Theorem supeq1d 7327

Description: Equality deduction for supremum. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
supeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
supeq1d	⊢ (𝜑 → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = sup(𝐶, 𝐴, 𝑅))

Proof of Theorem supeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)
2		supeq1 7326	. 2 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = sup(𝐶, 𝐴, 𝑅))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = sup(𝐶, 𝐴, 𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402  supcsup 7322

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-uni 3936  df-sup 7324

This theorem is used by:  sup3exmid  9288  supminfex  9999  suprzubdc  10673  minmax  11998  xrminmax  12033  xrminrecl  12041  xrminadd  12043  gcdval  12738  gcdass  12794  pceulem  13075  pceu  13076  pcval  13077  pczpre  13078  pcdiv  13083  pcneg  13106  prdsex  14174  prdsval  14175  xmetxp  15610  xmetxpbl  15611  txmetcnp  15621  qtopbasss  15624  hovera  15750  hoverb  15751  hoverlt1  15752  hovergt0  15753  ivthdich  15756  repiecele0  17087  repiecege0  17088  repiecef  17089