ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrminmax Unicode version
Theorem xrminmax 12057
Description: Minimum expressed in terms of maximum. (Contributed by Jim Kingdon, 2-May-2023.)
Assertion
Ref Expression
xrminmax |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> inf ( { A , B } , RR* , < ) = -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
Proof of Theorem xrminmax
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xnegcl 10252 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. RR* -> -e z e. RR* )
2 elprg 3729 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -e z e. RR* -> ( -e z e. { A , B } <-> ( -e z = A \/ -e z = B ) ) )
31, 2syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- ( z e. RR* -> ( -e z e. { A , B } <-> ( -e z = A \/ -e z = B ) ) )
43adantl 277 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> ( -e z e. { A , B } <-> ( -e z = A \/ -e z = B ) ) )
5 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> z e. RR* )
6 simpll 531 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> A e. RR* )
75, 6xrnegcon1d 12056 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> ( -e z = A <-> -e A = z ) )
8 eqcom 2240 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -e A = z <-> z = -e A )
97, 8bitrdi 196 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> ( -e z = A <-> z = -e A ) )
10 simplr 533 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> B e. RR* )
115, 10xrnegcon1d 12056 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> ( -e z = B <-> -e B = z ) )
12 eqcom 2240 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -e B = z <-> z = -e B )
1311, 12bitrdi 196 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> ( -e z = B <-> z = -e B ) )
149, 13orbi12d 805 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> ( ( -e z = A \/ -e z = B ) <-> ( z = -e A \/ z = -e B ) ) )
154, 14bitrd 188 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> ( -e z e. { A , B } <-> ( z = -e A \/ z = -e B ) ) )
1615rabbidva 2809 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> { z e. RR* | -e z e. { A , B } } = { z e. RR* | ( z = -e A \/ z = -e B ) } )
17 dfrab2 3508 . . . . . . . . . 10 |- { z e. RR* | ( z = -e A \/ z = -e B ) } = ( { z | ( z = -e A \/ z = -e B ) } i^i RR* )
18 dfpr2 3728 . . . . . . . . . . 11 |- { -e A , -e B } = { z | ( z = -e A \/ z = -e B ) }
1918ineq1i 3428 . . . . . . . . . 10 |- ( { -e A , -e B } i^i RR* ) = ( { z | ( z = -e A \/ z = -e B ) } i^i RR* )
2017, 19eqtr4i 2262 . . . . . . . . 9 |- { z e. RR* | ( z = -e A \/ z = -e B ) } = ( { -e A , -e B } i^i RR* )
21 xnegcl 10252 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR* -> -e A e. RR* )
22 xnegcl 10252 . . . . . . . . . . 11 |- ( B e. RR* -> -e B e. RR* )
23 prssi 3873 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( -e A e. RR* /\ -e B e. RR* ) -> { -e A , -e B } C_ RR* )
2421, 22, 23syl2an 289 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> { -e A , -e B } C_ RR* )
25 df-ss 3233 . . . . . . . . . 10 |- ( { -e A , -e B } C_ RR* <-> ( { -e A , -e B } i^i RR* ) = { -e A , -e B } )
2624, 25sylib 122 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( { -e A , -e B } i^i RR* ) = { -e A , -e B } )
2720, 26eqtrid 2283 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> { z e. RR* | ( z = -e A \/ z = -e B ) } = { -e A , -e B } )
2816, 27eqtrd 2271 . . . . . . 7 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> { z e. RR* | -e z e. { A , B } } = { -e A , -e B } )
2928supeq1d 7334 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) = sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
30 xrmaxcl 12044 . . . . . . 7 |- ( ( -e A e. RR* /\ -e B e. RR* ) -> sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) e. RR* )
3121, 22, 30syl2an 289 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) e. RR* )
3229, 31eqeltrd 2315 . . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) e. RR* )
3332xnegcld 10275 . . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) e. RR* )
34 xnegeq 10247 . . . . . . . . 9 |- ( y = A -> -e y = -e A )
3534adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> -e y = -e A )
36 xrmax1sup 12045 . . . . . . . . . 10 |- ( ( -e A e. RR* /\ -e B e. RR* ) -> -e A <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
3721, 22, 36syl2an 289 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> -e A <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
3837ad2antrr 492 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> -e A <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
3935, 38eqbrtrd 4153 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> -e y <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
40 simpll 531 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> ( A e. RR* /\ B e. RR* ) )
41 simpr 110 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> y = A )
42 simplll 539 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> A e. RR* )
4341, 42eqeltrd 2315 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> y e. RR* )
44 xnegeq 10247 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) = sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) -> -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) = -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
4529, 44syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) = -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
4645breq2d 4143 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) <-> y < -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
4746notbid 677 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) <-> -. y < -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
4847adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) <-> -. y < -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
4931adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) e. RR* )
5049xnegcld 10275 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) e. RR* )
51 xrlenlt 8397 . . . . . . . . . 10 |- ( ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <_ y <-> -. y < -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
5250, 51sylancom 424 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <_ y <-> -. y < -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
53 xleneg 10257 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <_ y <-> -e y <_ -e -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
5450, 53sylancom 424 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <_ y <-> -e y <_ -e -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
55 xnegneg 10253 . . . . . . . . . . . 12 |- ( sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) e. RR* -> -e -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) = sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
5649, 55syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> -e -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) = sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
5756breq2d 4143 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( -e y <_ -e -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <-> -e y <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
5854, 57bitrd 188 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <_ y <-> -e y <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
5948, 52, 583bitr2d 216 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) <-> -e y <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
6040, 43, 59syl2anc 415 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> ( -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) <-> -e y <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
6139, 60mpbird 167 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) )
62 xnegeq 10247 . . . . . . . . 9 |- ( y = B -> -e y = -e B )
6362adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> -e y = -e B )
64 xrmax2sup 12046 . . . . . . . . . 10 |- ( ( -e A e. RR* /\ -e B e. RR* ) -> -e B <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
6521, 22, 64syl2an 289 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> -e B <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
6665ad2antrr 492 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> -e B <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
6763, 66eqbrtrd 4153 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> -e y <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
68 simpll 531 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> ( A e. RR* /\ B e. RR* ) )
69 simpr 110 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> y = B )
70 simpllr 540 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> B e. RR* )
7169, 70eqeltrd 2315 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> y e. RR* )
7268, 71, 59syl2anc 415 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> ( -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) <-> -e y <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
7367, 72mpbird 167 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) )
74 elpri 3732 . . . . . . 7 |- ( y e. { A , B } -> ( y = A \/ y = B ) )
7574adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) -> ( y = A \/ y = B ) )
7661, 73, 75mpjaodan 810 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) -> -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) )
7776ralrimiva 2623 . . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> A. y e. { A , B } -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) )
7821ad3antrrr 496 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> -e A e. RR* )
7922ad3antlr 497 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> -e B e. RR* )
80 simplr 533 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> y e. RR* )
8180xnegcld 10275 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> -e y e. RR* )
82 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y )
8345breq1d 4141 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y <-> -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) < y ) )
8483ad2antrr 492 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> ( -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y <-> -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) < y ) )
8582, 84mpbid 147 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) < y )
8650adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) e. RR* )
87 xltneg 10256 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) < y <-> -e y < -e -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
8886, 80, 87syl2anc 415 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) < y <-> -e y < -e -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
8956breq2d 4143 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( -e y < -e -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <-> -e y < sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
9089adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> ( -e y < -e -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <-> -e y < sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
9188, 90bitrd 188 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) < y <-> -e y < sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
9285, 91mpbid 147 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> -e y < sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
93 xrmaxleastlt 12048 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( -e A e. RR* /\ -e B e. RR* ) /\ ( -e y e. RR* /\ -e y < sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) ) -> ( -e y < -e A \/ -e y < -e B ) )
9478, 79, 81, 92, 93syl22anc 1279 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> ( -e y < -e A \/ -e y < -e B ) )
95 simplll 539 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> A e. RR* )
96 xltneg 10256 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( A < y <-> -e y < -e A ) )
9795, 80, 96syl2anc 415 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> ( A < y <-> -e y < -e A ) )
98 simpllr 540 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> B e. RR* )
99 xltneg 10256 . . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( B < y <-> -e y < -e B ) )
10098, 80, 99syl2anc 415 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> ( B < y <-> -e y < -e B ) )
10197, 100orbi12d 805 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> ( ( A < y \/ B < y ) <-> ( -e y < -e A \/ -e y < -e B ) ) )
10294, 101mpbird 167 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> ( A < y \/ B < y ) )
103 breq1 4134 . . . . . . . . 9 |- ( z = A -> ( z < y <-> A < y ) )
104 breq1 4134 . . . . . . . . 9 |- ( z = B -> ( z < y <-> B < y ) )
105103, 104rexprg 3761 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( E. z e. { A , B } z < y <-> ( A < y \/ B < y ) ) )
106105ad2antrr 492 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> ( E. z e. { A , B } z < y <-> ( A < y \/ B < y ) ) )
107102, 106mpbird 167 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> E. z e. { A , B } z < y )
108107ex 115 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y -> E. z e. { A , B } z < y ) )
109108ralrimiva 2623 . . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> A. y e. RR* ( -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y -> E. z e. { A , B } z < y ) )
110 breq2 4135 . . . . . . . 8 |- ( x = -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) -> ( y < x <-> y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) ) )
111110notbid 677 . . . . . . 7 |- ( x = -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) -> ( -. y < x <-> -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) ) )
112111ralbidv 2550 . . . . . 6 |- ( x = -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) -> ( A. y e. { A , B } -. y < x <-> A. y e. { A , B } -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) ) )
113 breq1 4134 . . . . . . . 8 |- ( x = -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) -> ( x < y <-> -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) )
114113imbi1d 231 . . . . . . 7 |- ( x = -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) -> ( ( x < y -> E. z e. { A , B } z < y ) <-> ( -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) )
115114ralbidv 2550 . . . . . 6 |- ( x = -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) -> ( A. y e. RR* ( x < y -> E. z e. { A , B } z < y ) <-> A. y e. RR* ( -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) )
116112, 115anbi12d 477 . . . . 5 |- ( x = -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) -> ( ( A. y e. { A , B } -. y < x /\ A. y e. RR* ( x < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) <-> ( A. y e. { A , B } -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) /\ A. y e. RR* ( -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) ) )
117116rspcev 2929 . . . 4 |- ( ( -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) e. RR* /\ ( A. y e. { A , B } -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) /\ A. y e. RR* ( -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) ) -> E. x e. RR* ( A. y e. { A , B } -. y < x /\ A. y e. RR* ( x < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) )
11833, 77, 109, 117syl12anc 1276 . . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> E. x e. RR* ( A. y e. { A , B } -. y < x /\ A. y e. RR* ( x < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) )
119 prssi 3873 . . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> { A , B } C_ RR* )
120118, 119infxrnegsupex 12055 . 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> inf ( { A , B } , RR* , < ) = -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) )
121120, 45eqtrd 2271 1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> inf ( { A , B } , RR* , < ) = -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   {cab 2224   A.wral 2528   E.wrex 2529   {crab 2532   i^i cin 3219   C_ wss 3220   {cpr 3710   class class class wbr 4131   supcsup 7329  infcinf 7330   RR*cxr 8366   < clt 8367   <_ cle 8368   -ecxne 10189
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305  ax-caucvg 8306
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-sup 7331  df-inf 7332  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-rp 10073  df-xneg 10192  df-seqfrec 10907  df-exp 10998  df-cj 11630  df-re 11631  df-im 11632  df-rsqrt 11787  df-abs 11788
This theorem is used by:  xrmincl  12058  xrmin1inf  12059  xrmin2inf  12060  xrmineqinf  12061  xrltmininf  12062  xrlemininf  12063  xrminltinf  12064  xrminrecl  12065  xrminrpcl  12066  xrminadd  12067
  Copyright terms: Public domain W3C validator