Theorem elprnql 7479

Description: An element of a positive real's lower cut is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elprnql	|- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> B e. Q. )

Proof of Theorem elprnql

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prssnql 7477	. 2 |- ( <. L , U >. e. P. -> L C_ Q. )
2	1	sselda 3155	1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> B e. Q. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2148   <.cop 3595   Q.cnq 7278   P.cnp 7289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-iinf 4587

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-qs 6540  df-ni 7302  df-nqqs 7346  df-inp 7464

This theorem is referenced by:  prubl  7484  prnmaxl  7486  prarloclemlt  7491  prarloclemlo  7492  prarloclem5  7498  genpdf  7506  genipv  7507  genpelvl  7510  genpml  7515  genprndl  7519  genpassl  7522  addnqprllem  7525  addnqprl  7527  addlocprlemeqgt  7530  addlocprlemgt  7532  addlocprlem  7533  nqprl  7549  prmuloc  7564  mulnqprl  7566  addcomprg  7576  mulcomprg  7578  distrlem1prl  7580  distrlem4prl  7582  1idprl  7588  ltsopr  7594  ltexprlemm  7598  ltexprlemopl  7599  ltexprlemopu  7601  ltexprlemupu  7602  ltexprlemdisj  7604  ltexprlemloc  7605  ltexprlemfl  7607  ltexprlemrl  7608  ltexprlemfu  7609  ltexprlemru  7610  addcanprleml  7612  addcanprlemu  7613  recexprlemloc  7629  recexprlem1ssl  7631  recexprlem1ssu  7632  recexprlemss1l  7633  aptiprleml  7637  aptiprlemu  7638  caucvgprprlemopl  7695  suplocexprlemex  7720