Theorem eluz2 9234

Description: Membership in an upper set of integers. We use the fact that a function's value (under our function value definition) is empty outside of its domain to show M e. ZZ. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )

Proof of Theorem eluz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 9233	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
2		simp1 964	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> M e. ZZ )
3		eluz1 9232	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )
4		ibar 297	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ( N e. ZZ /\ M <_ N ) <-> ( M e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) ) )
5	3, 4	bitrd 187	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) ) )
6		3anass 949	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) <-> ( M e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )
7	5, 6	syl6bbr 197	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )
8	1, 2, 7	pm5.21nii 676	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 945   e. wcel 1463   class class class wbr 3895   ` cfv 5081   <_ cle 7725   ZZcz 8958   ZZ>=cuz 9228

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ral 2395  df-rex 2396  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-fv 5089  df-ov 5731  df-neg 7859  df-z 8959  df-uz 9229

This theorem is referenced by:  eluzuzle  9236  eluzelz  9237  eluzle  9240  uztrn  9244  eluzp1p1  9253  uznn0sub  9259  uz3m2nn  9270  1eluzge0  9271  2eluzge1  9273  raluz2  9276  rexuz2  9278  peano2uz  9280  nn0pzuz  9284  uzind4  9285  nn0ge2m1nnALT  9312  elfzuzb  9693  uzsubsubfz  9720  ige2m1fz  9783  4fvwrd4  9810  elfzo2  9820  elfzouz2  9831  fzossrbm1  9843  fzossfzop1  9882  ssfzo12bi  9895  elfzonelfzo  9900  elfzomelpfzo  9901  fzosplitprm1  9904  fzostep1  9907  fzind2  9909  flqword2  9955  fldiv4p1lem1div2  9971  uzennn  10102  seq3split  10145  iseqf1olemqk  10160  seq3f1olemqsumkj  10164  seq3f1olemqsumk  10165  seq3f1olemqsum  10166  bcval5  10402  seq3coll  10478  seq3shft  10503  resqrexlemoverl  10685  resqrexlemga  10687  fsum3cvg3  11057  fisumrev2  11107  isumshft  11151  cvgratnnlemseq  11187  cvgratnnlemabsle  11188  cvgratnnlemsumlt  11189  cvgratz  11193  oddge22np1  11426  nn0o  11452  dvdsnprmd  11652  prmgt1  11658  oddprmgt2  11660  oddprmge3  11661  strleund  11890  strleun  11891