Theorem elprnql 7796

Description: An element of a positive real's lower cut is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elprnql	|- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> B e. Q. )

Proof of Theorem elprnql

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prssnql 7794	. 2 |- ( <. L , U >. e. P. -> L C_ Q. )
2	1	sselda 3238	1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> B e. Q. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2203   <.cop 3692   Q.cnq 7595   P.cnp 7606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-qs 6773  df-ni 7619  df-nqqs 7663  df-inp 7781

This theorem is referenced by:  prubl  7801  prnmaxl  7803  prarloclemlt  7808  prarloclemlo  7809  prarloclem5  7815  genpdf  7823  genipv  7824  genpelvl  7827  genpml  7832  genprndl  7836  genpassl  7839  addnqprllem  7842  addnqprl  7844  addlocprlemeqgt  7847  addlocprlemgt  7849  addlocprlem  7850  nqprl  7866  prmuloc  7881  mulnqprl  7883  addcomprg  7893  mulcomprg  7895  distrlem1prl  7897  distrlem4prl  7899  1idprl  7905  ltsopr  7911  ltexprlemm  7915  ltexprlemopl  7916  ltexprlemopu  7918  ltexprlemupu  7919  ltexprlemdisj  7921  ltexprlemloc  7922  ltexprlemfl  7924  ltexprlemrl  7925  ltexprlemfu  7926  ltexprlemru  7927  addcanprleml  7929  addcanprlemu  7930  recexprlemloc  7946  recexprlem1ssl  7948  recexprlem1ssu  7949  recexprlemss1l  7950  aptiprleml  7954  aptiprlemu  7955  caucvgprprlemopl  8012  suplocexprlemex  8037