Theorem rexuz2 9722

Description: Restricted existential quantification in an upper set of integers. (Contributed by NM, 9-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
rexuz2	⊢ (∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝜑 ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑)))

Distinct variable group:   𝑛,𝑀

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem rexuz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9674	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑛))
2		df-3an 983	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑛) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑛))
3	1, 2	bitri 184	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑛))
4	3	anbi1i 458	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝜑) ↔ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑛) ∧ 𝜑))
5		anass 401	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑛) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑)))
6		anass 401	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑)) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑))))
7		an12 561	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑))) ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑))))
8	6, 7	bitri 184	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑)) ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑))))
9	5, 8	bitri 184	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑛) ∧ 𝜑) ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑))))
10	4, 9	bitri 184	. . 3 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝜑) ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑))))
11	10	rexbii2 2518	. 2 ⊢ (∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝜑 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑)))
12		r19.42v 2664	. 2 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑)) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑)))
13	11, 12	bitri 184	1 ⊢ (∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝜑 ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑)))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 981   ∈ wcel 2177  ∃wrex 2486   class class class wbr 4051  ‘cfv 5280   ≤ cle 8128  ℤcz 9392  ℤ_≥cuz 9668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-fv 5288  df-ov 5960  df-neg 8266  df-z 9393  df-uz 9669

This theorem is referenced by:  2rexuz  9723