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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > pcneg | Unicode version |
Description: The prime count of a negative number. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.) |
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pcneg |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | elq 9687 |
. . 3
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2 | zcn 9322 |
. . . . . . . . 9
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3 | 2 | ad2antrl 490 |
. . . . . . . 8
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4 | nncn 8990 |
. . . . . . . . 9
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5 | 4 | ad2antll 491 |
. . . . . . . 8
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6 | nnap0 9011 |
. . . . . . . . 9
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7 | 6 | ad2antll 491 |
. . . . . . . 8
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8 | 3, 5, 7 | divnegapd 8822 |
. . . . . . 7
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9 | 8 | oveq2d 5934 |
. . . . . 6
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10 | neg0 8265 |
. . . . . . . . . 10
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11 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . 11
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12 | 11 | negeqd 8214 |
. . . . . . . . . 10
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13 | 10, 12, 11 | 3eqtr4a 2252 |
. . . . . . . . 9
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14 | 13 | oveq1d 5933 |
. . . . . . . 8
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15 | 14 | oveq2d 5934 |
. . . . . . 7
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16 | simpll 527 |
. . . . . . . . . . 11
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17 | simplrl 535 |
. . . . . . . . . . . 12
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18 | 17 | znegcld 9441 |
. . . . . . . . . . 11
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19 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . 12
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20 | 2 | negne0bd 8323 |
. . . . . . . . . . . . 13
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21 | 17, 20 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
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22 | 19, 21 | mpbid 147 |
. . . . . . . . . . 11
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23 | eqid 2193 |
. . . . . . . . . . . 12
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24 | 23 | pczpre 12435 |
. . . . . . . . . . 11
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25 | 16, 18, 22, 24 | syl12anc 1247 |
. . . . . . . . . 10
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26 | eqid 2193 |
. . . . . . . . . . . . 13
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27 | 26 | pczpre 12435 |
. . . . . . . . . . . 12
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28 | prmz 12249 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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29 | zexpcl 10625 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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30 | 28, 29 | sylan 283 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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31 | simpl 109 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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32 | dvdsnegb 11951 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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33 | 30, 31, 32 | syl2an 289 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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34 | 33 | an32s 568 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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35 | 34 | rabbidva 2748 |
. . . . . . . . . . . . 13
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36 | 35 | supeq1d 7046 |
. . . . . . . . . . . 12
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37 | 27, 36 | eqtrd 2226 |
. . . . . . . . . . 11
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38 | 16, 17, 19, 37 | syl12anc 1247 |
. . . . . . . . . 10
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39 | 25, 38 | eqtr4d 2229 |
. . . . . . . . 9
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40 | 39 | oveq1d 5933 |
. . . . . . . 8
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41 | simplrr 536 |
. . . . . . . . 9
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42 | pcdiv 12440 |
. . . . . . . . 9
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43 | 16, 18, 22, 41, 42 | syl121anc 1254 |
. . . . . . . 8
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44 | pcdiv 12440 |
. . . . . . . . 9
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45 | 16, 17, 19, 41, 44 | syl121anc 1254 |
. . . . . . . 8
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46 | 40, 43, 45 | 3eqtr4d 2236 |
. . . . . . 7
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47 | simprl 529 |
. . . . . . . . 9
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48 | 0zd 9329 |
. . . . . . . . 9
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49 | zdceq 9392 |
. . . . . . . . 9
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50 | 47, 48, 49 | syl2anc 411 |
. . . . . . . 8
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51 | dcne 2375 |
. . . . . . . 8
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52 | 50, 51 | sylib 122 |
. . . . . . 7
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53 | 15, 46, 52 | mpjaodan 799 |
. . . . . 6
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54 | 9, 53 | eqtrd 2226 |
. . . . 5
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55 | negeq 8212 |
. . . . . . 7
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56 | 55 | oveq2d 5934 |
. . . . . 6
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57 | oveq2 5926 |
. . . . . 6
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58 | 56, 57 | eqeq12d 2208 |
. . . . 5
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59 | 54, 58 | syl5ibrcom 157 |
. . . 4
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60 | 59 | rexlimdvva 2619 |
. . 3
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61 | 1, 60 | biimtrid 152 |
. 2
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62 | 61 | imp 124 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2166 ax-14 2167 ax-ext 2175 ax-coll 4144 ax-sep 4147 ax-nul 4155 ax-pow 4203 ax-pr 4238 ax-un 4464 ax-setind 4569 ax-iinf 4620 ax-cnex 7963 ax-resscn 7964 ax-1cn 7965 ax-1re 7966 ax-icn 7967 ax-addcl 7968 ax-addrcl 7969 ax-mulcl 7970 ax-mulrcl 7971 ax-addcom 7972 ax-mulcom 7973 ax-addass 7974 ax-mulass 7975 ax-distr 7976 ax-i2m1 7977 ax-0lt1 7978 ax-1rid 7979 ax-0id 7980 ax-rnegex 7981 ax-precex 7982 ax-cnre 7983 ax-pre-ltirr 7984 ax-pre-ltwlin 7985 ax-pre-lttrn 7986 ax-pre-apti 7987 ax-pre-ltadd 7988 ax-pre-mulgt0 7989 ax-pre-mulext 7990 ax-arch 7991 ax-caucvg 7992 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2045 df-mo 2046 df-clab 2180 df-cleq 2186 df-clel 2189 df-nfc 2325 df-ne 2365 df-nel 2460 df-ral 2477 df-rex 2478 df-reu 2479 df-rmo 2480 df-rab 2481 df-v 2762 df-sbc 2986 df-csb 3081 df-dif 3155 df-un 3157 df-in 3159 df-ss 3166 df-nul 3447 df-if 3558 df-pw 3603 df-sn 3624 df-pr 3625 df-op 3627 df-uni 3836 df-int 3871 df-iun 3914 df-br 4030 df-opab 4091 df-mpt 4092 df-tr 4128 df-id 4324 df-po 4327 df-iso 4328 df-iord 4397 df-on 4399 df-ilim 4400 df-suc 4402 df-iom 4623 df-xp 4665 df-rel 4666 df-cnv 4667 df-co 4668 df-dm 4669 df-rn 4670 df-res 4671 df-ima 4672 df-iota 5215 df-fun 5256 df-fn 5257 df-f 5258 df-f1 5259 df-fo 5260 df-f1o 5261 df-fv 5262 df-isom 5263 df-riota 5873 df-ov 5921 df-oprab 5922 df-mpo 5923 df-1st 6193 df-2nd 6194 df-recs 6358 df-frec 6444 df-1o 6469 df-2o 6470 df-er 6587 df-en 6795 df-sup 7043 df-inf 7044 df-pnf 8056 df-mnf 8057 df-xr 8058 df-ltxr 8059 df-le 8060 df-sub 8192 df-neg 8193 df-reap 8594 df-ap 8601 df-div 8692 df-inn 8983 df-2 9041 df-3 9042 df-4 9043 df-n0 9241 df-z 9318 df-uz 9593 df-q 9685 df-rp 9720 df-fz 10075 df-fzo 10209 df-fl 10339 df-mod 10394 df-seqfrec 10519 df-exp 10610 df-cj 10986 df-re 10987 df-im 10988 df-rsqrt 11142 df-abs 11143 df-dvds 11931 df-gcd 12080 df-prm 12246 df-pc 12423 |
This theorem is referenced by: pcabs 12464 pcadd2 12479 lgsneg 15140 |
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