ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oacl Unicode version

Theorem oacl 6203
Description: Closure law for ordinal addition. Proposition 8.2 of [TakeutiZaring] p. 57. (Contributed by NM, 5-May-1995.) (Constructive proof by Jim Kingdon, 26-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
oacl  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  +o  B
)  e.  On )

Proof of Theorem oacl
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oav 6197 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  +o  B
)  =  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  suc  z ) ,  A ) `  B
) )
2 id 19 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  A  e.  On )
3 vex 2622 . . . . . . . 8  |-  w  e. 
_V
4 suceq 4220 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  suc  z  =  suc  w )
5 eqid 2088 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  _V  |->  suc  z
)  =  ( z  e.  _V  |->  suc  z
)
63sucex 4306 . . . . . . . . 9  |-  suc  w  e.  _V
74, 5, 6fvmpt 5365 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  _V  ->  (
( z  e.  _V  |->  suc  z ) `  w
)  =  suc  w
)
83, 7ax-mp 7 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  _V  |->  suc  z ) `  w
)  =  suc  w
98eleq1i 2153 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e.  _V  |->  suc  z ) `  w
)  e.  On  <->  suc  w  e.  On )
109ralbii 2384 . . . . 5  |-  ( A. w  e.  On  (
( z  e.  _V  |->  suc  z ) `  w
)  e.  On  <->  A. w  e.  On  suc  w  e.  On )
11 suceloni 4308 . . . . 5  |-  ( w  e.  On  ->  suc  w  e.  On )
1210, 11mprgbir 2433 . . . 4  |-  A. w  e.  On  ( ( z  e.  _V  |->  suc  z
) `  w )  e.  On
1312a1i 9 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  A. w  e.  On  ( ( z  e.  _V  |->  suc  z
) `  w )  e.  On )
142, 13rdgon 6133 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( rec ( ( z  e.  _V  |->  suc  z ) ,  A
) `  B )  e.  On )
151, 14eqeltrd 2164 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  +o  B
)  e.  On )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359   _Vcvv 2619    |-> cmpt 3891   Oncon0 4181   suc csuc 4183   ` cfv 5002  (class class class)co 5634   reccrdg 6116    +o coa 6160
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-recs 6052  df-irdg 6117  df-oadd 6167
This theorem is referenced by:  omcl  6204  omv2  6208
  Copyright terms: Public domain W3C validator