Theorem eluz2 9607

Description: Membership in an upper set of integers. We use the fact that a function's value (under our function value definition) is empty outside of its domain to show M e. ZZ. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )

Proof of Theorem eluz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 9606	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
2		simp1 999	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> M e. ZZ )
3		eluz1 9605	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )
4		ibar 301	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ( N e. ZZ /\ M <_ N ) <-> ( M e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) ) )
5	3, 4	bitrd 188	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) ) )
6		3anass 984	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) <-> ( M e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )
7	5, 6	bitr4di 198	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )
8	1, 2, 7	pm5.21nii 705	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   e. wcel 2167   class class class wbr 4033   ` cfv 5258   <_ cle 8062   ZZcz 9326   ZZ>=cuz 9601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-ov 5925  df-neg 8200  df-z 9327  df-uz 9602

This theorem is referenced by:  eluzuzle  9609  eluzelz  9610  eluzle  9613  uztrn  9618  eluzp1p1  9627  uznn0sub  9633  uz3m2nn  9647  1eluzge0  9648  2eluzge1  9650  raluz2  9653  rexuz2  9655  peano2uz  9657  nn0pzuz  9661  uzind4  9662  nn0ge2m1nnALT  9692  elfzuzb  10094  uzsubsubfz  10122  ige2m1fz  10185  4fvwrd4  10215  elfzo2  10225  elfzouz2  10237  fzossrbm1  10249  fzossfzop1  10288  ssfzo12bi  10301  elfzonelfzo  10306  elfzomelpfzo  10307  fzosplitprm1  10310  fzostep1  10313  fzind2  10315  suprzubdc  10326  zsupssdc  10328  flqword2  10379  fldiv4p1lem1div2  10395  uzennn  10528  xnn0nnen  10529  seq3split  10580  iseqf1olemqk  10599  seq3f1olemqsumkj  10603  seq3f1olemqsumk  10604  seq3f1olemqsum  10605  bcval5  10855  seq3coll  10934  seq3shft  11003  resqrexlemoverl  11186  resqrexlemga  11188  fsum3cvg3  11561  fisumrev2  11611  isumshft  11655  cvgratnnlemseq  11691  cvgratnnlemabsle  11692  cvgratnnlemsumlt  11693  cvgratz  11697  oddge22np1  12046  nn0o  12072  uzwodc  12204  dvdsnprmd  12293  prmgt1  12300  oddprmgt2  12302  oddprmge3  12303  prm23ge5  12433  nninfdclemcl  12665  nninfdclemp1  12667  nninfdclemlt  12668  strleund  12781  strleun  12782  gsumfzz  13127  gsumfzcl  13131  gsumfzreidx  13467  gsumfzsubmcl  13468  gsumfzmptfidmadd  13469  gsumfzmhm  13473  gsumfzfsum  14144  znidomb  14214  plyaddlem1  14983  2logb9irr  15207  2logb9irrap  15213  lgsdilem2  15277  gausslemma2dlem2  15303  gausslemma2dlem4  15305  gausslemma2dlem5  15307  gausslemma2dlem6  15308  lgsquadlem1  15318  lgsquadlem3  15320  2lgslem1  15332