Theorem supeq1d 7334

Description: Equality deduction for supremum. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
supeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
supeq1d	⊢ (𝜑 → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = sup(𝐶, 𝐴, 𝑅))

Proof of Theorem supeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)
2		supeq1 7333	. 2 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = sup(𝐶, 𝐴, 𝑅))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = sup(𝐶, 𝐴, 𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402  supcsup 7329

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-uni 3936  df-sup 7331

This theorem is used by:  sup3exmid  9296  supminfex  10013  suprzubdc  10688  minmax  12020  xrminmax  12056  xrminrecl  12064  xrminadd  12066  gcdval  12761  gcdass  12817  pceulem  13102  pceu  13103  pcval  13104  pczpre  13105  pcdiv  13110  pcneg  13133  prdsex  14279  prdsval  14280  psrbagmaxlem1x  15188  psrbagmaxlem1y  15189  xmetxp  15766  xmetxpbl  15767  txmetcnp  15777  qtopbasss  15780  hovera  15906  hoverb  15907  hoverlt1  15908  hovergt0  15909  ivthdich  15912  repiecele0  17314  repiecege0  17315  repiecef  17316