Theorem elprnqu 7669

Description: An element of a positive real's upper cut is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elprnqu	|- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. U ) -> B e. Q. )

Proof of Theorem elprnqu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prssnqu 7667	. 2 |- ( <. L , U >. e. P. -> U C_ Q. )
2	1	sselda 3224	1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. U ) -> B e. Q. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2200   <.cop 3669   Q.cnq 7467   P.cnp 7478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-qs 6686  df-ni 7491  df-nqqs 7535  df-inp 7653

This theorem is referenced by:  prltlu  7674  prnminu  7676  genpdf  7695  genipv  7696  genpelvu  7700  genpmu  7705  genprndu  7709  genpassu  7712  addnqprulem  7715  addnqpru  7717  addlocprlemeqgt  7719  nqpru  7739  prmuloc  7753  mulnqpru  7756  addcomprg  7765  mulcomprg  7767  distrlem1pru  7770  distrlem4pru  7772  1idpru  7778  ltsopr  7783  ltaddpr  7784  ltexprlemm  7787  ltexprlemopl  7788  ltexprlemlol  7789  ltexprlemopu  7790  ltexprlemdisj  7793  ltexprlemloc  7794  ltexprlemfu  7798  ltexprlemru  7799  addcanprlemu  7802  prplnqu  7807  recexprlemloc  7818  recexprlemss1u  7823  aptiprlemu  7827