Theorem suprzubdc 10411

Description: The supremum of a bounded-above decidable set of integers is greater than any member of the set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprzubdc.ss	|- ( ph -> A C_ ZZ )
suprzubdc.dc	|- ( ph -> A. x e. ZZ DECID x e. A )
suprzubdc.ub	|- ( ph -> E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x )
suprzubdc.b	|- ( ph -> B e. A )

Assertion

Ref	Expression
suprzubdc	|- ( ph -> B <_ sup ( A , RR , < ) )

Distinct variable groups:   y, A, x   y, B

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   B( x)

Proof of Theorem suprzubdc

Dummy variables u v z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suprzubdc.ub	. . 3 |- ( ph -> E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x )
2		breq2 4058	. . . . 5 |- ( x = u -> ( y <_ x <-> y <_ u ) )
3	2	ralbidv 2507	. . . 4 |- ( x = u -> ( A. y e. A y <_ x <-> A. y e. A y <_ u ) )
4	3	cbvrexv 2740	. . 3 |- ( E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x <-> E. u e. ZZ A. y e. A y <_ u )
5	1, 4	sylib 122	. 2 |- ( ph -> E. u e. ZZ A. y e. A y <_ u )
6		dfin5 3177	. . . . . . 7 |- ( ZZ i^i A ) = { z e. ZZ | z e. A }
7		suprzubdc.ss	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A C_ ZZ )
8		sseqin2 3396	. . . . . . . 8 |- ( A C_ ZZ <-> ( ZZ i^i A ) = A )
9	7, 8	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ZZ i^i A ) = A )
10	6, 9	eqtr3id 2253	. . . . . 6 |- ( ph -> { z e. ZZ | z e. A } = A )
11	10	supeq1d 7110	. . . . 5 |- ( ph -> sup ( { z e. ZZ | z e. A } , RR , < ) = sup ( A , RR , < ) )
12	11	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> sup ( { z e. ZZ | z e. A } , RR , < ) = sup ( A , RR , < ) )
13		suprzubdc.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. A )
14	7, 13	sseldd 3198	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. ZZ )
15	14	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> B e. ZZ )
16		eleq1 2269	. . . . 5 |- ( z = B -> ( z e. A <-> B e. A ) )
17	13	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> B e. A )
18		eleq1w 2267	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( x e. A <-> z e. A ) )
19	18	dcbid 840	. . . . . 6 |- ( x = z -> (DECID x e. A <-> DECID z e. A ) )
20		suprzubdc.dc	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. ZZ DECID x e. A )
21	20	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` B ) ) -> A. x e. ZZ DECID x e. A )
22		eluzelz 9687	. . . . . . 7 |- ( z e. ( ZZ>= ` B ) -> z e. ZZ )
23	22	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` B ) ) -> z e. ZZ )
24	19, 21, 23	rspcdva 2886	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` B ) ) -> DECID z e. A )
25		simprl 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> u e. ZZ )
26	25	peano2zd 9528	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> ( u + 1 ) e. ZZ )
27	15	zred 9525	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> B e. RR )
28	25	zred 9525	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> u e. RR )
29	26	zred 9525	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> ( u + 1 ) e. RR )
30		breq1 4057	. . . . . . . . 9 |- ( y = B -> ( y <_ u <-> B <_ u ) )
31		simprr 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> A. y e. A y <_ u )
32	30, 31, 17	rspcdva 2886	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> B <_ u )
33	28	lep1d 9034	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> u <_ ( u + 1 ) )
34	27, 28, 29, 32, 33	letrd 8226	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> B <_ ( u + 1 ) )
35		eluz2 9684	. . . . . . 7 |- ( ( u + 1 ) e. ( ZZ>= ` B ) <-> ( B e. ZZ /\ ( u + 1 ) e. ZZ /\ B <_ ( u + 1 ) ) )
36	15, 26, 34, 35	syl3anbrc 1184	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> ( u + 1 ) e. ( ZZ>= ` B ) )
37		eluzle 9690	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) -> ( u + 1 ) <_ z )
38	37	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> ( u + 1 ) <_ z )
39	25	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> u e. ZZ )
40		eluzelz 9687	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) -> z e. ZZ )
41	40	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> z e. ZZ )
42		zltp1le 9457	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( u < z <-> ( u + 1 ) <_ z ) )
43	39, 41, 42	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> ( u < z <-> ( u + 1 ) <_ z ) )
44	38, 43	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> u < z )
45	41	zred 9525	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> z e. RR )
46	28	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> u e. RR )
47		breq1 4057	. . . . . . . . . 10 |- ( y = z -> ( y <_ u <-> z <_ u ) )
48	31	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> A. y e. A y <_ u )
49		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> z e. A )
50	47, 48, 49	rspcdva 2886	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> z <_ u )
51	45, 46, 50	lensymd 8224	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) /\ z e. A ) -> -. u < z )
52	44, 51	pm2.65da 663	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) ) -> -. z e. A )
53	52	ralrimiva 2580	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> A. z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) -. z e. A )
54		fveq2 5594	. . . . . . . 8 |- ( v = ( u + 1 ) -> ( ZZ>= ` v ) = ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) )
55	54	raleqdv 2709	. . . . . . 7 |- ( v = ( u + 1 ) -> ( A. z e. ( ZZ>= ` v ) -. z e. A <-> A. z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) -. z e. A ) )
56	55	rspcev 2881	. . . . . 6 |- ( ( ( u + 1 ) e. ( ZZ>= ` B ) /\ A. z e. ( ZZ>= ` ( u + 1 ) ) -. z e. A ) -> E. v e. ( ZZ>= ` B ) A. z e. ( ZZ>= ` v ) -. z e. A )
57	36, 53, 56	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> E. v e. ( ZZ>= ` B ) A. z e. ( ZZ>= ` v ) -. z e. A )
58	15, 16, 17, 24, 57	zsupcl 10406	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> sup ( { z e. ZZ | z e. A } , RR , < ) e. ( ZZ>= ` B ) )
59	12, 58	eqeltrrd 2284	. . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> sup ( A , RR , < ) e. ( ZZ>= ` B ) )
60		eluzle 9690	. . 3 |- ( sup ( A , RR , < ) e. ( ZZ>= ` B ) -> B <_ sup ( A , RR , < ) )
61	59, 60	syl 14	. 2 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ A. y e. A y <_ u ) ) -> B <_ sup ( A , RR , < ) )
62	5, 61	rexlimddv 2629	1 |- ( ph -> B <_ sup ( A , RR , < ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 836   = wceq 1373   e. wcel 2177   A.wral 2485   E.wrex 2486   {crab 2489   i^i cin 3169   C_ wss 3170   class class class wbr 4054   ` cfv 5285  (class class class)co 5962   supcsup 7105   RRcr 7954   1c1 7956   + caddc 7958   < clt 8137   <_ cle 8138   ZZcz 9402   ZZ>=cuz 9678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-addcom 8055  ax-addass 8057  ax-distr 8059  ax-i2m1 8060  ax-0lt1 8061  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-cnre 8066  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-ltwlin 8068  ax-pre-lttrn 8069  ax-pre-apti 8070  ax-pre-ltadd 8071

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-id 4353  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-sup 7107  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141  df-ltxr 8142  df-le 8143  df-sub 8275  df-neg 8276  df-inn 9067  df-n0 9326  df-z 9403  df-uz 9679  df-fz 10161  df-fzo 10295

This theorem is referenced by:  pcprendvds  12698  pcpremul  12701