Theorem suprzubdc 10379

Description: The supremum of a bounded-above decidable set of integers is greater than any member of the set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprzubdc.ss	|- ( ph -> A C_ ZZ )
suprzubdc.dc	|- ( ph -> A. x e. ZZ DECID x e. A )
suprzubdc.ub	|- ( ph -> E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x )
suprzubdc.b	|- ( ph -> B e. A )

Assertion

Ref	Expression
suprzubdc	|- ( ph -> B <_ sup ( A , RR , < ) )

Distinct variable groups:   y, A, x   y, B

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   B( x)

Proof of Theorem suprzubdc

Dummy variables u v z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suprzubdc.ub	. . 3 |- ( ph -> E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x )
2		breq2 4048	. . . . 5 |- ( x = u -> ( y <_ x <-> y <_ u ) )
3	2	ralbidv 2506	. . . 4 |- ( x = u -> ( A. y e. A y <_ x <-> A. y e. A y <_ u ) )
4	3	cbvrexv 2739	. . 3 |- ( E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x <-> E. u e. ZZ A. y e. A y <_ u )
5	1, 4	sylib 122	. 2 |- ( ph -> E. u e. ZZ A. y e. A y <_ u )
6		dfin5 3173	. . . . . . 7 |- ( ZZ i^i A ) = { z e. ZZ | z e. A }
7		suprzubdc.ss	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A C_ ZZ )
8		sseqin2 3392	. . . . . . . 8 |- ( A C_ ZZ <-> ( ZZ i^i A ) = A )
9	7, 8	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ZZ i^i A ) = A )
10	6, 9	eqtr3id 2252	. . . . . 6 |- ( ph -> { z e. ZZ | z e. A } = A )
11	10	supeq1d 7089	. . . . 5 |- ( ph -> sup ( { z e. ZZ | z e. A } , RR , < ) = sup ( A , RR , < ) )
12	11	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> sup ( { z e. ZZ | z e. A } , RR , < ) = sup ( A , RR , < ) )
13		suprzubdc.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. A )
14	7, 13	sseldd 3194	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. ZZ )
15	14	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> B e. ZZ )
16		eleq1 2268	. . . . 5 |- ( z = B -> ( z e. A <-> B e. A ) )
17	13	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> B e. A )
18		eleq1w 2266	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( x e. A <-> z e. A ) )
19	18	dcbid 840	. . . . . 6 |- ( x = z -> (DECID x e. A <-> DECID z e. A ) )
20		suprzubdc.dc	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. ZZ DECID x e. A )
21	20	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` B ) ) -> A. x e. ZZ DECID x e. A )
22		eluzelz 9657	. . . . . . 7 |- ( z e. ( ZZ>= ` B ) -> z e. ZZ )
23	22	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` B ) ) -> z e. ZZ )
24	19, 21, 23	rspcdva 2882	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` B ) ) -> DECID z e. A )
25		simprl 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> u e. ZZ )
26	25	peano2zd 9498	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> ( u + 1 ) e. ZZ )
27	15	zred 9495	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> B e. RR )
28	25	zred 9495	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> u e. RR )
29	26	zred 9495	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> ( u + 1 ) e. RR )
30		breq1 4047	. . . . . . . . 9 |- ( y = B -> ( y <_ u <-> B <_ u ) )
31		simprr 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> A. y e. A y <_ u )
32	30, 31, 17	rspcdva 2882	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> B <_ u )
33	28	lep1d 9004	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> u <_ ( u + 1 ) )
34	27, 28, 29, 32, 33	letrd 8196	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> B <_ ( u + 1 ) )
35		eluz2 9654	. . . . . . 7 |- ( ( u + 1 ) e. ( ZZ>= ` B ) <-> ( B e. ZZ /\ ( u + 1 ) e. ZZ /\ B <_ ( u + 1 ) ) )
36	15, 26, 34, 35	syl3anbrc 1184	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> ( u + 1 ) e. ( ZZ>= ` B ) )
37		eluzle 9660	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) -> ( u + 1 ) <_ z )
38	37	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> ( u + 1 ) <_ z )
39	25	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> u e. ZZ )
40		eluzelz 9657	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) -> z e. ZZ )
41	40	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> z e. ZZ )
42		zltp1le 9427	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( u < z <-> ( u + 1 ) <_ z ) )
43	39, 41, 42	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> ( u < z <-> ( u + 1 ) <_ z ) )
44	38, 43	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> u < z )
45	41	zred 9495	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> z e. RR )
46	28	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> u e. RR )
47		breq1 4047	. . . . . . . . . 10 |- ( y = z -> ( y <_ u <-> z <_ u ) )
48	31	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> A. y e. A y <_ u )
49		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> z e. A )
50	47, 48, 49	rspcdva 2882	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> z <_ u )
51	45, 46, 50	lensymd 8194	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> -. u < z )
52	44, 51	pm2.65da 663	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) -> -. z e. A )
53	52	ralrimiva 2579	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> A. z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) -. z e. A )
54		fveq2 5576	. . . . . . . 8 |- ( v = ( u + 1 ) -> ( ZZ>= ` v ) = ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) )
55	54	raleqdv 2708	. . . . . . 7 |- ( v = ( u + 1 ) -> ( A. z e. ( ZZ>= ` v ) -. z e. A <-> A. z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) -. z e. A ) )
56	55	rspcev 2877	. . . . . 6 |- ( ( ( u + 1 ) e. ( ZZ>= ` B ) /\ A. z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) -. z e. A ) -> E. v e. ( ZZ>= ` B ) A. z e. ( ZZ>= ` v ) -. z e. A )
57	36, 53, 56	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> E. v e. ( ZZ>= ` B ) A. z e. ( ZZ>= ` v ) -. z e. A )
58	15, 16, 17, 24, 57	zsupcl 10374	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> sup ( { z e. ZZ | z e. A } , RR , < ) e. ( ZZ>= ` B ) )
59	12, 58	eqeltrrd 2283	. . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> sup ( A , RR , < ) e. ( ZZ>= ` B ) )
60		eluzle 9660	. . 3 |- ( sup ( A , RR , < ) e. ( ZZ>= ` B ) -> B <_ sup ( A , RR , < ) )
61	59, 60	syl 14	. 2 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> B <_ sup ( A , RR , < ) )
62	5, 61	rexlimddv 2628	1 |- ( ph -> B <_ sup ( A , RR , < ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 836   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   E.wrex 2485   {crab 2488   i^i cin 3165   C_ wss 3166   class class class wbr 4044   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   supcsup 7084   RRcr 7924   1c1 7926   + caddc 7928   < clt 8107   <_ cle 8108   ZZcz 9372   ZZ>=cuz 9648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-sup 7086  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-fz 10131  df-fzo 10265

This theorem is referenced by:  pcprendvds  12613  pcpremul  12616