Theorem supeq1d 7334

Description: Equality deduction for supremum. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
supeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
supeq1d	⊢ (𝜑 → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = sup(𝐶, 𝐴, 𝑅))

Proof of Theorem supeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)
2		supeq1 7333	. 2 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = sup(𝐶, 𝐴, 𝑅))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = sup(𝐶, 𝐴, 𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402  supcsup 7329

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-uni 3936  df-sup 7331

This theorem is used by:  sup3exmid  9296  supminfex  10014  suprzubdc  10689  minmax  12021  xrminmax  12057  xrminrecl  12065  xrminadd  12067  gcdval  12762  gcdass  12818  pceulem  13103  pceu  13104  pcval  13105  pczpre  13106  pcdiv  13111  pcneg  13134  prdsex  14280  prdsval  14281  xmetxp  15745  xmetxpbl  15746  txmetcnp  15756  qtopbasss  15759  hovera  15885  hoverb  15886  hoverlt1  15887  hovergt0  15888  ivthdich  15891  repiecele0  17293  repiecege0  17294  repiecef  17295