ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrminmax Unicode version

Theorem xrminmax 11275
Description: Minimum expressed in terms of maximum. (Contributed by Jim Kingdon, 2-May-2023.)
Assertion
Ref Expression
xrminmax  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  -> inf ( { A ,  B } ,  RR* ,  <  )  =  -e sup ( {  -e A ,  -e B } ,  RR* ,  <  ) )

Proof of Theorem xrminmax
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xnegcl 9834 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  RR*  ->  -e
z  e.  RR* )
2 elprg 3614 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  -e z  e.  RR*  ->  (  -e z  e.  { A ,  B }  <->  (  -e
z  =  A  \/  -e z  =  B ) ) )
31, 2syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  RR*  ->  (  -e z  e.  { A ,  B }  <->  ( 
-e z  =  A  \/  -e
z  =  B ) ) )
43adantl 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  z  e.  RR* )  ->  (  -e z  e.  { A ,  B }  <->  (  -e
z  =  A  \/  -e z  =  B ) ) )
5 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  z  e.  RR* )  ->  z  e.  RR* )
6 simpll 527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  z  e.  RR* )  ->  A  e.  RR* )
75, 6xrnegcon1d 11274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  z  e.  RR* )  ->  (  -e z  =  A  <->  -e A  =  z ) )
8 eqcom 2179 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  -e A  =  z  <->  z  =  -e A )
97, 8bitrdi 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  z  e.  RR* )  ->  (  -e z  =  A  <->  z  =  -e A ) )
10 simplr 528 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  z  e.  RR* )  ->  B  e.  RR* )
115, 10xrnegcon1d 11274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  z  e.  RR* )  ->  (  -e z  =  B  <->  -e B  =  z ) )
12 eqcom 2179 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  -e B  =  z  <->  z  =  -e B )
1311, 12bitrdi 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  z  e.  RR* )  ->  (  -e z  =  B  <->  z  =  -e B ) )
149, 13orbi12d 793 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  z  e.  RR* )  ->  ( (  -e
z  =  A  \/  -e z  =  B )  <->  ( z  = 
-e A  \/  z  =  -e B ) ) )
154, 14bitrd 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  z  e.  RR* )  ->  (  -e z  e.  { A ,  B }  <->  ( z  = 
-e A  \/  z  =  -e B ) ) )
1615rabbidva 2727 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  { z  e.  RR*  |  -e
z  e.  { A ,  B } }  =  { z  e.  RR*  |  ( z  =  -e A  \/  z  =  -e B ) } )
17 dfrab2 3412 . . . . . . . . . 10  |-  { z  e.  RR*  |  (
z  =  -e
A  \/  z  = 
-e B ) }  =  ( { z  |  ( z  =  -e A  \/  z  =  -e B ) }  i^i  RR* )
18 dfpr2 3613 . . . . . . . . . . 11  |-  {  -e
A ,  -e
B }  =  {
z  |  ( z  =  -e A  \/  z  =  -e B ) }
1918ineq1i 3334 . . . . . . . . . 10  |-  ( { 
-e A ,  -e B }  i^i  RR* )  =  ( { z  |  ( z  =  -e A  \/  z  =  -e B ) }  i^i  RR* )
2017, 19eqtr4i 2201 . . . . . . . . 9  |-  { z  e.  RR*  |  (
z  =  -e
A  \/  z  = 
-e B ) }  =  ( { 
-e A ,  -e B }  i^i  RR* )
21 xnegcl 9834 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR*  ->  -e
A  e.  RR* )
22 xnegcl 9834 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  RR*  ->  -e
B  e.  RR* )
23 prssi 3752 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 
-e A  e. 
RR*  /\  -e B  e.  RR* )  ->  {  -e
A ,  -e
B }  C_  RR* )
2421, 22, 23syl2an 289 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  {  -e
A ,  -e
B }  C_  RR* )
25 df-ss 3144 . . . . . . . . . 10  |-  ( { 
-e A ,  -e B }  C_  RR*  <->  ( {  -e A ,  -e B }  i^i  RR* )  =  {  -e A ,  -e B } )
2624, 25sylib 122 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( {  -e A ,  -e B }  i^i  RR* )  =  {  -e
A ,  -e
B } )
2720, 26eqtrid 2222 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  { z  e.  RR*  |  (
z  =  -e
A  \/  z  = 
-e B ) }  =  {  -e
A ,  -e
B } )
2816, 27eqtrd 2210 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  { z  e.  RR*  |  -e
z  e.  { A ,  B } }  =  {  -e A ,  -e B } )
2928supeq1d 6988 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  sup ( { z  e.  RR*  | 
-e z  e. 
{ A ,  B } } ,  RR* ,  <  )  =  sup ( { 
-e A ,  -e B } ,  RR* ,  <  ) )
30 xrmaxcl 11262 . . . . . . 7  |-  ( ( 
-e A  e. 
RR*  /\  -e B  e.  RR* )  ->  sup ( {  -e A ,  -e B } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
3121, 22, 30syl2an 289 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  sup ( {  -e A ,  -e B } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
3229, 31eqeltrd 2254 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  sup ( { z  e.  RR*  | 
-e z  e. 
{ A ,  B } } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
3332xnegcld 9857 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  -e sup ( { z  e. 
RR*  |  -e z  e.  { A ,  B } } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
34 xnegeq 9829 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  -e
y  =  -e
A )
3534adantl 277 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  y  e. 
{ A ,  B } )  /\  y  =  A )  ->  -e
y  =  -e
A )
36 xrmax1sup 11263 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 
-e A  e. 
RR*  /\  -e B  e.  RR* )  ->  -e
A  <_  sup ( {  -e A ,  -e B } ,  RR* ,  <  ) )
3721, 22, 36syl2an 289 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  -e
A  <_  sup ( {  -e A ,  -e B } ,  RR* ,  <  ) )
3837ad2antrr 488 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  y  e. 
{ A ,  B } )  /\  y  =  A )  ->  -e
A  <_  sup ( {  -e A ,  -e B } ,  RR* ,  <  ) )
3935, 38eqbrtrd 4027 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  y  e. 
{ A ,  B } )  /\  y  =  A )  ->  -e
y  <_  sup ( {  -e A ,  -e B } ,  RR* ,  <  ) )
40 simpll 527 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  y  e. 
{ A ,  B } )  /\  y  =  A )  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* ) )
41 simpr 110 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  y  e. 
{ A ,  B } )  /\  y  =  A )  ->  y  =  A )
42 simplll 533 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  y  e. 
{ A ,  B } )  /\  y  =  A )  ->  A  e.  RR* )
4341, 42eqeltrd 2254 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  y  e. 
{ A ,  B } )  /\  y  =  A )  ->  y  e.  RR* )
44 xnegeq 9829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( sup ( { z  e. 
RR*  |  -e z  e.  { A ,  B } } ,  RR* ,  <  )  =  sup ( {  -e A ,  -e B } ,  RR* ,  <  )  ->  -e sup ( { z  e.  RR*  | 
-e z  e. 
{ A ,  B } } ,  RR* ,  <  )  =  -e sup ( {  -e
A ,  -e
B } ,  RR* ,  <  ) )
4529, 44syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  -e sup ( { z  e. 
RR*  |  -e z  e.  { A ,  B } } ,  RR* ,  <  )  =  -e sup ( {  -e
A ,  -e
B } ,  RR* ,  <  ) )
4645breq2d 4017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
y  <  -e sup ( { z  e. 
RR*  |  -e z  e.  { A ,  B } } ,  RR* ,  <  )  <->  y  <  -e sup ( { 
-e A ,  -e B } ,  RR* ,  <  ) ) )
4746notbid 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( -.  y  <  -e sup ( { z  e. 
RR*  |  -e z  e.  { A ,  B } } ,  RR* ,  <  )  <->  -.  y  <  -e sup ( {  -e A ,  -e B } ,  RR* ,  <  ) ) )
4847adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  ->  ( -.  y  <  -e sup ( { z  e.  RR*  | 
-e z  e. 
{ A ,  B } } ,  RR* ,  <  )  <->  -.  y  <  -e sup ( {  -e
A ,  -e
B } ,  RR* ,  <  ) ) )
4931adantr 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  ->  sup ( {  -e
A ,  -e
B } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
5049xnegcld 9857 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  -> 
-e sup ( {  -e A ,  -e B } ,  RR* ,  <  )  e. 
RR* )
51 xrlenlt 8024 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 
-e sup ( {  -e A ,  -e B } ,  RR* ,  <  )  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (  -e sup ( {  -e
A ,  -e
B } ,  RR* ,  <  )  <_  y  <->  -.  y  <  -e sup ( {  -e
A ,  -e
B } ,  RR* ,  <  ) ) )
5250, 51sylancom 420 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  ->  (  -e sup ( {  -e
A ,  -e
B } ,  RR* ,  <  )  <_  y  <->  -.  y  <  -e sup ( {  -e
A ,  -e
B } ,  RR* ,  <  ) ) )
53 xleneg 9839 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 
-e sup ( {  -e A ,  -e B } ,  RR* ,  <  )  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (  -e sup ( {  -e
A ,  -e
B } ,  RR* ,  <  )  <_  y  <->  -e y  <_  -e  -e sup ( { 
-e A ,  -e B } ,  RR* ,  <  ) ) )
5450, 53sylancom 420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  ->  (  -e sup ( {  -e
A ,  -e
B } ,  RR* ,  <  )  <_  y  <->  -e y  <_  -e  -e sup ( { 
-e A ,  -e B } ,  RR* ,  <  ) ) )
55 xnegneg 9835 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( sup ( {  -e
A ,  -e
B } ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  -> 
-e  -e sup ( {  -e
A ,  -e
B } ,  RR* ,  <  )  =  sup ( {  -e A ,  -e B } ,  RR* ,  <  ) )
5649, 55syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  -> 
-e  -e sup ( {  -e
A ,  -e
B } ,  RR* ,  <  )  =  sup ( {  -e A ,  -e B } ,  RR* ,  <  ) )
5756breq2d 4017 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  ->  (  -e y  <_  -e  -e sup ( {  -e
A ,  -e
B } ,  RR* ,  <  )  <->  -e y  <_  sup ( {  -e
A ,  -e
B } ,  RR* ,  <  ) ) )
5854, 57bitrd 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  ->  (  -e sup ( {  -e
A ,  -e
B } ,  RR* ,  <  )  <_  y  <->  -e y  <_  sup ( {  -e A ,  -e B } ,  RR* ,  <  ) ) )
5948, 52, 583bitr2d 216 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  ->  ( -.  y  <  -e sup ( { z  e.  RR*  | 
-e z  e. 
{ A ,  B } } ,  RR* ,  <  )  <->  -e y  <_  sup ( {  -e
A ,  -e
B } ,  RR* ,  <  ) ) )
6040, 43, 59syl2anc 411 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  y  e. 
{ A ,  B } )  /\  y  =  A )  ->  ( -.  y  <  -e sup ( { z  e. 
RR*  |  -e z  e.  { A ,  B } } ,  RR* ,  <  )  <->  -e y  <_  sup ( {  -e
A ,  -e
B } ,  RR* ,  <  ) ) )
6139, 60mpbird 167 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  y  e. 
{ A ,  B } )  /\  y  =  A )  ->  -.  y  <  -e sup ( { z  e.  RR*  | 
-e z  e. 
{ A ,  B } } ,  RR* ,  <  ) )
62 xnegeq 9829 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  B  ->  -e
y  =  -e
B )
6362adantl 277 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  y  e. 
{ A ,  B } )  /\  y  =  B )  ->  -e
y  =  -e
B )
64 xrmax2sup 11264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 
-e A  e. 
RR*  /\  -e B  e.  RR* )  ->  -e
B  <_  sup ( {  -e A ,  -e B } ,  RR* ,  <  ) )
6521, 22, 64syl2an 289 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  -e
B  <_  sup ( {  -e A ,  -e B } ,  RR* ,  <  ) )
6665ad2antrr 488 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  y  e. 
{ A ,  B } )  /\  y  =  B )  ->  -e
B  <_  sup ( {  -e A ,  -e B } ,  RR* ,  <  ) )
6763, 66eqbrtrd 4027 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  y  e. 
{ A ,  B } )  /\  y  =  B )  ->  -e
y  <_  sup ( {  -e A ,  -e B } ,  RR* ,  <  ) )
68 simpll 527 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  y  e. 
{ A ,  B } )  /\  y  =  B )  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* ) )
69 simpr 110 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  y  e. 
{ A ,  B } )  /\  y  =  B )  ->  y  =  B )
70 simpllr 534 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  y  e. 
{ A ,  B } )  /\  y  =  B )  ->  B  e.  RR* )
7169, 70eqeltrd 2254 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  y  e. 
{ A ,  B } )  /\  y  =  B )  ->  y  e.  RR* )
7268, 71, 59syl2anc 411 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  y  e. 
{ A ,  B } )  /\  y  =  B )  ->  ( -.  y  <  -e sup ( { z  e. 
RR*  |  -e z  e.  { A ,  B } } ,  RR* ,  <  )  <->  -e y  <_  sup ( {  -e
A ,  -e
B } ,  RR* ,  <  ) ) )
7367, 72mpbird 167 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  y  e. 
{ A ,  B } )  /\  y  =  B )  ->  -.  y  <  -e sup ( { z  e.  RR*  | 
-e z  e. 
{ A ,  B } } ,  RR* ,  <  ) )
74 elpri 3617 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { A ,  B }  ->  ( y  =  A  \/  y  =  B ) )
7574adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  y  e.  { A ,  B } )  -> 
( y  =  A  \/  y  =  B ) )
7661, 73, 75mpjaodan 798 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  y  e.  { A ,  B } )  ->  -.  y  <  -e sup ( { z  e. 
RR*  |  -e z  e.  { A ,  B } } ,  RR* ,  <  ) )
7776ralrimiva 2550 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  A. y  e.  { A ,  B }  -.  y  <  -e sup ( { z  e. 
RR*  |  -e z  e.  { A ,  B } } ,  RR* ,  <  ) )
7821ad3antrrr 492 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  y  e. 
RR* )  /\  -e sup ( { z  e. 
RR*  |  -e z  e.  { A ,  B } } ,  RR* ,  <  )  <  y
)  ->  -e A  e.  RR* )
7922ad3antlr 493 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  y  e. 
RR* )  /\  -e sup ( { z  e. 
RR*  |  -e z  e.  { A ,  B } } ,  RR* ,  <  )  <  y
)  ->  -e B  e.  RR* )
80 simplr 528 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  y  e. 
RR* )  /\  -e sup ( { z  e. 
RR*  |  -e z  e.  { A ,  B } } ,  RR* ,  <  )  <  y
)  ->  y  e.  RR* )
8180xnegcld 9857 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  y  e. 
RR* )  /\  -e sup ( { z  e. 
RR*  |  -e z  e.  { A ,  B } } ,  RR* ,  <  )  <  y
)  ->  -e y  e.  RR* )
82 simpr 110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  y  e. 
RR* )  /\  -e sup ( { z  e. 
RR*  |  -e z  e.  { A ,  B } } ,  RR* ,  <  )  <  y
)  ->  -e sup ( { z  e. 
RR*  |  -e z  e.  { A ,  B } } ,  RR* ,  <  )  <  y
)
8345breq1d 4015 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (  -e sup ( { z  e.  RR*  |  -e z  e.  { A ,  B } } ,  RR* ,  <  )  <  y  <->  -e sup ( {  -e
A ,  -e
B } ,  RR* ,  <  )  <  y
) )
8483ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  y  e. 
RR* )  /\  -e sup ( { z  e. 
RR*  |  -e z  e.  { A ,  B } } ,  RR* ,  <  )  <  y
)  ->  (  -e sup ( { z  e. 
RR*  |  -e z  e.  { A ,  B } } ,  RR* ,  <  )  <  y  <->  -e sup ( { 
-e A ,  -e B } ,  RR* ,  <  )  < 
y ) )
8582, 84mpbid 147 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  y  e. 
RR* )  /\  -e sup ( { z  e. 
RR*  |  -e z  e.  { A ,  B } } ,  RR* ,  <  )  <  y
)  ->  -e sup ( {  -e
A ,  -e
B } ,  RR* ,  <  )  <  y
)
8650adantr 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  y  e. 
RR* )  /\  -e sup ( { z  e. 
RR*  |  -e z  e.  { A ,  B } } ,  RR* ,  <  )  <  y
)  ->  -e sup ( {  -e
A ,  -e
B } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
87 xltneg 9838 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 
-e sup ( {  -e A ,  -e B } ,  RR* ,  <  )  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (  -e sup ( {  -e
A ,  -e
B } ,  RR* ,  <  )  <  y  <->  -e y  <  -e  -e sup ( { 
-e A ,  -e B } ,  RR* ,  <  ) ) )
8886, 80, 87syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  y  e. 
RR* )  /\  -e sup ( { z  e. 
RR*  |  -e z  e.  { A ,  B } } ,  RR* ,  <  )  <  y
)  ->  (  -e sup ( {  -e
A ,  -e
B } ,  RR* ,  <  )  <  y  <->  -e y  <  -e  -e sup ( { 
-e A ,  -e B } ,  RR* ,  <  ) ) )
8956breq2d 4017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  ->  (  -e y  <  -e  -e sup ( {  -e
A ,  -e
B } ,  RR* ,  <  )  <->  -e y  <  sup ( {  -e
A ,  -e
B } ,  RR* ,  <  ) ) )
9089adantr 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  y  e. 
RR* )  /\  -e sup ( { z  e. 
RR*  |  -e z  e.  { A ,  B } } ,  RR* ,  <  )  <  y
)  ->  (  -e
y  <  -e  -e sup ( {  -e
A ,  -e
B } ,  RR* ,  <  )  <->  -e y  <  sup ( {  -e
A ,  -e
B } ,  RR* ,  <  ) ) )
9188, 90bitrd 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  y  e. 
RR* )  /\  -e sup ( { z  e. 
RR*  |  -e z  e.  { A ,  B } } ,  RR* ,  <  )  <  y
)  ->  (  -e sup ( {  -e
A ,  -e
B } ,  RR* ,  <  )  <  y  <->  -e y  <  sup ( {  -e A ,  -e B } ,  RR* ,  <  ) ) )
9285, 91mpbid 147 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  y  e. 
RR* )  /\  -e sup ( { z  e. 
RR*  |  -e z  e.  { A ,  B } } ,  RR* ,  <  )  <  y
)  ->  -e y  <  sup ( {  -e
A ,  -e
B } ,  RR* ,  <  ) )
93 xrmaxleastlt 11266 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  -e A  e.  RR*  /\  -e
B  e.  RR* )  /\  (  -e y  e.  RR*  /\  -e
y  <  sup ( {  -e A ,  -e B } ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  (  -e
y  <  -e A  \/  -e y  <  -e B ) )
9478, 79, 81, 92, 93syl22anc 1239 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  y  e. 
RR* )  /\  -e sup ( { z  e. 
RR*  |  -e z  e.  { A ,  B } } ,  RR* ,  <  )  <  y
)  ->  (  -e
y  <  -e A  \/  -e y  <  -e B ) )
95 simplll 533 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  y  e. 
RR* )  /\  -e sup ( { z  e. 
RR*  |  -e z  e.  { A ,  B } } ,  RR* ,  <  )  <  y
)  ->  A  e.  RR* )
96 xltneg 9838 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  ( A  <  y  <->  -e y  <  -e A ) )
9795, 80, 96syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  y  e. 
RR* )  /\  -e sup ( { z  e. 
RR*  |  -e z  e.  { A ,  B } } ,  RR* ,  <  )  <  y
)  ->  ( A  <  y  <->  -e y  <  -e A ) )
98 simpllr 534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  y  e. 
RR* )  /\  -e sup ( { z  e. 
RR*  |  -e z  e.  { A ,  B } } ,  RR* ,  <  )  <  y
)  ->  B  e.  RR* )
99 xltneg 9838 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  ( B  <  y  <->  -e y  <  -e B ) )
10098, 80, 99syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  y  e. 
RR* )  /\  -e sup ( { z  e. 
RR*  |  -e z  e.  { A ,  B } } ,  RR* ,  <  )  <  y
)  ->  ( B  <  y  <->  -e y  <  -e B ) )
10197, 100orbi12d 793 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  y  e. 
RR* )  /\  -e sup ( { z  e. 
RR*  |  -e z  e.  { A ,  B } } ,  RR* ,  <  )  <  y
)  ->  ( ( A  <  y  \/  B  <  y )  <->  (  -e
y  <  -e A  \/  -e y  <  -e B ) ) )
10294, 101mpbird 167 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  y  e. 
RR* )  /\  -e sup ( { z  e. 
RR*  |  -e z  e.  { A ,  B } } ,  RR* ,  <  )  <  y
)  ->  ( A  <  y  \/  B  < 
y ) )
103 breq1 4008 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  A  ->  (
z  <  y  <->  A  <  y ) )
104 breq1 4008 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  B  ->  (
z  <  y  <->  B  <  y ) )
105103, 104rexprg 3646 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( E. z  e.  { A ,  B } z  < 
y  <->  ( A  < 
y  \/  B  < 
y ) ) )
106105ad2antrr 488 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  y  e. 
RR* )  /\  -e sup ( { z  e. 
RR*  |  -e z  e.  { A ,  B } } ,  RR* ,  <  )  <  y
)  ->  ( E. z  e.  { A ,  B } z  < 
y  <->  ( A  < 
y  \/  B  < 
y ) ) )
107102, 106mpbird 167 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  y  e. 
RR* )  /\  -e sup ( { z  e. 
RR*  |  -e z  e.  { A ,  B } } ,  RR* ,  <  )  <  y
)  ->  E. z  e.  { A ,  B } z  <  y
)
108107ex 115 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  ->  (  -e sup ( { z  e. 
RR*  |  -e z  e.  { A ,  B } } ,  RR* ,  <  )  <  y  ->  E. z  e.  { A ,  B }
z  <  y )
)
109108ralrimiva 2550 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  A. y  e.  RR*  (  -e sup ( { z  e. 
RR*  |  -e z  e.  { A ,  B } } ,  RR* ,  <  )  <  y  ->  E. z  e.  { A ,  B }
z  <  y )
)
110 breq2 4009 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  -e sup ( { z  e. 
RR*  |  -e z  e.  { A ,  B } } ,  RR* ,  <  )  ->  (
y  <  x  <->  y  <  -e sup ( { z  e.  RR*  |  -e z  e.  { A ,  B } } ,  RR* ,  <  ) ) )
111110notbid 667 . . . . . . 7  |-  ( x  =  -e sup ( { z  e. 
RR*  |  -e z  e.  { A ,  B } } ,  RR* ,  <  )  ->  ( -.  y  <  x  <->  -.  y  <  -e sup ( { z  e.  RR*  | 
-e z  e. 
{ A ,  B } } ,  RR* ,  <  ) ) )
112111ralbidv 2477 . . . . . 6  |-  ( x  =  -e sup ( { z  e. 
RR*  |  -e z  e.  { A ,  B } } ,  RR* ,  <  )  ->  ( A. y  e.  { A ,  B }  -.  y  <  x  <->  A. y  e.  { A ,  B }  -.  y  <  -e sup ( { z  e. 
RR*  |  -e z  e.  { A ,  B } } ,  RR* ,  <  ) ) )
113 breq1 4008 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  -e sup ( { z  e. 
RR*  |  -e z  e.  { A ,  B } } ,  RR* ,  <  )  ->  (
x  <  y  <->  -e sup ( { z  e. 
RR*  |  -e z  e.  { A ,  B } } ,  RR* ,  <  )  <  y
) )
114113imbi1d 231 . . . . . . 7  |-  ( x  =  -e sup ( { z  e. 
RR*  |  -e z  e.  { A ,  B } } ,  RR* ,  <  )  ->  (
( x  <  y  ->  E. z  e.  { A ,  B }
z  <  y )  <->  ( 
-e sup ( { z  e.  RR*  | 
-e z  e. 
{ A ,  B } } ,  RR* ,  <  )  <  y  ->  E. z  e.  { A ,  B } z  <  y
) ) )
115114ralbidv 2477 . . . . . 6  |-  ( x  =  -e sup ( { z  e. 
RR*  |  -e z  e.  { A ,  B } } ,  RR* ,  <  )  ->  ( A. y  e.  RR*  (
x  <  y  ->  E. z  e.  { A ,  B } z  < 
y )  <->  A. y  e.  RR*  (  -e sup ( { z  e. 
RR*  |  -e z  e.  { A ,  B } } ,  RR* ,  <  )  <  y  ->  E. z  e.  { A ,  B }
z  <  y )
) )
116112, 115anbi12d 473 . . . . 5  |-  ( x  =  -e sup ( { z  e. 
RR*  |  -e z  e.  { A ,  B } } ,  RR* ,  <  )  ->  (
( A. y  e. 
{ A ,  B }  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  <  y  ->  E. z  e.  { A ,  B } z  < 
y ) )  <->  ( A. y  e.  { A ,  B }  -.  y  <  -e sup ( { z  e.  RR*  | 
-e z  e. 
{ A ,  B } } ,  RR* ,  <  )  /\  A. y  e. 
RR*  (  -e sup ( { z  e. 
RR*  |  -e z  e.  { A ,  B } } ,  RR* ,  <  )  <  y  ->  E. z  e.  { A ,  B }
z  <  y )
) ) )
117116rspcev 2843 . . . 4  |-  ( ( 
-e sup ( { z  e.  RR*  | 
-e z  e. 
{ A ,  B } } ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  /\  ( A. y  e.  { A ,  B }  -.  y  <  -e sup ( { z  e.  RR*  | 
-e z  e. 
{ A ,  B } } ,  RR* ,  <  )  /\  A. y  e. 
RR*  (  -e sup ( { z  e. 
RR*  |  -e z  e.  { A ,  B } } ,  RR* ,  <  )  <  y  ->  E. z  e.  { A ,  B }
z  <  y )
) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  { A ,  B }  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  <  y  ->  E. z  e.  { A ,  B } z  < 
y ) ) )
11833, 77, 109, 117syl12anc 1236 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  { A ,  B }  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  <  y  ->  E. z  e.  { A ,  B } z  < 
y ) ) )
119 prssi 3752 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  { A ,  B }  C_  RR* )
120118, 119infxrnegsupex 11273 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  -> inf ( { A ,  B } ,  RR* ,  <  )  =  -e sup ( { z  e.  RR*  | 
-e z  e. 
{ A ,  B } } ,  RR* ,  <  ) )
121120, 45eqtrd 2210 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  -> inf ( { A ,  B } ,  RR* ,  <  )  =  -e sup ( {  -e A ,  -e B } ,  RR* ,  <  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 708    = wceq 1353    e. wcel 2148   {cab 2163   A.wral 2455   E.wrex 2456   {crab 2459    i^i cin 3130    C_ wss 3131   {cpr 3595   class class class wbr 4005   supcsup 6983  infcinf 6984   RR*cxr 7993    < clt 7994    <_ cle 7995    -ecxne 9771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-sup 6985  df-inf 6986  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-rp 9656  df-xneg 9774  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010
This theorem is referenced by:  xrmincl  11276  xrmin1inf  11277  xrmin2inf  11278  xrmineqinf  11279  xrltmininf  11280  xrlemininf  11281  xrminltinf  11282  xrminrecl  11283  xrminrpcl  11284  xrminadd  11285
  Copyright terms: Public domain W3C validator