Theorem suceloni 4377

Description: The successor of an ordinal number is an ordinal number. Proposition 7.24 of [TakeutiZaring] p. 41. (Contributed by NM, 6-Jun-1994.)

Assertion

Ref	Expression
suceloni	⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem suceloni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 4257	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		ordsucim 4376	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → Ord suc 𝐴)
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord suc 𝐴)
4		sucexg 4374	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ V)
5		elong 4255	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ∈ V → (suc 𝐴 ∈ On ↔ Ord suc 𝐴))
6	4, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (suc 𝐴 ∈ On ↔ Ord suc 𝐴))
7	3, 6	mpbird 166	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   ∈ wcel 1463  Vcvv 2657  Ord word 4244  Oncon0 4245  suc csuc 4247

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ral 2395  df-rex 2396  df-v 2659  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-uni 3703  df-tr 3987  df-iord 4248  df-on 4250  df-suc 4253

This theorem is referenced by:  sucelon  4379  unon  4387  onsuci  4392  ordsucunielexmid  4406  tfrlemisucaccv  6176  tfrexlem  6185  tfri1dALT  6202  rdgisuc1  6235  rdgon  6237  oacl  6310  oasuc  6314  omsuc  6322