Theorem snnen2oprc 6957

Description: A singleton {𝐴} is never equinumerous with the ordinal number 2. If 𝐴 is a set, see snnen2og 6956. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
snnen2oprc	⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ {𝐴} ≈ 2o)

Proof of Theorem snnen2oprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on0 6512	. . 3 ⊢ 2o ≠ ∅
2		ensymb 6872	. . . 4 ⊢ (∅ ≈ 2o ↔ 2o ≈ ∅)
3		en0 6887	. . . 4 ⊢ (2o ≈ ∅ ↔ 2o = ∅)
4	2, 3	bitri 184	. . 3 ⊢ (∅ ≈ 2o ↔ 2o = ∅)
5	1, 4	nemtbir 2465	. 2 ⊢ ¬ ∅ ≈ 2o
6		snprc 3698	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
7	6	biimpi 120	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝐴} = ∅)
8	7	breq1d 4054	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ({𝐴} ≈ 2o ↔ ∅ ≈ 2o))
9	5, 8	mtbiri 677	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ {𝐴} ≈ 2o)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2176  Vcvv 2772  ∅c0 3460  {csn 3633   class class class wbr 4044  2_oc2o 6496   ≈ cen 6825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-tr 4143  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-suc 4418  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-1o 6502  df-2o 6503  df-er 6620  df-en 6828

This theorem is referenced by: (None)