Theorem rdgifnon2 6277

Description: The recursive definition generator is a function on ordinal numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 14-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rdgifnon2	|- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. V ) -> rec ( F , A ) Fn On )

Distinct variable group:   z, F

Allowed substitution hints:   A( z)   V( z)

Proof of Theorem rdgifnon2

Dummy variables f g x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-irdg 6267	. 2 |- rec ( F , A ) = recs ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) )
2		rdgtfr 6271	. . 3 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. V ) -> ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. _V ) )
3	2	alrimiv 1846	. 2 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. V ) -> A. f ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. _V ) )
4	1, 3	tfri1d 6232	1 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. V ) -> rec ( F , A ) Fn On )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   A.wal 1329   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   u. cun 3069   U_ciun 3813   |-> cmpt 3989   Oncon0 4285   dom cdm 4539   Fun wfun 5117   Fn wfn 5118   ` cfv 5123   reccrdg 6266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-recs 6202  df-irdg 6267

This theorem is referenced by:  frecrdg  6305