Theorem snnen2oprc 6956

Description: A singleton {𝐴} is never equinumerous with the ordinal number 2. If 𝐴 is a set, see snnen2og 6955. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
snnen2oprc	⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ {𝐴} ≈ 2o)

Proof of Theorem snnen2oprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on0 6511	. . 3 ⊢ 2o ≠ ∅
2		ensymb 6871	. . . 4 ⊢ (∅ ≈ 2o ↔ 2o ≈ ∅)
3		en0 6886	. . . 4 ⊢ (2o ≈ ∅ ↔ 2o = ∅)
4	2, 3	bitri 184	. . 3 ⊢ (∅ ≈ 2o ↔ 2o = ∅)
5	1, 4	nemtbir 2464	. 2 ⊢ ¬ ∅ ≈ 2o
6		snprc 3697	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
7	6	biimpi 120	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝐴} = ∅)
8	7	breq1d 4053	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ({𝐴} ≈ 2o ↔ ∅ ≈ 2o))
9	5, 8	mtbiri 676	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ {𝐴} ≈ 2o)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  Vcvv 2771  ∅c0 3459  {csn 3632   class class class wbr 4043  2_oc2o 6495   ≈ cen 6824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-tr 4142  df-id 4339  df-iord 4412  df-on 4414  df-suc 4417  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-1o 6501  df-2o 6502  df-er 6619  df-en 6827

This theorem is referenced by: (None)