Theorem elprnql 7380

Description: An element of a positive real's lower cut is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elprnql	|- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> B e. Q. )

Proof of Theorem elprnql

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prssnql 7378	. 2 |- ( <. L , U >. e. P. -> L C_ Q. )
2	1	sselda 3124	1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> B e. Q. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2125   <.cop 3559   Q.cnq 7179   P.cnp 7190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-iinf 4541

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-id 4248  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-qs 6475  df-ni 7203  df-nqqs 7247  df-inp 7365

This theorem is referenced by:  prubl  7385  prnmaxl  7387  prarloclemlt  7392  prarloclemlo  7393  prarloclem5  7399  genpdf  7407  genipv  7408  genpelvl  7411  genpml  7416  genprndl  7420  genpassl  7423  addnqprllem  7426  addnqprl  7428  addlocprlemeqgt  7431  addlocprlemgt  7433  addlocprlem  7434  nqprl  7450  prmuloc  7465  mulnqprl  7467  addcomprg  7477  mulcomprg  7479  distrlem1prl  7481  distrlem4prl  7483  1idprl  7489  ltsopr  7495  ltexprlemm  7499  ltexprlemopl  7500  ltexprlemopu  7502  ltexprlemupu  7503  ltexprlemdisj  7505  ltexprlemloc  7506  ltexprlemfl  7508  ltexprlemrl  7509  ltexprlemfu  7510  ltexprlemru  7511  addcanprleml  7513  addcanprlemu  7514  recexprlemloc  7530  recexprlem1ssl  7532  recexprlem1ssu  7533  recexprlemss1l  7534  aptiprleml  7538  aptiprlemu  7539  caucvgprprlemopl  7596  suplocexprlemex  7621