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Theorem rdgon 6083
Description: Evaluating the recursive definition generator produces an ordinal. There is a hypothesis that the characteristic function produces ordinals on ordinal arguments. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rdgon.2  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
rdgon.3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  On  ( F `  x )  e.  On )
Assertion
Ref Expression
rdgon  |-  ( (
ph  /\  B  e.  On )  ->  ( rec ( F ,  A
) `  B )  e.  On )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F    ph, x

Proof of Theorem rdgon
Dummy variables  f  g  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-irdg 6067 . 2  |-  rec ( F ,  A )  = recs ( ( g  e. 
_V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g
( F `  (
g `  x )
) ) ) )
2 funmpt 5005 . . 3  |-  Fun  (
g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) )
32a1i 9 . 2  |-  ( (
ph  /\  B  e.  On )  ->  Fun  (
g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) ) )
4 ordon 4266 . . 3  |-  Ord  On
54a1i 9 . 2  |-  ( (
ph  /\  B  e.  On )  ->  Ord  On )
6 vex 2615 . . . 4  |-  f  e. 
_V
7 rdgon.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
87adantr 270 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  e.  On )  ->  A  e.  On )
983ad2ant1 960 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On  /\  f : y --> On )  ->  A  e.  On )
106dmex 4657 . . . . . 6  |-  dom  f  e.  _V
11 fveq2 5253 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( f `  z )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( f `  z
) ) )
1211eleq1d 2151 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( f `  z )  ->  (
( F `  x
)  e.  On  <->  ( F `  ( f `  z
) )  e.  On ) )
13 rdgon.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  On  ( F `  x )  e.  On )
1413adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  B  e.  On )  ->  A. x  e.  On  ( F `  x )  e.  On )
15143ad2ant1 960 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On  /\  f : y --> On )  ->  A. x  e.  On  ( F `  x )  e.  On )
1615adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On  /\  f : y --> On )  /\  z  e. 
dom  f )  ->  A. x  e.  On  ( F `  x )  e.  On )
17 simpl3 944 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On  /\  f : y --> On )  /\  z  e. 
dom  f )  -> 
f : y --> On )
18 simpr 108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On  /\  f : y --> On )  /\  z  e. 
dom  f )  -> 
z  e.  dom  f
)
19 fdm 5119 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : y --> On  ->  dom  f  =  y )
2019eleq2d 2152 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : y --> On  ->  ( z  e.  dom  f  <->  z  e.  y ) )
2117, 20syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On  /\  f : y --> On )  /\  z  e. 
dom  f )  -> 
( z  e.  dom  f 
<->  z  e.  y ) )
2218, 21mpbid 145 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On  /\  f : y --> On )  /\  z  e. 
dom  f )  -> 
z  e.  y )
2317, 22ffvelrnd 5380 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On  /\  f : y --> On )  /\  z  e. 
dom  f )  -> 
( f `  z
)  e.  On )
2412, 16, 23rspcdva 2717 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On  /\  f : y --> On )  /\  z  e. 
dom  f )  -> 
( F `  (
f `  z )
)  e.  On )
2524ralrimiva 2440 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On  /\  f : y --> On )  ->  A. z  e.  dom  f ( F `  ( f `  z
) )  e.  On )
26 fveq2 5253 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
f `  x )  =  ( f `  z ) )
2726fveq2d 5257 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  ( f `  x ) )  =  ( F `  (
f `  z )
) )
2827eleq1d 2151 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
( F `  (
f `  x )
)  e.  On  <->  ( F `  ( f `  z
) )  e.  On ) )
2928cbvralv 2583 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  dom  f ( F `  ( f `
 x ) )  e.  On  <->  A. z  e.  dom  f ( F `
 ( f `  z ) )  e.  On )
3025, 29sylibr 132 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On  /\  f : y --> On )  ->  A. x  e.  dom  f ( F `  ( f `  x
) )  e.  On )
31 iunon 5981 . . . . . 6  |-  ( ( dom  f  e.  _V  /\ 
A. x  e.  dom  f ( F `  ( f `  x
) )  e.  On )  ->  U_ x  e.  dom  f ( F `  ( f `  x
) )  e.  On )
3210, 30, 31sylancr 405 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On  /\  f : y --> On )  ->  U_ x  e.  dom  f ( F `  ( f `  x
) )  e.  On )
33 onun2 4270 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  U_ x  e.  dom  f
( F `  (
f `  x )
)  e.  On )  ->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  f
( F `  (
f `  x )
) )  e.  On )
349, 32, 33syl2anc 403 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On  /\  f : y --> On )  -> 
( A  u.  U_ x  e.  dom  f ( F `  ( f `
 x ) ) )  e.  On )
35 dmeq 4594 . . . . . . 7  |-  ( g  =  f  ->  dom  g  =  dom  f )
36 fveq1 5252 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  f  ->  (
g `  x )  =  ( f `  x ) )
3736fveq2d 5257 . . . . . . 7  |-  ( g  =  f  ->  ( F `  ( g `  x ) )  =  ( F `  (
f `  x )
) )
3835, 37iuneq12d 3728 . . . . . 6  |-  ( g  =  f  ->  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) )  = 
U_ x  e.  dom  f ( F `  ( f `  x
) ) )
3938uneq2d 3138 . . . . 5  |-  ( g  =  f  ->  ( A  u.  U_ x  e. 
dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) )  =  ( A  u.  U_ x  e.  dom  f
( F `  (
f `  x )
) ) )
40 eqid 2083 . . . . 5  |-  ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e. 
dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) )  =  ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e. 
dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) )
4139, 40fvmptg 5325 . . . 4  |-  ( ( f  e.  _V  /\  ( A  u.  U_ x  e.  dom  f ( F `
 ( f `  x ) ) )  e.  On )  -> 
( ( g  e. 
_V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g
( F `  (
g `  x )
) ) ) `  f )  =  ( A  u.  U_ x  e.  dom  f ( F `
 ( f `  x ) ) ) )
426, 34, 41sylancr 405 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On  /\  f : y --> On )  -> 
( ( g  e. 
_V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g
( F `  (
g `  x )
) ) ) `  f )  =  ( A  u.  U_ x  e.  dom  f ( F `
 ( f `  x ) ) ) )
4342, 34eqeltrd 2159 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On  /\  f : y --> On )  -> 
( ( g  e. 
_V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g
( F `  (
g `  x )
) ) ) `  f )  e.  On )
44 unon 4291 . . . . . 6  |-  U. On  =  On
4544eleq2i 2149 . . . . 5  |-  ( y  e.  U. On  <->  y  e.  On )
4645biimpi 118 . . . 4  |-  ( y  e.  U. On  ->  y  e.  On )
4746adantl 271 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  U. On )  -> 
y  e.  On )
48 suceloni 4281 . . 3  |-  ( y  e.  On  ->  suc  y  e.  On )
4947, 48syl 14 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  U. On )  ->  suc  y  e.  On )
5044eleq2i 2149 . . . 4  |-  ( B  e.  U. On  <->  B  e.  On )
5150biimpri 131 . . 3  |-  ( B  e.  On  ->  B  e.  U. On )
5251adantl 271 . 2  |-  ( (
ph  /\  B  e.  On )  ->  B  e. 
U. On )
531, 3, 5, 43, 49, 52tfrcl 6061 1  |-  ( (
ph  /\  B  e.  On )  ->  ( rec ( F ,  A
) `  B )  e.  On )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 920    = wceq 1285    e. wcel 1434   A.wral 2353   _Vcvv 2612    u. cun 2982   U.cuni 3627   U_ciun 3704    |-> cmpt 3865   Ord word 4153   Oncon0 4154   suc csuc 4156   dom cdm 4401   Fun wfun 4963   -->wf 4965   ` cfv 4969   reccrdg 6066
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4084  df-iord 4157  df-on 4159  df-suc 4162  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-recs 6002  df-irdg 6067
This theorem is referenced by:  oacl  6153  omcl  6154  oeicl  6155
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