Theorem qfto 5060

Description: A quantifier-free way of expressing the total order predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
qfto	⊢ ((𝐴 × 𝐵) ⊆ (𝑅 ∪ ◡𝑅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝑅𝑦 ∨ 𝑦𝑅𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Proof of Theorem qfto

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 4694	. . . 4 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 × 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
2		brun 4085	. . . . 5 ⊢ (𝑥(𝑅 ∪ ◡𝑅)𝑦 ↔ (𝑥𝑅𝑦 ∨ 𝑥◡𝑅𝑦))
3		df-br 4035	. . . . 5 ⊢ (𝑥(𝑅 ∪ ◡𝑅)𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝑅 ∪ ◡𝑅))
4		vex 2766	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
5		vex 2766	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
6	4, 5	brcnv 4850	. . . . . 6 ⊢ (𝑥◡𝑅𝑦 ↔ 𝑦𝑅𝑥)
7	6	orbi2i 763	. . . . 5 ⊢ ((𝑥𝑅𝑦 ∨ 𝑥◡𝑅𝑦) ↔ (𝑥𝑅𝑦 ∨ 𝑦𝑅𝑥))
8	2, 3, 7	3bitr3i 210	. . . 4 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝑅 ∪ ◡𝑅) ↔ (𝑥𝑅𝑦 ∨ 𝑦𝑅𝑥))
9	1, 8	imbi12i 239	. . 3 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 × 𝐵) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝑅 ∪ ◡𝑅)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥𝑅𝑦 ∨ 𝑦𝑅𝑥)))
10	9	2albii 1485	. 2 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 × 𝐵) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝑅 ∪ ◡𝑅)) ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥𝑅𝑦 ∨ 𝑦𝑅𝑥)))
11		relxp 4773	. . 3 ⊢ Rel (𝐴 × 𝐵)
12		ssrel 4752	. . 3 ⊢ (Rel (𝐴 × 𝐵) → ((𝐴 × 𝐵) ⊆ (𝑅 ∪ ◡𝑅) ↔ ∀𝑥∀𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 × 𝐵) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝑅 ∪ ◡𝑅))))
13	11, 12	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ⊆ (𝑅 ∪ ◡𝑅) ↔ ∀𝑥∀𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 × 𝐵) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝑅 ∪ ◡𝑅)))
14		r2al 2516	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝑅𝑦 ∨ 𝑦𝑅𝑥) ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥𝑅𝑦 ∨ 𝑦𝑅𝑥)))
15	10, 13, 14	3bitr4i 212	1 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ⊆ (𝑅 ∪ ◡𝑅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝑅𝑦 ∨ 𝑦𝑅𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709  ∀wal 1362   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475   ∪ cun 3155   ⊆ wss 3157  ⟨cop 3626   class class class wbr 4034   × cxp 4662  ^◡ccnv 4663  Rel wrel 4669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672

This theorem is referenced by: (None)