Theorem elprnql 7679

Description: An element of a positive real's lower cut is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elprnql	|- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> B e. Q. )

Proof of Theorem elprnql

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prssnql 7677	. 2 |- ( <. L , U >. e. P. -> L C_ Q. )
2	1	sselda 3224	1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> B e. Q. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2200   <.cop 3669   Q.cnq 7478   P.cnp 7489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-qs 6694  df-ni 7502  df-nqqs 7546  df-inp 7664

This theorem is referenced by:  prubl  7684  prnmaxl  7686  prarloclemlt  7691  prarloclemlo  7692  prarloclem5  7698  genpdf  7706  genipv  7707  genpelvl  7710  genpml  7715  genprndl  7719  genpassl  7722  addnqprllem  7725  addnqprl  7727  addlocprlemeqgt  7730  addlocprlemgt  7732  addlocprlem  7733  nqprl  7749  prmuloc  7764  mulnqprl  7766  addcomprg  7776  mulcomprg  7778  distrlem1prl  7780  distrlem4prl  7782  1idprl  7788  ltsopr  7794  ltexprlemm  7798  ltexprlemopl  7799  ltexprlemopu  7801  ltexprlemupu  7802  ltexprlemdisj  7804  ltexprlemloc  7805  ltexprlemfl  7807  ltexprlemrl  7808  ltexprlemfu  7809  ltexprlemru  7810  addcanprleml  7812  addcanprlemu  7813  recexprlemloc  7829  recexprlem1ssl  7831  recexprlem1ssu  7832  recexprlemss1l  7833  aptiprleml  7837  aptiprlemu  7838  caucvgprprlemopl  7895  suplocexprlemex  7920