ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qfto GIF version

Theorem qfto 4808
Description: A quantifier-free way of expressing the total order predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
qfto ((𝐴 × 𝐵) ⊆ (𝑅𝑅) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Proof of Theorem qfto
StepHypRef Expression
1 opelxp 4457 . . . 4 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 × 𝐵) ↔ (𝑥𝐴𝑦𝐵))
2 brun 3883 . . . . 5 (𝑥(𝑅𝑅)𝑦 ↔ (𝑥𝑅𝑦𝑥𝑅𝑦))
3 df-br 3838 . . . . 5 (𝑥(𝑅𝑅)𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝑅𝑅))
4 vex 2622 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
5 vex 2622 . . . . . . 7 𝑦 ∈ V
64, 5brcnv 4607 . . . . . 6 (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)
76orbi2i 714 . . . . 5 ((𝑥𝑅𝑦𝑥𝑅𝑦) ↔ (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥))
82, 3, 73bitr3i 208 . . . 4 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝑅𝑅) ↔ (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥))
91, 8imbi12i 237 . . 3 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 × 𝐵) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝑅𝑅)) ↔ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)))
1092albii 1405 . 2 (∀𝑥𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 × 𝐵) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝑅𝑅)) ↔ ∀𝑥𝑦((𝑥𝐴𝑦𝐵) → (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)))
11 relxp 4535 . . 3 Rel (𝐴 × 𝐵)
12 ssrel 4514 . . 3 (Rel (𝐴 × 𝐵) → ((𝐴 × 𝐵) ⊆ (𝑅𝑅) ↔ ∀𝑥𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 × 𝐵) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝑅𝑅))))
1311, 12ax-mp 7 . 2 ((𝐴 × 𝐵) ⊆ (𝑅𝑅) ↔ ∀𝑥𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 × 𝐵) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝑅𝑅)))
14 r2al 2397 . 2 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥) ↔ ∀𝑥𝑦((𝑥𝐴𝑦𝐵) → (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)))
1510, 13, 143bitr4i 210 1 ((𝐴 × 𝐵) ⊆ (𝑅𝑅) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  wo 664  wal 1287  wcel 1438  wral 2359  cun 2995  wss 2997  cop 3444   class class class wbr 3837   × cxp 4426  ccnv 4427  Rel wrel 4433
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-br 3838  df-opab 3892  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator