Theorem suprzubdc 11907

Description: The supremum of a bounded-above decidable set of integers is greater than any member of the set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprzubdc.ss	|- ( ph -> A C_ ZZ )
suprzubdc.dc	|- ( ph -> A. x e. ZZ DECID x e. A )
suprzubdc.ub	|- ( ph -> E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x )
suprzubdc.b	|- ( ph -> B e. A )

Assertion

Ref	Expression
suprzubdc	|- ( ph -> B <_ sup ( A , RR , < ) )

Distinct variable groups:   y, A, x   y, B

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   B( x)

Proof of Theorem suprzubdc

Dummy variables u v z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suprzubdc.ub	. . 3 |- ( ph -> E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x )
2		breq2 3993	. . . . 5 |- ( x = u -> ( y <_ x <-> y <_ u ) )
3	2	ralbidv 2470	. . . 4 |- ( x = u -> ( A. y e. A y <_ x <-> A. y e. A y <_ u ) )
4	3	cbvrexv 2697	. . 3 |- ( E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x <-> E. u e. ZZ A. y e. A y <_ u )
5	1, 4	sylib 121	. 2 |- ( ph -> E. u e. ZZ A. y e. A y <_ u )
6		dfin5 3128	. . . . . . 7 |- ( ZZ i^i A ) = { z e. ZZ | z e. A }
7		suprzubdc.ss	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A C_ ZZ )
8		sseqin2 3346	. . . . . . . 8 |- ( A C_ ZZ <-> ( ZZ i^i A ) = A )
9	7, 8	sylib 121	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ZZ i^i A ) = A )
10	6, 9	eqtr3id 2217	. . . . . 6 |- ( ph -> { z e. ZZ | z e. A } = A )
11	10	supeq1d 6964	. . . . 5 |- ( ph -> sup ( { z e. ZZ | z e. A } , RR , < ) = sup ( A , RR , < ) )
12	11	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> sup ( { z e. ZZ | z e. A } , RR , < ) = sup ( A , RR , < ) )
13		suprzubdc.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. A )
14	7, 13	sseldd 3148	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. ZZ )
15	14	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> B e. ZZ )
16		eleq1 2233	. . . . 5 |- ( z = B -> ( z e. A <-> B e. A ) )
17	13	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> B e. A )
18		eleq1w 2231	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( x e. A <-> z e. A ) )
19	18	dcbid 833	. . . . . 6 |- ( x = z -> (DECID x e. A <-> DECID z e. A ) )
20		suprzubdc.dc	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. ZZ DECID x e. A )
21	20	ad2antrr 485	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` B ) ) -> A. x e. ZZ DECID x e. A )
22		eluzelz 9496	. . . . . . 7 |- ( z e. ( ZZ>= ` B ) -> z e. ZZ )
23	22	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` B ) ) -> z e. ZZ )
24	19, 21, 23	rspcdva 2839	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` B ) ) -> DECID z e. A )
25		simprl 526	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> u e. ZZ )
26	25	peano2zd 9337	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> ( u + 1 ) e. ZZ )
27	15	zred 9334	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> B e. RR )
28	25	zred 9334	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> u e. RR )
29	26	zred 9334	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> ( u + 1 ) e. RR )
30		breq1 3992	. . . . . . . . 9 |- ( y = B -> ( y <_ u <-> B <_ u ) )
31		simprr 527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> A. y e. A y <_ u )
32	30, 31, 17	rspcdva 2839	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> B <_ u )
33	28	lep1d 8847	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> u <_ ( u + 1 ) )
34	27, 28, 29, 32, 33	letrd 8043	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> B <_ ( u + 1 ) )
35		eluz2 9493	. . . . . . 7 |- ( ( u + 1 ) e. ( ZZ>= ` B ) <-> ( B e. ZZ /\ ( u + 1 ) e. ZZ /\ B <_ ( u + 1 ) ) )
36	15, 26, 34, 35	syl3anbrc 1176	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> ( u + 1 ) e. ( ZZ>= ` B ) )
37		eluzle 9499	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) -> ( u + 1 ) <_ z )
38	37	ad2antlr 486	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> ( u + 1 ) <_ z )
39	25	ad2antrr 485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> u e. ZZ )
40		eluzelz 9496	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) -> z e. ZZ )
41	40	ad2antlr 486	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> z e. ZZ )
42		zltp1le 9266	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( u < z <-> ( u + 1 ) <_ z ) )
43	39, 41, 42	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> ( u < z <-> ( u + 1 ) <_ z ) )
44	38, 43	mpbird 166	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> u < z )
45	41	zred 9334	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> z e. RR )
46	28	ad2antrr 485	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> u e. RR )
47		breq1 3992	. . . . . . . . . 10 |- ( y = z -> ( y <_ u <-> z <_ u ) )
48	31	ad2antrr 485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> A. y e. A y <_ u )
49		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> z e. A )
50	47, 48, 49	rspcdva 2839	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> z <_ u )
51	45, 46, 50	lensymd 8041	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> -. u < z )
52	44, 51	pm2.65da 656	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) -> -. z e. A )
53	52	ralrimiva 2543	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> A. z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) -. z e. A )
54		fveq2 5496	. . . . . . . 8 |- ( v = ( u + 1 ) -> ( ZZ>= ` v ) = ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) )
55	54	raleqdv 2671	. . . . . . 7 |- ( v = ( u + 1 ) -> ( A. z e. ( ZZ>= ` v ) -. z e. A <-> A. z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) -. z e. A ) )
56	55	rspcev 2834	. . . . . 6 |- ( ( ( u + 1 ) e. ( ZZ>= ` B ) /\ A. z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) -. z e. A ) -> E. v e. ( ZZ>= ` B ) A. z e. ( ZZ>= ` v ) -. z e. A )
57	36, 53, 56	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> E. v e. ( ZZ>= ` B ) A. z e. ( ZZ>= ` v ) -. z e. A )
58	15, 16, 17, 24, 57	zsupcl 11902	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> sup ( { z e. ZZ | z e. A } , RR , < ) e. ( ZZ>= ` B ) )
59	12, 58	eqeltrrd 2248	. . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> sup ( A , RR , < ) e. ( ZZ>= ` B ) )
60		eluzle 9499	. . 3 |- ( sup ( A , RR , < ) e. ( ZZ>= ` B ) -> B <_ sup ( A , RR , < ) )
61	59, 60	syl 14	. 2 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> B <_ sup ( A , RR , < ) )
62	5, 61	rexlimddv 2592	1 |- ( ph -> B <_ sup ( A , RR , < ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104  DECID wdc 829   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   {crab 2452   i^i cin 3120   C_ wss 3121   class class class wbr 3989   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   supcsup 6959   RRcr 7773   1c1 7775   + caddc 7777   < clt 7954   <_ cle 7955   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-sup 6961  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966  df-fzo 10099

This theorem is referenced by:  pcprendvds  12244  pcpremul  12247