Theorem elprnqu 7481

Description: An element of a positive real's upper cut is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elprnqu	|- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. U ) -> B e. Q. )

Proof of Theorem elprnqu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prssnqu 7479	. 2 |- ( <. L , U >. e. P. -> U C_ Q. )
2	1	sselda 3156	1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. U ) -> B e. Q. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2148   <.cop 3596   Q.cnq 7279   P.cnp 7290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-iinf 4588

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-qs 6541  df-ni 7303  df-nqqs 7347  df-inp 7465

This theorem is referenced by:  prltlu  7486  prnminu  7488  genpdf  7507  genipv  7508  genpelvu  7512  genpmu  7517  genprndu  7521  genpassu  7524  addnqprulem  7527  addnqpru  7529  addlocprlemeqgt  7531  nqpru  7551  prmuloc  7565  mulnqpru  7568  addcomprg  7577  mulcomprg  7579  distrlem1pru  7582  distrlem4pru  7584  1idpru  7590  ltsopr  7595  ltaddpr  7596  ltexprlemm  7599  ltexprlemopl  7600  ltexprlemlol  7601  ltexprlemopu  7602  ltexprlemdisj  7605  ltexprlemloc  7606  ltexprlemfu  7610  ltexprlemru  7611  addcanprlemu  7614  prplnqu  7619  recexprlemloc  7630  recexprlemss1u  7635  aptiprlemu  7639