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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > xrminmax | Unicode version |
Description: Minimum expressed in terms of maximum. (Contributed by Jim Kingdon, 2-May-2023.) |
Ref | Expression |
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xrminmax |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | xnegcl 9834 |
. . . . . . . . . . . 12
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2 | elprg 3614 |
. . . . . . . . . . . 12
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3 | 1, 2 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
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4 | 3 | adantl 277 |
. . . . . . . . . 10
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5 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . . 13
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6 | simpll 527 |
. . . . . . . . . . . . 13
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7 | 5, 6 | xrnegcon1d 11274 |
. . . . . . . . . . . 12
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8 | eqcom 2179 |
. . . . . . . . . . . 12
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9 | 7, 8 | bitrdi 196 |
. . . . . . . . . . 11
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10 | simplr 528 |
. . . . . . . . . . . . 13
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11 | 5, 10 | xrnegcon1d 11274 |
. . . . . . . . . . . 12
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12 | eqcom 2179 |
. . . . . . . . . . . 12
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13 | 11, 12 | bitrdi 196 |
. . . . . . . . . . 11
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14 | 9, 13 | orbi12d 793 |
. . . . . . . . . 10
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15 | 4, 14 | bitrd 188 |
. . . . . . . . 9
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16 | 15 | rabbidva 2727 |
. . . . . . . 8
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17 | dfrab2 3412 |
. . . . . . . . . 10
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18 | dfpr2 3613 |
. . . . . . . . . . 11
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19 | 18 | ineq1i 3334 |
. . . . . . . . . 10
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20 | 17, 19 | eqtr4i 2201 |
. . . . . . . . 9
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21 | xnegcl 9834 |
. . . . . . . . . . 11
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22 | xnegcl 9834 |
. . . . . . . . . . 11
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23 | prssi 3752 |
. . . . . . . . . . 11
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24 | 21, 22, 23 | syl2an 289 |
. . . . . . . . . 10
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25 | df-ss 3144 |
. . . . . . . . . 10
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26 | 24, 25 | sylib 122 |
. . . . . . . . 9
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27 | 20, 26 | eqtrid 2222 |
. . . . . . . 8
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28 | 16, 27 | eqtrd 2210 |
. . . . . . 7
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29 | 28 | supeq1d 6988 |
. . . . . 6
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30 | xrmaxcl 11262 |
. . . . . . 7
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31 | 21, 22, 30 | syl2an 289 |
. . . . . 6
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32 | 29, 31 | eqeltrd 2254 |
. . . . 5
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33 | 32 | xnegcld 9857 |
. . . 4
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34 | xnegeq 9829 |
. . . . . . . . 9
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35 | 34 | adantl 277 |
. . . . . . . 8
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36 | xrmax1sup 11263 |
. . . . . . . . . 10
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37 | 21, 22, 36 | syl2an 289 |
. . . . . . . . 9
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38 | 37 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . 8
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39 | 35, 38 | eqbrtrd 4027 |
. . . . . . 7
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40 | simpll 527 |
. . . . . . . 8
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41 | simpr 110 |
. . . . . . . . 9
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42 | simplll 533 |
. . . . . . . . 9
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43 | 41, 42 | eqeltrd 2254 |
. . . . . . . 8
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44 | xnegeq 9829 |
. . . . . . . . . . . . 13
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45 | 29, 44 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
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46 | 45 | breq2d 4017 |
. . . . . . . . . . 11
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47 | 46 | notbid 667 |
. . . . . . . . . 10
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48 | 47 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
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49 | 31 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . 11
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50 | 49 | xnegcld 9857 |
. . . . . . . . . 10
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51 | xrlenlt 8024 |
. . . . . . . . . 10
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52 | 50, 51 | sylancom 420 |
. . . . . . . . 9
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53 | xleneg 9839 |
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93 | xrmaxleastlt 11266 |
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94 | 78, 79, 81, 92, 93 | syl22anc 1239 |
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95 | simplll 533 |
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96 | xltneg 9838 |
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97 | 95, 80, 96 | syl2anc 411 |
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98 | simpllr 534 |
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101 | 97, 100 | orbi12d 793 |
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102 | 94, 101 | mpbird 167 |
. . . . . . 7
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103 | breq1 4008 |
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104 | breq1 4008 |
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105 | 103, 104 | rexprg 3646 |
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106 | 105 | ad2antrr 488 |
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107 | 102, 106 | mpbird 167 |
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108 | 107 | ex 115 |
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109 | 108 | ralrimiva 2550 |
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110 | breq2 4009 |
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111 | 110 | notbid 667 |
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112 | 111 | ralbidv 2477 |
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113 | breq1 4008 |
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114 | 113 | imbi1d 231 |
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115 | 114 | ralbidv 2477 |
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116 | 112, 115 | anbi12d 473 |
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117 | 116 | rspcev 2843 |
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118 | 33, 77, 109, 117 | syl12anc 1236 |
. . 3
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119 | prssi 3752 |
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120 | 118, 119 | infxrnegsupex 11273 |
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121 | 120, 45 | eqtrd 2210 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4120 ax-sep 4123 ax-nul 4131 ax-pow 4176 ax-pr 4211 ax-un 4435 ax-setind 4538 ax-iinf 4589 ax-cnex 7904 ax-resscn 7905 ax-1cn 7906 ax-1re 7907 ax-icn 7908 ax-addcl 7909 ax-addrcl 7910 ax-mulcl 7911 ax-mulrcl 7912 ax-addcom 7913 ax-mulcom 7914 ax-addass 7915 ax-mulass 7916 ax-distr 7917 ax-i2m1 7918 ax-0lt1 7919 ax-1rid 7920 ax-0id 7921 ax-rnegex 7922 ax-precex 7923 ax-cnre 7924 ax-pre-ltirr 7925 ax-pre-ltwlin 7926 ax-pre-lttrn 7927 ax-pre-apti 7928 ax-pre-ltadd 7929 ax-pre-mulgt0 7930 ax-pre-mulext 7931 ax-arch 7932 ax-caucvg 7933 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2741 df-sbc 2965 df-csb 3060 df-dif 3133 df-un 3135 df-in 3137 df-ss 3144 df-nul 3425 df-if 3537 df-pw 3579 df-sn 3600 df-pr 3601 df-op 3603 df-uni 3812 df-int 3847 df-iun 3890 df-br 4006 df-opab 4067 df-mpt 4068 df-tr 4104 df-id 4295 df-po 4298 df-iso 4299 df-iord 4368 df-on 4370 df-ilim 4371 df-suc 4373 df-iom 4592 df-xp 4634 df-rel 4635 df-cnv 4636 df-co 4637 df-dm 4638 df-rn 4639 df-res 4640 df-ima 4641 df-iota 5180 df-fun 5220 df-fn 5221 df-f 5222 df-f1 5223 df-fo 5224 df-f1o 5225 df-fv 5226 df-isom 5227 df-riota 5833 df-ov 5880 df-oprab 5881 df-mpo 5882 df-1st 6143 df-2nd 6144 df-recs 6308 df-frec 6394 df-sup 6985 df-inf 6986 df-pnf 7996 df-mnf 7997 df-xr 7998 df-ltxr 7999 df-le 8000 df-sub 8132 df-neg 8133 df-reap 8534 df-ap 8541 df-div 8632 df-inn 8922 df-2 8980 df-3 8981 df-4 8982 df-n0 9179 df-z 9256 df-uz 9531 df-rp 9656 df-xneg 9774 df-seqfrec 10448 df-exp 10522 df-cj 10853 df-re 10854 df-im 10855 df-rsqrt 11009 df-abs 11010 |
This theorem is referenced by: xrmincl 11276 xrmin1inf 11277 xrmin2inf 11278 xrmineqinf 11279 xrltmininf 11280 xrlemininf 11281 xrminltinf 11282 xrminrecl 11283 xrminrpcl 11284 xrminadd 11285 |
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