Theorem srgcmn 13345

Description: A semiring is a commutative monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
srgcmn	|- ( R e. SRing -> R e. CMnd )

Proof of Theorem srgcmn

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2189	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
2		eqid 2189	. . 3 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
3		eqid 2189	. . 3 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
4		eqid 2189	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
5		eqid 2189	. . 3 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
6	1, 2, 3, 4, 5	issrg 13344	. 2 |- ( R e. SRing <-> ( R e. CMnd /\ (mulGrp ` R ) e. Mnd /\ A. x e. ( Base ` R ) ( A. y e. ( Base ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( ( x ( .r ` R ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` R ) z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) ) /\ ( ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) x ) = ( 0g ` R ) /\ ( x ( .r ` R ) ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
7	6	simp1bi 1014	1 |- ( R e. SRing -> R e. CMnd )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   A.wral 2468   ` cfv 5238  (class class class)co 5900   Basecbs 12523   +g cplusg 12600   .rcmulr 12601   0gc0g 12772   Mndcmnd 12900  CMndccmn 13248  mulGrpcmgp 13299  SRingcsrg 13342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1re 7940  ax-addrcl 7943

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-inn 8955  df-2 9013  df-3 9014  df-ndx 12526  df-slot 12527  df-base 12529  df-plusg 12613  df-mulr 12614  df-0g 12774  df-srg 13343

This theorem is referenced by:  srgmnd  13346  srgcom  13362