Theorem elprnqu 7690

Description: An element of a positive real's upper cut is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elprnqu	|- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. U ) -> B e. Q. )

Proof of Theorem elprnqu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prssnqu 7688	. 2 |- ( <. L , U >. e. P. -> U C_ Q. )
2	1	sselda 3225	1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. U ) -> B e. Q. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2200   <.cop 3670   Q.cnq 7488   P.cnp 7499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4200  ax-sep 4203  ax-pow 4260  ax-pr 4295  ax-un 4526  ax-iinf 4682

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-int 3925  df-iun 3968  df-br 4085  df-opab 4147  df-mpt 4148  df-id 4386  df-iom 4685  df-xp 4727  df-rel 4728  df-cnv 4729  df-co 4730  df-dm 4731  df-rn 4732  df-res 4733  df-ima 4734  df-iota 5282  df-fun 5324  df-fn 5325  df-f 5326  df-f1 5327  df-fo 5328  df-f1o 5329  df-fv 5330  df-qs 6701  df-ni 7512  df-nqqs 7556  df-inp 7674

This theorem is referenced by:  prltlu  7695  prnminu  7697  genpdf  7716  genipv  7717  genpelvu  7721  genpmu  7726  genprndu  7730  genpassu  7733  addnqprulem  7736  addnqpru  7738  addlocprlemeqgt  7740  nqpru  7760  prmuloc  7774  mulnqpru  7777  addcomprg  7786  mulcomprg  7788  distrlem1pru  7791  distrlem4pru  7793  1idpru  7799  ltsopr  7804  ltaddpr  7805  ltexprlemm  7808  ltexprlemopl  7809  ltexprlemlol  7810  ltexprlemopu  7811  ltexprlemdisj  7814  ltexprlemloc  7815  ltexprlemfu  7819  ltexprlemru  7820  addcanprlemu  7823  prplnqu  7828  recexprlemloc  7839  recexprlemss1u  7844  aptiprlemu  7848