Theorem elprnql 7482

Description: An element of a positive real's lower cut is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elprnql	|- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> B e. Q. )

Proof of Theorem elprnql

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prssnql 7480	. 2 |- ( <. L , U >. e. P. -> L C_ Q. )
2	1	sselda 3157	1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> B e. Q. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2148   <.cop 3597   Q.cnq 7281   P.cnp 7292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-qs 6543  df-ni 7305  df-nqqs 7349  df-inp 7467

This theorem is referenced by:  prubl  7487  prnmaxl  7489  prarloclemlt  7494  prarloclemlo  7495  prarloclem5  7501  genpdf  7509  genipv  7510  genpelvl  7513  genpml  7518  genprndl  7522  genpassl  7525  addnqprllem  7528  addnqprl  7530  addlocprlemeqgt  7533  addlocprlemgt  7535  addlocprlem  7536  nqprl  7552  prmuloc  7567  mulnqprl  7569  addcomprg  7579  mulcomprg  7581  distrlem1prl  7583  distrlem4prl  7585  1idprl  7591  ltsopr  7597  ltexprlemm  7601  ltexprlemopl  7602  ltexprlemopu  7604  ltexprlemupu  7605  ltexprlemdisj  7607  ltexprlemloc  7608  ltexprlemfl  7610  ltexprlemrl  7611  ltexprlemfu  7612  ltexprlemru  7613  addcanprleml  7615  addcanprlemu  7616  recexprlemloc  7632  recexprlem1ssl  7634  recexprlem1ssu  7635  recexprlemss1l  7636  aptiprleml  7640  aptiprlemu  7641  caucvgprprlemopl  7698  suplocexprlemex  7723