ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrminmax Unicode version
Theorem xrminmax 11975
Description: Minimum expressed in terms of maximum. (Contributed by Jim Kingdon, 2-May-2023.)
Assertion
Ref Expression
xrminmax |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> inf ( { A , B } , RR* , < ) = -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
Proof of Theorem xrminmax
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xnegcl 10184 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. RR* -> -e z e. RR* )
2 elprg 3714 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -e z e. RR* -> ( -e z e. { A , B } <-> ( -e z = A \/ -e z = B ) ) )
31, 2syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- ( z e. RR* -> ( -e z e. { A , B } <-> ( -e z = A \/ -e z = B ) ) )
43adantl 277 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> ( -e z e. { A , B } <-> ( -e z = A \/ -e z = B ) ) )
5 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> z e. RR* )
6 simpll 527 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> A e. RR* )
75, 6xrnegcon1d 11974 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> ( -e z = A <-> -e A = z ) )
8 eqcom 2236 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -e A = z <-> z = -e A )
97, 8bitrdi 196 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> ( -e z = A <-> z = -e A ) )
10 simplr 529 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> B e. RR* )
115, 10xrnegcon1d 11974 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> ( -e z = B <-> -e B = z ) )
12 eqcom 2236 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -e B = z <-> z = -e B )
1311, 12bitrdi 196 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> ( -e z = B <-> z = -e B ) )
149, 13orbi12d 801 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> ( ( -e z = A \/ -e z = B ) <-> ( z = -e A \/ z = -e B ) ) )
154, 14bitrd 188 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> ( -e z e. { A , B } <-> ( z = -e A \/ z = -e B ) ) )
1615rabbidva 2803 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> { z e. RR* | -e z e. { A , B } } = { z e. RR* | ( z = -e A \/ z = -e B ) } )
17 dfrab2 3500 . . . . . . . . . 10 |- { z e. RR* | ( z = -e A \/ z = -e B ) } = ( { z | ( z = -e A \/ z = -e B ) } i^i RR* )
18 dfpr2 3713 . . . . . . . . . . 11 |- { -e A , -e B } = { z | ( z = -e A \/ z = -e B ) }
1918ineq1i 3422 . . . . . . . . . 10 |- ( { -e A , -e B } i^i RR* ) = ( { z | ( z = -e A \/ z = -e B ) } i^i RR* )
2017, 19eqtr4i 2258 . . . . . . . . 9 |- { z e. RR* | ( z = -e A \/ z = -e B ) } = ( { -e A , -e B } i^i RR* )
21 xnegcl 10184 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR* -> -e A e. RR* )
22 xnegcl 10184 . . . . . . . . . . 11 |- ( B e. RR* -> -e B e. RR* )
23 prssi 3857 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( -e A e. RR* /\ -e B e. RR* ) -> { -e A , -e B } C_ RR* )
2421, 22, 23syl2an 289 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> { -e A , -e B } C_ RR* )
25 df-ss 3227 . . . . . . . . . 10 |- ( { -e A , -e B } C_ RR* <-> ( { -e A , -e B } i^i RR* ) = { -e A , -e B } )
2624, 25sylib 122 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( { -e A , -e B } i^i RR* ) = { -e A , -e B } )
2720, 26eqtrid 2279 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> { z e. RR* | ( z = -e A \/ z = -e B ) } = { -e A , -e B } )
2816, 27eqtrd 2267 . . . . . . 7 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> { z e. RR* | -e z e. { A , B } } = { -e A , -e B } )
2928supeq1d 7291 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) = sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
30 xrmaxcl 11962 . . . . . . 7 |- ( ( -e A e. RR* /\ -e B e. RR* ) -> sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) e. RR* )
3121, 22, 30syl2an 289 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) e. RR* )
3229, 31eqeltrd 2311 . . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) e. RR* )
3332xnegcld 10207 . . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) e. RR* )
34 xnegeq 10179 . . . . . . . . 9 |- ( y = A -> -e y = -e A )
3534adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> -e y = -e A )
36 xrmax1sup 11963 . . . . . . . . . 10 |- ( ( -e A e. RR* /\ -e B e. RR* ) -> -e A <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
3721, 22, 36syl2an 289 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> -e A <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
3837ad2antrr 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> -e A <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
3935, 38eqbrtrd 4136 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> -e y <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
40 simpll 527 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> ( A e. RR* /\ B e. RR* ) )
41 simpr 110 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> y = A )
42 simplll 535 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> A e. RR* )
4341, 42eqeltrd 2311 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> y e. RR* )
44 xnegeq 10179 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) = sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) -> -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) = -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
4529, 44syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) = -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
4645breq2d 4126 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) <-> y < -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
4746notbid 673 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) <-> -. y < -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
4847adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) <-> -. y < -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
4931adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) e. RR* )
5049xnegcld 10207 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) e. RR* )
51 xrlenlt 8354 . . . . . . . . . 10 |- ( ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <_ y <-> -. y < -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
5250, 51sylancom 420 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <_ y <-> -. y < -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
53 xleneg 10189 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <_ y <-> -e y <_ -e -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
5450, 53sylancom 420 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <_ y <-> -e y <_ -e -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
55 xnegneg 10185 . . . . . . . . . . . 12 |- ( sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) e. RR* -> -e -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) = sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
5649, 55syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> -e -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) = sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
5756breq2d 4126 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( -e y <_ -e -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <-> -e y <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
5854, 57bitrd 188 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <_ y <-> -e y <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
5948, 52, 583bitr2d 216 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) <-> -e y <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
6040, 43, 59syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> ( -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) <-> -e y <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
6139, 60mpbird 167 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) )
62 xnegeq 10179 . . . . . . . . 9 |- ( y = B -> -e y = -e B )
6362adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> -e y = -e B )
64 xrmax2sup 11964 . . . . . . . . . 10 |- ( ( -e A e. RR* /\ -e B e. RR* ) -> -e B <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
6521, 22, 64syl2an 289 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> -e B <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
6665ad2antrr 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> -e B <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
6763, 66eqbrtrd 4136 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> -e y <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
68 simpll 527 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> ( A e. RR* /\ B e. RR* ) )
69 simpr 110 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> y = B )
70 simpllr 536 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> B e. RR* )
7169, 70eqeltrd 2311 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> y e. RR* )
7268, 71, 59syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> ( -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) <-> -e y <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
7367, 72mpbird 167 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) )
74 elpri 3717 . . . . . . 7 |- ( y e. { A , B } -> ( y = A \/ y = B ) )
7574adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) -> ( y = A \/ y = B ) )
7661, 73, 75mpjaodan 806 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) -> -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) )
7776ralrimiva 2617 . . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> A. y e. { A , B } -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) )
7821ad3antrrr 492 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> -e A e. RR* )
7922ad3antlr 493 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> -e B e. RR* )
80 simplr 529 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> y e. RR* )
8180xnegcld 10207 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> -e y e. RR* )
82 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y )
8345breq1d 4124 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y <-> -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) < y ) )
8483ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> ( -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y <-> -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) < y ) )
8582, 84mpbid 147 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) < y )
8650adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) e. RR* )
87 xltneg 10188 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) < y <-> -e y < -e -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
8886, 80, 87syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) < y <-> -e y < -e -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
8956breq2d 4126 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( -e y < -e -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <-> -e y < sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
9089adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> ( -e y < -e -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <-> -e y < sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
9188, 90bitrd 188 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) < y <-> -e y < sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
9285, 91mpbid 147 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> -e y < sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
93 xrmaxleastlt 11966 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( -e A e. RR* /\ -e B e. RR* ) /\ ( -e y e. RR* /\ -e y < sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) ) -> ( -e y < -e A \/ -e y < -e B ) )
9478, 79, 81, 92, 93syl22anc 1275 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> ( -e y < -e A \/ -e y < -e B ) )
95 simplll 535 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> A e. RR* )
96 xltneg 10188 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( A < y <-> -e y < -e A ) )
9795, 80, 96syl2anc 411 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> ( A < y <-> -e y < -e A ) )
98 simpllr 536 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> B e. RR* )
99 xltneg 10188 . . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( B < y <-> -e y < -e B ) )
10098, 80, 99syl2anc 411 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> ( B < y <-> -e y < -e B ) )
10197, 100orbi12d 801 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> ( ( A < y \/ B < y ) <-> ( -e y < -e A \/ -e y < -e B ) ) )
10294, 101mpbird 167 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> ( A < y \/ B < y ) )
103 breq1 4117 . . . . . . . . 9 |- ( z = A -> ( z < y <-> A < y ) )
104 breq1 4117 . . . . . . . . 9 |- ( z = B -> ( z < y <-> B < y ) )
105103, 104rexprg 3746 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( E. z e. { A , B } z < y <-> ( A < y \/ B < y ) ) )
106105ad2antrr 488 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> ( E. z e. { A , B } z < y <-> ( A < y \/ B < y ) ) )
107102, 106mpbird 167 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> E. z e. { A , B } z < y )
108107ex 115 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y -> E. z e. { A , B } z < y ) )
109108ralrimiva 2617 . . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> A. y e. RR* ( -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y -> E. z e. { A , B } z < y ) )
110 breq2 4118 . . . . . . . 8 |- ( x = -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) -> ( y < x <-> y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) ) )
111110notbid 673 . . . . . . 7 |- ( x = -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) -> ( -. y < x <-> -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) ) )
112111ralbidv 2544 . . . . . 6 |- ( x = -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) -> ( A. y e. { A , B } -. y < x <-> A. y e. { A , B } -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) ) )
113 breq1 4117 . . . . . . . 8 |- ( x = -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) -> ( x < y <-> -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) )
114113imbi1d 231 . . . . . . 7 |- ( x = -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) -> ( ( x < y -> E. z e. { A , B } z < y ) <-> ( -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) )
115114ralbidv 2544 . . . . . 6 |- ( x = -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) -> ( A. y e. RR* ( x < y -> E. z e. { A , B } z < y ) <-> A. y e. RR* ( -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) )
116112, 115anbi12d 473 . . . . 5 |- ( x = -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) -> ( ( A. y e. { A , B } -. y < x /\ A. y e. RR* ( x < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) <-> ( A. y e. { A , B } -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) /\ A. y e. RR* ( -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) ) )
117116rspcev 2923 . . . 4 |- ( ( -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) e. RR* /\ ( A. y e. { A , B } -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) /\ A. y e. RR* ( -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) ) -> E. x e. RR* ( A. y e. { A , B } -. y < x /\ A. y e. RR* ( x < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) )
11833, 77, 109, 117syl12anc 1272 . . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> E. x e. RR* ( A. y e. { A , B } -. y < x /\ A. y e. RR* ( x < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) )
119 prssi 3857 . . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> { A , B } C_ RR* )
120118, 119infxrnegsupex 11973 . 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> inf ( { A , B } , RR* , < ) = -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) )
121120, 45eqtrd 2267 1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> inf ( { A , B } , RR* , < ) = -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   = wceq 1398   e. wcel 2205   {cab 2220   A.wral 2522   E.wrex 2523   {crab 2526   i^i cin 3213   C_ wss 3214   {cpr 3695   class class class wbr 4114   supcsup 7286  infcinf 7287   RR*cxr 8323   < clt 8324   <_ cle 8325   -ecxne 10121
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-sup 7288  df-inf 7289  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-rp 10005  df-xneg 10124  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709
This theorem is referenced by:  xrmincl  11976  xrmin1inf  11977  xrmin2inf  11978  xrmineqinf  11979  xrltmininf  11980  xrlemininf  11981  xrminltinf  11982  xrminrecl  11983  xrminrpcl  11984  xrminadd  11985
  Copyright terms: Public domain W3C validator