ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prssnqu Unicode version

Theorem prssnqu 7478
Description: The upper cut of a positive real is a subset of the positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
prssnqu  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P.  ->  U  C_  Q. )

Proof of Theorem prssnqu
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elinp 7472 . 2  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P. 
<->  ( ( ( L 
C_  Q.  /\  U  C_  Q. )  /\  ( E. x  e.  Q.  x  e.  L  /\  E. y  e.  Q.  y  e.  U ) )  /\  ( ( A. x  e.  Q.  ( x  e.  L  <->  E. y  e.  Q.  ( x  <Q  y  /\  y  e.  L )
)  /\  A. y  e.  Q.  ( y  e.  U  <->  E. x  e.  Q.  ( x  <Q  y  /\  x  e.  U )
) )  /\  A. x  e.  Q.  -.  (
x  e.  L  /\  x  e.  U )  /\  A. x  e.  Q.  A. y  e.  Q.  (
x  <Q  y  ->  (
x  e.  L  \/  y  e.  U )
) ) ) )
2 simpllr 534 . 2  |-  ( ( ( ( L  C_  Q.  /\  U  C_  Q. )  /\  ( E. x  e.  Q.  x  e.  L  /\  E. y  e.  Q.  y  e.  U )
)  /\  ( ( A. x  e.  Q.  ( x  e.  L  <->  E. y  e.  Q.  (
x  <Q  y  /\  y  e.  L ) )  /\  A. y  e.  Q.  (
y  e.  U  <->  E. x  e.  Q.  ( x  <Q  y  /\  x  e.  U
) ) )  /\  A. x  e.  Q.  -.  ( x  e.  L  /\  x  e.  U
)  /\  A. x  e.  Q.  A. y  e. 
Q.  ( x  <Q  y  ->  ( x  e.  L  \/  y  e.  U ) ) ) )  ->  U  C_  Q. )
31, 2sylbi 121 1  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P.  ->  U  C_  Q. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 708    /\ w3a 978    e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456    C_ wss 3129   <.cop 3595   class class class wbr 4003   Q.cnq 7278    <Q cltq 7283   P.cnp 7289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-iinf 4587
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-qs 6540  df-ni 7302  df-nqqs 7346  df-inp 7464
This theorem is referenced by:  elprnqu  7480
  Copyright terms: Public domain W3C validator