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Theorem suprzubdc 11952
Description: The supremum of a bounded-above decidable set of integers is greater than any member of the set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
suprzubdc.ss  |-  ( ph  ->  A  C_  ZZ )
suprzubdc.dc  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ZZ DECID  x  e.  A )
suprzubdc.ub  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )
suprzubdc.b  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
Assertion
Ref Expression
suprzubdc  |-  ( ph  ->  B  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
Distinct variable groups:    y, A, x   
y, B
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    B( x)

Proof of Theorem suprzubdc
Dummy variables  u  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suprzubdc.ub . . 3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )
2 breq2 4007 . . . . 5  |-  ( x  =  u  ->  (
y  <_  x  <->  y  <_  u ) )
32ralbidv 2477 . . . 4  |-  ( x  =  u  ->  ( A. y  e.  A  y  <_  x  <->  A. y  e.  A  y  <_  u ) )
43cbvrexv 2704 . . 3  |-  ( E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  <->  E. u  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  u )
51, 4sylib 122 . 2  |-  ( ph  ->  E. u  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  u )
6 dfin5 3136 . . . . . . 7  |-  ( ZZ 
i^i  A )  =  { z  e.  ZZ  |  z  e.  A }
7 suprzubdc.ss . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  ZZ )
8 sseqin2 3354 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  ZZ  <->  ( ZZ  i^i  A )  =  A )
97, 8sylib 122 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ZZ  i^i  A
)  =  A )
106, 9eqtr3id 2224 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { z  e.  ZZ  |  z  e.  A }  =  A )
1110supeq1d 6985 . . . . 5  |-  ( ph  ->  sup ( { z  e.  ZZ  |  z  e.  A } ,  RR ,  <  )  =  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
1211adantr 276 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ZZ  /\  A. y  e.  A  y  <_  u ) )  ->  sup ( { z  e.  ZZ  |  z  e.  A } ,  RR ,  <  )  =  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
13 suprzubdc.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
147, 13sseldd 3156 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
1514adantr 276 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ZZ  /\  A. y  e.  A  y  <_  u ) )  ->  B  e.  ZZ )
16 eleq1 2240 . . . . 5  |-  ( z  =  B  ->  (
z  e.  A  <->  B  e.  A ) )
1713adantr 276 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ZZ  /\  A. y  e.  A  y  <_  u ) )  ->  B  e.  A )
18 eleq1w 2238 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
x  e.  A  <->  z  e.  A ) )
1918dcbid 838 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (DECID  x  e.  A  <-> DECID  z  e.  A )
)
20 suprzubdc.dc . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ZZ DECID  x  e.  A )
2120ad2antrr 488 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ZZ  /\  A. y  e.  A  y  <_  u ) )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  B ) )  ->  A. x  e.  ZZ DECID  x  e.  A )
22 eluzelz 9536 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  B
)  ->  z  e.  ZZ )
2322adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ZZ  /\  A. y  e.  A  y  <_  u ) )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  B ) )  ->  z  e.  ZZ )
2419, 21, 23rspcdva 2846 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ZZ  /\  A. y  e.  A  y  <_  u ) )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  B ) )  -> DECID 
z  e.  A )
25 simprl 529 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ZZ  /\  A. y  e.  A  y  <_  u ) )  ->  u  e.  ZZ )
2625peano2zd 9377 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ZZ  /\  A. y  e.  A  y  <_  u ) )  ->  (
u  +  1 )  e.  ZZ )
2715zred 9374 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ZZ  /\  A. y  e.  A  y  <_  u ) )  ->  B  e.  RR )
2825zred 9374 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ZZ  /\  A. y  e.  A  y  <_  u ) )  ->  u  e.  RR )
2926zred 9374 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ZZ  /\  A. y  e.  A  y  <_  u ) )  ->  (
u  +  1 )  e.  RR )
30 breq1 4006 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  B  ->  (
y  <_  u  <->  B  <_  u ) )
31 simprr 531 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ZZ  /\  A. y  e.  A  y  <_  u ) )  ->  A. y  e.  A  y  <_  u )
3230, 31, 17rspcdva 2846 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ZZ  /\  A. y  e.  A  y  <_  u ) )  ->  B  <_  u )
3328lep1d 8887 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ZZ  /\  A. y  e.  A  y  <_  u ) )  ->  u  <_  ( u  +  1 ) )
3427, 28, 29, 32, 33letrd 8080 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ZZ  /\  A. y  e.  A  y  <_  u ) )  ->  B  <_  ( u  +  1 ) )
35 eluz2 9533 . . . . . . 7  |-  ( ( u  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  B
)  <->  ( B  e.  ZZ  /\  ( u  +  1 )  e.  ZZ  /\  B  <_ 
( u  +  1 ) ) )
3615, 26, 34, 35syl3anbrc 1181 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ZZ  /\  A. y  e.  A  y  <_  u ) )  ->  (
u  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  B
) )
37 eluzle 9539 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  (
u  +  1 ) )  ->  ( u  +  1 )  <_ 
z )
3837ad2antlr 489 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ZZ  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  u ) )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  ( u  + 
1 ) ) )  /\  z  e.  A
)  ->  ( u  +  1 )  <_ 
z )
3925ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ZZ  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  u ) )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  ( u  + 
1 ) ) )  /\  z  e.  A
)  ->  u  e.  ZZ )
40 eluzelz 9536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  (
u  +  1 ) )  ->  z  e.  ZZ )
4140ad2antlr 489 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ZZ  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  u ) )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  ( u  + 
1 ) ) )  /\  z  e.  A
)  ->  z  e.  ZZ )
42 zltp1le 9306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( u  <  z  <->  ( u  +  1 )  <_  z ) )
4339, 41, 42syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ZZ  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  u ) )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  ( u  + 
1 ) ) )  /\  z  e.  A
)  ->  ( u  <  z  <->  ( u  + 
1 )  <_  z
) )
4438, 43mpbird 167 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ZZ  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  u ) )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  ( u  + 
1 ) ) )  /\  z  e.  A
)  ->  u  <  z )
4541zred 9374 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ZZ  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  u ) )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  ( u  + 
1 ) ) )  /\  z  e.  A
)  ->  z  e.  RR )
4628ad2antrr 488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ZZ  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  u ) )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  ( u  + 
1 ) ) )  /\  z  e.  A
)  ->  u  e.  RR )
47 breq1 4006 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  (
y  <_  u  <->  z  <_  u ) )
4831ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ZZ  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  u ) )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  ( u  + 
1 ) ) )  /\  z  e.  A
)  ->  A. y  e.  A  y  <_  u )
49 simpr 110 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ZZ  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  u ) )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  ( u  + 
1 ) ) )  /\  z  e.  A
)  ->  z  e.  A )
5047, 48, 49rspcdva 2846 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ZZ  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  u ) )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  ( u  + 
1 ) ) )  /\  z  e.  A
)  ->  z  <_  u )
5145, 46, 50lensymd 8078 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ZZ  /\ 
A. y  e.  A  y  <_  u ) )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  ( u  + 
1 ) ) )  /\  z  e.  A
)  ->  -.  u  <  z )
5244, 51pm2.65da 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ZZ  /\  A. y  e.  A  y  <_  u ) )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  ( u  + 
1 ) ) )  ->  -.  z  e.  A )
5352ralrimiva 2550 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ZZ  /\  A. y  e.  A  y  <_  u ) )  ->  A. z  e.  ( ZZ>= `  ( u  +  1 ) )  -.  z  e.  A
)
54 fveq2 5515 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  ( u  + 
1 )  ->  ( ZZ>=
`  v )  =  ( ZZ>= `  ( u  +  1 ) ) )
5554raleqdv 2678 . . . . . . 7  |-  ( v  =  ( u  + 
1 )  ->  ( A. z  e.  ( ZZ>=
`  v )  -.  z  e.  A  <->  A. z  e.  ( ZZ>= `  ( u  +  1 ) )  -.  z  e.  A
) )
5655rspcev 2841 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  B )  /\  A. z  e.  ( ZZ>= `  ( u  +  1
) )  -.  z  e.  A )  ->  E. v  e.  ( ZZ>= `  B ) A. z  e.  ( ZZ>=
`  v )  -.  z  e.  A )
5736, 53, 56syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ZZ  /\  A. y  e.  A  y  <_  u ) )  ->  E. v  e.  ( ZZ>= `  B ) A. z  e.  ( ZZ>=
`  v )  -.  z  e.  A )
5815, 16, 17, 24, 57zsupcl 11947 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ZZ  /\  A. y  e.  A  y  <_  u ) )  ->  sup ( { z  e.  ZZ  |  z  e.  A } ,  RR ,  <  )  e.  ( ZZ>= `  B ) )
5912, 58eqeltrrd 2255 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ZZ  /\  A. y  e.  A  y  <_  u ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  ( ZZ>= `  B ) )
60 eluzle 9539 . . 3  |-  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  (
ZZ>= `  B )  ->  B  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
6159, 60syl 14 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ZZ  /\  A. y  e.  A  y  <_  u ) )  ->  B  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
625, 61rexlimddv 2599 1  |-  ( ph  ->  B  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105  DECID wdc 834    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   {crab 2459    i^i cin 3128    C_ wss 3129   class class class wbr 4003   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   supcsup 6980   RRcr 7809   1c1 7811    + caddc 7813    < clt 7991    <_ cle 7992   ZZcz 9252   ZZ>=cuz 9527
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-sup 6982  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-fz 10008  df-fzo 10142
This theorem is referenced by:  pcprendvds  12289  pcpremul  12292
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