Theorem rdgon 6291

Description: Evaluating the recursive definition generator produces an ordinal. There is a hypothesis that the characteristic function produces ordinals on ordinal arguments. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jul-2019.) (Revised by Jim Kingdon, 13-Apr-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
rdgon.2	|- ( ph -> A e. On )
rdgon.3	|- ( ph -> A. x e. On ( F ` x ) e. On )

Assertion

Ref	Expression
rdgon	|- ( ( ph /\ B e. On ) -> ( rec ( F , A ) ` B ) e. On )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, F   ph, x

Proof of Theorem rdgon

Dummy variables f g y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-irdg 6275	. 2 |- rec ( F , A ) = recs ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) )
2		funmpt 5169	. . 3 |- Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) )
3	2	a1i 9	. 2 |- ( ( ph /\ B e. On ) -> Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) )
4		ordon 4410	. . 3 |- Ord On
5	4	a1i 9	. 2 |- ( ( ph /\ B e. On ) -> Ord On )
6		vex 2692	. . . 4 |- f e. _V
7		rdgon.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. On )
8	7	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B e. On ) -> A e. On )
9	8	3ad2ant1 1003	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) -> A e. On )
10	6	dmex 4813	. . . . . 6 |- dom f e. _V
11		fveq2 5429	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( f ` z ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( f ` z ) ) )
12	11	eleq1d 2209	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( f ` z ) -> ( ( F ` x ) e. On <-> ( F ` ( f ` z ) ) e. On ) )
13		rdgon.3	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. On ( F ` x ) e. On )
14	13	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ B e. On ) -> A. x e. On ( F ` x ) e. On )
15	14	3ad2ant1 1003	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) -> A. x e. On ( F ` x ) e. On )
16	15	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) /\ z e. dom f ) -> A. x e. On ( F ` x ) e. On )
17		simpl3 987	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) /\ z e. dom f ) -> f : y --> On )
18		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) /\ z e. dom f ) -> z e. dom f )
19		fdm 5286	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : y --> On -> dom f = y )
20	19	eleq2d 2210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : y --> On -> ( z e. dom f <-> z e. y ) )
21	17, 20	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) /\ z e. dom f ) -> ( z e. dom f <-> z e. y ) )
22	18, 21	mpbid 146	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) /\ z e. dom f ) -> z e. y )
23	17, 22	ffvelrnd 5564	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) /\ z e. dom f ) -> ( f ` z ) e. On )
24	12, 16, 23	rspcdva 2798	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) /\ z e. dom f ) -> ( F ` ( f ` z ) ) e. On )
25	24	ralrimiva 2508	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) -> A. z e. dom f ( F ` ( f ` z ) ) e. On )
26		fveq2 5429	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( f ` x ) = ( f ` z ) )
27	26	fveq2d 5433	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( F ` ( f ` x ) ) = ( F ` ( f ` z ) ) )
28	27	eleq1d 2209	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( ( F ` ( f ` x ) ) e. On <-> ( F ` ( f ` z ) ) e. On ) )
29	28	cbvralv 2657	. . . . . . 7 |- ( A. x e. dom f ( F ` ( f ` x ) ) e. On <-> A. z e. dom f ( F ` ( f ` z ) ) e. On )
30	25, 29	sylibr 133	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) -> A. x e. dom f ( F ` ( f ` x ) ) e. On )
31		iunon 6189	. . . . . 6 |- ( ( dom f e. _V /\ A. x e. dom f ( F ` ( f ` x ) ) e. On ) -> U_ x e. dom f ( F ` ( f ` x ) ) e. On )
32	10, 30, 31	sylancr 411	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) -> U_ x e. dom f ( F ` ( f ` x ) ) e. On )
33		onun2 4414	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ U_ x e. dom f ( F ` ( f ` x ) ) e. On ) -> ( A u. U_ x e. dom f ( F ` ( f ` x ) ) ) e. On )
34	9, 32, 33	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) -> ( A u. U_ x e. dom f ( F ` ( f ` x ) ) ) e. On )
35		dmeq 4747	. . . . . . 7 |- ( g = f -> dom g = dom f )
36		fveq1 5428	. . . . . . . 8 |- ( g = f -> ( g ` x ) = ( f ` x ) )
37	36	fveq2d 5433	. . . . . . 7 |- ( g = f -> ( F ` ( g ` x ) ) = ( F ` ( f ` x ) ) )
38	35, 37	iuneq12d 3845	. . . . . 6 |- ( g = f -> U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) = U_ x e. dom f ( F ` ( f ` x ) ) )
39	38	uneq2d 3235	. . . . 5 |- ( g = f -> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) = ( A u. U_ x e. dom f ( F ` ( f ` x ) ) ) )
40		eqid 2140	. . . . 5 |- ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) = ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) )
41	39, 40	fvmptg 5505	. . . 4 |- ( ( f e. _V /\ ( A u. U_ x e. dom f ( F ` ( f ` x ) ) ) e. On ) -> ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) = ( A u. U_ x e. dom f ( F ` ( f ` x ) ) ) )
42	6, 34, 41	sylancr 411	. . 3 |- ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) -> ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) = ( A u. U_ x e. dom f ( F ` ( f ` x ) ) ) )
43	42, 34	eqeltrd 2217	. 2 |- ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. On /\ f : y --> On ) -> ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. On )
44		unon 4435	. . . . . 6 |- U. On = On
45	44	eleq2i 2207	. . . . 5 |- ( y e. U. On <-> y e. On )
46	45	biimpi 119	. . . 4 |- ( y e. U. On -> y e. On )
47	46	adantl 275	. . 3 |- ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. U. On ) -> y e. On )
48		suceloni 4425	. . 3 |- ( y e. On -> suc y e. On )
49	47, 48	syl 14	. 2 |- ( ( ( ph /\ B e. On ) /\ y e. U. On ) -> suc y e. On )
50	44	eleq2i 2207	. . . 4 |- ( B e. U. On <-> B e. On )
51	50	biimpri 132	. . 3 |- ( B e. On -> B e. U. On )
52	51	adantl 275	. 2 |- ( ( ph /\ B e. On ) -> B e. U. On )
53	1, 3, 5, 43, 49, 52	tfrcl 6269	1 |- ( ( ph /\ B e. On ) -> ( rec ( F , A ) ` B ) e. On )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   _Vcvv 2689   u. cun 3074   U.cuni 3744   U_ciun 3821   |-> cmpt 3997   Ord word 4292   Oncon0 4293   suc csuc 4295   dom cdm 4547   Fun wfun 5125   -->wf 5127   ` cfv 5131   reccrdg 6274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-recs 6210  df-irdg 6275

This theorem is referenced by:  oacl  6364  omcl  6365  oeicl  6366