Theorem elprnql 7854

Description: An element of a positive real's lower cut is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elprnql	|- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> B e. Q. )

Proof of Theorem elprnql

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prssnql 7852	. 2 |- ( <. L , U >. e. P. -> L C_ Q. )
2	1	sselda 3248	1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> B e. Q. )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   <.cop 3712   Q.cnq 7653   P.cnp 7664

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-qs 6817  df-ni 7677  df-nqqs 7721  df-inp 7839

This theorem is used by:  prubl  7859  prnmaxl  7861  prarloclemlt  7866  prarloclemlo  7867  prarloclem5  7873  genpdf  7881  genipv  7882  genpelvl  7885  genpml  7890  genprndl  7894  genpassl  7897  addnqprllem  7900  addnqprl  7902  addlocprlemeqgt  7905  addlocprlemgt  7907  addlocprlem  7908  nqprl  7924  prmuloc  7939  mulnqprl  7941  addcomprg  7951  mulcomprg  7953  distrlem1prl  7955  distrlem4prl  7957  1idprl  7963  ltsopr  7969  ltexprlemm  7973  ltexprlemopl  7974  ltexprlemopu  7976  ltexprlemupu  7977  ltexprlemdisj  7979  ltexprlemloc  7980  ltexprlemfl  7982  ltexprlemrl  7983  ltexprlemfu  7984  ltexprlemru  7985  addcanprleml  7987  addcanprlemu  7988  recexprlemloc  8004  recexprlem1ssl  8006  recexprlem1ssu  8007  recexprlemss1l  8008  aptiprleml  8012  aptiprlemu  8013  caucvgprprlemopl  8070  suplocexprlemex  8095