Theorem elprnqu 7597

Description: An element of a positive real's upper cut is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elprnqu	|- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. U ) -> B e. Q. )

Proof of Theorem elprnqu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prssnqu 7595	. 2 |- ( <. L , U >. e. P. -> U C_ Q. )
2	1	sselda 3193	1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. U ) -> B e. Q. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2176   <.cop 3636   Q.cnq 7395   P.cnp 7406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-iinf 4637

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-qs 6628  df-ni 7419  df-nqqs 7463  df-inp 7581

This theorem is referenced by:  prltlu  7602  prnminu  7604  genpdf  7623  genipv  7624  genpelvu  7628  genpmu  7633  genprndu  7637  genpassu  7640  addnqprulem  7643  addnqpru  7645  addlocprlemeqgt  7647  nqpru  7667  prmuloc  7681  mulnqpru  7684  addcomprg  7693  mulcomprg  7695  distrlem1pru  7698  distrlem4pru  7700  1idpru  7706  ltsopr  7711  ltaddpr  7712  ltexprlemm  7715  ltexprlemopl  7716  ltexprlemlol  7717  ltexprlemopu  7718  ltexprlemdisj  7721  ltexprlemloc  7722  ltexprlemfu  7726  ltexprlemru  7727  addcanprlemu  7730  prplnqu  7735  recexprlemloc  7746  recexprlemss1u  7751  aptiprlemu  7755