Theorem elprnqu 7290

Description: An element of a positive real's upper cut is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elprnqu	|- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. U ) -> B e. Q. )

Proof of Theorem elprnqu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prssnqu 7288	. 2 |- ( <. L , U >. e. P. -> U C_ Q. )
2	1	sselda 3097	1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. U ) -> B e. Q. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1480   <.cop 3530   Q.cnq 7088   P.cnp 7099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-qs 6435  df-ni 7112  df-nqqs 7156  df-inp 7274

This theorem is referenced by:  prltlu  7295  prnminu  7297  genpdf  7316  genipv  7317  genpelvu  7321  genpmu  7326  genprndu  7330  genpassu  7333  addnqprulem  7336  addnqpru  7338  addlocprlemeqgt  7340  nqpru  7360  prmuloc  7374  mulnqpru  7377  addcomprg  7386  mulcomprg  7388  distrlem1pru  7391  distrlem4pru  7393  1idpru  7399  ltsopr  7404  ltaddpr  7405  ltexprlemm  7408  ltexprlemopl  7409  ltexprlemlol  7410  ltexprlemopu  7411  ltexprlemdisj  7414  ltexprlemloc  7415  ltexprlemfu  7419  ltexprlemru  7420  addcanprlemu  7423  prplnqu  7428  recexprlemloc  7439  recexprlemss1u  7444  aptiprlemu  7448