Theorem fprodp1 11501

Description: Multiply in the last term in a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 24-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodp1.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
fprodp1.2	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( N + 1 ) ) ) -> A e. CC )
fprodp1.3	|- ( k = ( N + 1 ) -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
fprodp1	|- ( ph -> prod_ k e. ( M ... ( N + 1 ) ) A = ( prod_ k e. ( M ... N ) A x. B ) )

Distinct variable groups:   B, k   ph, k   k, M   k, N

Allowed substitution hint:   A( k)

Proof of Theorem fprodp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodp1.1	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		peano2uz 9495	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
4		fprodp1.2	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( N + 1 ) ) ) -> A e. CC )
5		fprodp1.3	. . 3 |- ( k = ( N + 1 ) -> A = B )
6	3, 4, 5	fprodm1 11499	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. ( M ... ( N + 1 ) ) A = ( prod_ k e. ( M ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) A x. B ) )
7		eluzelz 9449	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
8	1, 7	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. ZZ )
9	8	zcnd 9288	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. CC )
10		1cnd 7895	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. CC )
11	9, 10	pncand 8188	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
12	11	oveq2d 5841	. . . 4 |- ( ph -> ( M ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( M ... N ) )
13	12	prodeq1d 11465	. . 3 |- ( ph -> prod_ k e. ( M ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) A = prod_ k e. ( M ... N ) A )
14	13	oveq1d 5840	. 2 |- ( ph -> ( prod_ k e. ( M ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) A x. B ) = ( prod_ k e. ( M ... N ) A x. B ) )
15	6, 14	eqtrd 2190	1 |- ( ph -> prod_ k e. ( M ... ( N + 1 ) ) A = ( prod_ k e. ( M ... N ) A x. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1335   e. wcel 2128   ` cfv 5171  (class class class)co 5825   CCcc 7731   1c1 7734   + caddc 7736   x. cmul 7738   - cmin 8047   ZZcz 9168   ZZ>=cuz 9440   ...cfz 9913   prod_cprod 11451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4080  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-iinf 4548  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825  ax-1cn 7826  ax-1re 7827  ax-icn 7828  ax-addcl 7829  ax-addrcl 7830  ax-mulcl 7831  ax-mulrcl 7832  ax-addcom 7833  ax-mulcom 7834  ax-addass 7835  ax-mulass 7836  ax-distr 7837  ax-i2m1 7838  ax-0lt1 7839  ax-1rid 7840  ax-0id 7841  ax-rnegex 7842  ax-precex 7843  ax-cnre 7844  ax-pre-ltirr 7845  ax-pre-ltwlin 7846  ax-pre-lttrn 7847  ax-pre-apti 7848  ax-pre-ltadd 7849  ax-pre-mulgt0 7850  ax-pre-mulext 7851  ax-arch 7852  ax-caucvg 7853

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-iun 3852  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-tr 4064  df-id 4254  df-po 4257  df-iso 4258  df-iord 4327  df-on 4329  df-ilim 4330  df-suc 4332  df-iom 4551  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-f1 5176  df-fo 5177  df-f1o 5178  df-fv 5179  df-isom 5180  df-riota 5781  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-1st 6089  df-2nd 6090  df-recs 6253  df-irdg 6318  df-frec 6339  df-1o 6364  df-oadd 6368  df-er 6481  df-en 6687  df-dom 6688  df-fin 6689  df-pnf 7915  df-mnf 7916  df-xr 7917  df-ltxr 7918  df-le 7919  df-sub 8049  df-neg 8050  df-reap 8451  df-ap 8458  df-div 8547  df-inn 8835  df-2 8893  df-3 8894  df-4 8895  df-n0 9092  df-z 9169  df-uz 9441  df-q 9530  df-rp 9562  df-fz 9914  df-fzo 10046  df-seqfrec 10349  df-exp 10423  df-ihash 10654  df-cj 10746  df-re 10747  df-im 10748  df-rsqrt 10902  df-abs 10903  df-clim 11180  df-proddc 11452

This theorem is referenced by:  fprodp1s  11503  fprodfac  11516  eulerthlemrprm  12108  eulerthlema  12109