ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rdgifnon2 Unicode version

Theorem rdgifnon2 6243
Description: The recursive definition generator is a function on ordinal numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 14-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
rdgifnon2  |-  ( ( A. z ( F `
 z )  e. 
_V  /\  A  e.  V )  ->  rec ( F ,  A )  Fn  On )
Distinct variable group:    z, F
Allowed substitution hints:    A( z)    V( z)

Proof of Theorem rdgifnon2
Dummy variables  f  g  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-irdg 6233 . 2  |-  rec ( F ,  A )  = recs ( ( g  e. 
_V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g
( F `  (
g `  x )
) ) ) )
2 rdgtfr 6237 . . 3  |-  ( ( A. z ( F `
 z )  e. 
_V  /\  A  e.  V )  ->  ( Fun  ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) )  /\  ( ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) ) `  f )  e.  _V ) )
32alrimiv 1828 . 2  |-  ( ( A. z ( F `
 z )  e. 
_V  /\  A  e.  V )  ->  A. f
( Fun  ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g
( F `  (
g `  x )
) ) )  /\  ( ( g  e. 
_V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g
( F `  (
g `  x )
) ) ) `  f )  e.  _V ) )
41, 3tfri1d 6198 1  |-  ( ( A. z ( F `
 z )  e. 
_V  /\  A  e.  V )  ->  rec ( F ,  A )  Fn  On )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103   A.wal 1312    e. wcel 1463   _Vcvv 2658    u. cun 3037   U_ciun 3781    |-> cmpt 3957   Oncon0 4253   dom cdm 4507   Fun wfun 5085    Fn wfn 5086   ` cfv 5091   reccrdg 6232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-recs 6168  df-irdg 6233
This theorem is referenced by:  frecrdg  6271
  Copyright terms: Public domain W3C validator