Theorem eluz2 9023

Description: Membership in an upper set of integers. We use the fact that a function's value (under our function value definition) is empty outside of its domain to show M e. ZZ. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )

Proof of Theorem eluz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 9022	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
2		simp1 943	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> M e. ZZ )
3		eluz1 9021	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )
4		ibar 295	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ( N e. ZZ /\ M <_ N ) <-> ( M e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) ) )
5	3, 4	bitrd 186	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) ) )
6		3anass 928	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) <-> ( M e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )
7	5, 6	syl6bbr 196	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )
8	1, 2, 7	pm5.21nii 655	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )

Syntax hints:   /\ wa 102   <-> wb 103   /\ w3a 924   e. wcel 1438   class class class wbr 3845   ` cfv 5015   <_ cle 7521   ZZcz 8748   ZZ>=cuz 9017

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-fv 5023  df-ov 5655  df-neg 7654  df-z 8749  df-uz 9018

This theorem is referenced by:  eluzuzle  9025  eluzelz  9026  eluzle  9029  uztrn  9033  eluzp1p1  9042  uznn0sub  9048  uz3m2nn  9059  1eluzge0  9060  2eluzge1  9062  raluz2  9065  rexuz2  9067  peano2uz  9069  nn0pzuz  9073  uzind4  9074  nn0ge2m1nnALT  9101  elfzuzb  9432  uzsubsubfz  9459  ige2m1fz  9520  4fvwrd4  9547  elfzo2  9557  elfzouz2  9568  fzossrbm1  9580  fzossfzop1  9619  ssfzo12bi  9632  elfzonelfzo  9637  elfzomelpfzo  9638  fzosplitprm1  9641  fzostep1  9644  fzind2  9646  flqword2  9692  fldiv4p1lem1div2  9708  seq3split  9903  iseqf1olemqk  9919  seq3f1olemqsumkj  9923  seq3f1olemqsumk  9924  seq3f1olemqsum  9925  ibcval5  10167  iseqcoll  10243  seq3shft  10268  resqrexlemoverl  10450  resqrexlemga  10452  fsum3cvg3  10785  fisumrev2  10836  isumshft  10880  cvgratnnlemseq  10916  cvgratnnlemabsle  10917  cvgratnnlemsumlt  10918  cvgratz  10922  oddge22np1  11155  nn0o  11181  dvdsnprmd  11381  prmgt1  11387  oddprmgt2  11389  oddprmge3  11390