Theorem srgcom 13354

Description: Commutativity of the additive group of a semiring. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgacl.b	|- B = ( Base ` R )
srgacl.p	|- .+ = ( +g ` R )

Assertion

Ref	Expression
srgcom	|- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) )

Proof of Theorem srgcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgcmn 13337	. 2 |- ( R e. SRing -> R e. CMnd )
2		srgacl.b	. . 3 |- B = ( Base ` R )
3		srgacl.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` R )
4	2, 3	cmncom 13258	. 2 |- ( ( R e. CMnd /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) )
5	1, 4	syl3an1 1282	1 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   Basecbs 12515   +g cplusg 12592  CMndccmn 13240  SRingcsrg 13334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1re 7936  ax-addrcl 7939

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-ndx 12518  df-slot 12519  df-base 12521  df-plusg 12605  df-mulr 12606  df-0g 12766  df-cmn 13242  df-srg 13335

This theorem is referenced by: (None)