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Theorem rdgon 6363
Description: Evaluating the recursive definition generator produces an ordinal. There is a hypothesis that the characteristic function produces ordinals on ordinal arguments. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jul-2019.) (Revised by Jim Kingdon, 13-Apr-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
rdgon.2  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
rdgon.3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  On  ( F `  x )  e.  On )
Assertion
Ref Expression
rdgon  |-  ( (
ph  /\  B  e.  On )  ->  ( rec ( F ,  A
) `  B )  e.  On )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F    ph, x

Proof of Theorem rdgon
Dummy variables  f  g  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-irdg 6347 . 2  |-  rec ( F ,  A )  = recs ( ( g  e. 
_V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g
( F `  (
g `  x )
) ) ) )
2 funmpt 5234 . . 3  |-  Fun  (
g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) )
32a1i 9 . 2  |-  ( (
ph  /\  B  e.  On )  ->  Fun  (
g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) ) )
4 ordon 4468 . . 3  |-  Ord  On
54a1i 9 . 2  |-  ( (
ph  /\  B  e.  On )  ->  Ord  On )
6 vex 2733 . . . 4  |-  f  e. 
_V
7 rdgon.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
87adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  e.  On )  ->  A  e.  On )
983ad2ant1 1013 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On  /\  f : y --> On )  ->  A  e.  On )
106dmex 4875 . . . . . 6  |-  dom  f  e.  _V
11 fveq2 5494 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( f `  z )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( f `  z
) ) )
1211eleq1d 2239 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( f `  z )  ->  (
( F `  x
)  e.  On  <->  ( F `  ( f `  z
) )  e.  On ) )
13 rdgon.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  On  ( F `  x )  e.  On )
1413adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  B  e.  On )  ->  A. x  e.  On  ( F `  x )  e.  On )
15143ad2ant1 1013 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On  /\  f : y --> On )  ->  A. x  e.  On  ( F `  x )  e.  On )
1615adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On  /\  f : y --> On )  /\  z  e. 
dom  f )  ->  A. x  e.  On  ( F `  x )  e.  On )
17 simpl3 997 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On  /\  f : y --> On )  /\  z  e. 
dom  f )  -> 
f : y --> On )
18 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On  /\  f : y --> On )  /\  z  e. 
dom  f )  -> 
z  e.  dom  f
)
19 fdm 5351 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : y --> On  ->  dom  f  =  y )
2019eleq2d 2240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : y --> On  ->  ( z  e.  dom  f  <->  z  e.  y ) )
2117, 20syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On  /\  f : y --> On )  /\  z  e. 
dom  f )  -> 
( z  e.  dom  f 
<->  z  e.  y ) )
2218, 21mpbid 146 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On  /\  f : y --> On )  /\  z  e. 
dom  f )  -> 
z  e.  y )
2317, 22ffvelrnd 5630 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On  /\  f : y --> On )  /\  z  e. 
dom  f )  -> 
( f `  z
)  e.  On )
2412, 16, 23rspcdva 2839 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On  /\  f : y --> On )  /\  z  e. 
dom  f )  -> 
( F `  (
f `  z )
)  e.  On )
2524ralrimiva 2543 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On  /\  f : y --> On )  ->  A. z  e.  dom  f ( F `  ( f `  z
) )  e.  On )
26 fveq2 5494 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
f `  x )  =  ( f `  z ) )
2726fveq2d 5498 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  ( f `  x ) )  =  ( F `  (
f `  z )
) )
2827eleq1d 2239 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
( F `  (
f `  x )
)  e.  On  <->  ( F `  ( f `  z
) )  e.  On ) )
2928cbvralv 2696 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  dom  f ( F `  ( f `
 x ) )  e.  On  <->  A. z  e.  dom  f ( F `
 ( f `  z ) )  e.  On )
3025, 29sylibr 133 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On  /\  f : y --> On )  ->  A. x  e.  dom  f ( F `  ( f `  x
) )  e.  On )
31 iunon 6261 . . . . . 6  |-  ( ( dom  f  e.  _V  /\ 
A. x  e.  dom  f ( F `  ( f `  x
) )  e.  On )  ->  U_ x  e.  dom  f ( F `  ( f `  x
) )  e.  On )
3210, 30, 31sylancr 412 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On  /\  f : y --> On )  ->  U_ x  e.  dom  f ( F `  ( f `  x
) )  e.  On )
33 onun2 4472 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  U_ x  e.  dom  f
( F `  (
f `  x )
)  e.  On )  ->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  f
( F `  (
f `  x )
) )  e.  On )
349, 32, 33syl2anc 409 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On  /\  f : y --> On )  -> 
( A  u.  U_ x  e.  dom  f ( F `  ( f `
 x ) ) )  e.  On )
35 dmeq 4809 . . . . . . 7  |-  ( g  =  f  ->  dom  g  =  dom  f )
36 fveq1 5493 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  f  ->  (
g `  x )  =  ( f `  x ) )
3736fveq2d 5498 . . . . . . 7  |-  ( g  =  f  ->  ( F `  ( g `  x ) )  =  ( F `  (
f `  x )
) )
3835, 37iuneq12d 3895 . . . . . 6  |-  ( g  =  f  ->  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) )  = 
U_ x  e.  dom  f ( F `  ( f `  x
) ) )
3938uneq2d 3281 . . . . 5  |-  ( g  =  f  ->  ( A  u.  U_ x  e. 
dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) )  =  ( A  u.  U_ x  e.  dom  f
( F `  (
f `  x )
) ) )
40 eqid 2170 . . . . 5  |-  ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e. 
dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) )  =  ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e. 
dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) )
4139, 40fvmptg 5570 . . . 4  |-  ( ( f  e.  _V  /\  ( A  u.  U_ x  e.  dom  f ( F `
 ( f `  x ) ) )  e.  On )  -> 
( ( g  e. 
_V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g
( F `  (
g `  x )
) ) ) `  f )  =  ( A  u.  U_ x  e.  dom  f ( F `
 ( f `  x ) ) ) )
426, 34, 41sylancr 412 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On  /\  f : y --> On )  -> 
( ( g  e. 
_V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g
( F `  (
g `  x )
) ) ) `  f )  =  ( A  u.  U_ x  e.  dom  f ( F `
 ( f `  x ) ) ) )
4342, 34eqeltrd 2247 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On  /\  f : y --> On )  -> 
( ( g  e. 
_V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g
( F `  (
g `  x )
) ) ) `  f )  e.  On )
44 unon 4493 . . . . . 6  |-  U. On  =  On
4544eleq2i 2237 . . . . 5  |-  ( y  e.  U. On  <->  y  e.  On )
4645biimpi 119 . . . 4  |-  ( y  e.  U. On  ->  y  e.  On )
4746adantl 275 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  U. On )  -> 
y  e.  On )
48 suceloni 4483 . . 3  |-  ( y  e.  On  ->  suc  y  e.  On )
4947, 48syl 14 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  U. On )  ->  suc  y  e.  On )
5044eleq2i 2237 . . . 4  |-  ( B  e.  U. On  <->  B  e.  On )
5150biimpri 132 . . 3  |-  ( B  e.  On  ->  B  e.  U. On )
5251adantl 275 . 2  |-  ( (
ph  /\  B  e.  On )  ->  B  e. 
U. On )
531, 3, 5, 43, 49, 52tfrcl 6341 1  |-  ( (
ph  /\  B  e.  On )  ->  ( rec ( F ,  A
) `  B )  e.  On )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 973    = wceq 1348    e. wcel 2141   A.wral 2448   _Vcvv 2730    u. cun 3119   U.cuni 3794   U_ciun 3871    |-> cmpt 4048   Ord word 4345   Oncon0 4346   suc csuc 4348   dom cdm 4609   Fun wfun 5190   -->wf 5192   ` cfv 5196   reccrdg 6346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-suc 4354  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-recs 6282  df-irdg 6347
This theorem is referenced by:  oacl  6437  omcl  6438  oeicl  6439
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