Theorem rdgon 6387

Description: Evaluating the recursive definition generator produces an ordinal. There is a hypothesis that the characteristic function produces ordinals on ordinal arguments. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jul-2019.) (Revised by Jim Kingdon, 13-Apr-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
rdgon.2	|- ( ph -> A e. On )
rdgon.3	|- ( ph -> A. x e. On ( F ` x ) e. On )

Assertion

Ref	Expression
rdgon	|- ( ( ph /\ B e. On ) -> ( rec ( F , A ) ` B ) e. On )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, F   ph, x

Proof of Theorem rdgon

Dummy variables f g y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-irdg 6371	. 2 |- rec ( F , A ) = recs ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) )
2		funmpt 5255	. . 3 |- Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) )
3	2	a1i 9	. 2 |- ( ( ph /\ B e. On ) -> Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) )
4		ordon 4486	. . 3 |- Ord On
5	4	a1i 9	. 2 |- ( ( ph /\ B e. On ) -> Ord On )
6		vex 2741	. . . 4 |- f e. _V
7		rdgon.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. On )
8	7	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B e. On ) -> A e. On )
9	8	3ad2ant1 1018	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) -> A e. On )
10	6	dmex 4894	. . . . . 6 |- dom f e. _V
11		fveq2 5516	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( f ` z ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( f ` z ) ) )
12	11	eleq1d 2246	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( f ` z ) -> ( ( F ` x ) e. On <-> ( F ` ( f ` z ) ) e. On ) )
13		rdgon.3	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. On ( F ` x ) e. On )
14	13	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ B e. On ) -> A. x e. On ( F ` x ) e. On )
15	14	3ad2ant1 1018	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) -> A. x e. On ( F ` x ) e. On )
16	15	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) /\ z e. dom f ) -> A. x e. On ( F ` x ) e. On )
17		simpl3 1002	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) /\ z e. dom f ) -> f : y --> On )
18		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) /\ z e. dom f ) -> z e. dom f )
19		fdm 5372	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : y --> On -> dom f = y )
20	19	eleq2d 2247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : y --> On -> ( z e. dom f <-> z e. y ) )
21	17, 20	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) /\ z e. dom f ) -> ( z e. dom f <-> z e. y ) )
22	18, 21	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) /\ z e. dom f ) -> z e. y )
23	17, 22	ffvelcdmd 5653	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) /\ z e. dom f ) -> ( f ` z ) e. On )
24	12, 16, 23	rspcdva 2847	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) /\ z e. dom f ) -> ( F ` ( f ` z ) ) e. On )
25	24	ralrimiva 2550	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) -> A. z e. dom f ( F ` ( f ` z ) ) e. On )
26		fveq2 5516	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( f ` x ) = ( f ` z ) )
27	26	fveq2d 5520	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( F ` ( f ` x ) ) = ( F ` ( f ` z ) ) )
28	27	eleq1d 2246	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( ( F ` ( f ` x ) ) e. On <-> ( F ` ( f ` z ) ) e. On ) )
29	28	cbvralv 2704	. . . . . . 7 |- ( A. x e. dom f ( F ` ( f ` x ) ) e. On <-> A. z e. dom f ( F ` ( f ` z ) ) e. On )
30	25, 29	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) -> A. x e. dom f ( F ` ( f ` x ) ) e. On )
31		iunon 6285	. . . . . 6 |- ( ( dom f e. _V /\ A. x e. dom f ( F ` ( f ` x ) ) e. On ) -> U_ x e. dom f ( F ` ( f ` x ) ) e. On )
32	10, 30, 31	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) -> U_ x e. dom f ( F ` ( f ` x ) ) e. On )
33		onun2 4490	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ U_ x e. dom f ( F ` ( f ` x ) ) e. On ) -> ( A u. U_ x e. dom f ( F ` ( f ` x ) ) ) e. On )
34	9, 32, 33	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) -> ( A u. U_ x e. dom f ( F ` ( f ` x ) ) ) e. On )
35		dmeq 4828	. . . . . . 7 |- ( g = f -> dom g = dom f )
36		fveq1 5515	. . . . . . . 8 |- ( g = f -> ( g ` x ) = ( f ` x ) )
37	36	fveq2d 5520	. . . . . . 7 |- ( g = f -> ( F ` ( g ` x ) ) = ( F ` ( f ` x ) ) )
38	35, 37	iuneq12d 3911	. . . . . 6 |- ( g = f -> U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) = U_ x e. dom f ( F ` ( f ` x ) ) )
39	38	uneq2d 3290	. . . . 5 |- ( g = f -> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) = ( A u. U_ x e. dom f ( F ` ( f ` x ) ) ) )
40		eqid 2177	. . . . 5 |- ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) = ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) )
41	39, 40	fvmptg 5593	. . . 4 |- ( ( f e. _V /\ ( A u. U_ x e. dom f ( F ` ( f ` x ) ) ) e. On ) -> ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) = ( A u. U_ x e. dom f ( F ` ( f ` x ) ) ) )
42	6, 34, 41	sylancr 414	. . 3 |- ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) -> ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) = ( A u. U_ x e. dom f ( F ` ( f ` x ) ) ) )
43	42, 34	eqeltrd 2254	. 2 |- ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) -> ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. On )
44		unon 4511	. . . . . 6 |- U. On = On
45	44	eleq2i 2244	. . . . 5 |- ( y e. U. On <-> y e. On )
46	45	biimpi 120	. . . 4 |- ( y e. U. On -> y e. On )
47	46	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. U. On ) -> y e. On )
48		onsuc 4501	. . 3 |- ( y e. On -> suc y e. On )
49	47, 48	syl 14	. 2 |- ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. U. On ) -> suc y e. On )
50	44	eleq2i 2244	. . . 4 |- ( B e. U. On <-> B e. On )
51	50	biimpri 133	. . 3 |- ( B e. On -> B e. U. On )
52	51	adantl 277	. 2 |- ( ( ph /\ B e. On ) -> B e. U. On )
53	1, 3, 5, 43, 49, 52	tfrcl 6365	1 |- ( ( ph /\ B e. On ) -> ( rec ( F , A ) ` B ) e. On )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   _Vcvv 2738   u. cun 3128   U.cuni 3810   U_ciun 3887   |-> cmpt 4065   Ord word 4363   Oncon0 4364   suc csuc 4366   dom cdm 4627   Fun wfun 5211   -->wf 5213   ` cfv 5217   reccrdg 6370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-recs 6306  df-irdg 6371

This theorem is referenced by:  oacl  6461  omcl  6462  oeicl  6463