Theorem prssnqu 7478

Description: The upper cut of a positive real is a subset of the positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prssnqu	|- ( <. L , U >. e. P. -> U C_ Q. )

Proof of Theorem prssnqu

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elinp 7472	. 2 |- ( <. L , U >. e. P. <-> ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. x e. Q. x e. L /\ E. y e. Q. y e. U ) ) /\ ( ( A. x e. Q. ( x e. L <-> E. y e. Q. ( x <Q y /\ y e. L ) ) /\ A. y e. Q. ( y e. U <-> E. x e. Q. ( x <Q y /\ x e. U ) ) ) /\ A. x e. Q. -. ( x e. L /\ x e. U ) /\ A. x e. Q. A. y e. Q. ( x <Q y -> ( x e. L \/ y e. U ) ) ) ) )
2		simpllr 534	. 2 |- ( ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. x e. Q. x e. L /\ E. y e. Q. y e. U ) ) /\ ( ( A. x e. Q. ( x e. L <-> E. y e. Q. ( x <Q y /\ y e. L ) ) /\ A. y e. Q. ( y e. U <-> E. x e. Q. ( x <Q y /\ x e. U ) ) ) /\ A. x e. Q. -. ( x e. L /\ x e. U ) /\ A. x e. Q. A. y e. Q. ( x <Q y -> ( x e. L \/ y e. U ) ) ) ) -> U C_ Q. )
3	1, 2	sylbi 121	1 |- ( <. L , U >. e. P. -> U C_ Q. )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   /\ w3a 978   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   C_ wss 3129   <.cop 3595   class class class wbr 4003   Q.cnq 7278   <Q cltq 7283   P.cnp 7289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-iinf 4587

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-qs 6540  df-ni 7302  df-nqqs 7346  df-inp 7464

This theorem is referenced by:  elprnqu  7480