Theorem eluz2 9927

Description: Membership in an upper set of integers. We use the fact that a function's value (under our function value definition) is empty outside of its domain to show M e. ZZ. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )

Proof of Theorem eluz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 9926	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
2		simp1 1028	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> M e. ZZ )
3		eluz1 9925	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )
4		ibar 301	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ( N e. ZZ /\ M <_ N ) <-> ( M e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) ) )
5	3, 4	bitrd 188	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) ) )
6		3anass 1013	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) <-> ( M e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )
7	5, 6	bitr4di 198	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )
8	1, 2, 7	pm5.21nii 716	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )

This proof depends on syntax axioms:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   ` cfv 5377   <_ cle 8361   ZZcz 9644   ZZ>=cuz 9921

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-ov 6088  df-neg 8500  df-z 9645  df-uz 9922

This theorem is used by:  eluzmn  9928  eluzuzle  9930  eluzelz  9931  eluzle  9934  uztrn  9939  eluzp1p1  9948  uznn0sub  9954  5eluz3  9961  uz3m2nn  9973  1eluzge0  9974  2eluzge1  9976  raluz2  9979  rexuz2  9981  peano2uz  9983  nn0pzuz  9987  uzind4  9988  nn0ge2m1nnALT  10018  elfzuzb  10422  uzsubsubfz  10452  ige2m1fz  10517  4fvwrd4  10547  elfzo2  10557  elfzouz2  10569  fzossrbm1  10582  fzossfzop1  10630  ssfzo12bi  10643  elfzonelfzo  10648  elfzomelpfzo  10649  fzosplitprm1  10653  fzostep1  10656  fzind2  10658  suprzubdc  10671  zsupssdc  10673  flqword2  10724  fldiv4p1lem1div2  10740  uzennn  10873  xnn0nnen  10874  seq3split  10925  iseqf1olemqk  10944  seq3f1olemqsumkj  10948  seq3f1olemqsumk  10949  seq3f1olemqsum  10950  bcval5  11201  seq3coll  11294  swrdsbslen  11438  swrdspsleq  11439  pfxtrcfv0  11466  pfxtrcfvl  11469  pfxccatin12lem2a  11499  seq3shft  11603  resqrexlemoverl  11787  resqrexlemga  11789  fsum3cvg3  12163  fisumrev2  12213  isumshft  12257  cvgratnnlemseq  12293  cvgratnnlemabsle  12294  cvgratnnlemsumlt  12295  cvgratz  12299  oddge22np1  12648  nn0o  12674  bitsmod  12723  uzwodc  12814  dvdsnprmd  12903  prmgt1  12910  oddprmgt2  12912  oddprmge3  12913  prm23ge5  13043  ballotfilemsdom  13255  ballotfilemsel1i  13256  ballotfilemfrceq  13272  nninfdclemcl  13339  nninfdclemp1  13341  nninfdclemlt  13342  strleund  13457  strleun  13458  gzsumcl  13804  gzsumreidx  14141  gzsumsubmcl  14142  gzsummhm  14145  gzsumsplit0  14148  gzsumshift  14149  gzsumgsum  14155  znidomb  14993  plyaddlem1  15848  2logb9irr  16073  2logb9irrap  16079  lgsdilem2  16155  gausslemma2dlem2  16181  gausslemma2dlem4  16183  gausslemma2dlem5  16185  gausslemma2dlem6  16186  lgsquadlem1  16196  lgsquadlem3  16198  2lgslem1  16210  clwwlkext2edg  16663  trlsegvdeglem6  16706