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Theorem eulerthlema 12773

Description: Lemma for eulerth 12776. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Sep-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
eulerth.1	$/\$ $/\$
eulerth.2	..^
eulerth.4

**Assertion**
Ref	Expression
eulerthlema

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

(

)

Proof of Theorem eulerthlema Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerth.1	. . . . . 6 $/\$ $/\$
2	1	simp1d 1033	. . . . 5
3	2	phicld 12761	. . . 4
4		elnnuz 9776	. . . 4
5	3, 4	sylib 122	. . 3
6		eluzfz2 10245	. . 3
7	5, 6	syl 14	. 2
8		oveq2 6018	. . . . . . 7
9		oveq2 6018	. . . . . . . 8
10	9	prodeq1d 12096	. . . . . . 7
11	8, 10	oveq12d 6028	. . . . . 6
12	11	oveq1d 6025	. . . . 5
13	9	prodeq1d 12096	. . . . . 6
14	13	oveq1d 6025	. . . . 5
15	12, 14	eqeq12d 2244	. . . 4
16	15	imbi2d 230	. . 3
17		oveq2 6018	. . . . . . 7
18		oveq2 6018	. . . . . . . 8
19	18	prodeq1d 12096	. . . . . . 7
20	17, 19	oveq12d 6028	. . . . . 6
21	20	oveq1d 6025	. . . . 5
22	18	prodeq1d 12096	. . . . . 6
23	22	oveq1d 6025	. . . . 5
24	21, 23	eqeq12d 2244	. . . 4
25	24	imbi2d 230	. . 3
26		oveq2 6018	. . . . . . 7
27		oveq2 6018	. . . . . . . 8
28	27	prodeq1d 12096	. . . . . . 7
29	26, 28	oveq12d 6028	. . . . . 6
30	29	oveq1d 6025	. . . . 5
31	27	prodeq1d 12096	. . . . . 6
32	31	oveq1d 6025	. . . . 5
33	30, 32	eqeq12d 2244	. . . 4
34	33	imbi2d 230	. . 3
35		oveq2 6018	. . . . . . 7
36		oveq2 6018	. . . . . . . 8
37	36	prodeq1d 12096	. . . . . . 7
38	35, 37	oveq12d 6028	. . . . . 6
39	38	oveq1d 6025	. . . . 5
40	36	prodeq1d 12096	. . . . . 6
41	40	oveq1d 6025	. . . . 5
42	39, 41	eqeq12d 2244	. . . 4
43	42	imbi2d 230	. . 3
44	1	simp2d 1034	. . . . . . . 8
45		eulerth.2	. . . . . . . . . . . 12 ..^
46		ssrab2 3309	. . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
47	45, 46	eqsstri 3256	. . . . . . . . . . 11 ..^
48		fzo0ssnn0 10438	. . . . . . . . . . 11 ..^
49	47, 48	sstri 3233	. . . . . . . . . 10
50		nn0ssz 9480	. . . . . . . . . 10
51	49, 50	sstri 3233	. . . . . . . . 9
52		eulerth.4	. . . . . . . . . . 11
53		f1of 5577	. . . . . . . . . . 11
54	52, 53	syl 14	. . . . . . . . . 10
55		1nn 9137	. . . . . . . . . . . 12
56	55	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
57	3	nnge1d 9169	. . . . . . . . . . 11
58		elfz1b 10303	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
59	56, 3, 57, 58	syl3anbrc 1205	. . . . . . . . . 10
60	54, 59	ffvelcdmd 5776	. . . . . . . . 9
61	51, 60	sselid 3222	. . . . . . . 8
62	44, 61	zmulcld 9591	. . . . . . 7
63		zq 9838	. . . . . . 7
64	62, 63	syl 14	. . . . . 6
65		nnq 9845	. . . . . . 7
66	2, 65	syl 14	. . . . . 6
67	2	nngt0d 9170	. . . . . 6
68		modqabs2 10597	. . . . . 6 $/\$ $/\$
69	64, 66, 67, 68	syl3anc 1271	. . . . 5
70		1z 9488	. . . . . . 7
71	62, 2	zmodcld 10584	. . . . . . . 8
72	71	nn0cnd 9440	. . . . . . 7
73		fveq2 5632	. . . . . . . . . 10
74	73	oveq2d 6026	. . . . . . . . 9
75	74	oveq1d 6025	. . . . . . . 8
76	75	fprod1 12126	. . . . . . 7 $/\$
77	70, 72, 76	sylancr 414	. . . . . 6
78	77	oveq1d 6025	. . . . 5
79	44	zcnd 9586	. . . . . . . 8
80	79	exp1d 10907	. . . . . . 7
81		nn0sscn 9390	. . . . . . . . . 10
82	49, 81	sstri 3233	. . . . . . . . 9
83	82, 60	sselid 3222	. . . . . . . 8
84	73	fprod1 12126	. . . . . . . 8 $/\$
85	70, 83, 84	sylancr 414	. . . . . . 7
86	80, 85	oveq12d 6028	. . . . . 6
87	86	oveq1d 6025	. . . . 5
88	69, 78, 87	3eqtr4rd 2273	. . . 4
89	88	a1i 9	. . 3
90	44	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
91		elfzo1 10408	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ $/\$ $/\$
92	91	simp1bi 1036	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^
93	92	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
94	93	nnnn0d 9438	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
95		zexpcl 10793	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
96	90, 94, 95	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
97	70	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
98	93	nnzd 9584	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
99	97, 98	fzfigd 10670	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
100	54	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
101		elfzelz 10238	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
102	101	zred 9585	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
103	102	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
104	3	nnzd 9584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
105	104	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
106	105	zred 9585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
107	93	nnred 9139	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ ..^
108	107	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
109		elfzle2 10241	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
110	109	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
111		elfzolt2 10370	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
112	111	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
113	103, 108, 106, 110, 112	lelttrd 8287	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
114	103, 106, 113	ltled 8281	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
115		elfzuz 10234	. . . . . . . . . . . . . . . 16
116		elfz5 10230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
117	115, 105, 116	syl2an2 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
118	114, 117	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
119	100, 118	ffvelcdmd 5776	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
120	51, 119	sselid 3222	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
121	99, 120	fprodzcl 12141	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
122	96, 121	zmulcld 9591	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
123		zq 9838	. . . . . . . . . 10
124	122, 123	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
125	124	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
126	90	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
127	126, 120	zmulcld 9591	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
128	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
129	127, 128	zmodcld 10584	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
130	129	nn0zd 9583	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
131	99, 130	fprodzcl 12141	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
132		zq 9838	. . . . . . . . . 10
133	131, 132	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
134	133	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
135	44	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^ $/\$
136	54	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
137		fzofzp1 10450	. . . . . . . . . . . 12 ..^
138	137	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
139	136, 138	ffvelcdmd 5776	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^ $/\$
140	51, 139	sselid 3222	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^ $/\$
141	135, 140	zmulcld 9591	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
142	66	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
143	67	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
144		simpr 110	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
145	125, 134, 141, 142, 143, 144	modqmul1 10616	. . . . . . 7 $/\$ ..^ $/\$
146	145	ex 115	. . . . . 6 $/\$ ..^
147	96	zcnd 9586	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
148	121	zcnd 9586	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
149	79	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
150	54	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
151	137	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
152	150, 151	ffvelcdmd 5776	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
153	82, 152	sselid 3222	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
154	147, 148, 149, 153	mul4d 8317	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
155	149, 94	expp1d 10913	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
156		elfzouz 10364	. . . . . . . . . . . 12 ..^
157	156	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
158	150	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
159		elfzelz 10238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
160	159	zred 9585	. . . . . . . . . . . . . . . 16
161	160	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
162		peano2re 8298	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
163	107, 162	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^
164	163	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
165	104	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
166	165	zred 9585	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
167		elfzle2 10241	. . . . . . . . . . . . . . . 16
168	167	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
169	137	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
170		elfzle2 10241	. . . . . . . . . . . . . . . 16
171	169, 170	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
172	161, 164, 166, 168, 171	letrd 8286	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
173		elfzuz 10234	. . . . . . . . . . . . . . 15
174	173, 165, 116	syl2an2 596	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
175	172, 174	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
176	158, 175	ffvelcdmd 5776	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
177	82, 176	sselid 3222	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
178		fveq2 5632	. . . . . . . . . . 11
179	157, 177, 178	fprodp1 12132	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
180	155, 179	oveq12d 6028	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
181	154, 180	eqtr4d 2265	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
182	181	oveq1d 6025	. . . . . . 7 $/\$ ..^
183	51, 152	sselid 3222	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
184	90, 183	zmulcld 9591	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
185	2	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
186	184, 185	zmodcld 10584	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
187	186	nn0zd 9583	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
188		zq 9838	. . . . . . . . . 10
189	187, 188	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
190		zq 9838	. . . . . . . . . 10
191	184, 190	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
192	66	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
193	67	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
194		modqabs2 10597	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
195	191, 192, 193, 194	syl3anc 1271	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
196	189, 191, 131, 192, 193, 195	modqmul1 10616	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
197	90	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
198	51, 176	sselid 3222	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
199	197, 198	zmulcld 9591	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
200	185	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
201	199, 200	zmodcld 10584	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
202	201	nn0cnd 9440	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
203	178	oveq2d 6026	. . . . . . . . . . . 12
204	203	oveq1d 6025	. . . . . . . . . . 11
205	157, 202, 204	fprodp1 12132	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
206	186	nn0cnd 9440	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
207	131	zcnd 9586	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
208	206, 207	mulcomd 8184	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
209	205, 208	eqtr4d 2265	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
210	209	oveq1d 6025	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
211	149, 153	mulcld 8183	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
212	207, 211	mulcomd 8184	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
213	212	oveq1d 6025	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
214	196, 210, 213	3eqtr4rd 2273	. . . . . . 7 $/\$ ..^
215	182, 214	eqeq12d 2244	. . . . . 6 $/\$ ..^
216	146, 215	sylibd 149	. . . . 5 $/\$ ..^
217	216	expcom 116	. . . 4 ..^
218	217	a2d 26	. . 3 ..^
219	16, 25, 34, 43, 89, 218	fzind2 10462	. 2
220	7, 219	mpcom 36	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 1002

wceq 1395

wcel 2200

crab 2512 class class class wbr 4083

wf 5317

wf1o 5320

cfv 5321 (class class class)co 6010

cc 8013

cr 8014

cc0 8015

c1 8016

caddc 8018

cmul 8020

clt 8197

cle 8198

cn 9126

cn0 9385

cz 9462

cuz 9738

cq 9831

cfz 10221 ..^cfzo 10355

cmo 10561

cexp 10777

cprod 12082

cgcd 12495

cphi 12752

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4199 ax-sep 4202 ax-nul 4210 ax-pow 4259 ax-pr 4294 ax-un 4525 ax-setind 4630 ax-iinf 4681 ax-cnex 8106 ax-resscn 8107 ax-1cn 8108 ax-1re 8109 ax-icn 8110 ax-addcl 8111 ax-addrcl 8112 ax-mulcl 8113 ax-mulrcl 8114 ax-addcom 8115 ax-mulcom 8116 ax-addass 8117 ax-mulass 8118 ax-distr 8119 ax-i2m1 8120 ax-0lt1 8121 ax-1rid 8122 ax-0id 8123 ax-rnegex 8124 ax-precex 8125 ax-cnre 8126 ax-pre-ltirr 8127 ax-pre-ltwlin 8128 ax-pre-lttrn 8129 ax-pre-apti 8130 ax-pre-ltadd 8131 ax-pre-mulgt0 8132 ax-pre-mulext 8133 ax-arch 8134 ax-caucvg 8135

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2801 df-sbc 3029 df-csb 3125 df-dif 3199 df-un 3201 df-in 3203 df-ss 3210 df-nul 3492 df-if 3603 df-pw 3651 df-sn 3672 df-pr 3673 df-op 3675 df-uni 3889 df-int 3924 df-iun 3967 df-br 4084 df-opab 4146 df-mpt 4147 df-tr 4183 df-id 4385 df-po 4388 df-iso 4389 df-iord 4458 df-on 4460 df-ilim 4461 df-suc 4463 df-iom 4684 df-xp 4726 df-rel 4727 df-cnv 4728 df-co 4729 df-dm 4730 df-rn 4731 df-res 4732 df-ima 4733 df-iota 5281 df-fun 5323 df-fn 5324 df-f 5325 df-f1 5326 df-fo 5327 df-f1o 5328 df-fv 5329 df-isom 5330 df-riota 5963 df-ov 6013 df-oprab 6014 df-mpo 6015 df-1st 6295 df-2nd 6296 df-recs 6462 df-irdg 6527 df-frec 6548 df-1o 6573 df-oadd 6577 df-er 6693 df-en 6901 df-dom 6902 df-fin 6903 df-sup 7167 df-pnf 8199 df-mnf 8200 df-xr 8201 df-ltxr 8202 df-le 8203 df-sub 8335 df-neg 8336 df-reap 8738 df-ap 8745 df-div 8836 df-inn 9127 df-2 9185 df-3 9186 df-4 9187 df-n0 9386 df-z 9463 df-uz 9739 df-q 9832 df-rp 9867 df-fz 10222 df-fzo 10356 df-fl 10507 df-mod 10562 df-seqfrec 10687 df-exp 10778 df-ihash 11015 df-cj 11374 df-re 11375 df-im 11376 df-rsqrt 11530 df-abs 11531 df-clim 11811 df-proddc 12083 df-dvds 12320 df-gcd 12496 df-phi 12754

This theorem is referenced by: eulerthlemth 12775

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