ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eluz2 Unicode version

Theorem eluz2 9344
Description: Membership in an upper set of integers. We use the fact that a function's value (under our function value definition) is empty outside of its domain to show  M  e.  ZZ. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
eluz2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )

Proof of Theorem eluz2
StepHypRef Expression
1 eluzel2 9343 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
2 simp1 981 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  M  e.  ZZ )
3 eluz1 9342 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) ) )
4 ibar 299 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )
) ) )
53, 4bitrd 187 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) ) ) )
6 3anass 966 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) ) )
75, 6syl6bbr 197 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) ) )
81, 2, 7pm5.21nii 693 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 962    e. wcel 1480   class class class wbr 3929   ` cfv 5123    <_ cle 7813   ZZcz 9066   ZZ>=cuz 9338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-neg 7948  df-z 9067  df-uz 9339
This theorem is referenced by:  eluzuzle  9346  eluzelz  9347  eluzle  9350  uztrn  9354  eluzp1p1  9363  uznn0sub  9369  uz3m2nn  9380  1eluzge0  9381  2eluzge1  9383  raluz2  9386  rexuz2  9388  peano2uz  9390  nn0pzuz  9394  uzind4  9395  nn0ge2m1nnALT  9422  elfzuzb  9812  uzsubsubfz  9839  ige2m1fz  9902  4fvwrd4  9929  elfzo2  9939  elfzouz2  9950  fzossrbm1  9962  fzossfzop1  10001  ssfzo12bi  10014  elfzonelfzo  10019  elfzomelpfzo  10020  fzosplitprm1  10023  fzostep1  10026  fzind2  10028  flqword2  10074  fldiv4p1lem1div2  10090  uzennn  10221  seq3split  10264  iseqf1olemqk  10279  seq3f1olemqsumkj  10283  seq3f1olemqsumk  10284  seq3f1olemqsum  10285  bcval5  10521  seq3coll  10597  seq3shft  10622  resqrexlemoverl  10805  resqrexlemga  10807  fsum3cvg3  11177  fisumrev2  11227  isumshft  11271  cvgratnnlemseq  11307  cvgratnnlemabsle  11308  cvgratnnlemsumlt  11309  cvgratz  11313  oddge22np1  11589  nn0o  11615  dvdsnprmd  11817  prmgt1  11823  oddprmgt2  11825  oddprmge3  11826  strleund  12061  strleun  12062
  Copyright terms: Public domain W3C validator