Theorem eluz2 9822

Description: Membership in an upper set of integers. We use the fact that a function's value (under our function value definition) is empty outside of its domain to show M e. ZZ. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )

Proof of Theorem eluz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 9821	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
2		simp1 1024	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> M e. ZZ )
3		eluz1 9820	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )
4		ibar 301	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ( N e. ZZ /\ M <_ N ) <-> ( M e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) ) )
5	3, 4	bitrd 188	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) ) )
6		3anass 1009	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) <-> ( M e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )
7	5, 6	bitr4di 198	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )
8	1, 2, 7	pm5.21nii 712	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   e. wcel 2202   class class class wbr 4093   ` cfv 5333   <_ cle 8274   ZZcz 9540   ZZ>=cuz 9816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-ov 6031  df-neg 8412  df-z 9541  df-uz 9817

This theorem is referenced by:  eluzmn  9823  eluzuzle  9825  eluzelz  9826  eluzle  9829  uztrn  9834  eluzp1p1  9843  uznn0sub  9849  5eluz3  9856  uz3m2nn  9868  1eluzge0  9869  2eluzge1  9871  raluz2  9874  rexuz2  9876  peano2uz  9878  nn0pzuz  9882  uzind4  9883  nn0ge2m1nnALT  9913  elfzuzb  10316  uzsubsubfz  10344  ige2m1fz  10407  4fvwrd4  10437  elfzo2  10447  elfzouz2  10459  fzossrbm1  10472  fzossfzop1  10520  ssfzo12bi  10533  elfzonelfzo  10538  elfzomelpfzo  10539  fzosplitprm1  10543  fzostep1  10546  fzind2  10548  suprzubdc  10559  zsupssdc  10561  flqword2  10612  fldiv4p1lem1div2  10628  uzennn  10761  xnn0nnen  10762  seq3split  10813  iseqf1olemqk  10832  seq3f1olemqsumkj  10836  seq3f1olemqsumk  10837  seq3f1olemqsum  10838  bcval5  11088  seq3coll  11169  swrdsbslen  11313  swrdspsleq  11314  pfxtrcfv0  11341  pfxtrcfvl  11344  pfxccatin12lem2a  11374  seq3shft  11478  resqrexlemoverl  11661  resqrexlemga  11663  fsum3cvg3  12037  fisumrev2  12087  isumshft  12131  cvgratnnlemseq  12167  cvgratnnlemabsle  12168  cvgratnnlemsumlt  12169  cvgratz  12173  oddge22np1  12522  nn0o  12548  bitsmod  12597  uzwodc  12688  dvdsnprmd  12777  prmgt1  12784  oddprmgt2  12786  oddprmge3  12787  prm23ge5  12917  nninfdclemcl  13149  nninfdclemp1  13151  nninfdclemlt  13152  strleund  13266  strleun  13267  gsumfzz  13658  gsumfzcl  13662  gsumfzreidx  14004  gsumfzsubmcl  14005  gsumfzmptfidmadd  14006  gsumfzmhm  14010  gsumsplit0  14013  gsumfzfsum  14684  znidomb  14754  plyaddlem1  15558  2logb9irr  15782  2logb9irrap  15788  lgsdilem2  15855  gausslemma2dlem2  15881  gausslemma2dlem4  15883  gausslemma2dlem5  15885  gausslemma2dlem6  15886  lgsquadlem1  15896  lgsquadlem3  15898  2lgslem1  15910  clwwlkext2edg  16363  trlsegvdeglem6  16406  gsumgfsumlem  16812  gsumgfsum  16813