Theorem eluz2 9906

Description: Membership in an upper set of integers. We use the fact that a function's value (under our function value definition) is empty outside of its domain to show M e. ZZ. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )

Proof of Theorem eluz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 9905	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
2		simp1 1028	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> M e. ZZ )
3		eluz1 9904	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )
4		ibar 301	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ( N e. ZZ /\ M <_ N ) <-> ( M e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) ) )
5	3, 4	bitrd 188	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) ) )
6		3anass 1013	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) <-> ( M e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )
7	5, 6	bitr4di 198	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )
8	1, 2, 7	pm5.21nii 716	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   class class class wbr 4125   ` cfv 5372   <_ cle 8351   ZZcz 9623   ZZ>=cuz 9900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-ov 6078  df-neg 8490  df-z 9624  df-uz 9901

This theorem is referenced by:  eluzmn  9907  eluzuzle  9909  eluzelz  9910  eluzle  9913  uztrn  9918  eluzp1p1  9927  uznn0sub  9933  5eluz3  9940  uz3m2nn  9952  1eluzge0  9953  2eluzge1  9955  raluz2  9958  rexuz2  9960  peano2uz  9962  nn0pzuz  9966  uzind4  9967  nn0ge2m1nnALT  9997  elfzuzb  10401  uzsubsubfz  10430  ige2m1fz  10495  4fvwrd4  10525  elfzo2  10535  elfzouz2  10547  fzossrbm1  10560  fzossfzop1  10608  ssfzo12bi  10621  elfzonelfzo  10626  elfzomelpfzo  10627  fzosplitprm1  10631  fzostep1  10634  fzind2  10636  suprzubdc  10649  zsupssdc  10651  flqword2  10702  fldiv4p1lem1div2  10718  uzennn  10851  xnn0nnen  10852  seq3split  10903  iseqf1olemqk  10922  seq3f1olemqsumkj  10926  seq3f1olemqsumk  10927  seq3f1olemqsum  10928  bcval5  11179  seq3coll  11272  swrdsbslen  11416  swrdspsleq  11417  pfxtrcfv0  11444  pfxtrcfvl  11447  pfxccatin12lem2a  11477  seq3shft  11581  resqrexlemoverl  11765  resqrexlemga  11767  fsum3cvg3  12141  fisumrev2  12191  isumshft  12235  cvgratnnlemseq  12271  cvgratnnlemabsle  12272  cvgratnnlemsumlt  12273  cvgratz  12277  oddge22np1  12626  nn0o  12652  bitsmod  12701  uzwodc  12792  dvdsnprmd  12881  prmgt1  12888  oddprmgt2  12890  oddprmge3  12891  prm23ge5  13021  ballotfilemsdom  13233  ballotfilemsel1i  13234  ballotfilemfrceq  13250  nninfdclemcl  13317  nninfdclemp1  13319  nninfdclemlt  13320  strleund  13434  strleun  13435  gzsumcl  13781  gzsumreidx  14118  gzsumsubmcl  14119  gzsummhm  14122  gzsumsplit0  14125  gzsumshift  14126  gzsumgsum  14132  znidomb  14965  plyaddlem1  15771  2logb9irr  15996  2logb9irrap  16002  lgsdilem2  16069  gausslemma2dlem2  16095  gausslemma2dlem4  16097  gausslemma2dlem5  16099  gausslemma2dlem6  16100  lgsquadlem1  16110  lgsquadlem3  16112  2lgslem1  16124  clwwlkext2edg  16577  trlsegvdeglem6  16620