Theorem elprnqu 7850

Description: An element of a positive real's upper cut is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elprnqu	|- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. U ) -> B e. Q. )

Proof of Theorem elprnqu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prssnqu 7848	. 2 |- ( <. L , U >. e. P. -> U C_ Q. )
2	1	sselda 3248	1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. U ) -> B e. Q. )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   <.cop 3712   Q.cnq 7648   P.cnp 7659

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-qs 6813  df-ni 7672  df-nqqs 7716  df-inp 7834

This theorem is used by:  prltlu  7855  prnminu  7857  genpdf  7876  genipv  7877  genpelvu  7881  genpmu  7886  genprndu  7890  genpassu  7893  addnqprulem  7896  addnqpru  7898  addlocprlemeqgt  7900  nqpru  7920  prmuloc  7934  mulnqpru  7937  addcomprg  7946  mulcomprg  7948  distrlem1pru  7951  distrlem4pru  7953  1idpru  7959  ltsopr  7964  ltaddpr  7965  ltexprlemm  7968  ltexprlemopl  7969  ltexprlemlol  7970  ltexprlemopu  7971  ltexprlemdisj  7974  ltexprlemloc  7975  ltexprlemfu  7979  ltexprlemru  7980  addcanprlemu  7983  prplnqu  7988  recexprlemloc  7999  recexprlemss1u  8004  aptiprlemu  8008