Theorem elprnql 7691

Description: An element of a positive real's lower cut is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elprnql	|- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> B e. Q. )

Proof of Theorem elprnql

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prssnql 7689	. 2 |- ( <. L , U >. e. P. -> L C_ Q. )
2	1	sselda 3225	1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> B e. Q. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2200   <.cop 3670   Q.cnq 7490   P.cnp 7501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-iinf 4684

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-qs 6703  df-ni 7514  df-nqqs 7558  df-inp 7676

This theorem is referenced by:  prubl  7696  prnmaxl  7698  prarloclemlt  7703  prarloclemlo  7704  prarloclem5  7710  genpdf  7718  genipv  7719  genpelvl  7722  genpml  7727  genprndl  7731  genpassl  7734  addnqprllem  7737  addnqprl  7739  addlocprlemeqgt  7742  addlocprlemgt  7744  addlocprlem  7745  nqprl  7761  prmuloc  7776  mulnqprl  7778  addcomprg  7788  mulcomprg  7790  distrlem1prl  7792  distrlem4prl  7794  1idprl  7800  ltsopr  7806  ltexprlemm  7810  ltexprlemopl  7811  ltexprlemopu  7813  ltexprlemupu  7814  ltexprlemdisj  7816  ltexprlemloc  7817  ltexprlemfl  7819  ltexprlemrl  7820  ltexprlemfu  7821  ltexprlemru  7822  addcanprleml  7824  addcanprlemu  7825  recexprlemloc  7841  recexprlem1ssl  7843  recexprlem1ssu  7844  recexprlemss1l  7845  aptiprleml  7849  aptiprlemu  7850  caucvgprprlemopl  7907  suplocexprlemex  7932