Theorem oacl 6546

Description: Closure law for ordinal addition. Proposition 8.2 of [TakeutiZaring] p. 57. (Contributed by NM, 5-May-1995.) (Constructive proof by Jim Kingdon, 26-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
oacl	|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o B ) e. On )

Proof of Theorem oacl

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oav 6540	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o B ) = ( rec ( ( z e. _V |-> suc z ) , A ) ` B ) )
2		id 19	. . 3 |- ( A e. On -> A e. On )
3		vex 2775	. . . . . . . 8 |- w e. _V
4		suceq 4449	. . . . . . . . 9 |- ( z = w -> suc z = suc w )
5		eqid 2205	. . . . . . . . 9 |- ( z e. _V |-> suc z ) = ( z e. _V |-> suc z )
6	3	sucex 4547	. . . . . . . . 9 |- suc w e. _V
7	4, 5, 6	fvmpt 5656	. . . . . . . 8 |- ( w e. _V -> ( ( z e. _V |-> suc z ) ` w ) = suc w )
8	3, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( ( z e. _V |-> suc z ) ` w ) = suc w
9	8	eleq1i 2271	. . . . . 6 |- ( ( ( z e. _V |-> suc z ) ` w ) e. On <-> suc w e. On )
10	9	ralbii 2512	. . . . 5 |- ( A. w e. On ( ( z e. _V |-> suc z ) ` w ) e. On <-> A. w e. On suc w e. On )
11		onsuc 4549	. . . . 5 |- ( w e. On -> suc w e. On )
12	10, 11	mprgbir 2564	. . . 4 |- A. w e. On ( ( z e. _V |-> suc z ) ` w ) e. On
13	12	a1i 9	. . 3 |- ( A e. On -> A. w e. On ( ( z e. _V |-> suc z ) ` w ) e. On )
14	2, 13	rdgon 6472	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( rec ( ( z e. _V |-> suc z ) , A ) ` B ) e. On )
15	1, 14	eqeltrd 2282	1 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o B ) e. On )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   _Vcvv 2772   |-> cmpt 4105   Oncon0 4410   suc csuc 4412   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   reccrdg 6455   +o coa 6499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-suc 4418  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-recs 6391  df-irdg 6456  df-oadd 6506

This theorem is referenced by:  omcl  6547  omv2  6551