Theorem rdgon 6472

Description: Evaluating the recursive definition generator produces an ordinal. There is a hypothesis that the characteristic function produces ordinals on ordinal arguments. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jul-2019.) (Revised by Jim Kingdon, 13-Apr-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
rdgon.2	|- ( ph -> A e. On )
rdgon.3	|- ( ph -> A. x e. On ( F ` x ) e. On )

Assertion

Ref	Expression
rdgon	|- ( ( ph /\ B e. On ) -> ( rec ( F , A ) ` B ) e. On )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, F   ph, x

Proof of Theorem rdgon

Dummy variables f g y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-irdg 6456	. 2 |- rec ( F , A ) = recs ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) )
2		funmpt 5309	. . 3 |- Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) )
3	2	a1i 9	. 2 |- ( ( ph /\ B e. On ) -> Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) )
4		ordon 4534	. . 3 |- Ord On
5	4	a1i 9	. 2 |- ( ( ph /\ B e. On ) -> Ord On )
6		vex 2775	. . . 4 |- f e. _V
7		rdgon.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. On )
8	7	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B e. On ) -> A e. On )
9	8	3ad2ant1 1021	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) -> A e. On )
10	6	dmex 4945	. . . . . 6 |- dom f e. _V
11		fveq2 5576	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( f ` z ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( f ` z ) ) )
12	11	eleq1d 2274	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( f ` z ) -> ( ( F ` x ) e. On <-> ( F ` ( f ` z ) ) e. On ) )
13		rdgon.3	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. On ( F ` x ) e. On )
14	13	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ B e. On ) -> A. x e. On ( F ` x ) e. On )
15	14	3ad2ant1 1021	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) -> A. x e. On ( F ` x ) e. On )
16	15	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) /\ z e. dom f ) -> A. x e. On ( F ` x ) e. On )
17		simpl3 1005	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) /\ z e. dom f ) -> f : y --> On )
18		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) /\ z e. dom f ) -> z e. dom f )
19		fdm 5431	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : y --> On -> dom f = y )
20	19	eleq2d 2275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : y --> On -> ( z e. dom f <-> z e. y ) )
21	17, 20	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) /\ z e. dom f ) -> ( z e. dom f <-> z e. y ) )
22	18, 21	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) /\ z e. dom f ) -> z e. y )
23	17, 22	ffvelcdmd 5716	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) /\ z e. dom f ) -> ( f ` z ) e. On )
24	12, 16, 23	rspcdva 2882	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) /\ z e. dom f ) -> ( F ` ( f ` z ) ) e. On )
25	24	ralrimiva 2579	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) -> A. z e. dom f ( F ` ( f ` z ) ) e. On )
26		fveq2 5576	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( f ` x ) = ( f ` z ) )
27	26	fveq2d 5580	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( F ` ( f ` x ) ) = ( F ` ( f ` z ) ) )
28	27	eleq1d 2274	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( ( F ` ( f ` x ) ) e. On <-> ( F ` ( f ` z ) ) e. On ) )
29	28	cbvralv 2738	. . . . . . 7 |- ( A. x e. dom f ( F ` ( f ` x ) ) e. On <-> A. z e. dom f ( F ` ( f ` z ) ) e. On )
30	25, 29	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) -> A. x e. dom f ( F ` ( f ` x ) ) e. On )
31		iunon 6370	. . . . . 6 |- ( ( dom f e. _V /\ A. x e. dom f ( F ` ( f ` x ) ) e. On ) -> U_ x e. dom f ( F ` ( f ` x ) ) e. On )
32	10, 30, 31	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) -> U_ x e. dom f ( F ` ( f ` x ) ) e. On )
33		onun2 4538	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ U_ x e. dom f ( F ` ( f ` x ) ) e. On ) -> ( A u. U_ x e. dom f ( F ` ( f ` x ) ) ) e. On )
34	9, 32, 33	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) -> ( A u. U_ x e. dom f ( F ` ( f ` x ) ) ) e. On )
35		dmeq 4878	. . . . . . 7 |- ( g = f -> dom g = dom f )
36		fveq1 5575	. . . . . . . 8 |- ( g = f -> ( g ` x ) = ( f ` x ) )
37	36	fveq2d 5580	. . . . . . 7 |- ( g = f -> ( F ` ( g ` x ) ) = ( F ` ( f ` x ) ) )
38	35, 37	iuneq12d 3951	. . . . . 6 |- ( g = f -> U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) = U_ x e. dom f ( F ` ( f ` x ) ) )
39	38	uneq2d 3327	. . . . 5 |- ( g = f -> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) = ( A u. U_ x e. dom f ( F ` ( f ` x ) ) ) )
40		eqid 2205	. . . . 5 |- ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) = ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) )
41	39, 40	fvmptg 5655	. . . 4 |- ( ( f e. _V /\ ( A u. U_ x e. dom f ( F ` ( f ` x ) ) ) e. On ) -> ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) = ( A u. U_ x e. dom f ( F ` ( f ` x ) ) ) )
42	6, 34, 41	sylancr 414	. . 3 |- ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) -> ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) = ( A u. U_ x e. dom f ( F ` ( f ` x ) ) ) )
43	42, 34	eqeltrd 2282	. 2 |- ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) -> ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. On )
44		unon 4559	. . . . . 6 |- U. On = On
45	44	eleq2i 2272	. . . . 5 |- ( y e. U. On <-> y e. On )
46	45	biimpi 120	. . . 4 |- ( y e. U. On -> y e. On )
47	46	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. U. On ) -> y e. On )
48		onsuc 4549	. . 3 |- ( y e. On -> suc y e. On )
49	47, 48	syl 14	. 2 |- ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. U. On ) -> suc y e. On )
50	44	eleq2i 2272	. . . 4 |- ( B e. U. On <-> B e. On )
51	50	biimpri 133	. . 3 |- ( B e. On -> B e. U. On )
52	51	adantl 277	. 2 |- ( ( ph /\ B e. On ) -> B e. U. On )
53	1, 3, 5, 43, 49, 52	tfrcl 6450	1 |- ( ( ph /\ B e. On ) -> ( rec ( F , A ) ` B ) e. On )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   _Vcvv 2772   u. cun 3164   U.cuni 3850   U_ciun 3927   |-> cmpt 4105   Ord word 4409   Oncon0 4410   suc csuc 4412   dom cdm 4675   Fun wfun 5265   -->wf 5267   ` cfv 5271   reccrdg 6455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-suc 4418  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-recs 6391  df-irdg 6456

This theorem is referenced by:  oacl  6546  omcl  6547  oeicl  6548