ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrminmax Unicode version
Theorem xrminmax 11228
Description: Minimum expressed in terms of maximum. (Contributed by Jim Kingdon, 2-May-2023.)
Assertion
Ref Expression
xrminmax |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> inf ( { A , B } , RR* , < ) = -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
Proof of Theorem xrminmax
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xnegcl 9789 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. RR* -> -e z e. RR* )
2 elprg 3603 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -e z e. RR* -> ( -e z e. { A , B } <-> ( -e z = A \/ -e z = B ) ) )
31, 2syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- ( z e. RR* -> ( -e z e. { A , B } <-> ( -e z = A \/ -e z = B ) ) )
43adantl 275 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> ( -e z e. { A , B } <-> ( -e z = A \/ -e z = B ) ) )
5 simpr 109 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> z e. RR* )
6 simpll 524 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> A e. RR* )
75, 6xrnegcon1d 11227 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> ( -e z = A <-> -e A = z ) )
8 eqcom 2172 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -e A = z <-> z = -e A )
97, 8bitrdi 195 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> ( -e z = A <-> z = -e A ) )
10 simplr 525 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> B e. RR* )
115, 10xrnegcon1d 11227 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> ( -e z = B <-> -e B = z ) )
12 eqcom 2172 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -e B = z <-> z = -e B )
1311, 12bitrdi 195 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> ( -e z = B <-> z = -e B ) )
149, 13orbi12d 788 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> ( ( -e z = A \/ -e z = B ) <-> ( z = -e A \/ z = -e B ) ) )
154, 14bitrd 187 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> ( -e z e. { A , B } <-> ( z = -e A \/ z = -e B ) ) )
1615rabbidva 2718 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> { z e. RR* | -e z e. { A , B } } = { z e. RR* | ( z = -e A \/ z = -e B ) } )
17 dfrab2 3402 . . . . . . . . . 10 |- { z e. RR* | ( z = -e A \/ z = -e B ) } = ( { z | ( z = -e A \/ z = -e B ) } i^i RR* )
18 dfpr2 3602 . . . . . . . . . . 11 |- { -e A , -e B } = { z | ( z = -e A \/ z = -e B ) }
1918ineq1i 3324 . . . . . . . . . 10 |- ( { -e A , -e B } i^i RR* ) = ( { z | ( z = -e A \/ z = -e B ) } i^i RR* )
2017, 19eqtr4i 2194 . . . . . . . . 9 |- { z e. RR* | ( z = -e A \/ z = -e B ) } = ( { -e A , -e B } i^i RR* )
21 xnegcl 9789 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR* -> -e A e. RR* )
22 xnegcl 9789 . . . . . . . . . . 11 |- ( B e. RR* -> -e B e. RR* )
23 prssi 3738 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( -e A e. RR* /\ -e B e. RR* ) -> { -e A , -e B } C_ RR* )
2421, 22, 23syl2an 287 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> { -e A , -e B } C_ RR* )
25 df-ss 3134 . . . . . . . . . 10 |- ( { -e A , -e B } C_ RR* <-> ( { -e A , -e B } i^i RR* ) = { -e A , -e B } )
2624, 25sylib 121 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( { -e A , -e B } i^i RR* ) = { -e A , -e B } )
2720, 26eqtrid 2215 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> { z e. RR* | ( z = -e A \/ z = -e B ) } = { -e A , -e B } )
2816, 27eqtrd 2203 . . . . . . 7 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> { z e. RR* | -e z e. { A , B } } = { -e A , -e B } )
2928supeq1d 6964 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) = sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
30 xrmaxcl 11215 . . . . . . 7 |- ( ( -e A e. RR* /\ -e B e. RR* ) -> sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) e. RR* )
3121, 22, 30syl2an 287 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) e. RR* )
3229, 31eqeltrd 2247 . . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) e. RR* )
3332xnegcld 9812 . . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) e. RR* )
34 xnegeq 9784 . . . . . . . . 9 |- ( y = A -> -e y = -e A )
3534adantl 275 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> -e y = -e A )
36 xrmax1sup 11216 . . . . . . . . . 10 |- ( ( -e A e. RR* /\ -e B e. RR* ) -> -e A <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
3721, 22, 36syl2an 287 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> -e A <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
3837ad2antrr 485 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> -e A <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
3935, 38eqbrtrd 4011 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> -e y <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
40 simpll 524 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> ( A e. RR* /\ B e. RR* ) )
41 simpr 109 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> y = A )
42 simplll 528 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> A e. RR* )
4341, 42eqeltrd 2247 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> y e. RR* )
44 xnegeq 9784 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) = sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) -> -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) = -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
4529, 44syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) = -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
4645breq2d 4001 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) <-> y < -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
4746notbid 662 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) <-> -. y < -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
4847adantr 274 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) <-> -. y < -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
4931adantr 274 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) e. RR* )
5049xnegcld 9812 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) e. RR* )
51 xrlenlt 7984 . . . . . . . . . 10 |- ( ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <_ y <-> -. y < -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
5250, 51sylancom 418 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <_ y <-> -. y < -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
53 xleneg 9794 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <_ y <-> -e y <_ -e -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
5450, 53sylancom 418 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <_ y <-> -e y <_ -e -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
55 xnegneg 9790 . . . . . . . . . . . 12 |- ( sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) e. RR* -> -e -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) = sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
5649, 55syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> -e -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) = sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
5756breq2d 4001 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( -e y <_ -e -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <-> -e y <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
5854, 57bitrd 187 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <_ y <-> -e y <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
5948, 52, 583bitr2d 215 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) <-> -e y <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
6040, 43, 59syl2anc 409 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> ( -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) <-> -e y <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
6139, 60mpbird 166 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) )
62 xnegeq 9784 . . . . . . . . 9 |- ( y = B -> -e y = -e B )
6362adantl 275 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> -e y = -e B )
64 xrmax2sup 11217 . . . . . . . . . 10 |- ( ( -e A e. RR* /\ -e B e. RR* ) -> -e B <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
6521, 22, 64syl2an 287 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> -e B <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
6665ad2antrr 485 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> -e B <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
6763, 66eqbrtrd 4011 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> -e y <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
68 simpll 524 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> ( A e. RR* /\ B e. RR* ) )
69 simpr 109 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> y = B )
70 simpllr 529 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> B e. RR* )
7169, 70eqeltrd 2247 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> y e. RR* )
7268, 71, 59syl2anc 409 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> ( -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) <-> -e y <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
7367, 72mpbird 166 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) )
74 elpri 3606 . . . . . . 7 |- ( y e. { A , B } -> ( y = A \/ y = B ) )
7574adantl 275 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) -> ( y = A \/ y = B ) )
7661, 73, 75mpjaodan 793 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) -> -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) )
7776ralrimiva 2543 . . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> A. y e. { A , B } -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) )
7821ad3antrrr 489 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> -e A e. RR* )
7922ad3antlr 490 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> -e B e. RR* )
80 simplr 525 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> y e. RR* )
8180xnegcld 9812 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> -e y e. RR* )
82 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y )
8345breq1d 3999 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y <-> -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) < y ) )
8483ad2antrr 485 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> ( -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y <-> -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) < y ) )
8582, 84mpbid 146 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) < y )
8650adantr 274 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) e. RR* )
87 xltneg 9793 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) < y <-> -e y < -e -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
8886, 80, 87syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) < y <-> -e y < -e -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
8956breq2d 4001 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( -e y < -e -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <-> -e y < sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
9089adantr 274 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> ( -e y < -e -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <-> -e y < sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
9188, 90bitrd 187 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) < y <-> -e y < sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
9285, 91mpbid 146 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> -e y < sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
93 xrmaxleastlt 11219 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( -e A e. RR* /\ -e B e. RR* ) /\ ( -e y e. RR* /\ -e y < sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) ) -> ( -e y < -e A \/ -e y < -e B ) )
9478, 79, 81, 92, 93syl22anc 1234 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> ( -e y < -e A \/ -e y < -e B ) )
95 simplll 528 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> A e. RR* )
96 xltneg 9793 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( A < y <-> -e y < -e A ) )
9795, 80, 96syl2anc 409 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> ( A < y <-> -e y < -e A ) )
98 simpllr 529 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> B e. RR* )
99 xltneg 9793 . . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( B < y <-> -e y < -e B ) )
10098, 80, 99syl2anc 409 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> ( B < y <-> -e y < -e B ) )
10197, 100orbi12d 788 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> ( ( A < y \/ B < y ) <-> ( -e y < -e A \/ -e y < -e B ) ) )
10294, 101mpbird 166 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> ( A < y \/ B < y ) )
103 breq1 3992 . . . . . . . . 9 |- ( z = A -> ( z < y <-> A < y ) )
104 breq1 3992 . . . . . . . . 9 |- ( z = B -> ( z < y <-> B < y ) )
105103, 104rexprg 3635 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( E. z e. { A , B } z < y <-> ( A < y \/ B < y ) ) )
106105ad2antrr 485 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> ( E. z e. { A , B } z < y <-> ( A < y \/ B < y ) ) )
107102, 106mpbird 166 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> E. z e. { A , B } z < y )
108107ex 114 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y -> E. z e. { A , B } z < y ) )
109108ralrimiva 2543 . . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> A. y e. RR* ( -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y -> E. z e. { A , B } z < y ) )
110 breq2 3993 . . . . . . . 8 |- ( x = -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) -> ( y < x <-> y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) ) )
111110notbid 662 . . . . . . 7 |- ( x = -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) -> ( -. y < x <-> -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) ) )
112111ralbidv 2470 . . . . . 6 |- ( x = -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) -> ( A. y e. { A , B } -. y < x <-> A. y e. { A , B } -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) ) )
113 breq1 3992 . . . . . . . 8 |- ( x = -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) -> ( x < y <-> -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) )
114113imbi1d 230 . . . . . . 7 |- ( x = -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) -> ( ( x < y -> E. z e. { A , B } z < y ) <-> ( -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) )
115114ralbidv 2470 . . . . . 6 |- ( x = -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) -> ( A. y e. RR* ( x < y -> E. z e. { A , B } z < y ) <-> A. y e. RR* ( -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) )
116112, 115anbi12d 470 . . . . 5 |- ( x = -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) -> ( ( A. y e. { A , B } -. y < x /\ A. y e. RR* ( x < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) <-> ( A. y e. { A , B } -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) /\ A. y e. RR* ( -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) ) )
117116rspcev 2834 . . . 4 |- ( ( -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) e. RR* /\ ( A. y e. { A , B } -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) /\ A. y e. RR* ( -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) ) -> E. x e. RR* ( A. y e. { A , B } -. y < x /\ A. y e. RR* ( x < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) )
11833, 77, 109, 117syl12anc 1231 . . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> E. x e. RR* ( A. y e. { A , B } -. y < x /\ A. y e. RR* ( x < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) )
119 prssi 3738 . . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> { A , B } C_ RR* )
120118, 119infxrnegsupex 11226 . 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> inf ( { A , B } , RR* , < ) = -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) )
121120, 45eqtrd 2203 1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> inf ( { A , B } , RR* , < ) = -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703   = wceq 1348   e. wcel 2141   {cab 2156   A.wral 2448   E.wrex 2449   {crab 2452   i^i cin 3120   C_ wss 3121   {cpr 3584   class class class wbr 3989   supcsup 6959  infcinf 6960   RR*cxr 7953   < clt 7954   <_ cle 7955   -ecxne 9726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-rp 9611  df-xneg 9729  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963
This theorem is referenced by:  xrmincl  11229  xrmin1inf  11230  xrmin2inf  11231  xrmineqinf  11232  xrltmininf  11233  xrlemininf  11234  xrminltinf  11235  xrminrecl  11236  xrminrpcl  11237  xrminadd  11238
  Copyright terms: Public domain W3C validator