Theorem eluz2 9656

Description: Membership in an upper set of integers. We use the fact that a function's value (under our function value definition) is empty outside of its domain to show M e. ZZ. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )

Proof of Theorem eluz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 9655	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
2		simp1 1000	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> M e. ZZ )
3		eluz1 9654	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )
4		ibar 301	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ( N e. ZZ /\ M <_ N ) <-> ( M e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) ) )
5	3, 4	bitrd 188	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) ) )
6		3anass 985	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) <-> ( M e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )
7	5, 6	bitr4di 198	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )
8	1, 2, 7	pm5.21nii 706	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   e. wcel 2176   class class class wbr 4045   ` cfv 5272   <_ cle 8110   ZZcz 9374   ZZ>=cuz 9650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-fv 5280  df-ov 5949  df-neg 8248  df-z 9375  df-uz 9651

This theorem is referenced by:  eluzuzle  9658  eluzelz  9659  eluzle  9662  uztrn  9667  eluzp1p1  9676  uznn0sub  9682  uz3m2nn  9696  1eluzge0  9697  2eluzge1  9699  raluz2  9702  rexuz2  9704  peano2uz  9706  nn0pzuz  9710  uzind4  9711  nn0ge2m1nnALT  9741  elfzuzb  10143  uzsubsubfz  10171  ige2m1fz  10234  4fvwrd4  10264  elfzo2  10274  elfzouz2  10286  fzossrbm1  10299  fzossfzop1  10343  ssfzo12bi  10356  elfzonelfzo  10361  elfzomelpfzo  10362  fzosplitprm1  10365  fzostep1  10368  fzind2  10370  suprzubdc  10381  zsupssdc  10383  flqword2  10434  fldiv4p1lem1div2  10450  uzennn  10583  xnn0nnen  10584  seq3split  10635  iseqf1olemqk  10654  seq3f1olemqsumkj  10658  seq3f1olemqsumk  10659  seq3f1olemqsum  10660  bcval5  10910  seq3coll  10989  swrdsbslen  11122  swrdspsleq  11123  pfxtrcfv0  11148  pfxtrcfvl  11151  seq3shft  11182  resqrexlemoverl  11365  resqrexlemga  11367  fsum3cvg3  11740  fisumrev2  11790  isumshft  11834  cvgratnnlemseq  11870  cvgratnnlemabsle  11871  cvgratnnlemsumlt  11872  cvgratz  11876  oddge22np1  12225  nn0o  12251  bitsmod  12300  uzwodc  12391  dvdsnprmd  12480  prmgt1  12487  oddprmgt2  12489  oddprmge3  12490  prm23ge5  12620  nninfdclemcl  12852  nninfdclemp1  12854  nninfdclemlt  12855  strleund  12968  strleun  12969  gsumfzz  13360  gsumfzcl  13364  gsumfzreidx  13706  gsumfzsubmcl  13707  gsumfzmptfidmadd  13708  gsumfzmhm  13712  gsumfzfsum  14383  znidomb  14453  plyaddlem1  15252  2logb9irr  15476  2logb9irrap  15482  lgsdilem2  15546  gausslemma2dlem2  15572  gausslemma2dlem4  15574  gausslemma2dlem5  15576  gausslemma2dlem6  15577  lgsquadlem1  15587  lgsquadlem3  15589  2lgslem1  15601