Theorem suceloni 4485

Description: The successor of an ordinal number is an ordinal number. Proposition 7.24 of [TakeutiZaring] p. 41. (Contributed by NM, 6-Jun-1994.)

Assertion

Ref	Expression
suceloni	⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem suceloni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 4360	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		ordsucim 4484	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → Ord suc 𝐴)
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord suc 𝐴)
4		sucexg 4482	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ V)
5		elong 4358	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ∈ V → (suc 𝐴 ∈ On ↔ Ord suc 𝐴))
6	4, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (suc 𝐴 ∈ On ↔ Ord suc 𝐴))
7	3, 6	mpbird 166	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   ∈ wcel 2141  Vcvv 2730  Ord word 4347  Oncon0 4348  suc csuc 4350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-uni 3797  df-tr 4088  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356

This theorem is referenced by:  sucelon  4487  unon  4495  onsuci  4500  ordsucunielexmid  4515  tfrlemisucaccv  6304  tfrexlem  6313  tfri1dALT  6330  rdgisuc1  6363  rdgon  6365  oacl  6439  oasuc  6443  omsuc  6451