ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rdgifnon2 GIF version

Theorem rdgifnon2 6270
Description: The recursive definition generator is a function on ordinal numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 14-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
rdgifnon2 ((∀𝑧(𝐹𝑧) ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → rec(𝐹, 𝐴) Fn On)
Distinct variable group:   𝑧,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝑉(𝑧)

Proof of Theorem rdgifnon2
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-irdg 6260 . 2 rec(𝐹, 𝐴) = recs((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)))))
2 rdgtfr 6264 . . 3 ((∀𝑧(𝐹𝑧) ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (Fun (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)))) ∧ ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘𝑓) ∈ V))
32alrimiv 1846 . 2 ((∀𝑧(𝐹𝑧) ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → ∀𝑓(Fun (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)))) ∧ ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘𝑓) ∈ V))
41, 3tfri1d 6225 1 ((∀𝑧(𝐹𝑧) ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → rec(𝐹, 𝐴) Fn On)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wal 1329  wcel 1480  Vcvv 2681  cun 3064   ciun 3808  cmpt 3984  Oncon0 4280  dom cdm 4534  Fun wfun 5112   Fn wfn 5113  cfv 5118  reccrdg 6259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-recs 6195  df-irdg 6260
This theorem is referenced by:  frecrdg  6298
  Copyright terms: Public domain W3C validator