Theorem elprnql 7700

Description: An element of a positive real's lower cut is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elprnql	|- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> B e. Q. )

Proof of Theorem elprnql

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prssnql 7698	. 2 |- ( <. L , U >. e. P. -> L C_ Q. )
2	1	sselda 3227	1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> B e. Q. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2202   <.cop 3672   Q.cnq 7499   P.cnp 7510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-qs 6707  df-ni 7523  df-nqqs 7567  df-inp 7685

This theorem is referenced by:  prubl  7705  prnmaxl  7707  prarloclemlt  7712  prarloclemlo  7713  prarloclem5  7719  genpdf  7727  genipv  7728  genpelvl  7731  genpml  7736  genprndl  7740  genpassl  7743  addnqprllem  7746  addnqprl  7748  addlocprlemeqgt  7751  addlocprlemgt  7753  addlocprlem  7754  nqprl  7770  prmuloc  7785  mulnqprl  7787  addcomprg  7797  mulcomprg  7799  distrlem1prl  7801  distrlem4prl  7803  1idprl  7809  ltsopr  7815  ltexprlemm  7819  ltexprlemopl  7820  ltexprlemopu  7822  ltexprlemupu  7823  ltexprlemdisj  7825  ltexprlemloc  7826  ltexprlemfl  7828  ltexprlemrl  7829  ltexprlemfu  7830  ltexprlemru  7831  addcanprleml  7833  addcanprlemu  7834  recexprlemloc  7850  recexprlem1ssl  7852  recexprlem1ssu  7853  recexprlemss1l  7854  aptiprleml  7858  aptiprlemu  7859  caucvgprprlemopl  7916  suplocexprlemex  7941