Theorem snnen2oprc 6656

Description: A singleton {𝐴} is never equinumerous with the ordinal number 2. If 𝐴 is a set, see snnen2og 6655. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
snnen2oprc	⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ {𝐴} ≈ 2o)

Proof of Theorem snnen2oprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on0 6229	. . 3 ⊢ 2o ≠ ∅
2		ensymb 6577	. . . 4 ⊢ (∅ ≈ 2o ↔ 2o ≈ ∅)
3		en0 6592	. . . 4 ⊢ (2o ≈ ∅ ↔ 2o = ∅)
4	2, 3	bitri 183	. . 3 ⊢ (∅ ≈ 2o ↔ 2o = ∅)
5	1, 4	nemtbir 2351	. 2 ⊢ ¬ ∅ ≈ 2o
6		snprc 3527	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
7	6	biimpi 119	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝐴} = ∅)
8	7	breq1d 3877	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ({𝐴} ≈ 2o ↔ ∅ ≈ 2o))
9	5, 8	mtbiri 638	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ {𝐴} ≈ 2o)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1296   ∈ wcel 1445  Vcvv 2633  ∅c0 3302  {csn 3466   class class class wbr 3867  2_oc2o 6213   ≈ cen 6535

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-v 2635  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-tr 3959  df-id 4144  df-iord 4217  df-on 4219  df-suc 4222  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-1o 6219  df-2o 6220  df-er 6332  df-en 6538

This theorem is referenced by: (None)