Theorem elprnqu 7813

Description: An element of a positive real's upper cut is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elprnqu	|- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. U ) -> B e. Q. )

Proof of Theorem elprnqu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prssnqu 7811	. 2 |- ( <. L , U >. e. P. -> U C_ Q. )
2	1	sselda 3242	1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. U ) -> B e. Q. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2205   <.cop 3697   Q.cnq 7611   P.cnp 7622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-qs 6786  df-ni 7635  df-nqqs 7679  df-inp 7797

This theorem is referenced by:  prltlu  7818  prnminu  7820  genpdf  7839  genipv  7840  genpelvu  7844  genpmu  7849  genprndu  7853  genpassu  7856  addnqprulem  7859  addnqpru  7861  addlocprlemeqgt  7863  nqpru  7883  prmuloc  7897  mulnqpru  7900  addcomprg  7909  mulcomprg  7911  distrlem1pru  7914  distrlem4pru  7916  1idpru  7922  ltsopr  7927  ltaddpr  7928  ltexprlemm  7931  ltexprlemopl  7932  ltexprlemlol  7933  ltexprlemopu  7934  ltexprlemdisj  7937  ltexprlemloc  7938  ltexprlemfu  7942  ltexprlemru  7943  addcanprlemu  7946  prplnqu  7951  recexprlemloc  7962  recexprlemss1u  7967  aptiprlemu  7971