Theorem srgcmn 13761

Description: A semiring is a commutative monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
srgcmn	|- ( R e. SRing -> R e. CMnd )

Proof of Theorem srgcmn

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2205	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
2		eqid 2205	. . 3 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
3		eqid 2205	. . 3 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
4		eqid 2205	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
5		eqid 2205	. . 3 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
6	1, 2, 3, 4, 5	issrg 13760	. 2 |- ( R e. SRing <-> ( R e. CMnd /\ (mulGrp ` R ) e. Mnd /\ A. x e. ( Base ` R ) ( A. y e. ( Base ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( ( x ( .r ` R ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` R ) z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) ) /\ ( ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) x ) = ( 0g ` R ) /\ ( x ( .r ` R ) ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
7	6	simp1bi 1015	1 |- ( R e. SRing -> R e. CMnd )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   Basecbs 12865   +g cplusg 12942   .rcmulr 12943   0gc0g 13121   Mndcmnd 13281  CMndccmn 13653  mulGrpcmgp 13715  SRingcsrg 13758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1re 8021  ax-addrcl 8024

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-inn 9039  df-2 9097  df-3 9098  df-ndx 12868  df-slot 12869  df-base 12871  df-plusg 12955  df-mulr 12956  df-0g 13123  df-srg 13759

This theorem is referenced by:  srgmnd  13762  srgcom  13778