Theorem elprnql 7614

Description: An element of a positive real's lower cut is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elprnql	|- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> B e. Q. )

Proof of Theorem elprnql

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prssnql 7612	. 2 |- ( <. L , U >. e. P. -> L C_ Q. )
2	1	sselda 3197	1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> B e. Q. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2177   <.cop 3641   Q.cnq 7413   P.cnp 7424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-iinf 4644

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-qs 6639  df-ni 7437  df-nqqs 7481  df-inp 7599

This theorem is referenced by:  prubl  7619  prnmaxl  7621  prarloclemlt  7626  prarloclemlo  7627  prarloclem5  7633  genpdf  7641  genipv  7642  genpelvl  7645  genpml  7650  genprndl  7654  genpassl  7657  addnqprllem  7660  addnqprl  7662  addlocprlemeqgt  7665  addlocprlemgt  7667  addlocprlem  7668  nqprl  7684  prmuloc  7699  mulnqprl  7701  addcomprg  7711  mulcomprg  7713  distrlem1prl  7715  distrlem4prl  7717  1idprl  7723  ltsopr  7729  ltexprlemm  7733  ltexprlemopl  7734  ltexprlemopu  7736  ltexprlemupu  7737  ltexprlemdisj  7739  ltexprlemloc  7740  ltexprlemfl  7742  ltexprlemrl  7743  ltexprlemfu  7744  ltexprlemru  7745  addcanprleml  7747  addcanprlemu  7748  recexprlemloc  7764  recexprlem1ssl  7766  recexprlem1ssu  7767  recexprlemss1l  7768  aptiprleml  7772  aptiprlemu  7773  caucvgprprlemopl  7830  suplocexprlemex  7855