ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eulerthlema Unicode version

Theorem eulerthlema 12097
Description: Lemma for eulerth 12100. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerth.1  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 ) )
eulerth.2  |-  S  =  { y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd  N
)  =  1 }
eulerth.4  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-onto-> S )
Assertion
Ref Expression
eulerthlema  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ ( phi `  N ) )  x. 
prod_ x  e.  (
1 ... ( phi `  N ) ) ( F `  x ) )  mod  N )  =  ( prod_ x  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ( ( A  x.  ( F `  x ) )  mod  N )  mod  N ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, N    y, N    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( y)    A( y)    S( x, y)    F( y)

Proof of Theorem eulerthlema
Dummy variables  k  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eulerth.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 ) )
21simp1d 994 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
32phicld 12085 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( phi `  N
)  e.  NN )
4 elnnuz 9470 . . . 4  |-  ( ( phi `  N )  e.  NN  <->  ( phi `  N )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
53, 4sylib 121 . . 3  |-  ( ph  ->  ( phi `  N
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
6 eluzfz2 9929 . . 3  |-  ( ( phi `  N )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( phi `  N )  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) )
75, 6syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( phi `  N
)  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) )
8 oveq2 5829 . . . . . . 7  |-  ( w  =  1  ->  ( A ^ w )  =  ( A ^ 1 ) )
9 oveq2 5829 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  1  ->  (
1 ... w )  =  ( 1 ... 1
) )
109prodeq1d 11456 . . . . . . 7  |-  ( w  =  1  ->  prod_ x  e.  ( 1 ... w ) ( F `
 x )  = 
prod_ x  e.  (
1 ... 1 ) ( F `  x ) )
118, 10oveq12d 5839 . . . . . 6  |-  ( w  =  1  ->  (
( A ^ w
)  x.  prod_ x  e.  ( 1 ... w
) ( F `  x ) )  =  ( ( A ^
1 )  x.  prod_ x  e.  ( 1 ... 1 ) ( F `
 x ) ) )
1211oveq1d 5836 . . . . 5  |-  ( w  =  1  ->  (
( ( A ^
w )  x.  prod_ x  e.  ( 1 ... w ) ( F `
 x ) )  mod  N )  =  ( ( ( A ^ 1 )  x. 
prod_ x  e.  (
1 ... 1 ) ( F `  x ) )  mod  N ) )
139prodeq1d 11456 . . . . . 6  |-  ( w  =  1  ->  prod_ x  e.  ( 1 ... w ) ( ( A  x.  ( F `
 x ) )  mod  N )  = 
prod_ x  e.  (
1 ... 1 ) ( ( A  x.  ( F `  x )
)  mod  N )
)
1413oveq1d 5836 . . . . 5  |-  ( w  =  1  ->  ( prod_ x  e.  ( 1 ... w ) ( ( A  x.  ( F `  x )
)  mod  N )  mod  N )  =  (
prod_ x  e.  (
1 ... 1 ) ( ( A  x.  ( F `  x )
)  mod  N )  mod  N ) )
1512, 14eqeq12d 2172 . . . 4  |-  ( w  =  1  ->  (
( ( ( A ^ w )  x. 
prod_ x  e.  (
1 ... w ) ( F `  x ) )  mod  N )  =  ( prod_ x  e.  ( 1 ... w
) ( ( A  x.  ( F `  x ) )  mod 
N )  mod  N
)  <->  ( ( ( A ^ 1 )  x.  prod_ x  e.  ( 1 ... 1 ) ( F `  x
) )  mod  N
)  =  ( prod_
x  e.  ( 1 ... 1 ) ( ( A  x.  ( F `  x )
)  mod  N )  mod  N ) ) )
1615imbi2d 229 . . 3  |-  ( w  =  1  ->  (
( ph  ->  ( ( ( A ^ w
)  x.  prod_ x  e.  ( 1 ... w
) ( F `  x ) )  mod 
N )  =  (
prod_ x  e.  (
1 ... w ) ( ( A  x.  ( F `  x )
)  mod  N )  mod  N ) )  <->  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 1 )  x. 
prod_ x  e.  (
1 ... 1 ) ( F `  x ) )  mod  N )  =  ( prod_ x  e.  ( 1 ... 1
) ( ( A  x.  ( F `  x ) )  mod 
N )  mod  N
) ) ) )
17 oveq2 5829 . . . . . . 7  |-  ( w  =  k  ->  ( A ^ w )  =  ( A ^ k
) )
18 oveq2 5829 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  k  ->  (
1 ... w )  =  ( 1 ... k
) )
1918prodeq1d 11456 . . . . . . 7  |-  ( w  =  k  ->  prod_ x  e.  ( 1 ... w ) ( F `
 x )  = 
prod_ x  e.  (
1 ... k ) ( F `  x ) )
2017, 19oveq12d 5839 . . . . . 6  |-  ( w  =  k  ->  (
( A ^ w
)  x.  prod_ x  e.  ( 1 ... w
) ( F `  x ) )  =  ( ( A ^
k )  x.  prod_ x  e.  ( 1 ... k ) ( F `
 x ) ) )
2120oveq1d 5836 . . . . 5  |-  ( w  =  k  ->  (
( ( A ^
w )  x.  prod_ x  e.  ( 1 ... w ) ( F `
 x ) )  mod  N )  =  ( ( ( A ^ k )  x. 
prod_ x  e.  (
1 ... k ) ( F `  x ) )  mod  N ) )
2218prodeq1d 11456 . . . . . 6  |-  ( w  =  k  ->  prod_ x  e.  ( 1 ... w ) ( ( A  x.  ( F `
 x ) )  mod  N )  = 
prod_ x  e.  (
1 ... k ) ( ( A  x.  ( F `  x )
)  mod  N )
)
2322oveq1d 5836 . . . . 5  |-  ( w  =  k  ->  ( prod_ x  e.  ( 1 ... w ) ( ( A  x.  ( F `  x )
)  mod  N )  mod  N )  =  (
prod_ x  e.  (
1 ... k ) ( ( A  x.  ( F `  x )
)  mod  N )  mod  N ) )
2421, 23eqeq12d 2172 . . . 4  |-  ( w  =  k  ->  (
( ( ( A ^ w )  x. 
prod_ x  e.  (
1 ... w ) ( F `  x ) )  mod  N )  =  ( prod_ x  e.  ( 1 ... w
) ( ( A  x.  ( F `  x ) )  mod 
N )  mod  N
)  <->  ( ( ( A ^ k )  x.  prod_ x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x
) )  mod  N
)  =  ( prod_
x  e.  ( 1 ... k ) ( ( A  x.  ( F `  x )
)  mod  N )  mod  N ) ) )
2524imbi2d 229 . . 3  |-  ( w  =  k  ->  (
( ph  ->  ( ( ( A ^ w
)  x.  prod_ x  e.  ( 1 ... w
) ( F `  x ) )  mod 
N )  =  (
prod_ x  e.  (
1 ... w ) ( ( A  x.  ( F `  x )
)  mod  N )  mod  N ) )  <->  ( ph  ->  ( ( ( A ^ k )  x. 
prod_ x  e.  (
1 ... k ) ( F `  x ) )  mod  N )  =  ( prod_ x  e.  ( 1 ... k
) ( ( A  x.  ( F `  x ) )  mod 
N )  mod  N
) ) ) )
26 oveq2 5829 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  ( A ^ w )  =  ( A ^ (
k  +  1 ) ) )
27 oveq2 5829 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
1 ... w )  =  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) )
2827prodeq1d 11456 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  prod_ x  e.  ( 1 ... w ) ( F `
 x )  = 
prod_ x  e.  (
1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  x ) )
2926, 28oveq12d 5839 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( A ^ w
)  x.  prod_ x  e.  ( 1 ... w
) ( F `  x ) )  =  ( ( A ^
( k  +  1 ) )  x.  prod_ x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `
 x ) ) )
3029oveq1d 5836 . . . . 5  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( A ^
w )  x.  prod_ x  e.  ( 1 ... w ) ( F `
 x ) )  mod  N )  =  ( ( ( A ^ ( k  +  1 ) )  x. 
prod_ x  e.  (
1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  x ) )  mod  N ) )
3127prodeq1d 11456 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  prod_ x  e.  ( 1 ... w ) ( ( A  x.  ( F `
 x ) )  mod  N )  = 
prod_ x  e.  (
1 ... ( k  +  1 ) ) ( ( A  x.  ( F `  x )
)  mod  N )
)
3231oveq1d 5836 . . . . 5  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  ( prod_ x  e.  ( 1 ... w ) ( ( A  x.  ( F `  x )
)  mod  N )  mod  N )  =  (
prod_ x  e.  (
1 ... ( k  +  1 ) ) ( ( A  x.  ( F `  x )
)  mod  N )  mod  N ) )
3330, 32eqeq12d 2172 . . . 4  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( ( A ^ w )  x. 
prod_ x  e.  (
1 ... w ) ( F `  x ) )  mod  N )  =  ( prod_ x  e.  ( 1 ... w
) ( ( A  x.  ( F `  x ) )  mod 
N )  mod  N
)  <->  ( ( ( A ^ ( k  +  1 ) )  x.  prod_ x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  x
) )  mod  N
)  =  ( prod_
x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( ( A  x.  ( F `  x )
)  mod  N )  mod  N ) ) )
3433imbi2d 229 . . 3  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( ( ( A ^ w
)  x.  prod_ x  e.  ( 1 ... w
) ( F `  x ) )  mod 
N )  =  (
prod_ x  e.  (
1 ... w ) ( ( A  x.  ( F `  x )
)  mod  N )  mod  N ) )  <->  ( ph  ->  ( ( ( A ^ ( k  +  1 ) )  x. 
prod_ x  e.  (
1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  x ) )  mod  N )  =  ( prod_ x  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( ( A  x.  ( F `  x ) )  mod 
N )  mod  N
) ) ) )
35 oveq2 5829 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( phi `  N )  ->  ( A ^ w )  =  ( A ^ ( phi `  N ) ) )
36 oveq2 5829 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( phi `  N )  ->  (
1 ... w )  =  ( 1 ... ( phi `  N ) ) )
3736prodeq1d 11456 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( phi `  N )  ->  prod_ x  e.  ( 1 ... w ) ( F `
 x )  = 
prod_ x  e.  (
1 ... ( phi `  N ) ) ( F `  x ) )
3835, 37oveq12d 5839 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( phi `  N )  ->  (
( A ^ w
)  x.  prod_ x  e.  ( 1 ... w
) ( F `  x ) )  =  ( ( A ^
( phi `  N
) )  x.  prod_ x  e.  ( 1 ... ( phi `  N
) ) ( F `
 x ) ) )
3938oveq1d 5836 . . . . 5  |-  ( w  =  ( phi `  N )  ->  (
( ( A ^
w )  x.  prod_ x  e.  ( 1 ... w ) ( F `
 x ) )  mod  N )  =  ( ( ( A ^ ( phi `  N ) )  x. 
prod_ x  e.  (
1 ... ( phi `  N ) ) ( F `  x ) )  mod  N ) )
4036prodeq1d 11456 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( phi `  N )  ->  prod_ x  e.  ( 1 ... w ) ( ( A  x.  ( F `
 x ) )  mod  N )  = 
prod_ x  e.  (
1 ... ( phi `  N ) ) ( ( A  x.  ( F `  x )
)  mod  N )
)
4140oveq1d 5836 . . . . 5  |-  ( w  =  ( phi `  N )  ->  ( prod_ x  e.  ( 1 ... w ) ( ( A  x.  ( F `  x )
)  mod  N )  mod  N )  =  (
prod_ x  e.  (
1 ... ( phi `  N ) ) ( ( A  x.  ( F `  x )
)  mod  N )  mod  N ) )
4239, 41eqeq12d 2172 . . . 4  |-  ( w  =  ( phi `  N )  ->  (
( ( ( A ^ w )  x. 
prod_ x  e.  (
1 ... w ) ( F `  x ) )  mod  N )  =  ( prod_ x  e.  ( 1 ... w
) ( ( A  x.  ( F `  x ) )  mod 
N )  mod  N
)  <->  ( ( ( A ^ ( phi `  N ) )  x. 
prod_ x  e.  (
1 ... ( phi `  N ) ) ( F `  x ) )  mod  N )  =  ( prod_ x  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ( ( A  x.  ( F `  x ) )  mod  N )  mod  N ) ) )
4342imbi2d 229 . . 3  |-  ( w  =  ( phi `  N )  ->  (
( ph  ->  ( ( ( A ^ w
)  x.  prod_ x  e.  ( 1 ... w
) ( F `  x ) )  mod 
N )  =  (
prod_ x  e.  (
1 ... w ) ( ( A  x.  ( F `  x )
)  mod  N )  mod  N ) )  <->  ( ph  ->  ( ( ( A ^ ( phi `  N ) )  x. 
prod_ x  e.  (
1 ... ( phi `  N ) ) ( F `  x ) )  mod  N )  =  ( prod_ x  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ( ( A  x.  ( F `  x ) )  mod  N )  mod  N ) ) ) )
441simp2d 995 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
45 eulerth.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  S  =  { y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd  N
)  =  1 }
46 ssrab2 3213 . . . . . . . . . . . 12  |-  { y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd  N )  =  1 }  C_  (
0..^ N )
4745, 46eqsstri 3160 . . . . . . . . . . 11  |-  S  C_  ( 0..^ N )
48 fzo0ssnn0 10109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0..^ N )  C_  NN0
4947, 48sstri 3137 . . . . . . . . . 10  |-  S  C_  NN0
50 nn0ssz 9180 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  C_  ZZ
5149, 50sstri 3137 . . . . . . . . 9  |-  S  C_  ZZ
52 eulerth.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-onto-> S )
53 f1of 5413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : ( 1 ... ( phi `  N
) ) -1-1-onto-> S  ->  F :
( 1 ... ( phi `  N ) ) --> S )
5452, 53syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... ( phi `  N ) ) --> S )
55 1nn 8839 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  NN
5655a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  e.  NN )
573nnge1d 8871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  <_  ( phi `  N ) )
58 elfz1b 9987 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  ( 1 ... ( phi `  N
) )  <->  ( 1  e.  NN  /\  ( phi `  N )  e.  NN  /\  1  <_ 
( phi `  N
) ) )
5956, 3, 57, 58syl3anbrc 1166 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) )
6054, 59ffvelrnd 5602 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  S )
6151, 60sseldi 3126 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  ZZ )
6244, 61zmulcld 9287 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  x.  ( F `  1 )
)  e.  ZZ )
63 zq 9530 . . . . . . 7  |-  ( ( A  x.  ( F `
 1 ) )  e.  ZZ  ->  ( A  x.  ( F `  1 ) )  e.  QQ )
6462, 63syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  x.  ( F `  1 )
)  e.  QQ )
65 nnq 9537 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  QQ )
662, 65syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  QQ )
672nngt0d 8872 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  N )
68 modqabs2 10252 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  x.  ( F `  1 )
)  e.  QQ  /\  N  e.  QQ  /\  0  <  N )  ->  (
( ( A  x.  ( F `  1 ) )  mod  N )  mod  N )  =  ( ( A  x.  ( F `  1 ) )  mod  N ) )
6964, 66, 67, 68syl3anc 1220 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  ( F ` 
1 ) )  mod 
N )  mod  N
)  =  ( ( A  x.  ( F `
 1 ) )  mod  N ) )
70 1z 9188 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
7162, 2zmodcld 10239 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  ( F `  1 ) )  mod  N )  e.  NN0 )
7271nn0cnd 9140 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  ( F `  1 ) )  mod  N )  e.  CC )
73 fveq2 5467 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  1  ->  ( F `  x )  =  ( F ` 
1 ) )
7473oveq2d 5837 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  1  ->  ( A  x.  ( F `  x ) )  =  ( A  x.  ( F `  1 )
) )
7574oveq1d 5836 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  (
( A  x.  ( F `  x )
)  mod  N )  =  ( ( A  x.  ( F ` 
1 ) )  mod 
N ) )
7675fprod1 11486 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( ( A  x.  ( F `  1 ) )  mod  N )  e.  CC )  ->  prod_ x  e.  ( 1 ... 1 ) ( ( A  x.  ( F `  x )
)  mod  N )  =  ( ( A  x.  ( F ` 
1 ) )  mod 
N ) )
7770, 72, 76sylancr 411 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  prod_ x  e.  ( 1 ... 1 ) ( ( A  x.  ( F `  x ) )  mod  N )  =  ( ( A  x.  ( F ` 
1 ) )  mod 
N ) )
7877oveq1d 5836 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( prod_ x  e.  ( 1 ... 1 ) ( ( A  x.  ( F `  x ) )  mod  N )  mod  N )  =  ( ( ( A  x.  ( F ` 
1 ) )  mod 
N )  mod  N
) )
7944zcnd 9282 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
8079exp1d 10541 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A ^ 1 )  =  A )
81 nn0sscn 9090 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  C_  CC
8249, 81sstri 3137 . . . . . . . . 9  |-  S  C_  CC
8382, 60sseldi 3126 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  CC )
8473fprod1 11486 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( F `  1 )  e.  CC )  ->  prod_ x  e.  ( 1 ... 1 ) ( F `  x )  =  ( F ` 
1 ) )
8570, 83, 84sylancr 411 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  prod_ x  e.  ( 1 ... 1 ) ( F `  x
)  =  ( F `
 1 ) )
8680, 85oveq12d 5839 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
1 )  x.  prod_ x  e.  ( 1 ... 1 ) ( F `
 x ) )  =  ( A  x.  ( F `  1 ) ) )
8786oveq1d 5836 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 1 )  x. 
prod_ x  e.  (
1 ... 1 ) ( F `  x ) )  mod  N )  =  ( ( A  x.  ( F ` 
1 ) )  mod 
N ) )
8869, 78, 873eqtr4rd 2201 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 1 )  x. 
prod_ x  e.  (
1 ... 1 ) ( F `  x ) )  mod  N )  =  ( prod_ x  e.  ( 1 ... 1
) ( ( A  x.  ( F `  x ) )  mod 
N )  mod  N
) )
8988a1i 9 . . 3  |-  ( ( phi `  N )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 1 )  x. 
prod_ x  e.  (
1 ... 1 ) ( F `  x ) )  mod  N )  =  ( prod_ x  e.  ( 1 ... 1
) ( ( A  x.  ( F `  x ) )  mod 
N )  mod  N
) ) )
9044adantr 274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  A  e.  ZZ )
91 elfzo1 10084 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) )  <->  ( k  e.  NN  /\  ( phi `  N )  e.  NN  /\  k  <  ( phi `  N ) ) )
9291simp1bi 997 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) )  ->  k  e.  NN )
9392adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  k  e.  NN )
9493nnnn0d 9138 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
95 zexpcl 10429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A ^ k
)  e.  ZZ )
9690, 94, 95syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  ( A ^
k )  e.  ZZ )
9770a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
9893nnzd 9280 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
9997, 98fzfigd 10325 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  ( 1 ... k )  e.  Fin )
10054ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... k ) )  ->  F :
( 1 ... ( phi `  N ) ) --> S )
101 elfzelz 9923 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( 1 ... k )  ->  x  e.  ZZ )
102101zred 9281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 1 ... k )  ->  x  e.  RR )
103102adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... k ) )  ->  x  e.  RR )
1043nnzd 9280 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( phi `  N
)  e.  ZZ )
105104ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... k ) )  ->  ( phi `  N )  e.  ZZ )
106105zred 9281 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... k ) )  ->  ( phi `  N )  e.  RR )
10793nnred 8841 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  k  e.  RR )
108107adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... k ) )  ->  k  e.  RR )
109 elfzle2 9925 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( 1 ... k )  ->  x  <_  k )
110109adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... k ) )  ->  x  <_  k )
111 elfzolt2 10050 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) )  ->  k  <  ( phi `  N ) )
112111ad2antlr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... k ) )  ->  k  <  ( phi `  N ) )
113103, 108, 106, 110, 112lelttrd 7995 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... k ) )  ->  x  <  ( phi `  N ) )
114103, 106, 113ltled 7989 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... k ) )  ->  x  <_  ( phi `  N ) )
115 elfzuz 9919 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 ... k )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
116 elfz5 9915 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  ( phi `  N )  e.  ZZ )  ->  (
x  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  <->  x  <_  ( phi `  N ) ) )
117115, 105, 116syl2an2 584 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... k ) )  ->  ( x  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  <-> 
x  <_  ( phi `  N ) ) )
118114, 117mpbird 166 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... k ) )  ->  x  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) )
119100, 118ffvelrnd 5602 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... k ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
12051, 119sseldi 3126 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... k ) )  ->  ( F `  x )  e.  ZZ )
12199, 120fprodzcl 11501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  prod_ x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x
)  e.  ZZ )
12296, 121zmulcld 9287 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  ( ( A ^ k )  x. 
prod_ x  e.  (
1 ... k ) ( F `  x ) )  e.  ZZ )
123 zq 9530 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A ^ k
)  x.  prod_ x  e.  ( 1 ... k
) ( F `  x ) )  e.  ZZ  ->  ( ( A ^ k )  x. 
prod_ x  e.  (
1 ... k ) ( F `  x ) )  e.  QQ )
124122, 123syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  ( ( A ^ k )  x. 
prod_ x  e.  (
1 ... k ) ( F `  x ) )  e.  QQ )
125124adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  ( ( ( A ^ k )  x.  prod_ x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x
) )  mod  N
)  =  ( prod_
x  e.  ( 1 ... k ) ( ( A  x.  ( F `  x )
)  mod  N )  mod  N ) )  -> 
( ( A ^
k )  x.  prod_ x  e.  ( 1 ... k ) ( F `
 x ) )  e.  QQ )
12690adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... k ) )  ->  A  e.  ZZ )
127126, 120zmulcld 9287 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... k ) )  ->  ( A  x.  ( F `  x
) )  e.  ZZ )
1282ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... k ) )  ->  N  e.  NN )
129127, 128zmodcld 10239 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... k ) )  ->  ( ( A  x.  ( F `  x ) )  mod 
N )  e.  NN0 )
130129nn0zd 9279 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... k ) )  ->  ( ( A  x.  ( F `  x ) )  mod 
N )  e.  ZZ )
13199, 130fprodzcl 11501 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  prod_ x  e.  ( 1 ... k ) ( ( A  x.  ( F `  x ) )  mod  N )  e.  ZZ )
132 zq 9530 . . . . . . . . . 10  |-  ( prod_
x  e.  ( 1 ... k ) ( ( A  x.  ( F `  x )
)  mod  N )  e.  ZZ  ->  prod_ x  e.  ( 1 ... k
) ( ( A  x.  ( F `  x ) )  mod 
N )  e.  QQ )
133131, 132syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  prod_ x  e.  ( 1 ... k ) ( ( A  x.  ( F `  x ) )  mod  N )  e.  QQ )
134133adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  ( ( ( A ^ k )  x.  prod_ x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x
) )  mod  N
)  =  ( prod_
x  e.  ( 1 ... k ) ( ( A  x.  ( F `  x )
)  mod  N )  mod  N ) )  ->  prod_ x  e.  ( 1 ... k ) ( ( A  x.  ( F `  x )
)  mod  N )  e.  QQ )
13544ad2antrr 480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  ( ( ( A ^ k )  x.  prod_ x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x
) )  mod  N
)  =  ( prod_
x  e.  ( 1 ... k ) ( ( A  x.  ( F `  x )
)  mod  N )  mod  N ) )  ->  A  e.  ZZ )
13654ad2antrr 480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  ( ( ( A ^ k )  x.  prod_ x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x
) )  mod  N
)  =  ( prod_
x  e.  ( 1 ... k ) ( ( A  x.  ( F `  x )
)  mod  N )  mod  N ) )  ->  F : ( 1 ... ( phi `  N
) ) --> S )
137 fzofzp1 10121 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) )
138137ad2antlr 481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  ( ( ( A ^ k )  x.  prod_ x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x
) )  mod  N
)  =  ( prod_
x  e.  ( 1 ... k ) ( ( A  x.  ( F `  x )
)  mod  N )  mod  N ) )  -> 
( k  +  1 )  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) )
139136, 138ffvelrnd 5602 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  ( ( ( A ^ k )  x.  prod_ x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x
) )  mod  N
)  =  ( prod_
x  e.  ( 1 ... k ) ( ( A  x.  ( F `  x )
)  mod  N )  mod  N ) )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  e.  S )
14051, 139sseldi 3126 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  ( ( ( A ^ k )  x.  prod_ x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x
) )  mod  N
)  =  ( prod_
x  e.  ( 1 ... k ) ( ( A  x.  ( F `  x )
)  mod  N )  mod  N ) )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  e.  ZZ )
141135, 140zmulcld 9287 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  ( ( ( A ^ k )  x.  prod_ x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x
) )  mod  N
)  =  ( prod_
x  e.  ( 1 ... k ) ( ( A  x.  ( F `  x )
)  mod  N )  mod  N ) )  -> 
( A  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  ZZ )
14266ad2antrr 480 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  ( ( ( A ^ k )  x.  prod_ x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x
) )  mod  N
)  =  ( prod_
x  e.  ( 1 ... k ) ( ( A  x.  ( F `  x )
)  mod  N )  mod  N ) )  ->  N  e.  QQ )
14367ad2antrr 480 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  ( ( ( A ^ k )  x.  prod_ x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x
) )  mod  N
)  =  ( prod_
x  e.  ( 1 ... k ) ( ( A  x.  ( F `  x )
)  mod  N )  mod  N ) )  -> 
0  <  N )
144 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  ( ( ( A ^ k )  x.  prod_ x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x
) )  mod  N
)  =  ( prod_
x  e.  ( 1 ... k ) ( ( A  x.  ( F `  x )
)  mod  N )  mod  N ) )  -> 
( ( ( A ^ k )  x. 
prod_ x  e.  (
1 ... k ) ( F `  x ) )  mod  N )  =  ( prod_ x  e.  ( 1 ... k
) ( ( A  x.  ( F `  x ) )  mod 
N )  mod  N
) )
145125, 134, 141, 142, 143, 144modqmul1 10271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  ( ( ( A ^ k )  x.  prod_ x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x
) )  mod  N
)  =  ( prod_
x  e.  ( 1 ... k ) ( ( A  x.  ( F `  x )
)  mod  N )  mod  N ) )  -> 
( ( ( ( A ^ k )  x.  prod_ x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x
) )  x.  ( A  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  mod  N )  =  ( ( prod_ x  e.  ( 1 ... k
) ( ( A  x.  ( F `  x ) )  mod 
N )  x.  ( A  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  mod  N ) )
146145ex 114 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( A ^ k
)  x.  prod_ x  e.  ( 1 ... k
) ( F `  x ) )  mod 
N )  =  (
prod_ x  e.  (
1 ... k ) ( ( A  x.  ( F `  x )
)  mod  N )  mod  N )  ->  (
( ( ( A ^ k )  x. 
prod_ x  e.  (
1 ... k ) ( F `  x ) )  x.  ( A  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  mod  N )  =  ( ( prod_ x  e.  ( 1 ... k
) ( ( A  x.  ( F `  x ) )  mod 
N )  x.  ( A  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  mod  N ) ) )
14796zcnd 9282 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  ( A ^
k )  e.  CC )
148121zcnd 9282 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  prod_ x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x
)  e.  CC )
14979adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  A  e.  CC )
15054adantr 274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  F : ( 1 ... ( phi `  N ) ) --> S )
151137adantl 275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) )
152150, 151ffvelrnd 5602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  S
)
15382, 152sseldi 3126 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
154147, 148, 149, 153mul4d 8025 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  ( ( ( A ^ k )  x.  prod_ x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x
) )  x.  ( A  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( A ^ k )  x.  A )  x.  ( prod_ x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x
)  x.  ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) ) )
155149, 94expp1d 10547 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  ( A ^
( k  +  1 ) )  =  ( ( A ^ k
)  x.  A ) )
156 elfzouz 10045 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
157156adantl 275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
158150adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  F :
( 1 ... ( phi `  N ) ) --> S )
159 elfzelz 9923 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) )  ->  x  e.  ZZ )
160159zred 9281 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) )  ->  x  e.  RR )
161160adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  x  e.  RR )
162 peano2re 8006 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  RR  ->  (
k  +  1 )  e.  RR )
163107, 162syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
164163adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
165104ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  ( phi `  N )  e.  ZZ )
166165zred 9281 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  ( phi `  N )  e.  RR )
167 elfzle2 9925 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) )  ->  x  <_  ( k  +  1 ) )
168167adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  x  <_  ( k  +  1 ) )
169137ad2antlr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) )
170 elfzle2 9925 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... ( phi `  N
) )  ->  (
k  +  1 )  <_  ( phi `  N ) )
171169, 170syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  +  1 )  <_ 
( phi `  N
) )
172161, 164, 166, 168, 171letrd 7994 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  x  <_  ( phi `  N ) )
173 elfzuz 9919 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
174173, 165, 116syl2an2 584 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  ( x  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) )  <-> 
x  <_  ( phi `  N ) ) )
175172, 174mpbird 166 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  x  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) )
176158, 175ffvelrnd 5602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
17782, 176sseldi 3126 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
178 fveq2 5467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
179157, 177, 178fprodp1 11492 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  prod_ x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  x
)  =  ( prod_
x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x )  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
180155, 179oveq12d 5839 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  ( ( A ^ ( k  +  1 ) )  x. 
prod_ x  e.  (
1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  x ) )  =  ( ( ( A ^ k
)  x.  A )  x.  ( prod_ x  e.  ( 1 ... k
) ( F `  x )  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
181154, 180eqtr4d 2193 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  ( ( ( A ^ k )  x.  prod_ x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x
) )  x.  ( A  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( A ^ ( k  +  1 ) )  x. 
prod_ x  e.  (
1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  x ) ) )
182181oveq1d 5836 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( A ^ k
)  x.  prod_ x  e.  ( 1 ... k
) ( F `  x ) )  x.  ( A  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  mod  N
)  =  ( ( ( A ^ (
k  +  1 ) )  x.  prod_ x  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( F `  x ) )  mod 
N ) )
18351, 152sseldi 3126 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  ZZ )
18490, 183zmulcld 9287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  ( A  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  ZZ )
1852adantr 274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  N  e.  NN )
186184, 185zmodcld 10239 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  ( ( A  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  mod 
N )  e.  NN0 )
187186nn0zd 9279 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  ( ( A  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  mod 
N )  e.  ZZ )
188 zq 9530 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  mod  N )  e.  ZZ  ->  (
( A  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  mod  N )  e.  QQ )
189187, 188syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  ( ( A  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  mod 
N )  e.  QQ )
190 zq 9530 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  x.  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  e.  ZZ  ->  ( A  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  QQ )
191184, 190syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  ( A  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  QQ )
19266adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  N  e.  QQ )
19367adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  0  <  N
)
194 modqabs2 10252 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  QQ  /\  N  e.  QQ  /\  0  <  N )  ->  (
( ( A  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  mod  N )  mod  N )  =  ( ( A  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  mod  N ) )
195191, 192, 193, 194syl3anc 1220 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  ( ( ( A  x.  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  mod  N )  mod 
N )  =  ( ( A  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  mod  N ) )
196189, 191, 131, 192, 193, 195modqmul1 10271 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( A  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  mod  N )  x.  prod_ x  e.  ( 1 ... k ) ( ( A  x.  ( F `  x ) )  mod  N ) )  mod  N )  =  ( ( ( A  x.  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  x.  prod_ x  e.  ( 1 ... k ) ( ( A  x.  ( F `  x ) )  mod  N ) )  mod  N ) )
19790adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  A  e.  ZZ )
19851, 176sseldi 3126 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  ZZ )
199197, 198zmulcld 9287 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  ( A  x.  ( F `  x
) )  e.  ZZ )
200185adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  N  e.  NN )
201199, 200zmodcld 10239 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( A  x.  ( F `  x ) )  mod 
N )  e.  NN0 )
202201nn0cnd 9140 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( A  x.  ( F `  x ) )  mod 
N )  e.  CC )
203178oveq2d 5837 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( A  x.  ( F `  x ) )  =  ( A  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
204203oveq1d 5836 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( A  x.  ( F `  x )
)  mod  N )  =  ( ( A  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  mod 
N ) )
205157, 202, 204fprodp1 11492 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  prod_ x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( ( A  x.  ( F `  x ) )  mod  N )  =  ( prod_ x  e.  ( 1 ... k
) ( ( A  x.  ( F `  x ) )  mod 
N )  x.  (
( A  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  mod  N ) ) )
206186nn0cnd 9140 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  ( ( A  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  mod 
N )  e.  CC )
207131zcnd 9282 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  prod_ x  e.  ( 1 ... k ) ( ( A  x.  ( F `  x ) )  mod  N )  e.  CC )
208206, 207mulcomd 7894 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  ( ( ( A  x.  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  mod  N )  x. 
prod_ x  e.  (
1 ... k ) ( ( A  x.  ( F `  x )
)  mod  N )
)  =  ( prod_
x  e.  ( 1 ... k ) ( ( A  x.  ( F `  x )
)  mod  N )  x.  ( ( A  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  mod  N ) ) )
209205, 208eqtr4d 2193 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  prod_ x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( ( A  x.  ( F `  x ) )  mod  N )  =  ( ( ( A  x.  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  mod  N )  x. 
prod_ x  e.  (
1 ... k ) ( ( A  x.  ( F `  x )
)  mod  N )
) )
210209oveq1d 5836 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  ( prod_ x  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( ( A  x.  ( F `  x ) )  mod 
N )  mod  N
)  =  ( ( ( ( A  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  mod  N )  x.  prod_ x  e.  ( 1 ... k ) ( ( A  x.  ( F `  x ) )  mod  N ) )  mod  N ) )
211149, 153mulcld 7893 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  ( A  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  CC )
212207, 211mulcomd 7894 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  ( prod_ x  e.  ( 1 ... k
) ( ( A  x.  ( F `  x ) )  mod 
N )  x.  ( A  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( A  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  x. 
prod_ x  e.  (
1 ... k ) ( ( A  x.  ( F `  x )
)  mod  N )
) )
213212oveq1d 5836 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  ( ( prod_
x  e.  ( 1 ... k ) ( ( A  x.  ( F `  x )
)  mod  N )  x.  ( A  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  mod  N
)  =  ( ( ( A  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  x.  prod_ x  e.  ( 1 ... k
) ( ( A  x.  ( F `  x ) )  mod 
N ) )  mod 
N ) )
214196, 210, 2133eqtr4rd 2201 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  ( ( prod_
x  e.  ( 1 ... k ) ( ( A  x.  ( F `  x )
)  mod  N )  x.  ( A  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  mod  N
)  =  ( prod_
x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( ( A  x.  ( F `  x )
)  mod  N )  mod  N ) )
215182, 214eqeq12d 2172 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ( A ^
k )  x.  prod_ x  e.  ( 1 ... k ) ( F `
 x ) )  x.  ( A  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  mod  N
)  =  ( (
prod_ x  e.  (
1 ... k ) ( ( A  x.  ( F `  x )
)  mod  N )  x.  ( A  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  mod  N
)  <->  ( ( ( A ^ ( k  +  1 ) )  x.  prod_ x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  x
) )  mod  N
)  =  ( prod_
x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( ( A  x.  ( F `  x )
)  mod  N )  mod  N ) ) )
216146, 215sylibd 148 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( A ^ k
)  x.  prod_ x  e.  ( 1 ... k
) ( F `  x ) )  mod 
N )  =  (
prod_ x  e.  (
1 ... k ) ( ( A  x.  ( F `  x )
)  mod  N )  mod  N )  ->  (
( ( A ^
( k  +  1 ) )  x.  prod_ x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `
 x ) )  mod  N )  =  ( prod_ x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( ( A  x.  ( F `  x ) )  mod  N )  mod  N ) ) )
217216expcom 115 . . . 4  |-  ( k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) )  ->  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ k )  x.  prod_ x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x
) )  mod  N
)  =  ( prod_
x  e.  ( 1 ... k ) ( ( A  x.  ( F `  x )
)  mod  N )  mod  N )  ->  (
( ( A ^
( k  +  1 ) )  x.  prod_ x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `
 x ) )  mod  N )  =  ( prod_ x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( ( A  x.  ( F `  x ) )  mod  N )  mod  N ) ) ) )
218217a2d 26 . . 3  |-  ( k  e.  ( 1..^ ( phi `  N ) )  ->  ( ( ph  ->  ( ( ( A ^ k )  x.  prod_ x  e.  ( 1 ... k ) ( F `  x
) )  mod  N
)  =  ( prod_
x  e.  ( 1 ... k ) ( ( A  x.  ( F `  x )
)  mod  N )  mod  N ) )  -> 
( ph  ->  ( ( ( A ^ (
k  +  1 ) )  x.  prod_ x  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( F `  x ) )  mod 
N )  =  (
prod_ x  e.  (
1 ... ( k  +  1 ) ) ( ( A  x.  ( F `  x )
)  mod  N )  mod  N ) ) ) )
21916, 25, 34, 43, 89, 218fzind2 10133 . 2  |-  ( ( phi `  N )  e.  ( 1 ... ( phi `  N
) )  ->  ( ph  ->  ( ( ( A ^ ( phi `  N ) )  x. 
prod_ x  e.  (
1 ... ( phi `  N ) ) ( F `  x ) )  mod  N )  =  ( prod_ x  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ( ( A  x.  ( F `  x ) )  mod  N )  mod  N ) ) )
2207, 219mpcom 36 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ ( phi `  N ) )  x. 
prod_ x  e.  (
1 ... ( phi `  N ) ) ( F `  x ) )  mod  N )  =  ( prod_ x  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) ( ( A  x.  ( F `  x ) )  mod  N )  mod  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 963    = wceq 1335    e. wcel 2128   {crab 2439   class class class wbr 3965   -->wf 5165   -1-1-onto->wf1o 5168   ` cfv 5169  (class class class)co 5821   CCcc 7725   RRcr 7726   0cc0 7727   1c1 7728    + caddc 7730    x. cmul 7732    < clt 7907    <_ cle 7908   NNcn 8828   NN0cn0 9085   ZZcz 9162   ZZ>=cuz 9434   QQcq 9523   ...cfz 9907  ..^cfzo 10036    mod cmo 10216   ^cexp 10413   prod_cprod 11442    gcd cgcd 11823   phicphi 12077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546  ax-cnex 7818  ax-resscn 7819  ax-1cn 7820  ax-1re 7821  ax-icn 7822  ax-addcl 7823  ax-addrcl 7824  ax-mulcl 7825  ax-mulrcl 7826  ax-addcom 7827  ax-mulcom 7828  ax-addass 7829  ax-mulass 7830  ax-distr 7831  ax-i2m1 7832  ax-0lt1 7833  ax-1rid 7834  ax-0id 7835  ax-rnegex 7836  ax-precex 7837  ax-cnre 7838  ax-pre-ltirr 7839  ax-pre-ltwlin 7840  ax-pre-lttrn 7841  ax-pre-apti 7842  ax-pre-ltadd 7843  ax-pre-mulgt0 7844  ax-pre-mulext 7845  ax-arch 7846  ax-caucvg 7847
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-isom 5178  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-irdg 6314  df-frec 6335  df-1o 6360  df-oadd 6364  df-er 6477  df-en 6683  df-dom 6684  df-fin 6685  df-sup 6925  df-pnf 7909  df-mnf 7910  df-xr 7911  df-ltxr 7912  df-le 7913  df-sub 8043  df-neg 8044  df-reap 8445  df-ap 8452  df-div 8541  df-inn 8829  df-2 8887  df-3 8888  df-4 8889  df-n0 9086  df-z 9163  df-uz 9435  df-q 9524  df-rp 9556  df-fz 9908  df-fzo 10037  df-fl 10164  df-mod 10217  df-seqfrec 10340  df-exp 10414  df-ihash 10645  df-cj 10737  df-re 10738  df-im 10739  df-rsqrt 10893  df-abs 10894  df-clim 11171  df-proddc 11443  df-dvds 11679  df-gcd 11824  df-phi 12078
This theorem is referenced by:  eulerthlemth  12099
  Copyright terms: Public domain W3C validator