ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eluz2 Unicode version

Theorem eluz2 9601
Description: Membership in an upper set of integers. We use the fact that a function's value (under our function value definition) is empty outside of its domain to show  M  e.  ZZ. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
eluz2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )

Proof of Theorem eluz2
StepHypRef Expression
1 eluzel2 9600 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
2 simp1 999 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  M  e.  ZZ )
3 eluz1 9599 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) ) )
4 ibar 301 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )
) ) )
53, 4bitrd 188 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) ) ) )
6 3anass 984 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) ) )
75, 6bitr4di 198 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) ) )
81, 2, 7pm5.21nii 705 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 980    e. wcel 2164   class class class wbr 4030   ` cfv 5255    <_ cle 8057   ZZcz 9320   ZZ>=cuz 9595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5922  df-neg 8195  df-z 9321  df-uz 9596
This theorem is referenced by:  eluzuzle  9603  eluzelz  9604  eluzle  9607  uztrn  9612  eluzp1p1  9621  uznn0sub  9627  uz3m2nn  9641  1eluzge0  9642  2eluzge1  9644  raluz2  9647  rexuz2  9649  peano2uz  9651  nn0pzuz  9655  uzind4  9656  nn0ge2m1nnALT  9686  elfzuzb  10088  uzsubsubfz  10116  ige2m1fz  10179  4fvwrd4  10209  elfzo2  10219  elfzouz2  10231  fzossrbm1  10243  fzossfzop1  10282  ssfzo12bi  10295  elfzonelfzo  10300  elfzomelpfzo  10301  fzosplitprm1  10304  fzostep1  10307  fzind2  10309  flqword2  10361  fldiv4p1lem1div2  10377  uzennn  10510  xnn0nnen  10511  seq3split  10562  iseqf1olemqk  10581  seq3f1olemqsumkj  10585  seq3f1olemqsumk  10586  seq3f1olemqsum  10587  bcval5  10837  seq3coll  10916  seq3shft  10985  resqrexlemoverl  11168  resqrexlemga  11170  fsum3cvg3  11542  fisumrev2  11592  isumshft  11636  cvgratnnlemseq  11672  cvgratnnlemabsle  11673  cvgratnnlemsumlt  11674  cvgratz  11678  oddge22np1  12025  nn0o  12051  suprzubdc  12092  zsupssdc  12094  uzwodc  12177  dvdsnprmd  12266  prmgt1  12273  oddprmgt2  12275  oddprmge3  12276  prm23ge5  12405  nninfdclemcl  12608  nninfdclemp1  12610  nninfdclemlt  12611  strleund  12724  strleun  12725  gsumfzz  13070  gsumfzcl  13074  gsumfzreidx  13410  gsumfzsubmcl  13411  gsumfzmptfidmadd  13412  gsumfzmhm  13416  gsumfzfsum  14087  znidomb  14157  plyaddlem1  14926  2logb9irr  15144  2logb9irrap  15150  lgsdilem2  15193  gausslemma2dlem2  15219  gausslemma2dlem4  15221  gausslemma2dlem5  15223  gausslemma2dlem6  15224  lgsquadlem1  15234  lgsquadlem3  15236  2lgslem1  15248
  Copyright terms: Public domain W3C validator