Theorem snnen2oprc 6838

Description: A singleton {𝐴} is never equinumerous with the ordinal number 2. If 𝐴 is a set, see snnen2og 6837. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
snnen2oprc	⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ {𝐴} ≈ 2o)

Proof of Theorem snnen2oprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on0 6405	. . 3 ⊢ 2o ≠ ∅
2		ensymb 6758	. . . 4 ⊢ (∅ ≈ 2o ↔ 2o ≈ ∅)
3		en0 6773	. . . 4 ⊢ (2o ≈ ∅ ↔ 2o = ∅)
4	2, 3	bitri 183	. . 3 ⊢ (∅ ≈ 2o ↔ 2o = ∅)
5	1, 4	nemtbir 2429	. 2 ⊢ ¬ ∅ ≈ 2o
6		snprc 3648	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
7	6	biimpi 119	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝐴} = ∅)
8	7	breq1d 3999	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ({𝐴} ≈ 2o ↔ ∅ ≈ 2o))
9	5, 8	mtbiri 670	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ {𝐴} ≈ 2o)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  Vcvv 2730  ∅c0 3414  {csn 3583   class class class wbr 3989  2_oc2o 6389   ≈ cen 6716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-1o 6395  df-2o 6396  df-er 6513  df-en 6719

This theorem is referenced by: (None)