Theorem srgcmn 13462

Description: A semiring is a commutative monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
srgcmn	|- ( R e. SRing -> R e. CMnd )

Proof of Theorem srgcmn

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2193	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
2		eqid 2193	. . 3 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
3		eqid 2193	. . 3 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
4		eqid 2193	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
5		eqid 2193	. . 3 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
6	1, 2, 3, 4, 5	issrg 13461	. 2 |- ( R e. SRing <-> ( R e. CMnd /\ (mulGrp ` R ) e. Mnd /\ A. x e. ( Base ` R ) ( A. y e. ( Base ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( ( x ( .r ` R ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` R ) z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) ) /\ ( ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) x ) = ( 0g ` R ) /\ ( x ( .r ` R ) ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
7	6	simp1bi 1014	1 |- ( R e. SRing -> R e. CMnd )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   Basecbs 12618   +g cplusg 12695   .rcmulr 12696   0gc0g 12867   Mndcmnd 12997  CMndccmn 13354  mulGrpcmgp 13416  SRingcsrg 13459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-0g 12869  df-srg 13460

This theorem is referenced by:  srgmnd  13463  srgcom  13479