Theorem eluz2 9728

Description: Membership in an upper set of integers. We use the fact that a function's value (under our function value definition) is empty outside of its domain to show M e. ZZ. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )

Proof of Theorem eluz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 9727	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
2		simp1 1021	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> M e. ZZ )
3		eluz1 9726	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )
4		ibar 301	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ( N e. ZZ /\ M <_ N ) <-> ( M e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) ) )
5	3, 4	bitrd 188	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) ) )
6		3anass 1006	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) <-> ( M e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )
7	5, 6	bitr4di 198	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )
8	1, 2, 7	pm5.21nii 709	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   ` cfv 5318   <_ cle 8182   ZZcz 9446   ZZ>=cuz 9722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-ov 6004  df-neg 8320  df-z 9447  df-uz 9723

This theorem is referenced by:  eluzuzle  9730  eluzelz  9731  eluzle  9734  uztrn  9739  eluzp1p1  9748  uznn0sub  9754  uz3m2nn  9768  1eluzge0  9769  2eluzge1  9771  raluz2  9774  rexuz2  9776  peano2uz  9778  nn0pzuz  9782  uzind4  9783  nn0ge2m1nnALT  9813  elfzuzb  10215  uzsubsubfz  10243  ige2m1fz  10306  4fvwrd4  10336  elfzo2  10346  elfzouz2  10358  fzossrbm1  10371  fzossfzop1  10418  ssfzo12bi  10431  elfzonelfzo  10436  elfzomelpfzo  10437  fzosplitprm1  10440  fzostep1  10443  fzind2  10445  suprzubdc  10456  zsupssdc  10458  flqword2  10509  fldiv4p1lem1div2  10525  uzennn  10658  xnn0nnen  10659  seq3split  10710  iseqf1olemqk  10729  seq3f1olemqsumkj  10733  seq3f1olemqsumk  10734  seq3f1olemqsum  10735  bcval5  10985  seq3coll  11064  swrdsbslen  11198  swrdspsleq  11199  pfxtrcfv0  11226  pfxtrcfvl  11229  pfxccatin12lem2a  11259  seq3shft  11349  resqrexlemoverl  11532  resqrexlemga  11534  fsum3cvg3  11907  fisumrev2  11957  isumshft  12001  cvgratnnlemseq  12037  cvgratnnlemabsle  12038  cvgratnnlemsumlt  12039  cvgratz  12043  oddge22np1  12392  nn0o  12418  bitsmod  12467  uzwodc  12558  dvdsnprmd  12647  prmgt1  12654  oddprmgt2  12656  oddprmge3  12657  prm23ge5  12787  nninfdclemcl  13019  nninfdclemp1  13021  nninfdclemlt  13022  strleund  13136  strleun  13137  gsumfzz  13528  gsumfzcl  13532  gsumfzreidx  13874  gsumfzsubmcl  13875  gsumfzmptfidmadd  13876  gsumfzmhm  13880  gsumfzfsum  14552  znidomb  14622  plyaddlem1  15421  2logb9irr  15645  2logb9irrap  15651  lgsdilem2  15715  gausslemma2dlem2  15741  gausslemma2dlem4  15743  gausslemma2dlem5  15745  gausslemma2dlem6  15746  lgsquadlem1  15756  lgsquadlem3  15758  2lgslem1  15770