ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  snnen2oprc GIF version

Theorem snnen2oprc 6818
Description: A singleton {𝐴} is never equinumerous with the ordinal number 2. If 𝐴 is a set, see snnen2og 6817. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
snnen2oprc 𝐴 ∈ V → ¬ {𝐴} ≈ 2o)

Proof of Theorem snnen2oprc
StepHypRef Expression
1 2on0 6386 . . 3 2o ≠ ∅
2 ensymb 6738 . . . 4 (∅ ≈ 2o ↔ 2o ≈ ∅)
3 en0 6753 . . . 4 (2o ≈ ∅ ↔ 2o = ∅)
42, 3bitri 183 . . 3 (∅ ≈ 2o ↔ 2o = ∅)
51, 4nemtbir 2423 . 2 ¬ ∅ ≈ 2o
6 snprc 3636 . . . 4 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
76biimpi 119 . . 3 𝐴 ∈ V → {𝐴} = ∅)
87breq1d 3987 . 2 𝐴 ∈ V → ({𝐴} ≈ 2o ↔ ∅ ≈ 2o))
95, 8mtbiri 665 1 𝐴 ∈ V → ¬ {𝐴} ≈ 2o)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1342  wcel 2135  Vcvv 2722  c0 3405  {csn 3571   class class class wbr 3977  2oc2o 6370  cen 6696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4095  ax-nul 4103  ax-pow 4148  ax-pr 4182  ax-un 4406
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2724  df-dif 3114  df-un 3116  df-in 3118  df-ss 3125  df-nul 3406  df-pw 3556  df-sn 3577  df-pr 3578  df-op 3580  df-uni 3785  df-br 3978  df-opab 4039  df-tr 4076  df-id 4266  df-iord 4339  df-on 4341  df-suc 4344  df-xp 4605  df-rel 4606  df-cnv 4607  df-co 4608  df-dm 4609  df-rn 4610  df-res 4611  df-ima 4612  df-fun 5185  df-fn 5186  df-f 5187  df-f1 5188  df-fo 5189  df-f1o 5190  df-1o 6376  df-2o 6377  df-er 6493  df-en 6699
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator