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Theorem eulerthlema 12368

Description: Lemma for eulerth 12371. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Sep-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
eulerth.1	$/\$ $/\$
eulerth.2	..^
eulerth.4

**Assertion**
Ref	Expression
eulerthlema

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

(

)

Proof of Theorem eulerthlema Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerth.1	. . . . . 6 $/\$ $/\$
2	1	simp1d 1011	. . . . 5
3	2	phicld 12356	. . . 4
4		elnnuz 9629	. . . 4
5	3, 4	sylib 122	. . 3
6		eluzfz2 10098	. . 3
7	5, 6	syl 14	. 2
8		oveq2 5926	. . . . . . 7
9		oveq2 5926	. . . . . . . 8
10	9	prodeq1d 11707	. . . . . . 7
11	8, 10	oveq12d 5936	. . . . . 6
12	11	oveq1d 5933	. . . . 5
13	9	prodeq1d 11707	. . . . . 6
14	13	oveq1d 5933	. . . . 5
15	12, 14	eqeq12d 2208	. . . 4
16	15	imbi2d 230	. . 3
17		oveq2 5926	. . . . . . 7
18		oveq2 5926	. . . . . . . 8
19	18	prodeq1d 11707	. . . . . . 7
20	17, 19	oveq12d 5936	. . . . . 6
21	20	oveq1d 5933	. . . . 5
22	18	prodeq1d 11707	. . . . . 6
23	22	oveq1d 5933	. . . . 5
24	21, 23	eqeq12d 2208	. . . 4
25	24	imbi2d 230	. . 3
26		oveq2 5926	. . . . . . 7
27		oveq2 5926	. . . . . . . 8
28	27	prodeq1d 11707	. . . . . . 7
29	26, 28	oveq12d 5936	. . . . . 6
30	29	oveq1d 5933	. . . . 5
31	27	prodeq1d 11707	. . . . . 6
32	31	oveq1d 5933	. . . . 5
33	30, 32	eqeq12d 2208	. . . 4
34	33	imbi2d 230	. . 3
35		oveq2 5926	. . . . . . 7
36		oveq2 5926	. . . . . . . 8
37	36	prodeq1d 11707	. . . . . . 7
38	35, 37	oveq12d 5936	. . . . . 6
39	38	oveq1d 5933	. . . . 5
40	36	prodeq1d 11707	. . . . . 6
41	40	oveq1d 5933	. . . . 5
42	39, 41	eqeq12d 2208	. . . 4
43	42	imbi2d 230	. . 3
44	1	simp2d 1012	. . . . . . . 8
45		eulerth.2	. . . . . . . . . . . 12 ..^
46		ssrab2 3264	. . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
47	45, 46	eqsstri 3211	. . . . . . . . . . 11 ..^
48		fzo0ssnn0 10282	. . . . . . . . . . 11 ..^
49	47, 48	sstri 3188	. . . . . . . . . 10
50		nn0ssz 9335	. . . . . . . . . 10
51	49, 50	sstri 3188	. . . . . . . . 9
52		eulerth.4	. . . . . . . . . . 11
53		f1of 5500	. . . . . . . . . . 11
54	52, 53	syl 14	. . . . . . . . . 10
55		1nn 8993	. . . . . . . . . . . 12
56	55	a1i 9	. . . . . . . . . . 11
57	3	nnge1d 9025	. . . . . . . . . . 11
58		elfz1b 10156	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
59	56, 3, 57, 58	syl3anbrc 1183	. . . . . . . . . 10
60	54, 59	ffvelcdmd 5694	. . . . . . . . 9
61	51, 60	sselid 3177	. . . . . . . 8
62	44, 61	zmulcld 9445	. . . . . . 7
63		zq 9691	. . . . . . 7
64	62, 63	syl 14	. . . . . 6
65		nnq 9698	. . . . . . 7
66	2, 65	syl 14	. . . . . 6
67	2	nngt0d 9026	. . . . . 6
68		modqabs2 10429	. . . . . 6 $/\$ $/\$
69	64, 66, 67, 68	syl3anc 1249	. . . . 5
70		1z 9343	. . . . . . 7
71	62, 2	zmodcld 10416	. . . . . . . 8
72	71	nn0cnd 9295	. . . . . . 7
73		fveq2 5554	. . . . . . . . . 10
74	73	oveq2d 5934	. . . . . . . . 9
75	74	oveq1d 5933	. . . . . . . 8
76	75	fprod1 11737	. . . . . . 7 $/\$
77	70, 72, 76	sylancr 414	. . . . . 6
78	77	oveq1d 5933	. . . . 5
79	44	zcnd 9440	. . . . . . . 8
80	79	exp1d 10739	. . . . . . 7
81		nn0sscn 9245	. . . . . . . . . 10
82	49, 81	sstri 3188	. . . . . . . . 9
83	82, 60	sselid 3177	. . . . . . . 8
84	73	fprod1 11737	. . . . . . . 8 $/\$
85	70, 83, 84	sylancr 414	. . . . . . 7
86	80, 85	oveq12d 5936	. . . . . 6
87	86	oveq1d 5933	. . . . 5
88	69, 78, 87	3eqtr4rd 2237	. . . 4
89	88	a1i 9	. . 3
90	44	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
91		elfzo1 10257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ $/\$ $/\$
92	91	simp1bi 1014	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^
93	92	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
94	93	nnnn0d 9293	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
95		zexpcl 10625	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
96	90, 94, 95	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
97	70	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
98	93	nnzd 9438	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
99	97, 98	fzfigd 10502	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
100	54	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
101		elfzelz 10091	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
102	101	zred 9439	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
103	102	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
104	3	nnzd 9438	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
105	104	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
106	105	zred 9439	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
107	93	nnred 8995	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ ..^
108	107	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
109		elfzle2 10094	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
110	109	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
111		elfzolt2 10223	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
112	111	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
113	103, 108, 106, 110, 112	lelttrd 8144	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
114	103, 106, 113	ltled 8138	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
115		elfzuz 10087	. . . . . . . . . . . . . . . 16
116		elfz5 10083	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
117	115, 105, 116	syl2an2 594	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
118	114, 117	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
119	100, 118	ffvelcdmd 5694	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
120	51, 119	sselid 3177	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
121	99, 120	fprodzcl 11752	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
122	96, 121	zmulcld 9445	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
123		zq 9691	. . . . . . . . . 10
124	122, 123	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
125	124	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
126	90	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
127	126, 120	zmulcld 9445	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
128	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
129	127, 128	zmodcld 10416	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
130	129	nn0zd 9437	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
131	99, 130	fprodzcl 11752	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
132		zq 9691	. . . . . . . . . 10
133	131, 132	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
134	133	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
135	44	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^ $/\$
136	54	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
137		fzofzp1 10294	. . . . . . . . . . . 12 ..^
138	137	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
139	136, 138	ffvelcdmd 5694	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^ $/\$
140	51, 139	sselid 3177	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^ $/\$
141	135, 140	zmulcld 9445	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
142	66	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
143	67	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
144		simpr 110	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
145	125, 134, 141, 142, 143, 144	modqmul1 10448	. . . . . . 7 $/\$ ..^ $/\$
146	145	ex 115	. . . . . 6 $/\$ ..^
147	96	zcnd 9440	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
148	121	zcnd 9440	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
149	79	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
150	54	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
151	137	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
152	150, 151	ffvelcdmd 5694	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
153	82, 152	sselid 3177	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
154	147, 148, 149, 153	mul4d 8174	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
155	149, 94	expp1d 10745	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
156		elfzouz 10217	. . . . . . . . . . . 12 ..^
157	156	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
158	150	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
159		elfzelz 10091	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
160	159	zred 9439	. . . . . . . . . . . . . . . 16
161	160	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
162		peano2re 8155	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
163	107, 162	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^
164	163	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
165	104	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
166	165	zred 9439	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
167		elfzle2 10094	. . . . . . . . . . . . . . . 16
168	167	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
169	137	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$
170		elfzle2 10094	. . . . . . . . . . . . . . . 16
171	169, 170	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
172	161, 164, 166, 168, 171	letrd 8143	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
173		elfzuz 10087	. . . . . . . . . . . . . . 15
174	173, 165, 116	syl2an2 594	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
175	172, 174	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
176	158, 175	ffvelcdmd 5694	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
177	82, 176	sselid 3177	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
178		fveq2 5554	. . . . . . . . . . 11
179	157, 177, 178	fprodp1 11743	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
180	155, 179	oveq12d 5936	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
181	154, 180	eqtr4d 2229	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
182	181	oveq1d 5933	. . . . . . 7 $/\$ ..^
183	51, 152	sselid 3177	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
184	90, 183	zmulcld 9445	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
185	2	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
186	184, 185	zmodcld 10416	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
187	186	nn0zd 9437	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
188		zq 9691	. . . . . . . . . 10
189	187, 188	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
190		zq 9691	. . . . . . . . . 10
191	184, 190	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
192	66	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
193	67	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
194		modqabs2 10429	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
195	191, 192, 193, 194	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
196	189, 191, 131, 192, 193, 195	modqmul1 10448	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
197	90	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
198	51, 176	sselid 3177	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ $/\$
199	197, 198	zmulcld 9445	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
200	185	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
201	199, 200	zmodcld 10416	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
202	201	nn0cnd 9295	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
203	178	oveq2d 5934	. . . . . . . . . . . 12
204	203	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . 11
205	157, 202, 204	fprodp1 11743	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
206	186	nn0cnd 9295	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
207	131	zcnd 9440	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
208	206, 207	mulcomd 8041	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
209	205, 208	eqtr4d 2229	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
210	209	oveq1d 5933	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
211	149, 153	mulcld 8040	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
212	207, 211	mulcomd 8041	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
213	212	oveq1d 5933	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
214	196, 210, 213	3eqtr4rd 2237	. . . . . . 7 $/\$ ..^
215	182, 214	eqeq12d 2208	. . . . . 6 $/\$ ..^
216	146, 215	sylibd 149	. . . . 5 $/\$ ..^
217	216	expcom 116	. . . 4 ..^
218	217	a2d 26	. . 3 ..^
219	16, 25, 34, 43, 89, 218	fzind2 10306	. 2
220	7, 219	mpcom 36	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 980

wceq 1364

wcel 2164

crab 2476 class class class wbr 4029

wf 5250

wf1o 5253

cfv 5254 (class class class)co 5918

cc 7870

cr 7871

cc0 7872

c1 7873

caddc 7875

cmul 7877

clt 8054

cle 8055

cn 8982

cn0 9240

cz 9317

cuz 9592

cq 9684

cfz 10074 ..^cfzo 10208

cmo 10393

cexp 10609

cprod 11693

cgcd 12079

cphi 12347

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2166 ax-14 2167 ax-ext 2175 ax-coll 4144 ax-sep 4147 ax-nul 4155 ax-pow 4203 ax-pr 4238 ax-un 4464 ax-setind 4569 ax-iinf 4620 ax-cnex 7963 ax-resscn 7964 ax-1cn 7965 ax-1re 7966 ax-icn 7967 ax-addcl 7968 ax-addrcl 7969 ax-mulcl 7970 ax-mulrcl 7971 ax-addcom 7972 ax-mulcom 7973 ax-addass 7974 ax-mulass 7975 ax-distr 7976 ax-i2m1 7977 ax-0lt1 7978 ax-1rid 7979 ax-0id 7980 ax-rnegex 7981 ax-precex 7982 ax-cnre 7983 ax-pre-ltirr 7984 ax-pre-ltwlin 7985 ax-pre-lttrn 7986 ax-pre-apti 7987 ax-pre-ltadd 7988 ax-pre-mulgt0 7989 ax-pre-mulext 7990 ax-arch 7991 ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2045 df-mo 2046 df-clab 2180 df-cleq 2186 df-clel 2189 df-nfc 2325 df-ne 2365 df-nel 2460 df-ral 2477 df-rex 2478 df-reu 2479 df-rmo 2480 df-rab 2481 df-v 2762 df-sbc 2986 df-csb 3081 df-dif 3155 df-un 3157 df-in 3159 df-ss 3166 df-nul 3447 df-if 3558 df-pw 3603 df-sn 3624 df-pr 3625 df-op 3627 df-uni 3836 df-int 3871 df-iun 3914 df-br 4030 df-opab 4091 df-mpt 4092 df-tr 4128 df-id 4324 df-po 4327 df-iso 4328 df-iord 4397 df-on 4399 df-ilim 4400 df-suc 4402 df-iom 4623 df-xp 4665 df-rel 4666 df-cnv 4667 df-co 4668 df-dm 4669 df-rn 4670 df-res 4671 df-ima 4672 df-iota 5215 df-fun 5256 df-fn 5257 df-f 5258 df-f1 5259 df-fo 5260 df-f1o 5261 df-fv 5262 df-isom 5263 df-riota 5873 df-ov 5921 df-oprab 5922 df-mpo 5923 df-1st 6193 df-2nd 6194 df-recs 6358 df-irdg 6423 df-frec 6444 df-1o 6469 df-oadd 6473 df-er 6587 df-en 6795 df-dom 6796 df-fin 6797 df-sup 7043 df-pnf 8056 df-mnf 8057 df-xr 8058 df-ltxr 8059 df-le 8060 df-sub 8192 df-neg 8193 df-reap 8594 df-ap 8601 df-div 8692 df-inn 8983 df-2 9041 df-3 9042 df-4 9043 df-n0 9241 df-z 9318 df-uz 9593 df-q 9685 df-rp 9720 df-fz 10075 df-fzo 10209 df-fl 10339 df-mod 10394 df-seqfrec 10519 df-exp 10610 df-ihash 10847 df-cj 10986 df-re 10987 df-im 10988 df-rsqrt 11142 df-abs 11143 df-clim 11422 df-proddc 11694 df-dvds 11931 df-gcd 12080 df-phi 12349

This theorem is referenced by: eulerthlemth 12370

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