Theorem elprnql 7475

Description: An element of a positive real's lower cut is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elprnql	|- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> B e. Q. )

Proof of Theorem elprnql

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prssnql 7473	. 2 |- ( <. L , U >. e. P. -> L C_ Q. )
2	1	sselda 3155	1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> B e. Q. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2148   <.cop 3595   Q.cnq 7274   P.cnp 7285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4116  ax-sep 4119  ax-pow 4172  ax-pr 4207  ax-un 4431  ax-iinf 4585

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3809  df-int 3844  df-iun 3887  df-br 4002  df-opab 4063  df-mpt 4064  df-id 4291  df-iom 4588  df-xp 4630  df-rel 4631  df-cnv 4632  df-co 4633  df-dm 4634  df-rn 4635  df-res 4636  df-ima 4637  df-iota 5175  df-fun 5215  df-fn 5216  df-f 5217  df-f1 5218  df-fo 5219  df-f1o 5220  df-fv 5221  df-qs 6536  df-ni 7298  df-nqqs 7342  df-inp 7460

This theorem is referenced by:  prubl  7480  prnmaxl  7482  prarloclemlt  7487  prarloclemlo  7488  prarloclem5  7494  genpdf  7502  genipv  7503  genpelvl  7506  genpml  7511  genprndl  7515  genpassl  7518  addnqprllem  7521  addnqprl  7523  addlocprlemeqgt  7526  addlocprlemgt  7528  addlocprlem  7529  nqprl  7545  prmuloc  7560  mulnqprl  7562  addcomprg  7572  mulcomprg  7574  distrlem1prl  7576  distrlem4prl  7578  1idprl  7584  ltsopr  7590  ltexprlemm  7594  ltexprlemopl  7595  ltexprlemopu  7597  ltexprlemupu  7598  ltexprlemdisj  7600  ltexprlemloc  7601  ltexprlemfl  7603  ltexprlemrl  7604  ltexprlemfu  7605  ltexprlemru  7606  addcanprleml  7608  addcanprlemu  7609  recexprlemloc  7625  recexprlem1ssl  7627  recexprlem1ssu  7628  recexprlemss1l  7629  aptiprleml  7633  aptiprlemu  7634  caucvgprprlemopl  7691  suplocexprlemex  7716