Theorem oacl 6310

Description: Closure law for ordinal addition. Proposition 8.2 of [TakeutiZaring] p. 57. (Contributed by NM, 5-May-1995.) (Constructive proof by Jim Kingdon, 26-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
oacl	|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o B ) e. On )

Proof of Theorem oacl

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oav 6304	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o B ) = ( rec ( ( z e. _V |-> suc z ) , A ) ` B ) )
2		id 19	. . 3 |- ( A e. On -> A e. On )
3		vex 2660	. . . . . . . 8 |- w e. _V
4		suceq 4284	. . . . . . . . 9 |- ( z = w -> suc z = suc w )
5		eqid 2115	. . . . . . . . 9 |- ( z e. _V |-> suc z ) = ( z e. _V |-> suc z )
6	3	sucex 4375	. . . . . . . . 9 |- suc w e. _V
7	4, 5, 6	fvmpt 5452	. . . . . . . 8 |- ( w e. _V -> ( ( z e. _V |-> suc z ) ` w ) = suc w )
8	3, 7	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- ( ( z e. _V |-> suc z ) ` w ) = suc w
9	8	eleq1i 2180	. . . . . 6 |- ( ( ( z e. _V |-> suc z ) ` w ) e. On <-> suc w e. On )
10	9	ralbii 2415	. . . . 5 |- ( A. w e. On ( ( z e. _V |-> suc z ) ` w ) e. On <-> A. w e. On suc w e. On )
11		suceloni 4377	. . . . 5 |- ( w e. On -> suc w e. On )
12	10, 11	mprgbir 2464	. . . 4 |- A. w e. On ( ( z e. _V |-> suc z ) ` w ) e. On
13	12	a1i 9	. . 3 |- ( A e. On -> A. w e. On ( ( z e. _V |-> suc z ) ` w ) e. On )
14	2, 13	rdgon 6237	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( rec ( ( z e. _V |-> suc z ) , A ) ` B ) e. On )
15	1, 14	eqeltrd 2191	1 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o B ) e. On )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1314   e. wcel 1463   A.wral 2390   _Vcvv 2657   |-> cmpt 3949   Oncon0 4245   suc csuc 4247   ` cfv 5081  (class class class)co 5728   reccrdg 6220   +o coa 6264

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-iord 4248  df-on 4250  df-suc 4253  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-recs 6156  df-irdg 6221  df-oadd 6271

This theorem is referenced by:  omcl  6311  omv2  6315