ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrminmax Unicode version
Theorem xrminmax 11408
Description: Minimum expressed in terms of maximum. (Contributed by Jim Kingdon, 2-May-2023.)
Assertion
Ref Expression
xrminmax |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> inf ( { A , B } , RR* , < ) = -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
Proof of Theorem xrminmax
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xnegcl 9898 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. RR* -> -e z e. RR* )
2 elprg 3638 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -e z e. RR* -> ( -e z e. { A , B } <-> ( -e z = A \/ -e z = B ) ) )
31, 2syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- ( z e. RR* -> ( -e z e. { A , B } <-> ( -e z = A \/ -e z = B ) ) )
43adantl 277 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> ( -e z e. { A , B } <-> ( -e z = A \/ -e z = B ) ) )
5 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> z e. RR* )
6 simpll 527 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> A e. RR* )
75, 6xrnegcon1d 11407 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> ( -e z = A <-> -e A = z ) )
8 eqcom 2195 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -e A = z <-> z = -e A )
97, 8bitrdi 196 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> ( -e z = A <-> z = -e A ) )
10 simplr 528 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> B e. RR* )
115, 10xrnegcon1d 11407 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> ( -e z = B <-> -e B = z ) )
12 eqcom 2195 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -e B = z <-> z = -e B )
1311, 12bitrdi 196 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> ( -e z = B <-> z = -e B ) )
149, 13orbi12d 794 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> ( ( -e z = A \/ -e z = B ) <-> ( z = -e A \/ z = -e B ) ) )
154, 14bitrd 188 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> ( -e z e. { A , B } <-> ( z = -e A \/ z = -e B ) ) )
1615rabbidva 2748 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> { z e. RR* | -e z e. { A , B } } = { z e. RR* | ( z = -e A \/ z = -e B ) } )
17 dfrab2 3434 . . . . . . . . . 10 |- { z e. RR* | ( z = -e A \/ z = -e B ) } = ( { z | ( z = -e A \/ z = -e B ) } i^i RR* )
18 dfpr2 3637 . . . . . . . . . . 11 |- { -e A , -e B } = { z | ( z = -e A \/ z = -e B ) }
1918ineq1i 3356 . . . . . . . . . 10 |- ( { -e A , -e B } i^i RR* ) = ( { z | ( z = -e A \/ z = -e B ) } i^i RR* )
2017, 19eqtr4i 2217 . . . . . . . . 9 |- { z e. RR* | ( z = -e A \/ z = -e B ) } = ( { -e A , -e B } i^i RR* )
21 xnegcl 9898 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR* -> -e A e. RR* )
22 xnegcl 9898 . . . . . . . . . . 11 |- ( B e. RR* -> -e B e. RR* )
23 prssi 3776 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( -e A e. RR* /\ -e B e. RR* ) -> { -e A , -e B } C_ RR* )
2421, 22, 23syl2an 289 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> { -e A , -e B } C_ RR* )
25 df-ss 3166 . . . . . . . . . 10 |- ( { -e A , -e B } C_ RR* <-> ( { -e A , -e B } i^i RR* ) = { -e A , -e B } )
2624, 25sylib 122 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( { -e A , -e B } i^i RR* ) = { -e A , -e B } )
2720, 26eqtrid 2238 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> { z e. RR* | ( z = -e A \/ z = -e B ) } = { -e A , -e B } )
2816, 27eqtrd 2226 . . . . . . 7 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> { z e. RR* | -e z e. { A , B } } = { -e A , -e B } )
2928supeq1d 7046 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) = sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
30 xrmaxcl 11395 . . . . . . 7 |- ( ( -e A e. RR* /\ -e B e. RR* ) -> sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) e. RR* )
3121, 22, 30syl2an 289 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) e. RR* )
3229, 31eqeltrd 2270 . . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) e. RR* )
3332xnegcld 9921 . . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) e. RR* )
34 xnegeq 9893 . . . . . . . . 9 |- ( y = A -> -e y = -e A )
3534adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> -e y = -e A )
36 xrmax1sup 11396 . . . . . . . . . 10 |- ( ( -e A e. RR* /\ -e B e. RR* ) -> -e A <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
3721, 22, 36syl2an 289 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> -e A <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
3837ad2antrr 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> -e A <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
3935, 38eqbrtrd 4051 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> -e y <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
40 simpll 527 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> ( A e. RR* /\ B e. RR* ) )
41 simpr 110 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> y = A )
42 simplll 533 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> A e. RR* )
4341, 42eqeltrd 2270 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> y e. RR* )
44 xnegeq 9893 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) = sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) -> -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) = -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
4529, 44syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) = -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
4645breq2d 4041 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) <-> y < -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
4746notbid 668 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) <-> -. y < -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
4847adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) <-> -. y < -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
4931adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) e. RR* )
5049xnegcld 9921 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) e. RR* )
51 xrlenlt 8084 . . . . . . . . . 10 |- ( ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <_ y <-> -. y < -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
5250, 51sylancom 420 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <_ y <-> -. y < -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
53 xleneg 9903 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <_ y <-> -e y <_ -e -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
5450, 53sylancom 420 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <_ y <-> -e y <_ -e -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
55 xnegneg 9899 . . . . . . . . . . . 12 |- ( sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) e. RR* -> -e -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) = sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
5649, 55syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> -e -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) = sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
5756breq2d 4041 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( -e y <_ -e -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <-> -e y <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
5854, 57bitrd 188 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <_ y <-> -e y <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
5948, 52, 583bitr2d 216 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) <-> -e y <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
6040, 43, 59syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> ( -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) <-> -e y <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
6139, 60mpbird 167 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) )
62 xnegeq 9893 . . . . . . . . 9 |- ( y = B -> -e y = -e B )
6362adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> -e y = -e B )
64 xrmax2sup 11397 . . . . . . . . . 10 |- ( ( -e A e. RR* /\ -e B e. RR* ) -> -e B <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
6521, 22, 64syl2an 289 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> -e B <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
6665ad2antrr 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> -e B <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
6763, 66eqbrtrd 4051 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> -e y <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
68 simpll 527 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> ( A e. RR* /\ B e. RR* ) )
69 simpr 110 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> y = B )
70 simpllr 534 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> B e. RR* )
7169, 70eqeltrd 2270 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> y e. RR* )
7268, 71, 59syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> ( -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) <-> -e y <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
7367, 72mpbird 167 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) )
74 elpri 3641 . . . . . . 7 |- ( y e. { A , B } -> ( y = A \/ y = B ) )
7574adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) -> ( y = A \/ y = B ) )
7661, 73, 75mpjaodan 799 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) -> -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) )
7776ralrimiva 2567 . . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> A. y e. { A , B } -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) )
7821ad3antrrr 492 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> -e A e. RR* )
7922ad3antlr 493 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> -e B e. RR* )
80 simplr 528 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> y e. RR* )
8180xnegcld 9921 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> -e y e. RR* )
82 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y )
8345breq1d 4039 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y <-> -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) < y ) )
8483ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> ( -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y <-> -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) < y ) )
8582, 84mpbid 147 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) < y )
8650adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) e. RR* )
87 xltneg 9902 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) < y <-> -e y < -e -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
8886, 80, 87syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) < y <-> -e y < -e -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
8956breq2d 4041 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( -e y < -e -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <-> -e y < sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
9089adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> ( -e y < -e -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <-> -e y < sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
9188, 90bitrd 188 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) < y <-> -e y < sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
9285, 91mpbid 147 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> -e y < sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
93 xrmaxleastlt 11399 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( -e A e. RR* /\ -e B e. RR* ) /\ ( -e y e. RR* /\ -e y < sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) ) -> ( -e y < -e A \/ -e y < -e B ) )
9478, 79, 81, 92, 93syl22anc 1250 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> ( -e y < -e A \/ -e y < -e B ) )
95 simplll 533 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> A e. RR* )
96 xltneg 9902 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( A < y <-> -e y < -e A ) )
9795, 80, 96syl2anc 411 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> ( A < y <-> -e y < -e A ) )
98 simpllr 534 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> B e. RR* )
99 xltneg 9902 . . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( B < y <-> -e y < -e B ) )
10098, 80, 99syl2anc 411 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> ( B < y <-> -e y < -e B ) )
10197, 100orbi12d 794 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> ( ( A < y \/ B < y ) <-> ( -e y < -e A \/ -e y < -e B ) ) )
10294, 101mpbird 167 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> ( A < y \/ B < y ) )
103 breq1 4032 . . . . . . . . 9 |- ( z = A -> ( z < y <-> A < y ) )
104 breq1 4032 . . . . . . . . 9 |- ( z = B -> ( z < y <-> B < y ) )
105103, 104rexprg 3670 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( E. z e. { A , B } z < y <-> ( A < y \/ B < y ) ) )
106105ad2antrr 488 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> ( E. z e. { A , B } z < y <-> ( A < y \/ B < y ) ) )
107102, 106mpbird 167 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> E. z e. { A , B } z < y )
108107ex 115 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y -> E. z e. { A , B } z < y ) )
109108ralrimiva 2567 . . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> A. y e. RR* ( -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y -> E. z e. { A , B } z < y ) )
110 breq2 4033 . . . . . . . 8 |- ( x = -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) -> ( y < x <-> y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) ) )
111110notbid 668 . . . . . . 7 |- ( x = -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) -> ( -. y < x <-> -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) ) )
112111ralbidv 2494 . . . . . 6 |- ( x = -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) -> ( A. y e. { A , B } -. y < x <-> A. y e. { A , B } -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) ) )
113 breq1 4032 . . . . . . . 8 |- ( x = -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) -> ( x < y <-> -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) )
114113imbi1d 231 . . . . . . 7 |- ( x = -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) -> ( ( x < y -> E. z e. { A , B } z < y ) <-> ( -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) )
115114ralbidv 2494 . . . . . 6 |- ( x = -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) -> ( A. y e. RR* ( x < y -> E. z e. { A , B } z < y ) <-> A. y e. RR* ( -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) )
116112, 115anbi12d 473 . . . . 5 |- ( x = -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) -> ( ( A. y e. { A , B } -. y < x /\ A. y e. RR* ( x < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) <-> ( A. y e. { A , B } -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) /\ A. y e. RR* ( -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) ) )
117116rspcev 2864 . . . 4 |- ( ( -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) e. RR* /\ ( A. y e. { A , B } -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) /\ A. y e. RR* ( -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) ) -> E. x e. RR* ( A. y e. { A , B } -. y < x /\ A. y e. RR* ( x < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) )
11833, 77, 109, 117syl12anc 1247 . . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> E. x e. RR* ( A. y e. { A , B } -. y < x /\ A. y e. RR* ( x < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) )
119 prssi 3776 . . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> { A , B } C_ RR* )
120118, 119infxrnegsupex 11406 . 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> inf ( { A , B } , RR* , < ) = -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) )
121120, 45eqtrd 2226 1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> inf ( { A , B } , RR* , < ) = -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2164   {cab 2179   A.wral 2472   E.wrex 2473   {crab 2476   i^i cin 3152   C_ wss 3153   {cpr 3619   class class class wbr 4029   supcsup 7041  infcinf 7042   RR*cxr 8053   < clt 8054   <_ cle 8055   -ecxne 9835
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-sup 7043  df-inf 7044  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-rp 9720  df-xneg 9838  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143
This theorem is referenced by:  xrmincl  11409  xrmin1inf  11410  xrmin2inf  11411  xrmineqinf  11412  xrltmininf  11413  xrlemininf  11414  xrminltinf  11415  xrminrecl  11416  xrminrpcl  11417  xrminadd  11418
  Copyright terms: Public domain W3C validator