Theorem srgacl 14100

Description: Closure of the addition operation of a semiring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgacl.b	|- B = ( Base ` R )
srgacl.p	|- .+ = ( +g ` R )

Assertion

Ref	Expression
srgacl	|- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )

Proof of Theorem srgacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgmnd 14085	. 2 |- ( R e. SRing -> R e. Mnd )
2		srgacl.b	. . 3 |- B = ( Base ` R )
3		srgacl.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` R )
4	2, 3	mndcl 13610	. 2 |- ( ( R e. Mnd /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )
5	1, 4	syl3an1 1307	1 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   ` cfv 5343  (class class class)co 6041   Basecbs 13186   +g cplusg 13264   Mndcmnd 13603  SRingcsrg 14081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4221  ax-pow 4279  ax-pr 4314  ax-un 4545  ax-cnex 8206  ax-resscn 8207  ax-1re 8209  ax-addrcl 8212

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3667  df-sn 3688  df-pr 3689  df-op 3691  df-uni 3908  df-int 3943  df-br 4103  df-opab 4165  df-mpt 4166  df-id 4405  df-xp 4746  df-rel 4747  df-cnv 4748  df-co 4749  df-dm 4750  df-rn 4751  df-res 4752  df-iota 5303  df-fun 5345  df-fn 5346  df-fv 5351  df-riota 5994  df-ov 6044  df-inn 9226  df-2 9284  df-3 9285  df-ndx 13189  df-slot 13190  df-base 13192  df-plusg 13277  df-mulr 13278  df-0g 13445  df-mgm 13543  df-sgrp 13589  df-mnd 13604  df-cmn 13977  df-srg 14082

This theorem is referenced by:  srglmhm  14111  srgrmhm  14112