ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrminmax Unicode version
Theorem xrminmax 11275
Description: Minimum expressed in terms of maximum. (Contributed by Jim Kingdon, 2-May-2023.)
Assertion
Ref Expression
xrminmax |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> inf ( { A , B } , RR* , < ) = -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
Proof of Theorem xrminmax
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xnegcl 9834 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. RR* -> -e z e. RR* )
2 elprg 3614 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -e z e. RR* -> ( -e z e. { A , B } <-> ( -e z = A \/ -e z = B ) ) )
31, 2syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- ( z e. RR* -> ( -e z e. { A , B } <-> ( -e z = A \/ -e z = B ) ) )
43adantl 277 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> ( -e z e. { A , B } <-> ( -e z = A \/ -e z = B ) ) )
5 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> z e. RR* )
6 simpll 527 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> A e. RR* )
75, 6xrnegcon1d 11274 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> ( -e z = A <-> -e A = z ) )
8 eqcom 2179 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -e A = z <-> z = -e A )
97, 8bitrdi 196 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> ( -e z = A <-> z = -e A ) )
10 simplr 528 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> B e. RR* )
115, 10xrnegcon1d 11274 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> ( -e z = B <-> -e B = z ) )
12 eqcom 2179 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -e B = z <-> z = -e B )
1311, 12bitrdi 196 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> ( -e z = B <-> z = -e B ) )
149, 13orbi12d 793 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> ( ( -e z = A \/ -e z = B ) <-> ( z = -e A \/ z = -e B ) ) )
154, 14bitrd 188 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> ( -e z e. { A , B } <-> ( z = -e A \/ z = -e B ) ) )
1615rabbidva 2727 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> { z e. RR* | -e z e. { A , B } } = { z e. RR* | ( z = -e A \/ z = -e B ) } )
17 dfrab2 3412 . . . . . . . . . 10 |- { z e. RR* | ( z = -e A \/ z = -e B ) } = ( { z | ( z = -e A \/ z = -e B ) } i^i RR* )
18 dfpr2 3613 . . . . . . . . . . 11 |- { -e A , -e B } = { z | ( z = -e A \/ z = -e B ) }
1918ineq1i 3334 . . . . . . . . . 10 |- ( { -e A , -e B } i^i RR* ) = ( { z | ( z = -e A \/ z = -e B ) } i^i RR* )
2017, 19eqtr4i 2201 . . . . . . . . 9 |- { z e. RR* | ( z = -e A \/ z = -e B ) } = ( { -e A , -e B } i^i RR* )
21 xnegcl 9834 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR* -> -e A e. RR* )
22 xnegcl 9834 . . . . . . . . . . 11 |- ( B e. RR* -> -e B e. RR* )
23 prssi 3752 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( -e A e. RR* /\ -e B e. RR* ) -> { -e A , -e B } C_ RR* )
2421, 22, 23syl2an 289 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> { -e A , -e B } C_ RR* )
25 df-ss 3144 . . . . . . . . . 10 |- ( { -e A , -e B } C_ RR* <-> ( { -e A , -e B } i^i RR* ) = { -e A , -e B } )
2624, 25sylib 122 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( { -e A , -e B } i^i RR* ) = { -e A , -e B } )
2720, 26eqtrid 2222 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> { z e. RR* | ( z = -e A \/ z = -e B ) } = { -e A , -e B } )
2816, 27eqtrd 2210 . . . . . . 7 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> { z e. RR* | -e z e. { A , B } } = { -e A , -e B } )
2928supeq1d 6988 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) = sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
30 xrmaxcl 11262 . . . . . . 7 |- ( ( -e A e. RR* /\ -e B e. RR* ) -> sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) e. RR* )
3121, 22, 30syl2an 289 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) e. RR* )
3229, 31eqeltrd 2254 . . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) e. RR* )
3332xnegcld 9857 . . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) e. RR* )
34 xnegeq 9829 . . . . . . . . 9 |- ( y = A -> -e y = -e A )
3534adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> -e y = -e A )
36 xrmax1sup 11263 . . . . . . . . . 10 |- ( ( -e A e. RR* /\ -e B e. RR* ) -> -e A <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
3721, 22, 36syl2an 289 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> -e A <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
3837ad2antrr 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> -e A <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
3935, 38eqbrtrd 4027 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> -e y <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
40 simpll 527 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> ( A e. RR* /\ B e. RR* ) )
41 simpr 110 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> y = A )
42 simplll 533 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> A e. RR* )
4341, 42eqeltrd 2254 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> y e. RR* )
44 xnegeq 9829 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) = sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) -> -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) = -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
4529, 44syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) = -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
4645breq2d 4017 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) <-> y < -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
4746notbid 667 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) <-> -. y < -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
4847adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) <-> -. y < -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
4931adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) e. RR* )
5049xnegcld 9857 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) e. RR* )
51 xrlenlt 8024 . . . . . . . . . 10 |- ( ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <_ y <-> -. y < -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
5250, 51sylancom 420 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <_ y <-> -. y < -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
53 xleneg 9839 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <_ y <-> -e y <_ -e -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
5450, 53sylancom 420 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <_ y <-> -e y <_ -e -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
55 xnegneg 9835 . . . . . . . . . . . 12 |- ( sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) e. RR* -> -e -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) = sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
5649, 55syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> -e -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) = sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
5756breq2d 4017 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( -e y <_ -e -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <-> -e y <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
5854, 57bitrd 188 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <_ y <-> -e y <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
5948, 52, 583bitr2d 216 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) <-> -e y <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
6040, 43, 59syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> ( -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) <-> -e y <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
6139, 60mpbird 167 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) )
62 xnegeq 9829 . . . . . . . . 9 |- ( y = B -> -e y = -e B )
6362adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> -e y = -e B )
64 xrmax2sup 11264 . . . . . . . . . 10 |- ( ( -e A e. RR* /\ -e B e. RR* ) -> -e B <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
6521, 22, 64syl2an 289 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> -e B <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
6665ad2antrr 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> -e B <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
6763, 66eqbrtrd 4027 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> -e y <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
68 simpll 527 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> ( A e. RR* /\ B e. RR* ) )
69 simpr 110 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> y = B )
70 simpllr 534 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> B e. RR* )
7169, 70eqeltrd 2254 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> y e. RR* )
7268, 71, 59syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> ( -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) <-> -e y <_ sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
7367, 72mpbird 167 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) )
74 elpri 3617 . . . . . . 7 |- ( y e. { A , B } -> ( y = A \/ y = B ) )
7574adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) -> ( y = A \/ y = B ) )
7661, 73, 75mpjaodan 798 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. { A , B } ) -> -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) )
7776ralrimiva 2550 . . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> A. y e. { A , B } -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) )
7821ad3antrrr 492 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> -e A e. RR* )
7922ad3antlr 493 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> -e B e. RR* )
80 simplr 528 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> y e. RR* )
8180xnegcld 9857 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> -e y e. RR* )
82 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y )
8345breq1d 4015 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y <-> -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) < y ) )
8483ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> ( -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y <-> -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) < y ) )
8582, 84mpbid 147 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) < y )
8650adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) e. RR* )
87 xltneg 9838 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) < y <-> -e y < -e -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
8886, 80, 87syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) < y <-> -e y < -e -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
8956breq2d 4017 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( -e y < -e -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <-> -e y < sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
9089adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> ( -e y < -e -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <-> -e y < sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
9188, 90bitrd 188 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> ( -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) < y <-> -e y < sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) )
9285, 91mpbid 147 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> -e y < sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
93 xrmaxleastlt 11266 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( -e A e. RR* /\ -e B e. RR* ) /\ ( -e y e. RR* /\ -e y < sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) ) ) -> ( -e y < -e A \/ -e y < -e B ) )
9478, 79, 81, 92, 93syl22anc 1239 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> ( -e y < -e A \/ -e y < -e B ) )
95 simplll 533 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> A e. RR* )
96 xltneg 9838 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( A < y <-> -e y < -e A ) )
9795, 80, 96syl2anc 411 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> ( A < y <-> -e y < -e A ) )
98 simpllr 534 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> B e. RR* )
99 xltneg 9838 . . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( B < y <-> -e y < -e B ) )
10098, 80, 99syl2anc 411 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> ( B < y <-> -e y < -e B ) )
10197, 100orbi12d 793 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> ( ( A < y \/ B < y ) <-> ( -e y < -e A \/ -e y < -e B ) ) )
10294, 101mpbird 167 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> ( A < y \/ B < y ) )
103 breq1 4008 . . . . . . . . 9 |- ( z = A -> ( z < y <-> A < y ) )
104 breq1 4008 . . . . . . . . 9 |- ( z = B -> ( z < y <-> B < y ) )
105103, 104rexprg 3646 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( E. z e. { A , B } z < y <-> ( A < y \/ B < y ) ) )
106105ad2antrr 488 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> ( E. z e. { A , B } z < y <-> ( A < y \/ B < y ) ) )
107102, 106mpbird 167 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) /\ -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) -> E. z e. { A , B } z < y )
108107ex 115 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y -> E. z e. { A , B } z < y ) )
109108ralrimiva 2550 . . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> A. y e. RR* ( -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y -> E. z e. { A , B } z < y ) )
110 breq2 4009 . . . . . . . 8 |- ( x = -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) -> ( y < x <-> y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) ) )
111110notbid 667 . . . . . . 7 |- ( x = -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) -> ( -. y < x <-> -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) ) )
112111ralbidv 2477 . . . . . 6 |- ( x = -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) -> ( A. y e. { A , B } -. y < x <-> A. y e. { A , B } -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) ) )
113 breq1 4008 . . . . . . . 8 |- ( x = -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) -> ( x < y <-> -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y ) )
114113imbi1d 231 . . . . . . 7 |- ( x = -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) -> ( ( x < y -> E. z e. { A , B } z < y ) <-> ( -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) )
115114ralbidv 2477 . . . . . 6 |- ( x = -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) -> ( A. y e. RR* ( x < y -> E. z e. { A , B } z < y ) <-> A. y e. RR* ( -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) )
116112, 115anbi12d 473 . . . . 5 |- ( x = -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) -> ( ( A. y e. { A , B } -. y < x /\ A. y e. RR* ( x < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) <-> ( A. y e. { A , B } -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) /\ A. y e. RR* ( -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) ) )
117116rspcev 2843 . . . 4 |- ( ( -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) e. RR* /\ ( A. y e. { A , B } -. y < -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) /\ A. y e. RR* ( -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) ) -> E. x e. RR* ( A. y e. { A , B } -. y < x /\ A. y e. RR* ( x < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) )
11833, 77, 109, 117syl12anc 1236 . . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> E. x e. RR* ( A. y e. { A , B } -. y < x /\ A. y e. RR* ( x < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) )
119 prssi 3752 . . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> { A , B } C_ RR* )
120118, 119infxrnegsupex 11273 . 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> inf ( { A , B } , RR* , < ) = -e sup ( { z e. RR* | -e z e. { A , B } } , RR* , < ) )
121120, 45eqtrd 2210 1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> inf ( { A , B } , RR* , < ) = -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   = wceq 1353   e. wcel 2148   {cab 2163   A.wral 2455   E.wrex 2456   {crab 2459   i^i cin 3130   C_ wss 3131   {cpr 3595   class class class wbr 4005   supcsup 6983  infcinf 6984   RR*cxr 7993   < clt 7994   <_ cle 7995   -ecxne 9771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-sup 6985  df-inf 6986  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-rp 9656  df-xneg 9774  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010
This theorem is referenced by:  xrmincl  11276  xrmin1inf  11277  xrmin2inf  11278  xrmineqinf  11279  xrltmininf  11280  xrlemininf  11281  xrminltinf  11282  xrminrecl  11283  xrminrpcl  11284  xrminadd  11285
  Copyright terms: Public domain W3C validator