Theorem rdgifnon2 6330

Description: The recursive definition generator is a function on ordinal numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 14-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rdgifnon2	|- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. V ) -> rec ( F , A ) Fn On )

Distinct variable group:   z, F

Allowed substitution hints:   A( z)   V( z)

Proof of Theorem rdgifnon2

Dummy variables f g x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-irdg 6320	. 2 |- rec ( F , A ) = recs ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) )
2		rdgtfr 6324	. . 3 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. V ) -> ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. _V ) )
3	2	alrimiv 1854	. 2 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. V ) -> A. f ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. _V ) )
4	1, 3	tfri1d 6285	1 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. V ) -> rec ( F , A ) Fn On )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   A.wal 1333   e. wcel 2128   _Vcvv 2712   u. cun 3100   U_ciun 3851   |-> cmpt 4028   Oncon0 4326   dom cdm 4589   Fun wfun 5167   Fn wfn 5168   ` cfv 5173   reccrdg 6319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4082  ax-sep 4085  ax-pow 4138  ax-pr 4172  ax-un 4396  ax-setind 4499

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4029  df-mpt 4030  df-tr 4066  df-id 4256  df-iord 4329  df-on 4331  df-suc 4334  df-xp 4595  df-rel 4596  df-cnv 4597  df-co 4598  df-dm 4599  df-rn 4600  df-res 4601  df-ima 4602  df-iota 5138  df-fun 5175  df-fn 5176  df-f 5177  df-f1 5178  df-fo 5179  df-f1o 5180  df-fv 5181  df-recs 6255  df-irdg 6320

This theorem is referenced by:  frecrdg  6358