Theorem elprnql 7849

Description: An element of a positive real's lower cut is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elprnql	|- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> B e. Q. )

Proof of Theorem elprnql

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prssnql 7847	. 2 |- ( <. L , U >. e. P. -> L C_ Q. )
2	1	sselda 3248	1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> B e. Q. )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   <.cop 3712   Q.cnq 7648   P.cnp 7659

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-qs 6813  df-ni 7672  df-nqqs 7716  df-inp 7834

This theorem is used by:  prubl  7854  prnmaxl  7856  prarloclemlt  7861  prarloclemlo  7862  prarloclem5  7868  genpdf  7876  genipv  7877  genpelvl  7880  genpml  7885  genprndl  7889  genpassl  7892  addnqprllem  7895  addnqprl  7897  addlocprlemeqgt  7900  addlocprlemgt  7902  addlocprlem  7903  nqprl  7919  prmuloc  7934  mulnqprl  7936  addcomprg  7946  mulcomprg  7948  distrlem1prl  7950  distrlem4prl  7952  1idprl  7958  ltsopr  7964  ltexprlemm  7968  ltexprlemopl  7969  ltexprlemopu  7971  ltexprlemupu  7972  ltexprlemdisj  7974  ltexprlemloc  7975  ltexprlemfl  7977  ltexprlemrl  7978  ltexprlemfu  7979  ltexprlemru  7980  addcanprleml  7982  addcanprlemu  7983  recexprlemloc  7999  recexprlem1ssl  8001  recexprlem1ssu  8002  recexprlemss1l  8003  aptiprleml  8007  aptiprlemu  8008  caucvgprprlemopl  8065  suplocexprlemex  8090