ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rdgifnon2 Unicode version

Theorem rdgifnon2 6080
Description: The recursive definition generator is a function on ordinal numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 14-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
rdgifnon2  |-  ( ( A. z ( F `
 z )  e. 
_V  /\  A  e.  V )  ->  rec ( F ,  A )  Fn  On )
Distinct variable group:    z, F
Allowed substitution hints:    A( z)    V( z)

Proof of Theorem rdgifnon2
Dummy variables  f  g  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-irdg 6070 . 2  |-  rec ( F ,  A )  = recs ( ( g  e. 
_V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g
( F `  (
g `  x )
) ) ) )
2 rdgtfr 6074 . . 3  |-  ( ( A. z ( F `
 z )  e. 
_V  /\  A  e.  V )  ->  ( Fun  ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) )  /\  ( ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) ) `  f )  e.  _V ) )
32alrimiv 1799 . 2  |-  ( ( A. z ( F `
 z )  e. 
_V  /\  A  e.  V )  ->  A. f
( Fun  ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g
( F `  (
g `  x )
) ) )  /\  ( ( g  e. 
_V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g
( F `  (
g `  x )
) ) ) `  f )  e.  _V ) )
41, 3tfri1d 6035 1  |-  ( ( A. z ( F `
 z )  e. 
_V  /\  A  e.  V )  ->  rec ( F ,  A )  Fn  On )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102   A.wal 1285    e. wcel 1436   _Vcvv 2614    u. cun 2984   U_ciun 3707    |-> cmpt 3868   Oncon0 4157   dom cdm 4404   Fun wfun 4966    Fn wfn 4967   ` cfv 4972   reccrdg 6069
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3922  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-csb 2922  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-nul 3273  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-iun 3709  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-tr 3905  df-id 4087  df-iord 4160  df-on 4162  df-suc 4165  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-f1 4977  df-fo 4978  df-f1o 4979  df-fv 4980  df-recs 6005  df-irdg 6070
This theorem is referenced by:  frecrdg  6108
  Copyright terms: Public domain W3C validator