Theorem en0 6812

Description: The empty set is equinumerous only to itself. Exercise 1 of [TakeutiZaring] p. 88. (Contributed by NM, 27-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
en0	|- ( A ~~ (/) <-> A = (/) )

Proof of Theorem en0

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bren 6764	. . 3 |- ( A ~~ (/) <-> E. f f : A -1-1-onto-> (/) )
2		f1ocnv 5488	. . . . 5 |- ( f : A -1-1-onto-> (/) -> `' f : (/) -1-1-onto-> A )
3		f1o00 5510	. . . . . 6 |- ( `' f : (/) -1-1-onto-> A <-> ( `' f = (/) /\ A = (/) ) )
4	3	simprbi 275	. . . . 5 |- ( `' f : (/) -1-1-onto-> A -> A = (/) )
5	2, 4	syl 14	. . . 4 |- ( f : A -1-1-onto-> (/) -> A = (/) )
6	5	exlimiv 1608	. . 3 |- ( E. f f : A -1-1-onto-> (/) -> A = (/) )
7	1, 6	sylbi 121	. 2 |- ( A ~~ (/) -> A = (/) )
8		0ex 4144	. . . 4 |- (/) e. _V
9	8	enref 6782	. . 3 |- (/) ~~ (/)
10		breq1 4020	. . 3 |- ( A = (/) -> ( A ~~ (/) <-> (/) ~~ (/) ) )
11	9, 10	mpbiri 168	. 2 |- ( A = (/) -> A ~~ (/) )
12	7, 11	impbii 126	1 |- ( A ~~ (/) <-> A = (/) )

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1363   E.wex 1502   (/)c0 3436   class class class wbr 4017   `'ccnv 4639   -1-1-onto->wf1o 5229   ~~ cen 6755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-sep 4135  ax-nul 4143  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ral 2472  df-rex 2473  df-v 2753  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-br 4018  df-opab 4079  df-id 4307  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-f1 5235  df-fo 5236  df-f1o 5237  df-en 6758

This theorem is referenced by:  nneneq  6874  php5  6875  snnen2oprc  6877  php5dom  6880  ssfilem  6892  dif1enen  6897  fin0  6902  fin0or  6903  diffitest  6904  findcard  6905  findcard2  6906  findcard2s  6907  diffisn  6910  fiintim  6945  fisseneq  6948  fihasheq0  10790  zfz1iso  10838