Theorem suprzubdc 10596

Description: The supremum of a bounded-above decidable set of integers is greater than any member of the set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprzubdc.ss	|- ( ph -> A C_ ZZ )
suprzubdc.dc	|- ( ph -> A. x e. ZZ DECID x e. A )
suprzubdc.ub	|- ( ph -> E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x )
suprzubdc.b	|- ( ph -> B e. A )

Assertion

Ref	Expression
suprzubdc	|- ( ph -> B <_ sup ( A , RR , < ) )

Distinct variable groups:   y, A, x   y, B

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   B( x)

Proof of Theorem suprzubdc

Dummy variables u v z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suprzubdc.ub	. . 3 |- ( ph -> E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x )
2		breq2 4113	. . . . 5 |- ( x = u -> ( y <_ x <-> y <_ u ) )
3	2	ralbidv 2542	. . . 4 |- ( x = u -> ( A. y e. A y <_ x <-> A. y e. A y <_ u ) )
4	3	cbvrexv 2779	. . 3 |- ( E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x <-> E. u e. ZZ A. y e. A y <_ u )
5	1, 4	sylib 122	. 2 |- ( ph -> E. u e. ZZ A. y e. A y <_ u )
6		dfin5 3218	. . . . . . 7 |- ( ZZ i^i A ) = { z e. ZZ | z e. A }
7		suprzubdc.ss	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A C_ ZZ )
8		sseqin2 3440	. . . . . . . 8 |- ( A C_ ZZ <-> ( ZZ i^i A ) = A )
9	7, 8	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ZZ i^i A ) = A )
10	6, 9	eqtr3id 2279	. . . . . 6 |- ( ph -> { z e. ZZ | z e. A } = A )
11	10	supeq1d 7278	. . . . 5 |- ( ph -> sup ( { z e. ZZ | z e. A } , RR , < ) = sup ( A , RR , < ) )
12	11	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> sup ( { z e. ZZ | z e. A } , RR , < ) = sup ( A , RR , < ) )
13		suprzubdc.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. A )
14	7, 13	sseldd 3239	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. ZZ )
15	14	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> B e. ZZ )
16		eleq1 2295	. . . . 5 |- ( z = B -> ( z e. A <-> B e. A ) )
17	13	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> B e. A )
18		eleq1w 2293	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( x e. A <-> z e. A ) )
19	18	dcbid 846	. . . . . 6 |- ( x = z -> (DECID x e. A <-> DECID z e. A ) )
20		suprzubdc.dc	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. ZZ DECID x e. A )
21	20	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` B ) ) -> A. x e. ZZ DECID x e. A )
22		eluzelz 9863	. . . . . . 7 |- ( z e. ( ZZ>= ` B ) -> z e. ZZ )
23	22	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` B ) ) -> z e. ZZ )
24	19, 21, 23	rspcdva 2926	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` B ) ) -> DECID z e. A )
25		simprl 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> u e. ZZ )
26	25	peano2zd 9703	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> ( u + 1 ) e. ZZ )
27	15	zred 9700	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> B e. RR )
28	25	zred 9700	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> u e. RR )
29	26	zred 9700	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> ( u + 1 ) e. RR )
30		breq1 4112	. . . . . . . . 9 |- ( y = B -> ( y <_ u <-> B <_ u ) )
31		simprr 533	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> A. y e. A y <_ u )
32	30, 31, 17	rspcdva 2926	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> B <_ u )
33	28	lep1d 9205	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> u <_ ( u + 1 ) )
34	27, 28, 29, 32, 33	letrd 8397	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> B <_ ( u + 1 ) )
35		eluz2 9859	. . . . . . 7 |- ( ( u + 1 ) e. ( ZZ>= ` B ) <-> ( B e. ZZ /\ ( u + 1 ) e. ZZ /\ B <_ ( u + 1 ) ) )
36	15, 26, 34, 35	syl3anbrc 1208	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> ( u + 1 ) e. ( ZZ>= ` B ) )
37		eluzle 9866	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) -> ( u + 1 ) <_ z )
38	37	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> ( u + 1 ) <_ z )
39	25	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> u e. ZZ )
40		eluzelz 9863	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) -> z e. ZZ )
41	40	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> z e. ZZ )
42		zltp1le 9632	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( u < z <-> ( u + 1 ) <_ z ) )
43	39, 41, 42	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> ( u < z <-> ( u + 1 ) <_ z ) )
44	38, 43	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> u < z )
45	41	zred 9700	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> z e. RR )
46	28	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> u e. RR )
47		breq1 4112	. . . . . . . . . 10 |- ( y = z -> ( y <_ u <-> z <_ u ) )
48	31	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> A. y e. A y <_ u )
49		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> z e. A )
50	47, 48, 49	rspcdva 2926	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> z <_ u )
51	45, 46, 50	lensymd 8395	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> -. u < z )
52	44, 51	pm2.65da 667	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) -> -. z e. A )
53	52	ralrimiva 2615	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> A. z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) -. z e. A )
54		fveq2 5670	. . . . . . . 8 |- ( v = ( u + 1 ) -> ( ZZ>= ` v ) = ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) )
55	54	raleqdv 2747	. . . . . . 7 |- ( v = ( u + 1 ) -> ( A. z e. ( ZZ>= ` v ) -. z e. A <-> A. z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) -. z e. A ) )
56	55	rspcev 2921	. . . . . 6 |- ( ( ( u + 1 ) e. ( ZZ>= ` B ) /\ A. z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) -. z e. A ) -> E. v e. ( ZZ>= ` B ) A. z e. ( ZZ>= ` v ) -. z e. A )
57	36, 53, 56	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> E. v e. ( ZZ>= ` B ) A. z e. ( ZZ>= ` v ) -. z e. A )
58	15, 16, 17, 24, 57	zsupcl 10591	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> sup ( { z e. ZZ | z e. A } , RR , < ) e. ( ZZ>= ` B ) )
59	12, 58	eqeltrrd 2310	. . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> sup ( A , RR , < ) e. ( ZZ>= ` B ) )
60		eluzle 9866	. . 3 |- ( sup ( A , RR , < ) e. ( ZZ>= ` B ) -> B <_ sup ( A , RR , < ) )
61	59, 60	syl 14	. 2 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> B <_ sup ( A , RR , < ) )
62	5, 61	rexlimddv 2665	1 |- ( ph -> B <_ sup ( A , RR , < ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   E.wrex 2521   {crab 2524   i^i cin 3210   C_ wss 3211   class class class wbr 4109   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   supcsup 7273   RRcr 8126   1c1 8128   + caddc 8130   < clt 8308   <_ cle 8309   ZZcz 9577   ZZ>=cuz 9853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-sup 7275  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343  df-fzo 10477

This theorem is referenced by:  pcprendvds  12988  pcpremul  12991