Theorem suprzubdc 11881

Description: The supremum of a bounded-above decidable set of integers is greater than any member of the set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprzubdc.ss	|- ( ph -> A C_ ZZ )
suprzubdc.dc	|- ( ph -> A. x e. ZZ DECID x e. A )
suprzubdc.ub	|- ( ph -> E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x )
suprzubdc.b	|- ( ph -> B e. A )

Assertion

Ref	Expression
suprzubdc	|- ( ph -> B <_ sup ( A , RR , < ) )

Distinct variable groups:   y, A, x   y, B

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   B( x)

Proof of Theorem suprzubdc

Dummy variables u v z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suprzubdc.ub	. . 3 |- ( ph -> E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x )
2		breq2 3985	. . . . 5 |- ( x = u -> ( y <_ x <-> y <_ u ) )
3	2	ralbidv 2465	. . . 4 |- ( x = u -> ( A. y e. A y <_ x <-> A. y e. A y <_ u ) )
4	3	cbvrexv 2692	. . 3 |- ( E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x <-> E. u e. ZZ A. y e. A y <_ u )
5	1, 4	sylib 121	. 2 |- ( ph -> E. u e. ZZ A. y e. A y <_ u )
6		dfin5 3122	. . . . . . 7 |- ( ZZ i^i A ) = { z e. ZZ | z e. A }
7		suprzubdc.ss	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A C_ ZZ )
8		sseqin2 3340	. . . . . . . 8 |- ( A C_ ZZ <-> ( ZZ i^i A ) = A )
9	7, 8	sylib 121	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ZZ i^i A ) = A )
10	6, 9	eqtr3id 2212	. . . . . 6 |- ( ph -> { z e. ZZ | z e. A } = A )
11	10	supeq1d 6948	. . . . 5 |- ( ph -> sup ( { z e. ZZ | z e. A } , RR , < ) = sup ( A , RR , < ) )
12	11	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> sup ( { z e. ZZ | z e. A } , RR , < ) = sup ( A , RR , < ) )
13		suprzubdc.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. A )
14	7, 13	sseldd 3142	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. ZZ )
15	14	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> B e. ZZ )
16		eleq1 2228	. . . . 5 |- ( z = B -> ( z e. A <-> B e. A ) )
17	13	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> B e. A )
18		eleq1w 2226	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( x e. A <-> z e. A ) )
19	18	dcbid 828	. . . . . 6 |- ( x = z -> (DECID x e. A <-> DECID z e. A ) )
20		suprzubdc.dc	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. ZZ DECID x e. A )
21	20	ad2antrr 480	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` B ) ) -> A. x e. ZZ DECID x e. A )
22		eluzelz 9471	. . . . . . 7 |- ( z e. ( ZZ>= ` B ) -> z e. ZZ )
23	22	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` B ) ) -> z e. ZZ )
24	19, 21, 23	rspcdva 2834	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` B ) ) -> DECID z e. A )
25		simprl 521	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> u e. ZZ )
26	25	peano2zd 9312	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> ( u + 1 ) e. ZZ )
27	15	zred 9309	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> B e. RR )
28	25	zred 9309	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> u e. RR )
29	26	zred 9309	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> ( u + 1 ) e. RR )
30		breq1 3984	. . . . . . . . 9 |- ( y = B -> ( y <_ u <-> B <_ u ) )
31		simprr 522	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> A. y e. A y <_ u )
32	30, 31, 17	rspcdva 2834	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> B <_ u )
33	28	lep1d 8822	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> u <_ ( u + 1 ) )
34	27, 28, 29, 32, 33	letrd 8018	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> B <_ ( u + 1 ) )
35		eluz2 9468	. . . . . . 7 |- ( ( u + 1 ) e. ( ZZ>= ` B ) <-> ( B e. ZZ /\ ( u + 1 ) e. ZZ /\ B <_ ( u + 1 ) ) )
36	15, 26, 34, 35	syl3anbrc 1171	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> ( u + 1 ) e. ( ZZ>= ` B ) )
37		eluzle 9474	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) -> ( u + 1 ) <_ z )
38	37	ad2antlr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> ( u + 1 ) <_ z )
39	25	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> u e. ZZ )
40		eluzelz 9471	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) -> z e. ZZ )
41	40	ad2antlr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> z e. ZZ )
42		zltp1le 9241	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( u < z <-> ( u + 1 ) <_ z ) )
43	39, 41, 42	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> ( u < z <-> ( u + 1 ) <_ z ) )
44	38, 43	mpbird 166	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> u < z )
45	41	zred 9309	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> z e. RR )
46	28	ad2antrr 480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> u e. RR )
47		breq1 3984	. . . . . . . . . 10 |- ( y = z -> ( y <_ u <-> z <_ u ) )
48	31	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> A. y e. A y <_ u )
49		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> z e. A )
50	47, 48, 49	rspcdva 2834	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> z <_ u )
51	45, 46, 50	lensymd 8016	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> -. u < z )
52	44, 51	pm2.65da 651	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) -> -. z e. A )
53	52	ralrimiva 2538	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> A. z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) -. z e. A )
54		fveq2 5485	. . . . . . . 8 |- ( v = ( u + 1 ) -> ( ZZ>= ` v ) = ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) )
55	54	raleqdv 2666	. . . . . . 7 |- ( v = ( u + 1 ) -> ( A. z e. ( ZZ>= ` v ) -. z e. A <-> A. z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) -. z e. A ) )
56	55	rspcev 2829	. . . . . 6 |- ( ( ( u + 1 ) e. ( ZZ>= ` B ) /\ A. z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) -. z e. A ) -> E. v e. ( ZZ>= ` B ) A. z e. ( ZZ>= ` v ) -. z e. A )
57	36, 53, 56	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> E. v e. ( ZZ>= ` B ) A. z e. ( ZZ>= ` v ) -. z e. A )
58	15, 16, 17, 24, 57	zsupcl 11876	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> sup ( { z e. ZZ | z e. A } , RR , < ) e. ( ZZ>= ` B ) )
59	12, 58	eqeltrrd 2243	. . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> sup ( A , RR , < ) e. ( ZZ>= ` B ) )
60		eluzle 9474	. . 3 |- ( sup ( A , RR , < ) e. ( ZZ>= ` B ) -> B <_ sup ( A , RR , < ) )
61	59, 60	syl 14	. 2 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> B <_ sup ( A , RR , < ) )
62	5, 61	rexlimddv 2587	1 |- ( ph -> B <_ sup ( A , RR , < ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104  DECID wdc 824   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2443   E.wrex 2444   {crab 2447   i^i cin 3114   C_ wss 3115   class class class wbr 3981   ` cfv 5187  (class class class)co 5841   supcsup 6943   RRcr 7748   1c1 7750   + caddc 7752   < clt 7929   <_ cle 7930   ZZcz 9187   ZZ>=cuz 9462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-addcom 7849  ax-addass 7851  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rmo 2451  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-id 4270  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-sup 6945  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-inn 8854  df-n0 9111  df-z 9188  df-uz 9463  df-fz 9941  df-fzo 10074

This theorem is referenced by:  pcprendvds  12218  pcpremul  12221