Theorem eluz2 9480

Description: Membership in an upper set of integers. We use the fact that a function's value (under our function value definition) is empty outside of its domain to show M e. ZZ. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )

Proof of Theorem eluz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 9479	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
2		simp1 992	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> M e. ZZ )
3		eluz1 9478	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )
4		ibar 299	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ( N e. ZZ /\ M <_ N ) <-> ( M e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) ) )
5	3, 4	bitrd 187	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) ) )
6		3anass 977	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) <-> ( M e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )
7	5, 6	bitr4di 197	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )
8	1, 2, 7	pm5.21nii 699	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   e. wcel 2141   class class class wbr 3987   ` cfv 5196   <_ cle 7942   ZZcz 9199   ZZ>=cuz 9474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-ov 5853  df-neg 8080  df-z 9200  df-uz 9475

This theorem is referenced by:  eluzuzle  9482  eluzelz  9483  eluzle  9486  uztrn  9490  eluzp1p1  9499  uznn0sub  9505  uz3m2nn  9519  1eluzge0  9520  2eluzge1  9522  raluz2  9525  rexuz2  9527  peano2uz  9529  nn0pzuz  9533  uzind4  9534  nn0ge2m1nnALT  9564  elfzuzb  9962  uzsubsubfz  9990  ige2m1fz  10053  4fvwrd4  10083  elfzo2  10093  elfzouz2  10104  fzossrbm1  10116  fzossfzop1  10155  ssfzo12bi  10168  elfzonelfzo  10173  elfzomelpfzo  10174  fzosplitprm1  10177  fzostep1  10180  fzind2  10182  flqword2  10232  fldiv4p1lem1div2  10248  uzennn  10379  seq3split  10422  iseqf1olemqk  10437  seq3f1olemqsumkj  10441  seq3f1olemqsumk  10442  seq3f1olemqsum  10443  bcval5  10684  seq3coll  10764  seq3shft  10789  resqrexlemoverl  10972  resqrexlemga  10974  fsum3cvg3  11346  fisumrev2  11396  isumshft  11440  cvgratnnlemseq  11476  cvgratnnlemabsle  11477  cvgratnnlemsumlt  11478  cvgratz  11482  oddge22np1  11827  nn0o  11853  suprzubdc  11894  zsupssdc  11896  uzwodc  11979  dvdsnprmd  12066  prmgt1  12073  oddprmgt2  12075  oddprmge3  12076  prm23ge5  12205  nninfdclemcl  12390  nninfdclemp1  12392  nninfdclemlt  12393  strleund  12493  strleun  12494  2logb9irr  13642  2logb9irrap  13648  lgsdilem2  13690