syl3anc 1249	. . . . 5
70		1z 9369	. . . . . . 7
71	62, 2	zmodcld 10454	. . . . . . . 8
72	71	nn0cnd 9321	. . . . . . 7
73		fveq2 5561	. . . . . . . . . 10
74	73	oveq2d 5941	. . . . . . . . 9
75	74	oveq1d 5940	. . . . . . . 8
76	75	fprod1 11776	. . . . . . 7 $/\$
77	70, 72, 76	sylancr 414	. . . . . 6
78	77	oveq1d 5940	. . . . 5
79	44	zcnd 9466	. . . . . . . 8
80	79	exp1d 10777	. . . . . . 7
81		nn0sscn 9271	. . . . . . . . . 10
82	49, 81	sstri 3193	. . . . . . . . 9
83	82, 60	sselid 3182	. . . . . . . 8
84	73	fprod1 11776	. . . . . . . 8 $/\$
85	70, 83, 84	sylancr 414	. . . . . . 7
86	80, 85	oveq12d 5943	. . . . . 6
87	86	oveq1d 5940	. . . . 5
88	69, 78, 87	3eqtr4rd 2240	. . . 4
89	88	a1i 9	. . 3
90	44	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
91		elfzo1 10283	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ $/\$ $/\$
92	91	simp1bi 1014	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^
93	92	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
94	93	nnnn0d 9319	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
95		zexpcl 10663	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
96	90, 94, 95	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
97	70	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
98	93	nnzd 9464	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
99	97, 98	fzfigd 10540	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
100	54	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
101		elfzelz 10117	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
102	101	zred 9465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
103	102	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
104	3	nnzd 9464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
105	104	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
106	105	zred 9465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
107	93	nnred 9020	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ ..^
108	107	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
109		elfzle2 10120	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
110	109	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
111		elfzolt2 10249	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
112	111	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
113	103, 108, 106, 110, 112	lelttrd 8168	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
114	103, 106, 113	ltled 8162	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
115		elfzuz 10113	. . . . . . . . . . . . . . . 16
116		elfz5 10109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
117	115, 105, 116	syl2an2 594	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
118	114, 117	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
119	100, 118	ffvelcdmd 5701	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
120	51, 119	sselid 3182	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
121	99, 120	fprodzcl 11791	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
122	96, 121	zmulcld 9471	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
123		zq 9717	. . . . . . . . . 10
124	122, 123	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
125	124	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
126	90	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
127	126, 120	zmulcld 9471	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
128	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
129	127, 128	zmodcld 10454	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
130	129	nn0zd 9463	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
131	99, 130	fprodzcl 11791	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
132		zq 9717	. . . . . . . . . 10
133	131, 132	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
134	133	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
135	44	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^ $/\$
136	54	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
137		fzofzp1 10320	. . . . . . . . . . . 12 ..^
138	137	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
139	136, 138	ffvelcdmd 5701	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^ $/\$
140	51, 139	sselid 3182	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^ $/\$
141	135, 140	zmulcld 9471	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
142	66	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
143	67	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
144		simpr 110	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
145	125, 134, 141, 142, 143, 144	modqmul1 10486	. . . . . . 7 $/\$ ..^ $/\$
146	145	ex 115	. . . . . 6 $/\$ ..^
147	96	zcnd 9466	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
148	121	zcnd 9466	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
149	79	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
150	54	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
151	137	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
152	150, 151	ffvelcdmd 5701	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
153	82, 152	sselid 3182	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
154	147, 148, 149, 153	mul4d 8198	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
155	149, 94	expp1d 10783	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
156		elfzouz 10243	. . . . . . . . . . . 12 ..^
157	156	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
158	150	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
159		elfzelz 10117	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
160	159	zred 9465	. . . . . . . . . . . . . . . 16
161	160	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
162		peano2re 8179	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
163	107, 162	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^
164	163	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
165	104	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
166	165	zred 9465	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
167		elfzle2 10120	. . . . . . . . . . . . . . . 16
168	167	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
169	137	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
170		elfzle2 10120	. . . . . . . . . . . . . . . 16
171	169, 170	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
172	161, 164, 166, 168, 171	letrd 8167	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
173		elfzuz 10113	. . . . . . . . . . . . . . 15
174	173, 165, 116	syl2an2 594	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
175	172, 174	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
176	158, 175	ffvelcdmd 5701	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
177	82, 176	sselid 3182	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
178		fveq2 5561	. . . . . . . . . . 11
179	157, 177, 178	fprodp1 11782	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
180	155, 179	oveq12d 5943	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
181	154, 180	eqtr4d 2232	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
182	181	oveq1d 5940	. . . . . . 7 $/\$ ..^
183	51, 152	sselid 3182	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
184	90, 183	zmulcld 9471	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
185	2	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
186	184, 185	zmodcld 10454	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
187	186	nn0zd 9463	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
188		zq 9717	. . . . . . . . . 10
189	187, 188	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
190		zq 9717	. . . . . . . . . 10
191	184, 190	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
192	66	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
193	67	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
194		modqabs2 10467	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
195	191, 192, 193, 194	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
196	189, 191, 131, 192, 193, 195	modqmul1 10486	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
197	90	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
198	51, 176	sselid 3182	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
199	197, 198	zmulcld 9471	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
200	185	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
201	199, 200	zmodcld 10454	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
202	201	nn0cnd 9321	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
203	178	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . 12
204	203	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . 11
205	157, 202, 204	fprodp1 11782	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
206	186	nn0cnd 9321	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
207	131	zcnd 9466	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
208	206, 207	mulcomd 8065	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
209	205, 208	eqtr4d 2232	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
210	209	oveq1d 5940	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
211	149, 153	mulcld 8064	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
212	207, 211	mulcomd 8065	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
213	212	oveq1d 5940	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
214	196, 210, 213	3eqtr4rd 2240	. . . . . . 7 $/\$ ..^
215	182, 214	eqeq12d 2211	. . . . . 6 $/\$ ..^
216	146, 215	sylibd 149	. . . . 5 $/\$ ..^
217	216	expcom 116	. . . 4 ..^
218	217	a2d 26	. . 3 ..^
219	16, 25, 34, 43, 89, 218	fzind2 10332	. 2
220	7, 219	mpcom 36	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 980

wceq 1364

wcel 2167

crab 2479 class class class wbr 4034

wf 5255

wf1o 5258

cfv 5259 (class class class)co 5925

cc 7894

cr 7895

cc0 7896

c1 7897

caddc 7899

cmul 7901

clt 8078

cle 8079

cn 9007

cn0 9266

cz 9343

cuz 9618

cq 9710

cfz 10100 ..^cfzo 10234

cmo 10431

cexp 10647

cprod 11732

cgcd 12145

cphi 12402

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4149 ax-sep 4152 ax-nul 4160 ax-pow 4208 ax-pr 4243 ax-un 4469 ax-setind 4574 ax-iinf 4625 ax-cnex 7987 ax-resscn 7988 ax-1cn 7989 ax-1re 7990 ax-icn 7991 ax-addcl 7992 ax-addrcl 7993 ax-mulcl 7994 ax-mulrcl 7995 ax-addcom 7996 ax-mulcom 7997 ax-addass 7998 ax-mulass 7999 ax-distr 8000 ax-i2m1 8001 ax-0lt1 8002 ax-1rid 8003 ax-0id 8004 ax-rnegex 8005 ax-precex 8006 ax-cnre 8007 ax-pre-ltirr 8008 ax-pre-ltwlin 8009 ax-pre-lttrn 8010 ax-pre-apti 8011 ax-pre-ltadd 8012 ax-pre-mulgt0 8013 ax-pre-mulext 8014 ax-arch 8015 ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3452 df-if 3563 df-pw 3608 df-sn 3629 df-pr 3630 df-op 3632 df-uni 3841 df-int 3876 df-iun 3919 df-br 4035 df-opab 4096 df-mpt 4097 df-tr 4133 df-id 4329 df-po 4332 df-iso 4333 df-iord 4402 df-on 4404 df-ilim 4405 df-suc 4407 df-iom 4628 df-xp 4670 df-rel 4671 df-cnv 4672 df-co 4673 df-dm 4674 df-rn 4675 df-res 4676 df-ima 4677 df-iota 5220 df-fun 5261 df-fn 5262 df-f 5263 df-f1 5264 df-fo 5265 df-f1o 5266 df-fv 5267 df-isom 5268 df-riota 5880 df-ov 5928 df-oprab 5929 df-mpo 5930 df-1st 6207 df-2nd 6208 df-recs 6372 df-irdg 6437 df-frec 6458 df-1o 6483 df-oadd 6487 df-er 6601 df-en 6809 df-dom 6810 df-fin 6811 df-sup 7059 df-pnf 8080 df-mnf 8081 df-xr 8082 df-ltxr 8083 df-le 8084 df-sub 8216 df-neg 8217 df-reap 8619 df-ap 8626 df-div 8717 df-inn 9008 df-2 9066 df-3 9067 df-4 9068 df-n0 9267 df-z 9344 df-uz 9619 df-q 9711 df-rp 9746 df-fz 10101 df-fzo 10235 df-fl 10377 df-mod 10432 df-seqfrec 10557 df-exp 10648 df-ihash 10885 df-cj 11024 df-re 11025 df-im 11026 df-rsqrt 11180 df-abs 11181 df-clim 11461 df-proddc 11733 df-dvds 11970 df-gcd 12146 df-phi 12404

This theorem is referenced by: eulerthlemth 12425

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