Theorem elprnql 7848

Description: An element of a positive real's lower cut is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elprnql	|- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> B e. Q. )

Proof of Theorem elprnql

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prssnql 7846	. 2 |- ( <. L , U >. e. P. -> L C_ Q. )
2	1	sselda 3248	1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> B e. Q. )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   <.cop 3712   Q.cnq 7647   P.cnp 7658

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-qs 6813  df-ni 7671  df-nqqs 7715  df-inp 7833

This theorem is used by:  prubl  7853  prnmaxl  7855  prarloclemlt  7860  prarloclemlo  7861  prarloclem5  7867  genpdf  7875  genipv  7876  genpelvl  7879  genpml  7884  genprndl  7888  genpassl  7891  addnqprllem  7894  addnqprl  7896  addlocprlemeqgt  7899  addlocprlemgt  7901  addlocprlem  7902  nqprl  7918  prmuloc  7933  mulnqprl  7935  addcomprg  7945  mulcomprg  7947  distrlem1prl  7949  distrlem4prl  7951  1idprl  7957  ltsopr  7963  ltexprlemm  7967  ltexprlemopl  7968  ltexprlemopu  7970  ltexprlemupu  7971  ltexprlemdisj  7973  ltexprlemloc  7974  ltexprlemfl  7976  ltexprlemrl  7977  ltexprlemfu  7978  ltexprlemru  7979  addcanprleml  7981  addcanprlemu  7982  recexprlemloc  7998  recexprlem1ssl  8000  recexprlem1ssu  8001  recexprlemss1l  8002  aptiprleml  8006  aptiprlemu  8007  caucvgprprlemopl  8064  suplocexprlemex  8089