Theorem rdgon 6354

Description: Evaluating the recursive definition generator produces an ordinal. There is a hypothesis that the characteristic function produces ordinals on ordinal arguments. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jul-2019.) (Revised by Jim Kingdon, 13-Apr-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
rdgon.2	|- ( ph -> A e. On )
rdgon.3	|- ( ph -> A. x e. On ( F ` x ) e. On )

Assertion

Ref	Expression
rdgon	|- ( ( ph /\ B e. On ) -> ( rec ( F , A ) ` B ) e. On )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, F   ph, x

Proof of Theorem rdgon

Dummy variables f g y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-irdg 6338	. 2 |- rec ( F , A ) = recs ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) )
2		funmpt 5226	. . 3 |- Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) )
3	2	a1i 9	. 2 |- ( ( ph /\ B e. On ) -> Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) )
4		ordon 4463	. . 3 |- Ord On
5	4	a1i 9	. 2 |- ( ( ph /\ B e. On ) -> Ord On )
6		vex 2729	. . . 4 |- f e. _V
7		rdgon.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. On )
8	7	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B e. On ) -> A e. On )
9	8	3ad2ant1 1008	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) -> A e. On )
10	6	dmex 4870	. . . . . 6 |- dom f e. _V
11		fveq2 5486	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( f ` z ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( f ` z ) ) )
12	11	eleq1d 2235	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( f ` z ) -> ( ( F ` x ) e. On <-> ( F ` ( f ` z ) ) e. On ) )
13		rdgon.3	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. On ( F ` x ) e. On )
14	13	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ B e. On ) -> A. x e. On ( F ` x ) e. On )
15	14	3ad2ant1 1008	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) -> A. x e. On ( F ` x ) e. On )
16	15	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) /\ z e. dom f ) -> A. x e. On ( F ` x ) e. On )
17		simpl3 992	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) /\ z e. dom f ) -> f : y --> On )
18		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) /\ z e. dom f ) -> z e. dom f )
19		fdm 5343	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : y --> On -> dom f = y )
20	19	eleq2d 2236	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : y --> On -> ( z e. dom f <-> z e. y ) )
21	17, 20	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) /\ z e. dom f ) -> ( z e. dom f <-> z e. y ) )
22	18, 21	mpbid 146	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) /\ z e. dom f ) -> z e. y )
23	17, 22	ffvelrnd 5621	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) /\ z e. dom f ) -> ( f ` z ) e. On )
24	12, 16, 23	rspcdva 2835	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) /\ z e. dom f ) -> ( F ` ( f ` z ) ) e. On )
25	24	ralrimiva 2539	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) -> A. z e. dom f ( F ` ( f ` z ) ) e. On )
26		fveq2 5486	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( f ` x ) = ( f ` z ) )
27	26	fveq2d 5490	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( F ` ( f ` x ) ) = ( F ` ( f ` z ) ) )
28	27	eleq1d 2235	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( ( F ` ( f ` x ) ) e. On <-> ( F ` ( f ` z ) ) e. On ) )
29	28	cbvralv 2692	. . . . . . 7 |- ( A. x e. dom f ( F ` ( f ` x ) ) e. On <-> A. z e. dom f ( F ` ( f ` z ) ) e. On )
30	25, 29	sylibr 133	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) -> A. x e. dom f ( F ` ( f ` x ) ) e. On )
31		iunon 6252	. . . . . 6 |- ( ( dom f e. _V /\ A. x e. dom f ( F ` ( f ` x ) ) e. On ) -> U_ x e. dom f ( F ` ( f ` x ) ) e. On )
32	10, 30, 31	sylancr 411	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) -> U_ x e. dom f ( F ` ( f ` x ) ) e. On )
33		onun2 4467	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ U_ x e. dom f ( F ` ( f ` x ) ) e. On ) -> ( A u. U_ x e. dom f ( F ` ( f ` x ) ) ) e. On )
34	9, 32, 33	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) -> ( A u. U_ x e. dom f ( F ` ( f ` x ) ) ) e. On )
35		dmeq 4804	. . . . . . 7 |- ( g = f -> dom g = dom f )
36		fveq1 5485	. . . . . . . 8 |- ( g = f -> ( g ` x ) = ( f ` x ) )
37	36	fveq2d 5490	. . . . . . 7 |- ( g = f -> ( F ` ( g ` x ) ) = ( F ` ( f ` x ) ) )
38	35, 37	iuneq12d 3890	. . . . . 6 |- ( g = f -> U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) = U_ x e. dom f ( F ` ( f ` x ) ) )
39	38	uneq2d 3276	. . . . 5 |- ( g = f -> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) = ( A u. U_ x e. dom f ( F ` ( f ` x ) ) ) )
40		eqid 2165	. . . . 5 |- ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) = ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) )
41	39, 40	fvmptg 5562	. . . 4 |- ( ( f e. _V /\ ( A u. U_ x e. dom f ( F ` ( f ` x ) ) ) e. On ) -> ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) = ( A u. U_ x e. dom f ( F ` ( f ` x ) ) ) )
42	6, 34, 41	sylancr 411	. . 3 |- ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) -> ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) = ( A u. U_ x e. dom f ( F ` ( f ` x ) ) ) )
43	42, 34	eqeltrd 2243	. 2 |- ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) -> ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. On )
44		unon 4488	. . . . . 6 |- U. On = On
45	44	eleq2i 2233	. . . . 5 |- ( y e. U. On <-> y e. On )
46	45	biimpi 119	. . . 4 |- ( y e. U. On -> y e. On )
47	46	adantl 275	. . 3 |- ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. U. On ) -> y e. On )
48		suceloni 4478	. . 3 |- ( y e. On -> suc y e. On )
49	47, 48	syl 14	. 2 |- ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. U. On ) -> suc y e. On )
50	44	eleq2i 2233	. . . 4 |- ( B e. U. On <-> B e. On )
51	50	biimpri 132	. . 3 |- ( B e. On -> B e. U. On )
52	51	adantl 275	. 2 |- ( ( ph /\ B e. On ) -> B e. U. On )
53	1, 3, 5, 43, 49, 52	tfrcl 6332	1 |- ( ( ph /\ B e. On ) -> ( rec ( F , A ) ` B ) e. On )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   _Vcvv 2726   u. cun 3114   U.cuni 3789   U_ciun 3866   |-> cmpt 4043   Ord word 4340   Oncon0 4341   suc csuc 4343   dom cdm 4604   Fun wfun 5182   -->wf 5184   ` cfv 5188   reccrdg 6337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-recs 6273  df-irdg 6338

This theorem is referenced by:  oacl  6428  omcl  6429  oeicl  6430