ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rexuz2 GIF version

Theorem rexuz2 8978
Description: Restricted existential quantification in an upper set of integers. (Contributed by NM, 9-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
rexuz2 (∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)𝜑 ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑀𝑛𝜑)))
Distinct variable group:   𝑛,𝑀
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem rexuz2
StepHypRef Expression
1 eluz2 8934 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑛))
2 df-3an 924 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑛) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑛))
31, 2bitri 182 . . . . 5 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑛))
43anbi1i 446 . . . 4 ((𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝜑) ↔ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑛) ∧ 𝜑))
5 anass 393 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑛) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑛𝜑)))
6 anass 393 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑛𝜑)) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑛𝜑))))
7 an12 526 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑛𝜑))) ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑛𝜑))))
86, 7bitri 182 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑛𝜑)) ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑛𝜑))))
95, 8bitri 182 . . . 4 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑛) ∧ 𝜑) ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑛𝜑))))
104, 9bitri 182 . . 3 ((𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝜑) ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑛𝜑))))
1110rexbii2 2385 . 2 (∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)𝜑 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑛𝜑)))
12 r19.42v 2519 . 2 (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑛𝜑)) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑀𝑛𝜑)))
1311, 12bitri 182 1 (∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)𝜑 ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑀𝑛𝜑)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 102  wb 103  w3a 922  wcel 1436  wrex 2356   class class class wbr 3814  cfv 4972  cle 7444  cz 8660  cuz 8928
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-id 4087  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-fv 4980  df-ov 5597  df-neg 7577  df-z 8661  df-uz 8929
This theorem is referenced by:  2rexuz  8979
  Copyright terms: Public domain W3C validator