Theorem elprnqu 7839

Description: An element of a positive real's upper cut is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elprnqu	|- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. U ) -> B e. Q. )

Proof of Theorem elprnqu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prssnqu 7837	. 2 |- ( <. L , U >. e. P. -> U C_ Q. )
2	1	sselda 3248	1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. U ) -> B e. Q. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   <.cop 3708   Q.cnq 7637   P.cnp 7648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-qs 6803  df-ni 7661  df-nqqs 7705  df-inp 7823

This theorem is referenced by:  prltlu  7844  prnminu  7846  genpdf  7865  genipv  7866  genpelvu  7870  genpmu  7875  genprndu  7879  genpassu  7882  addnqprulem  7885  addnqpru  7887  addlocprlemeqgt  7889  nqpru  7909  prmuloc  7923  mulnqpru  7926  addcomprg  7935  mulcomprg  7937  distrlem1pru  7940  distrlem4pru  7942  1idpru  7948  ltsopr  7953  ltaddpr  7954  ltexprlemm  7957  ltexprlemopl  7958  ltexprlemlol  7959  ltexprlemopu  7960  ltexprlemdisj  7963  ltexprlemloc  7964  ltexprlemfu  7968  ltexprlemru  7969  addcanprlemu  7972  prplnqu  7977  recexprlemloc  7988  recexprlemss1u  7993  aptiprlemu  7997