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Theorem eulerthlema 12398

Description: Lemma for eulerth 12401. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Sep-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
eulerth.1	$/\$ $/\$
eulerth.2	..^
eulerth.4

**Assertion**
Ref	Expression
eulerthlema

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

(

)

Proof of Theorem eulerthlema Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerth.1	. . . . . 6 $/\$ $/\$
2	1	simp1d 1011	. . . . 5
3	2	phicld 12386	. . . 4
4		elnnuz 9638	. . . 4
5	3, 4	sylib 122	. . 3
6		eluzfz2 10107	. . 3
7	5, 6	syl 14	. 2
8		oveq2 5930	. . . . . . 7
9		oveq2 5930	. . . . . . . 8
10	9	prodeq1d 11729	. . . . . . 7
11	8, 10	oveq12d 5940	. . . . . 6
12	11	oveq1d 5937	. . . . 5
13	9	prodeq1d 11729	. . . . . 6
14	13	oveq1d 5937	. . . . 5
15	12, 14	eqeq12d 2211	. . . 4
16	15	imbi2d 230	. . 3
17		oveq2 5930	. . . . . . 7
18		oveq2 5930	. . . . . . . 8
19	18	prodeq1d 11729	. . . . . . 7
20	17, 19	oveq12d 5940	. . . . . 6
21	20	oveq1d 5937	. . . . 5
22	18	prodeq1d 11729	. . . . . 6
23	22	oveq1d 5937	. . . . 5
24	21, 23	eqeq12d 2211	. . . 4
25	24	imbi2d 230	. . 3
26		oveq2 5930	. . . . . . 7
27		oveq2 5930	. . . . . . . 8
28	27	prodeq1d 11729	. . . . . . 7
29	26, 28	oveq12d 5940	. . . . . 6
30	29	oveq1d 5937	. . . . 5
31	27	prodeq1d 11729	. . . . . 6
32	31	oveq1d 5937	. . . . 5
33	30, 32	eqeq12d 2211	. . . 4
34	33	imbi2d 230	. . 3
35		oveq2 5930	. . . . . . 7
36		oveq2 5930	. . . . . . . 8
37	36	prodeq1d 11729	. . . . . . 7
38	35, 37	oveq12d 5940	. . . . . 6
39	38	oveq1d 5937	. . . . 5
40	36	prodeq1d 11729	. . . . . 6
41	40	oveq1d 5937	. . . . 5
42	39, 41	eqeq12d 2211	. . . 4
43	42	imbi2d 230	. . 3
44	1	simp2d 1012	. . . . . . . 8
45		eulerth.2	. . . . . . . . . . . 12 ..^
46		ssrab2 3268	. . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
47	45, 46	eqsstri 3215	. . . . . . . . . . 11 ..^
48		fzo0ssnn0 10291	. . . . . . . . . . 11 ..^
49	47, 48	sstri 3192	. . . . . . . . . 10
50		nn0ssz 9344	. . . . . . . . . 10
51	49, 50	sstri 3192	. . . . . . . . 9
52		eulerth.4	. . . . . . . . . . 11
53		f1of 5504	. . . . . . . . . . 11
54	52, 53	syl 14	. . . . . . . . . 10
55		1nn 9001	. . . . . . . . . . . 12
56	55	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
57	3	nnge1d 9033	. . . . . . . . . . 11
58		elfz1b 10165	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
59	56, 3, 57, 58	syl3anbrc 1183	. . . . . . . . . 10
60	54, 59	ffvelcdmd 5698	. . . . . . . . 9
61	51, 60	sselid 3181	. . . . . . . 8
62	44, 61	zmulcld 9454	. . . . . . 7
63		zq 9700	. . . . . . 7
64	62, 63	syl 14	. . . . . 6
65		nnq 9707	. . . . . . 7
66	2, 65	syl 14	. . . . . 6
67	2	nngt0d 9034	. . . . . 6
68		modqabs2 10450	. . . . . 6 $/\$ $/\$
69	64, 66, 67, 68	syl3anc 1249	. . . . 5
70		1z 9352	. . . . . . 7
71	62, 2	zmodcld 10437	. . . . . . . 8
72	71	nn0cnd 9304	. . . . . . 7
73		fveq2 5558	. . . . . . . . . 10
74	73	oveq2d 5938	. . . . . . . . 9
75	74	oveq1d 5937	. . . . . . . 8
76	75	fprod1 11759	. . . . . . 7 $/\$
77	70, 72, 76	sylancr 414	. . . . . 6
78	77	oveq1d 5937	. . . . 5
79	44	zcnd 9449	. . . . . . . 8
80	79	exp1d 10760	. . . . . . 7
81		nn0sscn 9254	. . . . . . . . . 10
82	49, 81	sstri 3192	. . . . . . . . 9
83	82, 60	sselid 3181	. . . . . . . 8
84	73	fprod1 11759	. . . . . . . 8 $/\$
85	70, 83, 84	sylancr 414	. . . . . . 7
86	80, 85	oveq12d 5940	. . . . . 6
87	86	oveq1d 5937	. . . . 5
88	69, 78, 87	3eqtr4rd 2240	. . . 4
89	88	a1i 9	. . 3
90	44	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
91		elfzo1 10266	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ $/\$ $/\$
92	91	simp1bi 1014	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^
93	92	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
94	93	nnnn0d 9302	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
95		zexpcl 10646	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
96	90, 94, 95	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
97	70	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
98	93	nnzd 9447	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
99	97, 98	fzfigd 10523	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
100	54	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
101		elfzelz 10100	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
102	101	zred 9448	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
103	102	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
104	3	nnzd 9447	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
105	104	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
106	105	zred 9448	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
107	93	nnred 9003	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ ..^
108	107	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
109		elfzle2 10103	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
110	109	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
111		elfzolt2 10232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
112	111	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
113	103, 108, 106, 110, 112	lelttrd 8151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
114	103, 106, 113	ltled 8145	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
115		elfzuz 10096	. . . . . . . . . . . . . . . 16
116		elfz5 10092	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
117	115, 105, 116	syl2an2 594	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
118	114, 117	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
119	100, 118	ffvelcdmd 5698	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
120	51, 119	sselid 3181	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
121	99, 120	fprodzcl 11774	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
122	96, 121	zmulcld 9454	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
123		zq 9700	. . . . . . . . . 10
124	122, 123	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
125	124	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
126	90	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
127	126, 120	zmulcld 9454	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
128	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
129	127, 128	zmodcld 10437	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
130	129	nn0zd 9446	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
131	99, 130	fprodzcl 11774	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
132		zq 9700	. . . . . . . . . 10
133	131, 132	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
134	133	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
135	44	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^ $/\$
136	54	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
137		fzofzp1 10303	. . . . . . . . . . . 12 ..^
138	137	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
139	136, 138	ffvelcdmd 5698	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^ $/\$
140	51, 139	sselid 3181	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^ $/\$
141	135, 140	zmulcld 9454	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
142	66	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
143	67	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
144		simpr 110	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
145	125, 134, 141, 142, 143, 144	modqmul1 10469	. . . . . . 7 $/\$ ..^ $/\$
146	145	ex 115	. . . . . 6 $/\$ ..^
147	96	zcnd 9449	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
148	121	zcnd 9449	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
149	79	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
150	54	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
151	137	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
152	150, 151	ffvelcdmd 5698	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
153	82, 152	sselid 3181	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
154	147, 148, 149, 153	mul4d 8181	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
155	149, 94	expp1d 10766	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
156		elfzouz 10226	. . . . . . . . . . . 12 ..^
157	156	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
158	150	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
159		elfzelz 10100	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
160	159	zred 9448	. . . . . . . . . . . . . . . 16
161	160	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
162		peano2re 8162	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
163	107, 162	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^
164	163	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
165	104	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
166	165	zred 9448	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
167		elfzle2 10103	. . . . . . . . . . . . . . . 16
168	167	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
169	137	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
170		elfzle2 10103	. . . . . . . . . . . . . . . 16
171	169, 170	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
172	161, 164, 166, 168, 171	letrd 8150	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
173		elfzuz 10096	. . . . . . . . . . . . . . 15
174	173, 165, 116	syl2an2 594	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
175	172, 174	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
176	158, 175	ffvelcdmd 5698	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
177	82, 176	sselid 3181	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
178		fveq2 5558	. . . . . . . . . . 11
179	157, 177, 178	fprodp1 11765	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
180	155, 179	oveq12d 5940	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
181	154, 180	eqtr4d 2232	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
182	181	oveq1d 5937	. . . . . . 7 $/\$ ..^
183	51, 152	sselid 3181	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
184	90, 183	zmulcld 9454	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
185	2	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
186	184, 185	zmodcld 10437	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
187	186	nn0zd 9446	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
188		zq 9700	. . . . . . . . . 10
189	187, 188	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
190		zq 9700	. . . . . . . . . 10
191	184, 190	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
192	66	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
193	67	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
194		modqabs2 10450	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
195	191, 192, 193, 194	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
196	189, 191, 131, 192, 193, 195	modqmul1 10469	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
197	90	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
198	51, 176	sselid 3181	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
199	197, 198	zmulcld 9454	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
200	185	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
201	199, 200	zmodcld 10437	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
202	201	nn0cnd 9304	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
203	178	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . 12
204	203	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . 11
205	157, 202, 204	fprodp1 11765	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
206	186	nn0cnd 9304	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
207	131	zcnd 9449	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
208	206, 207	mulcomd 8048	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
209	205, 208	eqtr4d 2232	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
210	209	oveq1d 5937	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
211	149, 153	mulcld 8047	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
212	207, 211	mulcomd 8048	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
213	212	oveq1d 5937	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
214	196, 210, 213	3eqtr4rd 2240	. . . . . . 7 $/\$ ..^
215	182, 214	eqeq12d 2211	. . . . . 6 $/\$ ..^
216	146, 215	sylibd 149	. . . . 5 $/\$ ..^
217	216	expcom 116	. . . 4 ..^
218	217	a2d 26	. . 3 ..^
219	16, 25, 34, 43, 89, 218	fzind2 10315	. 2
220	7, 219	mpcom 36	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 980

wceq 1364

wcel 2167

crab 2479 class class class wbr 4033

wf 5254

wf1o 5257

cfv 5258 (class class class)co 5922

cc 7877

cr 7878

cc0 7879

c1 7880

caddc 7882

cmul 7884

clt 8061

cle 8062

cn 8990

cn0 9249

cz 9326

cuz 9601

cq 9693

cfz 10083 ..^cfzo 10217

cmo 10414

cexp 10630

cprod 11715

cgcd 12120

cphi 12377

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4148 ax-sep 4151 ax-nul 4159 ax-pow 4207 ax-pr 4242 ax-un 4468 ax-setind 4573 ax-iinf 4624 ax-cnex 7970 ax-resscn 7971 ax-1cn 7972 ax-1re 7973 ax-icn 7974 ax-addcl 7975 ax-addrcl 7976 ax-mulcl 7977 ax-mulrcl 7978 ax-addcom 7979 ax-mulcom 7980 ax-addass 7981 ax-mulass 7982 ax-distr 7983 ax-i2m1 7984 ax-0lt1 7985 ax-1rid 7986 ax-0id 7987 ax-rnegex 7988 ax-precex 7989 ax-cnre 7990 ax-pre-ltirr 7991 ax-pre-ltwlin 7992 ax-pre-lttrn 7993 ax-pre-apti 7994 ax-pre-ltadd 7995 ax-pre-mulgt0 7996 ax-pre-mulext 7997 ax-arch 7998 ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3451 df-if 3562 df-pw 3607 df-sn 3628 df-pr 3629 df-op 3631 df-uni 3840 df-int 3875 df-iun 3918 df-br 4034 df-opab 4095 df-mpt 4096 df-tr 4132 df-id 4328 df-po 4331 df-iso 4332 df-iord 4401 df-on 4403 df-ilim 4404 df-suc 4406 df-iom 4627 df-xp 4669 df-rel 4670 df-cnv 4671 df-co 4672 df-dm 4673 df-rn 4674 df-res 4675 df-ima 4676 df-iota 5219 df-fun 5260 df-fn 5261 df-f 5262 df-f1 5263 df-fo 5264 df-f1o 5265 df-fv 5266 df-isom 5267 df-riota 5877 df-ov 5925 df-oprab 5926 df-mpo 5927 df-1st 6198 df-2nd 6199 df-recs 6363 df-irdg 6428 df-frec 6449 df-1o 6474 df-oadd 6478 df-er 6592 df-en 6800 df-dom 6801 df-fin 6802 df-sup 7050 df-pnf 8063 df-mnf 8064 df-xr 8065 df-ltxr 8066 df-le 8067 df-sub 8199 df-neg 8200 df-reap 8602 df-ap 8609 df-div 8700 df-inn 8991 df-2 9049 df-3 9050 df-4 9051 df-n0 9250 df-z 9327 df-uz 9602 df-q 9694 df-rp 9729 df-fz 10084 df-fzo 10218 df-fl 10360 df-mod 10415 df-seqfrec 10540 df-exp 10631 df-ihash 10868 df-cj 11007 df-re 11008 df-im 11009 df-rsqrt 11163 df-abs 11164 df-clim 11444 df-proddc 11716 df-dvds 11953 df-gcd 12121 df-phi 12379

This theorem is referenced by: eulerthlemth 12400

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